「含意の定義」と「質量含意」のパラドックス。

（01）
―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
１２　（イ）　　（～Ｐ∨Ｑ）　２ア＆Ｉ
１　　（ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２イＲＡＡ
１　　（エ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　ウＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は、「含意の定義」である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１（１）～Ｐ　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
１（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義
（ⅳ）
１（１）　　　Ｑ　Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
１（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義
従って、
（03）により、
（04）
「含意の定義」により、
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
② 　Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式（Sequents）」は、２つとも「妥当（Valid）」である。
従って、
（04）により、
（05）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
② 　Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式（Sequents）」、すなはち、
① Ｐでないので、ＰならばＱである。
② Ｑであるので、ＰならばＱである。
といふ「推論」は、２つとも「妥当（Valid）」である。
然るに、
（06）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
であるならば、すなはち、
① Ｐではないが、 ＰならばＱである。
といふのであれば、
① Ｑであるか、Ｑでないかは、「不明」である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
であるならば、すなはち、
① Ｐが「偽」であるならば、
① Ｑは「真」であって、「偽」であっても、「どちらでも良い」。
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）偽→真
（〃）偽→偽
は、両方とも、「真」である。
然るに、
（09）
② Ｑ├ Ｐ→Ｑ
であるならば、すなはち、
② Ｑであるが、ＰならばＱである。
といふのであれば、
② Ｐが「真」であらうと、「偽」であらうと、いづれにせよ、
② Ｑは「真」である。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅱ）真→真
（〃）偽→真
は、両方とも、「真」である。
従って、
（08）（10）により、
（11）
（ⅰ）偽→真
（〃）偽→偽
（ⅱ）真→真
（〃）偽→真
といふ「４通り」は、４つとも「真」である。
然るに、
（11）により、
（12）
（ⅰ）偽→真
（〃）偽→偽
（ⅱ）真→真
（〃）偽→真
に於いて、
（ⅰ）偽→真：１段目
（〃）偽→真：４段目
は、「同じ」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
「番号」を付け直すと、
（ⅰ）偽→真
（ⅱ）偽→偽
（ⅲ）真→真
といふ「３通り」は、３つとも「真」である。
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）偽→真
（ⅱ）偽→偽
（ⅲ）真→真
（ⅳ）真→偽
に於いて、「偽」になり得るのは、唯一、
（ⅳ）真→偽
だけである。
然るに、
（02）により、
（15）
「含意の定義」により、
（ⅰ）偽→真
（ⅱ）偽→偽
（ⅲ）真→真
（ⅳ）真→偽
といふ「含意」は、「順番」に、
（ⅰ）～偽∨真
（ⅱ）～偽∨偽
（ⅲ）～真∨真
（ⅳ）～真∨偽
といふ「選言」に、「等しく」、さらには、
（ⅰ）　真∨真
（ⅱ）　真∨偽
（ⅲ）　偽∨真
（ⅳ）　偽∨偽
といふ「選言」に、「等しい」。
然るに、
（16）
「真理表（Truth table）」により、
（ⅰ）　真∨真
（ⅱ）　真∨偽
（ⅲ）　偽∨真
（ⅳ）　偽∨偽
といふ「選言」は、唯一、
（ⅳ）　偽∨偽
だけが「偽」である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
（ⅰ）偽→真
（ⅱ）偽→偽
（ⅲ）真→真
（ⅳ）真→偽
に於いて、
（ⅳ）真→偽
だけが「偽」である。
従って、
（17）により、
（18）
『古典論理において「含意（αならばβ）」は「α→β」と表し、その意味は「αが真でありβば偽であるときに限り偽」である（大窪徳行・田畑博俊、論理学の方法、1994年、１９０頁）。』といふことなり、このやうな「含意」を、「質量含意（material implication）」といふ。
従って、
（18）により、
（19）
（ⅰ）四角形の内角の和が１８０度ならば、太陽は東から昇る。
（ⅱ）四角形の内角の和が１８０度ならば、太陽は西から昇る。
の場合は、
（ⅰ）偽→真
（ⅱ）偽→偽
であるが故に、両方とも、「（質料含意として）真」である。
然るに、
（20）
（ⅰ）悪天候なので、外出しない。
（ⅱ）悪天候であっても、外出する。
に於いて、
（ⅰ）と（ⅱ）は「矛盾」する。
従って、
（20）により、
（21）
（ⅰ）悪天候なので、外出しない。
（ⅱ）悪天候であっても、外出する。
に於いて、
（ⅰ）が「真（本当）」であるならば、
（ⅱ）は「偽（ウソ）」である。
然るに、
（22）
（ⅱ）悪天候であっても、外出する。
