「自然演繹」で言ふ所の「定理」ついて。

（01）
公理（こうり、英: axiom）は、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系（英語版） (axiomatic system) という[1] 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる（ウィキペディア）。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　　　　　　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　　　　　　１１ＣＰ
　（〃）ＰならばＰである。１１ＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
①├ Ｐ→Ｐ
である。
然るに、
（04）
①├ Ｐ→Ｐ
に於いて、
①　 Ｐ→Ｐ
は、「仮定の数がゼロである証明可能な連式の結論である（論理学初歩、E.J.レモン、６４頁）。」
然るに、
（05）
このかたちで証明される連式の結論を、定理（theorem）とよぶのである。故に仮定の数がゼロである証明可能な連式の結論である。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、６４頁）
従って、
（01）～（05）により、
（06）
①├ Ｐ→Ｐ
①├ ＰならばＰである（同一律）。
は、「論理学初歩、E.J.レモン」で言ふ所の、「定理（theorem）」であって、「ウィキペディア」で言ふ「公理（axiom）」ではない。
然るに、
（07）
１（１）Ｐ　　　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ
に於いて、「Ａ，ＣＰ」は、「規則（rules）」である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
「論理学初歩、E.J.レモン」に於ける、
① ＰならばＰである（同一律）。
といふ「恒真式（トートロジー）」は、「規則」によって、「証明」される所の「定理」である。
従って、
（09）
「ウィキペディア」で言ふ所の、「公理」は、
「論理学初歩、E.J.レモン」で言ふ所の「規則」に「対応」し、
「論理学初歩、E.J.レモン」で言ふ所の「定理」は、「普通の言い方」では、「恒真式（トートロジー）」に「相当」する。
然るに、
（10） （ⅰ）
１　　（１）　　　　　Ｎａ＆（ａ＝ｂ）　　　　　　Ａ
１　　（２）　　　　　Ｎａ　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（４）　　　　　Ｎｂ　　　　　　　　　　　　２３＝Ｅ
　　　（５）　　　　　Ｎａ＆（ａ＝ｂ）→Ｎｂ　　　１４ＣＰ
　６　（６）　　　　　　　　　　　　　～Ｎｂ　　　Ａ
　６　（７）　　　～｛Ｎａ＆（ａ＝ｂ）｝　　　　　５６ＭＴＴ
　６　（８）　　　　～Ｎａ∨（ａ≠ｂ）　　　　　　７ド・モルガンの法則
　６　（９）　　　　　Ｎａ→（ａ≠ｂ）　　　　　　８含意の定義
　　　（ア）～Ｎｂ→｛Ｎａ→（ａ≠ｂ）｝　　　　　６９ＣＰ
　　イ（イ）　Ｎａ＆～Ｎｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　イ（ウ）～Ｎｂ　　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　　イ（エ）　　　　｛Ｎａ→（ａ≠ｂ）｝　　　　　アウＭＰＰ
　　イ（オ）　　　　　Ｎａ　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　　イ（カ）　　　　　　　　（ａ≠ｂ）　　　　　　エオＭＰＰ
