ルカジェヴィッツによる公理１：［Ｐなので（ＱでなくともＰである）］。

（01）
① 悪天候なので、外出しない。
といふことが「言へる」のであれば、
② 悪天候ならば、外出しない。
といふ「命題」が、「真」でなければならない。
従って、
（02）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（03）
② 悪天候ならば、外出しない。
としても、
② 悪天候。
に至ってゐない「段階」では、
① 悪天候なので、外出しない。
といふことには、ならない。
従って、
（03）により、
（04）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
② ならば、① である。とは限らない。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（05）により、
（06）
「当然」ではあるものの、
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
①＝② ではない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ＰなのでＱである（Ｐ├ Ｑ）。
② ＰならばＱである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
①⇒② であるが、
①＝② ではない。
然るに、
（08）
① １（１）Ｐ　Ａ
と書くならば、
① Ｐ（１）Ｐ　Ａ
と「同じこと」であって、
① Ｐ（１）Ｐ　Ａ
といふことは、
① Ｐなので、Ｐである（Ｐ├ Ｐ）。
といふ「意味」である。
然るに、
（09）
　ルカジェヴィッツによる公理
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）｛Ｐ→（Ｑ→Ｒ）｝→｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）｝
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
（これはフレーゲが提出した６つの公理をより簡単にしたものである。）
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
然るに、
（10）
（ⅰ）
１（１）　　　　　Ｐ　　Ａ
１（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ
１（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義
　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　　　　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　　Ａ
　２　（２）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　　１３ＭＰＰ
　２３（５）　　　　　　　Ｑ　　　　　２３ＭＰＰ
１２３（６）　　　　　　　　　Ｒ　　　４５ＭＰＰ
１２　（７）　　　　　　　Ｐ→Ｒ　　　３６ＣＰ
１　　（８）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　２７ＣＰ
　　　（９）｛Ｐ→（Ｑ→Ｒ）｝→
　　　　　｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）｝　１８ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　～Ｐ→～Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　～Ｑ　　　　　　　　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　２４＆Ｉ
１２　（６）～～Ｐ　　　　　　　　　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　Ｐ　　　　　　　　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｑ→　Ｐ　　　　　　　　２７ＣＰ
　　　（９）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）　１８ＣＰ
従って、
（09）（10）により、
（11）
　ルカジェヴィッツによる公理
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）｛Ｐ→（Ｑ→Ｒ）｝→｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）｝
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ「３つの公理」は、当然、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）（10）により、
（12）
１（１）　　　　　Ｐ　　Ａ
１（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ
１（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義
といふ「計算」は、
Ｐ（１）　　　　　Ｐ　　Ａ
Ｐ（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ
Ｐ（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義
といふ「計算」と、「同じこと」であって、
（１）Ｐなので「Ｐである。」
（２）Ｐなので「Ｑでないか、または、Ｐである。」
（３）Ｐなので「Ｑならば、Ｐである。」
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
（１）Ｐなので「Ｐである。」
（２）Ｐなので「Ｑでないか、または、Ｐである。」
（３）Ｐなので「Ｑならば、Ｐである。」
といふのであれば、
（１）Ｐは「真」。
（２）Ｐは「真」。
（３）Ｐは「真」。
でなければ、ならない。
従って、
（13）により、
（14）
（１）Ｐ（真）なので「Ｐ（真）である。」
（２）Ｐ（真）なので「Ｑでないか、または、Ｐ（真）である。」
（３）Ｐ（真）なので「Ｑならば、Ｐ（真）である。」
然るに、
（15）
「真理表（Truth table）」により、
（３）「Ｑ（真）ならば、Ｐ（真）である。」
（〃）「Ｑ（偽）ならば、Ｐ（真）である。」
の場合は、両方とも、「真」である。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
１（１）　　　Ｐ　Ａ
１（２）～Ｑ∨Ｐ　１∨Ｉ
１（３）　Ｑ→Ｐ　２含意の定義
に於ける、
１（３）　Ｑ→Ｐ　２含意の定義
といふ「行」は、
　（３）Ｐ（が真）なので「Ｑ（の真・偽に拘らず）、Ｐ（は真）である。」
といふ「意味」になる。
従って、
（10）（16）により、
（17）
１（１）　　　　　Ｐ　　Ａ
１（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ
１（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義
　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰ
に於ける、
　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰ
といふ「行」は、
　（４）Ｐ（が真）ならば「Ｑ（の真・偽に拘らず）、Ｐ（は真）である。」
といふ「意味」になる。
従って、
（09）（10）（16）（17）により、
（18）
（１）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（〃）Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
といふ「ルカジェヴィッツによる公理１」は、
（１）Ｐ（が真）ならば「Ｑ（の真・偽に拘らず）、Ｐ（は真）である。」
といふ「意味」になる。
然るに、
（18）により、
（19）
（１）Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
といふ「言ひ方」は、「奇異」であるが、
（１）Ｐ（が真）ならば「Ｑ（の真・偽に拘らず）、Ｐ（は真）である。」
といふことは、「極めて、まともである」。
従って、
（10）（19）により、
（20）
（ⅰ）
１（１）　　　　　Ｐ　　Ａ
１（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ
１（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義
　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰ
といふ「計算」の「結果」としての、
（１）Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
といふ「ルカジェヴィッツによる公理１」は、「極めて、当然である」。
然るに、
（21）
証明の各行の左側に、仮定を数字であげる方法は、伝統的な方法にくらべて遥かに明瞭であるとわたしには思われる。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、序ⅲ）
従って、
（07）（19）（20）（21）により、
（22）
１（１）　　　　　Ｐ　　Ａ
１（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ
１（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義
　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰ
のやうな、『証明の各行の左側に、仮定を数字であげる方法』と、
① ＰなのでＱである（Ｐ├ Ｑ）。
② ＰならばＱである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
① ならば、② である。
といふことからすれば、
からすれば、
（１）Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
（〃）Ｐ（が真）ならば「Ｑ（の真・偽に拘らず）、Ｐ（は真）である。」
といふ「ルカジェヴィッツによる公理１」は、「極めて、当然である」。
令和０２年１１月０３日、毛利太。