（01）
（ⅰ）
今両虎共闘、其勢不俱生＝
今両虎共闘、其勢不（俱生）⇒
今両虎共闘、其勢（俱生）不＝
今、両虎共に闘はば、其の勢ひ、倶には生き不＝
今、二頭の虎（藺相如と廉頗）が戦うとすれば、成り行きとして、両方が、死なずに済むということは無い。
（史記、刎頚の交はり）
（02）
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→～（生ｘ＆生ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛（虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ）→～（生ａ＆生ｙ）｝ １ＵＥ
１ （３） （虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）→～（生ａ＆生ｂ） ２ＵＥ
４（４） （虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ） Ａ
１４（５） ～（生ａ＆生ｂ） ３４ＭＰＰ
１４（６） ～生ａ∨～生ｂ ５ド・モルガンの法則
１４（７） 生ａ→～生ｂ ６含意の定義
１４（８） ～生ｂ∨～生ａ ６交換法則
１４（９） 生ｂ→～生ａ ８含意の定義
１４（ア） （生ａ→～生ｂ）＆（生ｂ→～生ａ） ７９＆Ｉ
１ （イ） （虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）→（生ａ→～生ｂ）＆（生ｂ→～生ａ） ４アＣＰ
１ （ウ） ∀ｙ｛（虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ）→（生ａ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ａ）｝ イＵＩ
１ （エ）∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝ ウＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛（虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ）→（生ａ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ａ）｝ １ＵＥ
１ （３） （虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）→（生ａ→～生ｂ）＆（生ｂ→～生ａ） ２ＵＥ
４ （４） （虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ） Ａ
１４ （５） （生ａ→～生ｂ）＆（生ｂ→～生ａ） ３４ＭＰＰ
１４ （６） （生ａ→～生ｂ） ５＆Ｅ
７（７） （生ａ＆ 生ｂ） Ａ
７（８） 生ａ ７＆Ｅ
１４７（９） ～生ｂ ６８ＭＰＰ
７（ア） 生ｂ ７＆Ｅ
１４７（イ） ～生ｂ＆生ｂ ９ア＆Ｉ
１４ （ウ） ～（生ａ＆生ｂ） ７イＲＡＡ
１ （エ） （虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）→～（生ａ＆生ｂ） ４ウＣＰ
１ （オ） ∀ｙ｛（虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ）→～（生ａ＆生ｙ）｝ エＵＩ
１ （カ）∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→～（生ｘ＆生ｙ）｝ オＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
② ∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→～（生ｘ＆生ｙ）｝。
③ ∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝。
に於いて、すなはち、
② すべてのｘとｙについて｛ｘとｙが虎であって、ｘとｙが闘へば、（ｘが生きて、ｙも生きる）といふことはない｝。
③ すべてのｘとｙについて｛ｘとｙが虎であって、ｘとｙが闘へば、（ｘが生きるならば、ｙは死に）、（ｙが生きるならば、ｘは死ぬ）｝。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 今両虎共闘、其勢不俱生。
② ∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→～（生ｘ＆生ｙ）｝。
③ ∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
１ （１） 生ｘ→～生ｙ Ａ
２ （２） 生ｙ Ａ
３ （３） 生ｘ Ａ
１ ３ （４） ～生ｙ １３ＭＰＰ
１２３ （５） 生ｙ＆～生ｙ ２４＆Ｉ
１２ （６）～生ｘ ３５ＲＡＡ
１ （７） 生ｙ→～生ｘ ２６Ｃ生ｘ
８ （８） 生ｘ Ａ
９（９） 生ｙ Ａ
１ ９（ア） ～生ｘ ７９ＭＰＰ
１ ８９（イ） 生ｘ＆～生ｘ ８ア＆Ｉ
１ ８ （ウ）～生ｙ ９イＲＡＡ
１ （エ） 生ｘ→～生ｙ ８ウＣ生ｘ
従って、
（05）により、
（06）
③ 生ｘ→～生ｙ
④ 生ｙ→～生ｘ
に於いて、
③＝④ は「対偶」である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① 今両虎共闘、其勢不俱生。
② ∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→～（生ｘ＆生ｙ）｝。
③ ∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝。
④ ∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→（生ｘ→～生ｙ）｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅳ）
１ （１）～∀ｘ∀ｙ｛ （虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→ （ 生ｘ→～生ｙ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∀ｙ｛ （虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→ （ 生ｘ→～生ｙ）｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∃ｙ～｛ （虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→ （ 生ｘ→～生ｙ）｝ ２量化子の関係
４ （４） ∃ｙ～｛ （虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ）→ （ 生ａ→～生ｙ）｝ Ａ
