「ルカジェヴィッツの公理（１）」の「証明（計算）」について。

（01）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候であっても、外出する。
に於いて、
①と② は「矛盾」する。
従って、
（01）により、
（02）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候であっても、外出する。
に於いて、
① が「真（本当）」であるならば、
② は「偽（ウソ）」である。
然るに、
（03）
② 悪天候であっても、外出する。
③ 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
② が「偽」である。
といふことは、
③ が「真」である。
といふことである。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「番号」を付け直すと、
① 悪天候なので、家に居る。
② 悪天候ならば、家に居る。
に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐなので、Ｑである。
② Ｐならば、Ｑである。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（06）
「・・・・・という仮定が与えられたならば、・・・・・と正しく結論することが出来る」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためにわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）とよばれている記号、
　 ├
を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① Ｐ├ Ｑ（Ｐなので、Ｑである。）
② Ｐ→ Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→ Ｑ
だけでなく、
① Ｐ├（Ｑ→Ｐ）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
に於いても、
① ならば、② である。
然るに、
（09）
１　　　　　（１）　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　　　（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　　１∨Ｉ
　３　　　　（３）　　～Ｐ＆Ｑ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　～Ｑ　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　　　　Ｑ　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｐ＆Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　～Ｐ　　　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　～Ｐ＆Ｐ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（～Ｐ＆Ｑ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（～Ｐ＆Ｑ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　～Ｐ＆Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（～Ｐ＆Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ＆Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　　オ（ク）　　　～～Ｐ　　　オキＲＡＡ
１　　　　オ（ケ）　　　　　Ｐ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　　Ｑ→Ｐ　　　オケＣＰ
　　　　　　（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　　１コＣＰ
然るに、
（10）
証明の各行の左側に、仮定を数字であげる方法は、伝統的な方法にくらべて遥かに明瞭であるとわたしには思われる。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、序ⅲ）
従って、
（09）（10）により、
（11）
１　　　　　（１）　　　　　Ｐ　　　　　Ａ
といふことは、
Ｐ　　　　　（１）　　　　　Ｐ　　　　　Ａ
といふことであって、
Ｐは「真」。（１）　　　　　Ｐは「真」。Ａ
といふことである。
従って、
（09）（11）により、
（12）
「計算（09）」は、
Ｐ　　　　　（１）　　　　　Ｐ　　　Ａ
Ｐ　　　　　（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　　１∨Ｉ
　３　　　　（３）　　～Ｐ＆Ｑ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　～Ｑ　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　　　　Ｑ　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｐ＆Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　～Ｐ　　　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　～Ｐ＆Ｐ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（～Ｐ＆Ｑ）　　３アＲＡＡ
Ｐ　　　　　（ウ）～（～Ｐ＆Ｑ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　～Ｐ＆Ｑ　　　エオ＆Ｉ
Ｐ　　　エオ（キ）～（～Ｐ＆Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ＆Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
Ｐ　　　　オ（ク）　　　～～Ｐ　　　オキＲＡＡ
Ｐ　　　　オ（ケ）　　　　　Ｐ　　　クＤＮ
Ｐ　　　　　（コ）　　　Ｑ→Ｐ　　　オケＣＰ
　　　　　　（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　　１コＣＰ
といふ「計算」と、「同じ」である。
然るに、
（13）
① Ｐ　　　　　（コ）　　　Ｑ→Ｐ　　　オケＣＰ
②　 　　　　　（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　　１コＣＰ
といふ「２行」は、
① Ｐ├（Ｑ→Ｐ）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
① ならば、② である。
といふことを、「意味」してゐる。
（08）（13）により、
（14）
① Ｐ├（Ｑ→Ｐ）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、E.J.レモン先生も、認めてゐる。
然るに、
（15）
系Ⅰ：命題計算のすべての定理はトートロジー的である。
系Ⅱ：命題計算は無矛盾である。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１０２頁）
従って、
（10）～（15）により、
（16）
① Ｐ　　　　　（コ）　　　Ｑ→Ｐ　　　オケＣＰ
②　 　　　　　（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　　１コＣＰ
に於いて、
③　　 Ｐ は「真」であり、
④ Ｑ→Ｐ も「真」である。
然るに、
（17）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
③　　 Ｐ は「真」であり、
④ Ｑ→Ｐ も「真」である。
といふことは、
② が、「真」である。
といふ、ことである。
従って、
（17）により、
（18）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
② 真→（Ｑ→真）
であるものの、この場合は、「真理表（Truth table）」により、
② Ｐ→（真→Ｐ） であっても、
② Ｐ→（偽→Ｐ） であっても、両方とも、「真」である。
従って、
（09）（18）により、
（19）
Ｔ は「真（True）」であるが、
Ｑ は「真・偽不明」であるとして、「計算（09）」は、
Ｔ　　　　　（１）　　　　　Ｔ　　　Ａ
Ｔ　　　　　（２）　　～Ｑ∨Ｔ　　　１∨Ｉ
