「含意の定義」と「選言三段論法」について。

（01）
―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
１２　（イ）　　（～Ｐ∨Ｑ）　２ア＆Ｉ
１　　（ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２イＲＡＡ
１　　（エ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　ウＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は、「含意の定義」である。
従って、
（02）により、
（03）
① 　～Ｐ→Ｑ
② ～～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は、「含意の定義」である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～Ｐ→Ｑ
② 　Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は、「含意の定義」である。
従って、
（04）により、
（05）
１　（１）　Ｐ∨Ｑ　Ａ
１　（２）～Ｐ→Ｑ　１含意の定義
　２（３）～Ｐ　　　Ａ
１２（４）　　　Ｑ　２３ＭＰＰ
といふ「推論」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（05）により、
（06）
② Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（Sequent）」、すなはち、
② ＰかＱであるが、Ｐではないので、Ｑである。
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
１　（１）　Ｐ∨Ｑ　Ａ
１　（２）　Ｑ∨Ｐ　１交換法則
１　（３）～Ｑ→Ｐ　１含意の定義
　２（３）～Ｑ　　　Ａ
１２（４）　　　Ｐ　２３ＭＰＰ
といふ「推論」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（07）により、
（08）
② Ｐ∨Ｑ，～Ｑ├ Ｐ
といふ「連式（Sequent）」、すなはち、
② ＰかＱであるが、Ｑではないので、Ｐである。
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
② ＰかＱであるが、Ｐではないので、Ｑである。
といふ「言ひ方」が、「妥当」であるならば、
③ Ｐでないので、（ＰかＱである。）といふことは、（Ｑである。）といふことに、等しい。
といふ「言ひ方」も、「妥当」でなければ、ならない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（Sequent）」だけでなく、
③ ～Ｐ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｑ
といふ「連式（Sequent）」も、「妥当」でなければ、ならない。
然るに、
（11）
（ⅲ）
１　　　　（１）　～Ｐ　　　　Ａ
　２　　　（２）　　Ｐ∨Ｑ　　Ａ
　　３　　（３）　　Ｐ　　　　Ａ
　　３　　（４）～～Ｐ　　　　３ＤＮ
　　３　　（５）～～Ｐ∨Ｑ　　４∨Ｉ
　　３　　（６）　～Ｐ→Ｑ　　５含意の定義
１　３　　（７）　　　　Ｑ　　１６ＭＰＰ
　　　８　（８）　　　　Ｑ　　Ａ
　　　８　（９）～～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
　　　８　（ア）　～Ｐ→Ｑ　　９含意の定義
１　　８　（イ）　　　　Ｑ　　１アＭＰＰ
１２　　　（ウ）　　　　Ｑ　　２３７８イ∨Ｅ
１　　　　（エ）Ｐ∨Ｑ→Ｑ　　２ウＣＰ
　　　　オ（オ）　　Ｑ　　　　Ａ
　　　　オ（カ）Ｐ∨Ｑ　　　　Ｑ∨Ｉ
　　　　　（キ）Ｑ→Ｐ∨Ｑ　　オカＣＰ
１　　　　（ク）Ｐ∨Ｑ→Ｑ＆
　　　　　　　　Ｑ→Ｐ∨Ｑ　　エキ＆Ｉ
１　　　　（ケ）Ｐ∨Ｑ⇔Ｑ　　クＤｆ.⇔
従って、
（11）により、
（12）
果たして、
③ ～Ｐ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｑ
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
然るに、
（13）
③ ～Ｐ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｑ
の於いて、
③ Ｐ＝Ｑ
③ Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
④ ～Ｑ├ Ｑ∨Ｐ⇔Ｐ
然るに、
（14）
「交換法則」により、
③ Ｑ∨Ｐ は、
④ Ｐ∨Ｑ に、「等しい」。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
③ ～Ｐ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｑ
④ ～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（06）（08）（12）（15）により、
（16）
① Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
② Ｐ∨Ｑ，～Ｑ├ Ｐ
③ ～Ｐ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｑ
④ ～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（16）により、
（17）
① ＰかＱであるが、Ｐではないので、Ｑである。
② ＰかＱであるが、Ｑではないので、Ｐである。
③ Ｐでないので、（ＰかＱである。）といふことは、（Ｑである。）といふことに、等しい。
④ Ｑでないので、（ＰかＱである。）といふことは、（Ｐである。）といふことに、等しい。
といふ「推論」は、４つとも、「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
（ⅰ）（選挙で勝ったのは）共和党か民主党である。然るに、共和党ではない。従って、（選挙で勝ったのは）民主党である。
（ⅱ）（選挙で勝ったのは）共和党か民主党である。然るに、民主党ではない。従って、（選挙で勝ったのは）共和党である。
といふ「推論」は、２つとも、「妥当」である。
従って、
（18）により、
（19）
「推論の妥当性」は、「その事柄が、事実か、どうか」といふこととは、「一切、関係」がない。
従って、
（19）により、
（20）
（ⅰ）三角形の内角の和は３６０度であるか、選挙で勝ったのは共和党である。然るに、三角形の内角の和は３６０度ではない。従って、選挙で勝ったのは共和党である。
（ⅱ）選挙で勝ったのは民主党であるか、三角形の内角の和は３６０度である。然るに、三角形の内角の和は３６０度ではない。従って、選挙で勝ったのは民主党である。
といふ「推論」は、２つとも、「妥当」である。
令和０２年１１月１０日、毛利太。