（ⅲ）悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
（ⅱ）が「偽」である。
といふことは、
（ⅲ）が「真」である。
といふことである。
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
「番号」を付け直すと、
（ⅰ）悪天候なので、家に居る。
（ⅱ）悪天候ならば、家に居る。
に於いて、
（ⅰ）ならば、（ⅱ）である。
然るに、
（24）
（ⅰ）悪天候なので、家に居る。
といふのであれば、
（ⅰ）悪天候である。
といふことが、
（ⅰ）家に居る。
といふことの、「理由」になってゐる。
従って、
（23）（24）により、
（25）
（ⅱ）悪天候ならば、家に居る。
といふのであれば、
（ⅱ）悪天候である。
といふことが、
（ⅱ）家に居る。
といふことの、「理由」になって、ゐなければ、ならない。
然るに、
（26）
（ⅰ）四角形の内角の和が１８０度なので、太陽は東から昇る。
といふ風に、思ってゐる人間は、普通に考へれば、「一人もゐない」。
従って、
（19）（25）（26）により、
（27）
（ⅱ）悪天候ならば、家に居る。
といふ「日常言語の含意」に対して、
（ⅱ）四角形の内角の和が１８０度ならば、太陽は西から昇る。
のやうな「質量含意」は、「非常識」であると、言はざるを得ない。
然るに、
（28）
例へば、
①  選挙の勝利者は（トランプか、または、バイデンである）。
②（選挙の勝利者はトランプか）、または、（選挙の勝利者はバイデンである）。
といふ「命題」に於いて、
①＝② である。
といふことは、「当然」である。
然るに、
（29）
Ｓ＝選挙の勝利者である。
Ｔ＝トランプである。
Ｂ＝バイデンである。
とするならば、
①  選挙の勝利者は（トランプか、または、バイデンである）。
②（選挙の勝利者はトランプか）、または、（選挙の勝利者はバイデンである）。
といふ「命題」は、
①  Ｓ→（Ｔ∨Ｂ）
②（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ）
といふ「命題論理式」で、表すことが、出来る。
然るに、
（30）
（ⅰ）
１        （１）　Ｓ→（Ｔ∨Ｂ）　　　　Ａ
１        （２）～Ｓ∨（Ｔ∨Ｂ）　　　　１含意の定義
　３　　　（３）～Ｓ　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　（４）～Ｓ∨Ｔ　　　　　　　　３∨Ｉ
　３　　　（５）　Ｓ→Ｔ　　　　　　　　４含意の定義
　３　　　（６）（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ）　５∨Ｉ
　　７　　（７）　　　　Ｔ∨Ｂ　　　　　Ａ
　　　８　（８）　　　　Ｔ　　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　～Ｓ∨Ｔ　　　　　　　８∨Ｉ
　　　８　（ア）（Ｓ→Ｔ）　　　　　　　９含意の定義
　　　８　（イ）（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ）　ア∨Ｉ
　　　　ウ（ウ）　　　　　　Ｂ　　　　　Ａ
　　　　ウ（エ）　　　～Ｓ∨Ｂ　　　　　ウ∨Ｉ
　　　　ウ（オ）　　　　Ｓ→Ｂ　　　　　エ含意の定義
　　　　ウ（カ）（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ）　オ∨Ｉ
　　７　　（キ）（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ）　７８イウカ∨Ｅ
１　　　　（ク）（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ）　２３６７キ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ）　Ａ
　２　　（２）　Ｓ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｓ→Ｔ　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　　　Ｔ　　　　　　　　２３ＭＰＰ
　２３　（５）　　　Ｔ∨Ｂ　　　　　　４∨Ｉ
　　　６（６）　　　　　　　Ｓ→Ｂ　　Ａ
　２　６（７）　　　　　　　　　Ｂ　　２６ＭＰＰ
　２　６（８）　　　　　　　Ｔ∨Ｂ　　７∨Ｉ
１２　　（９）　　　Ｔ∨Ｂ　　　　　　１３５６８∨Ｅ
１　　　（ア）　Ｓ→（Ｔ∨Ｂ）　　　　２９ＣＰ
従って、
（29）（30）により、
（31）
①  Ｓ→（Ｔ∨Ｂ）
②（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ）
に於いて、すなはち、
①  選挙の勝利者ならば（トランプであるか、  または、バイデンである）。
②（選挙の勝利者ならば、トランプであるか）、または、（選挙の勝利者ならば、トランプである）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（30）（31）により、
（32）
「含意の定義」が無ければ、
①  選挙の勝利者は（トランプであるか、または、バイデンである）。
②（選挙の勝利者はトランプであるか）、または、（選挙の勝利者はバイデンである）。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「証明」することは、出来ない。
従って、
（18）（27）（32）により、
（33）
例へば、
（ⅱ）四角形の内角の和が１８０度ならば、太陽は西から昇る。
といふ「命題」を、「真」にせ使むる所の、「含意の定義」は、「非常識」であると、言はざるを得ないが、その一方で、
「古典命題論理」に於いては、「含意の定義」が無ければ、
例へば、
①  選挙の勝利者は（トランプであるか、または、バイデンである）。
②（選挙の勝利者はトランプであるか）、または、（選挙の勝利者はバイデンである）。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「証明」することは、出来ない。
令和０２年１１月１０日、毛利太。