「ルカジェヴィッツの公理（１）」と「実質含意のパラドックス」。

（01）
① 　Ｐ
② ～Ｐ＆Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐである。
② Ｐでないが、Ｑである。
に於いて、
①と② は「矛盾」する。
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ
② ～Ｐ＆Ｑ
に於いて、
① が「真（本当）」であるならば、
② は「偽（ウソ）」であって、
② が「偽（ウソ）」であるといふことは、
② の「否定」、すなはち、
② ～（～Ｐ＆Ｑ） が「真（本当）」である。
といふことである。
然るに、
（03）
「・・・・・という仮定が与えられたならば、・・・・・と正しく結論することが出来る」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためにわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）とよばれている記号、
　 ├
を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ├ ～（～Ｐ＆Ｑ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　　　Ｐ　　Ａ
１　　　（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ
　３　　（３）　　～Ｐ＆Ｑ　　Ａ
　　４　（４）　　～Ｑ　　　　Ａ
　３　　（５）　　　　　Ｑ　　３＆Ｅ
　３４　（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
　　４　（７）～（～Ｐ＆Ｑ）　３６ＲＡＡ
　　　８（８）　　　　　Ｐ　　Ａ
　３　　（９）　　～Ｐ　　　　３＆Ｅ
　３　８（ア）　　～Ｐ＆Ｐ　　８９＆Ｉ
　　　８（イ）～（～Ｐ＆Ｑ）　３アＲＡＡ
１　　　（ウ）～（～Ｐ＆Ｑ）　２４７８イ∨Ｅ
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
「命題計算」の「結果」からも、
① Ｐ├ ～（～Ｐ＆Ｑ）
といふ「連式（Sequent）」は、すなはち、
① Ｐなので、（Ｐでなくて、Ｑである）といふことはない。
といふ「言ひ方」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１　　　　　　（１）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
（ⅲ）
１　　　　　　（２）　　　　　～Ｑ∨Ｐ　　　１∨Ｉ
（ⅳ）
　３　　　　　（３）　　　　　～Ｐ＆Ｑ　　　Ａ
　　４　　　　（４）　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
　３　　　　　（５）　　　　　　　　Ｑ　　　３＆Ｅ
　３４　　　　（６）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　　（７）　　　～（～Ｐ＆Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　　（８）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　　（９）　　　　　～Ｐ　　　　　３＆Ｅ
　３　８　　　（ア）　　　　　～Ｐ＆Ｐ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　　（イ）　　　～（～Ｐ＆Ｑ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　　（ウ）　　　～（～Ｐ＆Ｑ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　　（エ）　　　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　オ　（オ）　　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ　（カ）　　　　　～Ｐ＆Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ　（キ）　　　～（～Ｐ＆Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　　（ク）　　　　　　　～Ｑ　　　オキＲＡＡ
１　　　　　　（ケ）　　　　～Ｐ→～Ｑ　　　エクＣＰ
（ⅴ）
　　　　　　　（コ）　Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ）　　１ケＣＰ
　　　　　　サ（サ）　Ｐ＆　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　　サ（シ）　Ｐ　　　　　　　　　　サ＆Ｅ
　　　　　　サ（ス）　　　　～Ｐ→～Ｑ　　　コシＭＰＰ
　　　　　　サ（セ）　　　　～Ｐ　　　　　　サ＆Ｅ
　　　　　　サ（ソ）　　　　　　　～Ｑ　　　スセＭＰＰ
　　　　　　　（タ）（Ｐ＆～Ｐ）→～Ｑ　　　サソＣＰ
従って、
（07）により、
（08）
② Ｐ├ 　Ｐ
③ Ｐ├ ～Ｑ∨Ｐ
④ Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ
⑤　 ├ （Ｐ＆～Ｐ）→～Ｑ
といふ「連式（Sequents）」は、３つとも、「妥当」である。
従って、
（03）（08）により、
（09）
②  Ｐなので、Ｐである。
③  Ｐなので、Ｑでないか、または、Ｐである。
④  Ｐなので、　Ｐでない　ならば、Ｑでない。
⑤（Ｐであって、Ｐでない）ならば、Ｑでない。
といふ「言ひ方」は、４つとも、「妥当」である。
然るに、
（09）により、
（10）
③ Ｐなので、Ｑでないか、または、Ｐである。
といふ「言ひ方」は、「奇異」である。
然るに、
（09）により、
（11）
② Ｐなので、Ｐである。
といふことからするれば、
③ Ｐなので、Ｑでないか、または、Ｐである。
に於いて、
② Ｐ の「真・偽」は、「真」として「確定」であるが、
② Ｑ の「真・偽」は、「不明」である。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
③ Ｐ├ ～Ｑ∨Ｐ
③ Ｐなので、Ｑでないか、または、Ｐである。
といふことは、実際には、
③ Ｐであるが、Ｑでないか、Ｑであるかは、分からない。
といふ「意味」になる。
（13）
④ Ｐなので、Ｐでないならば、Ｑでない。
といふ「言ひ方」も、「奇異」である。
然るに、
（09）（12）（13）により、
（14）
③  Ｐであるが、Ｑでないか、Ｑであるかは、分からない。
⑤（Ｐであって、Ｐでない）ならば、Ｑでない。
といふことからすると、
④ Ｐなので、Ｐでないならば、Ｑでない。
といふ「言ひ方」は、
④「Ｐ＆～Ｐ（矛盾）」を認めるならば、「任意の命題」が、「真」になってしまふ。
が故に、
④「Ｐ＆～Ｐ（矛盾）」を認めるべきではない。
といふ「意味」に、解することが出来る。
（15）
（ⅴ）
１　　　　　（１）　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　　　（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　　１∨Ｉ