５（５） ～｛ （虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ）→ （ 生ａ→～生ｙ）｝ Ａ
５（６） ～｛～（虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）∨ （ 生ａ→～生ｂ）｝ ５含意の定義
５（７） ～｛～（虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）∨ （～生ａ∨～生ｂ）｝ ６含意の定義
５（８） （虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）＆～（～生ａ∨～生ｂ） ７ド・モルガンの法則
５（９） （虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）＆ （ 生ａ＆ 生ｂ） ８ド・モルガンの法則
５（ア） ∃ｙ｛ （虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ）＆ （ 生ａ＆ 生ｙ）｝ ９ＥＩ
４ （イ） ∃ｙ｛ （虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ）＆ （ 生ａ＆ 生ｙ）｝ ４５アＥＥ
４ （ウ） ∃ｘ∃ｙ｛ （虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）＆ （ 生ｘ＆ 生ｙ）｝ イＥＩ
１ （エ） ∃ｘ∃ｙ｛ （虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）＆ （ 生ｘ＆ 生ｙ）｝ １４ウＥＥ
（ⅴ）
１ （１） ∃ｘ∃ｙ｛ （虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）＆ （ 生ｘ＆ 生ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛ （虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ）＆ （ 生ａ＆ 生ｙ）｝ Ａ
３（３） （虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）＆ （ 生ａ＆ 生ｂ） Ａ
３（４） （虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）＆～（～生ａ∨～生ｂ） ３ド・モルガンの法則
３（５） ～｛～（虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）∨ （～生ａ∨～生ｂ）｝ ４ド・モルガンの法則
３（６） ～｛～（虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）∨ （ 生ａ→～生ｂ）｝ ５含意の定義
３（７） ～｛ （虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ）→ （ 生ａ→～生ｙ）｝ ６含意の定義
３（８） ∃ｙ～｛ （虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ）→ （ 生ａ→～生ｙ）｝ ７ＥＩ
２ （９） ∃ｙ～｛ （虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ）→ （ 生ａ→～生ｙ）｝ ２３８ＥＥ
２ （ア）∃ｘ∃ｙ～｛ （虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→ （ 生ｘ→～生ｙ）｝ ９ＥＩ
１ （イ）∃ｘ∃ｙ～｛ （虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→ （ 生ｘ→～生ｙ）｝ １２アＥＥ
１ （ウ）∃ｘ～∀ｙ｛ （虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→ （ 生ｘ→～生ｙ）｝ イ量化子の関係
１ （エ）～∀ｘ∀ｙ｛ （虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→ （ 生ｘ→～生ｙ）｝ ウ量化子の関係
従って、
（08）により、
（09）
④ ～∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→（生ｘ→～生ｙ）｝。
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）＆（生ｘ＆ 生ｙ）｝。
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（09）により、
（10）
④ ～～∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→（生ｘ→～生ｙ）｝。
⑤ ～∃ｘ∃ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）＆（生ｘ＆ 生ｙ）｝。
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（10）により、
（11）
「二重否定」により、
④ ∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→（生ｘ→～生ｙ）｝。
⑤ ～∃ｘ∃ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）＆（生ｘ＆ 生ｙ）｝。
⑥｛あるｘが虎であって、あるｙも虎であって、ｘとｙが闘って、ｘは生き、ｙも生きる｝ということはない。
に於いて、
④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（01）（07）（11）により、
（12）
① 今両虎共闘、其勢不俱生。
② 今、両虎共に闘はば、其の勢ひ、倶には生きず。
③ ∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→～（生ｘ＆生ｙ）｝。
④ ∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝。
⑤ ∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→（生ｘ→～生ｙ）｝。
⑥ ～∃ｘ∃ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）＆（生ｘ＆ 生ｙ）｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
然るに、
（12）により、
（13）
「文型」からすれば、
① 今両虎共闘、其勢不俱生。
② ∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→～（生ｘ＆生ｙ）｝。