　　　（キ）　　　　　Ｎａ＆～Ｎｂ→（ａ≠ｂ）　　イカＣＰ
　　　（ク）　　∀ｙ｛Ｎａ＆～Ｎｙ→（ａ≠ｙ）｝　キＵＩ
　　　（ケ）∀ｘ∀ｙ｛Ｎｘ＆～Ｎｙ→（ｘ≠ｙ）｝　クＵＩ
　　　（〃）すべてｘとすべてのｙについて｛ｘが日本人であって、ｙが日本人でないならば、ｘとｙは同一人物ではない｝。
（ⅱ）
１　　　　（１）　　　　　Ｎａ＆（ａ＝ｂ）　　　　　　Ａ
１　　　　（２）　　　　　Ｎａ　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　　（３）　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　　（４）　　　　　Ｎｂ　　　　　　　　　　　　２３＝Ｅ
　　　　　（５）　　　　　Ｎａ＆（ａ＝ｂ）→Ｎｂ　　　１４ＣＰ
　６　　　（６）　　　　　　　　　　　　　～Ｎｂ　　　Ａ
　６　　　（７）　　　～｛Ｎａ＆（ａ＝ｂ）｝　　　　　５６ＭＴＴ
　６　　　（８）　　　　～Ｎａ∨（ａ≠ｂ）　　　　　　７ド・モルガンの法則
　６　　　（９）　　　　　Ｎａ→（ａ≠ｂ）　　　　　　８含意の定義
　　　　　（ア）～Ｎｂ→｛Ｎａ→（ａ≠ｂ）｝　　　　　６９ＣＰ
　　イ　　（イ）　Ｎａ＆～Ｎｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　イ　　（ウ）～Ｎｂ　　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　　イ　　（エ）　　　　｛Ｎａ→（ａ≠ｂ）｝　　　　　アウＭＰＰ
　　イ　　（オ）　　　　　Ｎａ　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　　イ　　（カ）　　　　　　　　（ａ≠ｂ）　　　　　　エオＭＰＰ
　　　　　（キ）　　　　　Ｎａ＆～Ｎｂ→（ａ≠ｂ）　　イカＣＰ
　　　ク　（ク）　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｂ）　　Ａ
　　　ク　（ケ）　　　　　　　　　　　～（ａ≠ｂ）　　クＤＮ
　　　ク　（コ）　　　～（Ｎａ＆～Ｎｂ）　　　　　　　キケＭＴＴ
　　　ク　（サ）　　　　～Ｎａ∨　Ｎｂ　　　　　　　　コ、ド・モルガンの法則
　　　ク　（シ）　　　　　Ｎａ→　Ｎｂ　　　　　　　　サ含意の定義
　　　　　（ス）　　　　（ａ＝ｂ）→（Ｎａ→Ｎｂ）　　クシＣＰ
　　　　セ（セ）　　　　（ａ＝ｂ）＆　Ｎａ　　　　　　Ａ
　　　　セ（ソ）　　　　（ａ＝ｂ）　　　　　　　　　　セ＆Ｅ
　　　　セ（タ）　　　　　　　　　　　Ｎａ→Ｎｂ　　　スソＭＰＰ
　　　　セ（チ）　　　　　　　　　　　Ｎａ　　　　　　セ＆Ｅ
　　　　セ（ツ）　　　　　　　　　　　　　　Ｎｂ　　　タチＭＰＰ
　　　　　（テ）　　　　　（ａ＝ｂ）＆Ｎａ→Ｎｂ　　　セツＣＰ 　　　　　（ト）　　∀ｙ｛（ａ＝ｙ）＆Ｎａ→Ｎｙ｝　　テＵＩ
　　　　　（ナ）∀ｘ∀ｙ｛（ｘ＝ｙ）＆Ｎｘ→Ｎｙ｝　　トＵＩ
　　　　　（〃）すべてｘとすべてのｙについて｛ｘとｙが同一人物であって、ｘが日本人であるならば、ｙも日本人である｝。
従って、
（04）（05）（06）（08）により、
（11）
②├ ∀ｘ∀ｙ｛Ｎｘ＆～Ｎｙ→（ｘ≠ｙ）｝
③├ ∀ｘ∀ｙ｛（ｘ＝ｙ）＆Ｎｘ→Ｎｙ｝
といふ「定理」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（11）により、
（12）
例へば、
①「ｘが日本人であって、ｙが日本人でない。」ならば、「ｘとｙは、同一人物ではない。」
②「ｘとｙが、同一人物であって、ｘが日本人である。」ならば、「ｙも日本人である。」
といふ『自明の理』は、「恒真式（トートロジー）」である。
令和０２年１０月１５日、毛利太。