　３　　　　（３）　　～Ｔ＆Ｑ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　～Ｑ　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　　　　Ｑ　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｔ＆Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　Ｔ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　～Ｔ　　　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　～Ｔ＆Ｔ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（～Ｔ＆Ｑ）　　３アＲＡＡ
Ｔ　　　　　（ウ）～（～Ｔ＆Ｑ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　～Ｔ　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　～Ｔ＆Ｑ　　　エオ＆Ｉ
Ｔ　　　エオ（キ）～（～Ｔ＆Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｔ＆Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
Ｔ　　　　オ（ク）　　　～～Ｔ　　　オキＲＡＡ
Ｔ　　　　オ（ケ）　　　　　Ｔ　　　クＤＮ
Ｔ　　　　　（コ）　　　Ｑ→Ｔ　　　オケＣＴ
　　　　　　（サ）Ｔ→（Ｑ→Ｔ）　　１コＣＴ
といふ風に、書くことが、出来る。
然るに、
（20）
　ルカジェヴィッツによる公理
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）｛Ｐ→（Ｑ→Ｒ）｝→｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）｝
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
（これはフレーゲが提出した６つの公理をより簡単にしたものである。）
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、1７３頁）
従って、
（19）（20）により、
（21）
（１）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
といふ「ルカジェヴィッツによる公理（１）」は、昨日も書いたものの、
（１）Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ「意味」になる。
然るに、
（22）
Ｆ は「偽（False）」であるが、
Ｑ は「真・偽 不明」 であるとして、「計算（09）」が、
Ｆ　　　　　（１）　　　　　Ｆ　　　Ａ
Ｆ　　　　　（２）　　～Ｑ∨Ｆ　　　１∨Ｉ
　３　　　　（３）　　～Ｆ＆Ｑ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　～Ｑ　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　　　　Ｑ　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｆ＆Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　Ｆ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　～Ｆ　　　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　～Ｆ＆Ｆ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（～Ｆ＆Ｑ）　　３アＲＡＡ
Ｆ　　　　　（ウ）～（～Ｆ＆Ｑ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　～Ｆ　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　～Ｆ＆Ｑ　　　エオ＆Ｉ
Ｆ　　　エオ（キ）～（～Ｆ＆Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆ＆Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
Ｆ　　　　オ（ク）　　　～～Ｆ　　　オキＲＡＡ
Ｆ　　　　オ（ケ）　　　　　Ｆ　　　クＤＮ
Ｆ　　　　　（コ）　　　Ｑ→Ｆ　　　オケＣＰ
　　　　　　（サ）Ｆ→（Ｑ→Ｆ）　　１コＣＰ
といふ風に、書くことが、出来る。
といふ風に、「仮定」する。
然るに、
（23）
Ｆ は「偽（False）」であるが、
Ｑ は「真・偽 不明」であるとしても、
（１）Ｆ→（Ｑ→Ｆ）
といふ「式」は、「真」である。
然るに、
（24）
Ｆ　　　　　（１）　　　　　Ｆ　　　Ａ
に於ける、「Ａ（仮定の規則）」は、「偽なる命題」の「仮定」を許さない。
従って、
（22）（23）（24）により、
（25）
「計算（22）」は、「マチガイ」であって、次に示す、
「計算（26）」が、「正しい」。
（26）
～Ｆ　　　　　（１）　　　　　　～Ｆ　　　Ａ
～Ｆ　　　　　（２）　　　～Ｑ∨～Ｆ　　　１∨Ｉ
　　３　　　　（３）　　　～～Ｆ＆Ｑ　　　Ａ
　　　４　　　（４）　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　３　　　　（５）　　　　　　　Ｑ　　　３＆Ｅ
　　３４　　　（６）　　　～Ｑ＆　Ｑ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　　（７）　～（～～Ｆ＆Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　　８　　（８）　　　　　　～Ｆ　　　Ａ
　　３　　　　（９）　　　～～Ｆ　　　　　３＆Ｅ
　　３　８　　（ア）　　　～～Ｆ＆～Ｆ　　８９＆Ｉ
　　　　８　　（イ）　～（～～Ｆ＆Ｑ）　　３アＲＡＡ
～Ｆ　　　　　（ウ）　～（～～Ｆ＆Ｑ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　　エ　（エ）　　　～～Ｆ　　　　　Ａ
　　　　　　オ（オ）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　　エオ（カ）　　　～～Ｆ＆Ｑ　　　エオ＆Ｉ
～Ｆ　　　エオ（キ）　～（～～Ｆ＆Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（～～Ｆ＆Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
～Ｆ　　　　オ（ク）　　　　～～～Ｆ　　　オキＲＡＡ
～Ｆ　　　　オ（ケ）　　　　　　～Ｆ　　　クＤＮ
～Ｆ　　　　　（コ）　　　　Ｑ→～Ｆ　　　オケＣＰ
　　　　　　　（サ）～Ｆ→（Ｑ→～Ｆ）　　１コＣＰ
従って、
（22）（26）により、
（27）
　　　　　　　（サ）　Ｆ→（Ｑ→　Ｆ）　　１コＣＰ
といふ「結論」は、「マチガイ」であって、
　　　　　　　（サ）～Ｆ→（Ｑ→～Ｆ）　　１コＣＰ
といふ「結論」こそが、「正しい」。
従って、
（09）（19）（27）により、
（28）
１　　　　　（１）　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　　　（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　　１∨Ｉ
　３　　　　（３）　　～Ｐ＆Ｑ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　～Ｑ　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　　　　Ｑ　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｐ＆Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　～Ｐ　　　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　～Ｐ＆Ｐ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（～Ｐ＆Ｑ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（～Ｐ＆Ｑ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　～Ｐ＆Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（～Ｐ＆Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ＆Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　　オ（ク）　　　～～Ｐ　　　オキＲＡＡ
１　　　　オ（ケ）　　　　　Ｐ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　　Ｑ→Ｐ　　　オケＣＰ
　　　　　　（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　　１コＣＰ
といふ「計算」が「証明」してゐるのは、
　　　　　　（サ）真→（Ｑ→真） といふ「恒真式」であって、
　　　　　　（〃）偽→（Ｑ→偽） といふ「恒真式」ではない。
令和０２年１１月０６日、毛利太。