　３　　　　（３）　　～Ｐ＆Ｑ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　～Ｑ　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　　　　Ｑ　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｐ＆Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　～Ｐ　　　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　～Ｐ＆Ｐ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（～Ｐ＆Ｑ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（～Ｐ＆Ｑ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　～Ｐ＆Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（～Ｐ＆Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ＆Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　　オ（ク）　　　～～Ｐ　　　オキＲＡＡ
１　　　　オ（ケ）　　　　　Ｐ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　　Ｑ→Ｐ　　　オケＣＰ
　　　　　　（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　　１コＣＰ
従って、
（11）（12）（15）により、
（16）
⑤├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」と、
⑤ Ｐであるならば（Ｑであるか、Ｑでないかは、不明であるが、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ「言ひ方」は、「妥当」である。
然るに、
（17）
⑤ Ｐであるならば（Ｑであるか、Ｑでないかは、不明であるが、いづれにせよ、Ｐである。）
といふことは。
⑤ Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ、ことである。
従って、
（16）（17）により、
（18）
⑤├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」は、
⑤ Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ「意味」になる。
然るに、
（19）
例えば以下の二つの条件文は全て「古典論理」においては真であるが、我々は真であるとは考えない。
「１＋１＝２」ならば「雪は白い」
「１＋１＝５」ならば「雪は白い」
この我々が普段使用する「ならば」と「古典論理」における実質含意（質料含意ともいふ）の乖離が「実質含意のパラドクス」である。
（ウィキペディア改）
然るに、
（18）（19）により、
（20）
⑤├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
⑤├ Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐである。）
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理（１）」からすると、
⑤「雪が白い」ならば（「１＋１＝２」であらうと、「１＋１＝５」であらうと、いづれにせよ、「雪は白い」。）
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（21）
　ルカジェヴィッツによる公理
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）｛Ｐ→（Ｑ→Ｒ）｝→｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）｝
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
（これはフレーゲが提出した６つの公理をより簡単にしたものである。）
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、1７３頁）
といふ「ルカジェヴィッツによる公理」は、「古典論理」である。
従って、
（20）（21）により、
（22）
⑤├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
⑤├ Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐである。）
である所の、「古典論理の公理」からしても、
⑤「雪が白い」ならば（「１＋１＝２」であらうと、「１＋１＝５」であらうと、いづれにせよ、「雪は白い」。）
といふ「命題」は「真」になるため、
「１＋１＝２」ならば「雪は白い」
「１＋１＝５」ならば「雪は白い」
といふ「二つの条件文」が「同時に、真」であることは、「パラドックス」であるとは、言へない。
然るに、
（23）
１　　　　　（１）　　　　　～Ｐ　　　Ａ
１　　　　　（２）　　～Ｑ∨～Ｐ　　　１∨Ｉ
　３　　　　（３）　　～～Ｐ＆Ｑ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　　～Ｑ　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　　　　　Ｑ　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）　～（～～Ｐ＆Ｑ）　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　～Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　　～～Ｐ　　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　　～～Ｐ＆～Ｐ　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）　～（～～Ｐ＆Ｑ）　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）　～（～～Ｐ＆Ｑ）　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　　～～Ｐ　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　　～～Ｐ＆Ｑ　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）　～（～～Ｐ＆Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（～～Ｐ＆Ｑ）　ウカ＆Ｉ
１　　　　オ（ク）　　　　～～～Ｐ　　オキＲＡＡ
１　　　　オ（ケ）　　　　　　～Ｐ　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　　　Ｑ→～Ｐ　　オケＣ～Ｐ
　　　　　　（サ）～Ｐ→（Ｑ→～Ｐ）　１コＣ～Ｐ
従って、
（22）（23）により、
（24）
⑤├ 　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
⑤├ 　Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐである。）
が、「公理（恒真式）」である以上、
⑥├ ～Ｐ→（Ｑ→～Ｐ）
⑥├ 　Ｐでないならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐでない。）
も、「公理（恒真式）」である。
従って、
（22）（24）により、
（25）
⑤「雪が白い　　」ならば（「１＋１＝２」であらうと、「１＋１＝５」であらうと、いづれにせよ、「雪は白い　　」。）
⑥「雪が白くない」ならば（「１＋１＝２」であらうと、「１＋１＝５」であらうと、いづれにせよ、「雪は白くない」。）
といふ「仮言命題」は、２つとも「真」であるため、
「１＋１＝５」ならば「雪は白い」
「１＋１＝２」ならば「雪は白い」
「１＋１＝５」ならば「雪は黒い」
といふ「三つの条件文」が「同時に、真」であることは、「パラドックス」であるとは、言へない。
令和０２年１１月０５日、毛利太。