③ すべてのｘとｙについて｛ｘとｙが虎であって、ｘとｙが闘へば、（ｘは生きて、ｙも生きる）といふことはない｝。
に於いて、
①≒②＝③ である。
然るに、
（14）
相如聞之、毎朝常称病、不欲与争列。
出望見、輒引車避匿。其舍人皆以為恥。
相如曰、夫以秦之威、相如廷叱之、辱其群臣。
相如雖駑、独畏廉将軍哉。
顧念強秦不敢加兵於趙者、徒以吾両人在也。
今両虎共闘、其勢不倶生。
吾所以為此者、先国家之急、而後私讐也。
といふ「漢文の全体」を、「述語論理式」に「翻訳する（置き換へる）」ことは、「（恐らくは）無理である」。
然るに、
（15）
問題は、自然言語文をマシン上で走らせる形のプログラムに自動変換できるかということであり、それを容易にするのに適切なプログラミング言語の選択である。ところで、論理式をプログラムとして見て行こうという立場に立つと、意味を論理的に把えようという立場と、手続き的に把えようという立場が融合してくるわけである。
（岩波講座 情報科学―７ 論理と意味、長尾真・淵一博、1983年、１６７・１６８頁）
然るに、
（16）
第五世代コンピュータ（だいごせだいコンピュータ）計画とは、1982年から1992年にかけて日本の通商産業省（現経済産業省）所管の新世代コンピュータ技術開発機構（ICOT）が進めた国家プロジェクトで、いわゆる人工知能コンピュータの開発を目的に総額540億円の国家予算が投入された（ウィキペディア）。
従って、
（01）（14）（15）（16）により、
（17）
「昭和５８年当時の、人工知能の研究者」は、例へば、
相如はこれを聞いて、朝廷に出仕すべきことがあるたびにいつも病気と偽って（欠席し、）席次を争うことを望まなかった。また外出して遠くに（廉頗の姿を）見かけると、そのたびごとに車を引き返して避け隠れた。相如の近臣たちは皆この態度を恥であると思った。（相如は家来たちに）こう言った。「そもそも秦王ほどの威力にもかかわらず、この藺相如は、秦王を（秦国の）朝廷で叱責し、その群臣をはずかしめてきたのだ。私は、いかにも愚鈍であるが、どうして廉将軍を恐れることがあろうか。（いや、恐れることはない。）思うに、強国である秦が、あえて趙に戦争を仕掛けてこないのは、我ら二人（の武勇と知恵）がそろっているからだろう。今もし両虎（廉頗と藺相如）が闘うことがあれば、その結果として、どちらも生き残るわけにはいかない。私がこのように（廉頗将軍を避けて逃げ隠れ）している訳は、国家の危急を第一とし、個人的な恨みを後まわしにしているからだ」（kintorekokugo）。
といふ「日本語」を、「コンピューター上で走らせる形のプログラム」によって、
「∀ｘ∀ｙ｛（虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ）→～（生ｘ＆生ｙ）｝」のやうな「述語論理式」に、「自動的に翻訳」しようとしていた。
といふ、ことになる。
然るに、
（18）
第五世代コンピュータは、当初の期待に反して多くの課題を抱え、その目標を完全に達成することができませんでした。このため、第五世代コンピュータは失敗だったと評価されることが少なくありません（＞＞ＪＩＴＥＲＡ）。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
第五世代コンピュータ（日本発）に関しても、
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
といふ、ことになる。
（20）
「もし二頭の虎が闘へば、少なくとも、一方の虎は死ぬ。」といふ「日本語」ならば、ともかく、例へば、「相如はこれを聞いて、朝廷に出仕すべきことがあるたびにいつも病気と偽って欠席し、席次を争うことを望まなかった。」といふ「日本語」を、「述語論理」に「翻訳」することは、「無理である」に、「決まってゐる」。
令和６年１１月２１日、毛利太。
2024年11月20日水曜日
2024年11月19日火曜日
「日本は東京が首都である」の「述語論理」と「生成ＡＩ」。
（01）
１ （１）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝ Ａ
１ （２） 日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） １ＵＥ
３ （３） 日本ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） ２３ＭＰＰ
５ （５） 東京ｂ＆首都ｂａ＆∀ｚ（首都ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 東京ｂ ５＆Ｅ
５ （６） ∀ｚ（首都ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （７） 首都ｃａ→ｂ＝ｃ ６ＵＥ
８ （８）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ） Ａ
９ （９） 大阪ｃ＆～東京ｃ Ａ
９ （ア） 大阪ｃ ９＆Ｅ
９ （イ） ～東京ｃ ９＆Ｅ
ウ（ウ） ｂ＝ｃ Ａ
９ウ（エ） ～東京ｂ イウ＝Ｅ
５ ９ウ（オ） ～東京ｂ＆東京ｂ ６エ＆Ｉ
５ ９ （カ） ｂ≠ｃ ウオＲＡＡ
５ ９ （キ） ～首都ｃａ ７カＭＴＴ
５ ９ （ク） 大阪ｃ＆～首都ｃａ アキ＆Ｉ
５８ （ケ） 大阪ｃ＆～首都ｃａ ８９クＥＥ
１３ ８ （コ） 大阪ｃ＆～首都ｃａ ４５ケＥＥ
１３ ８ （サ） ∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ） コＥＩ
１ ８ （シ） 日本ａ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ） ３サＣＰ
１ ８ （ス） ∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝ シＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝。
という『推論』、すなわち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｙは（東京であって、ｙはｘの首都であって、すべてのｚについて（ｚがｘの首都であるならば、ｙはｚである）｝。然るに、
（ⅱ）あるｚは（大阪であって、東京ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｚは（大阪であって、ｘの首都ではない）｝。
という『推論』、すなわち、
（ⅰ）日本は、東京が首都である。然るに、
（ⅱ）大阪は、東京ではない。 従って、
（ⅲ）日本は、大阪は首都ではない。
という『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（03）
「コパイロット（マイクロソフトの生成ＡＩ）」に対して、
（ⅰ）日本は、東京が首都である。然るに、
（ⅱ）大阪は、東京ではない。 従って、
（ⅲ）日本は、大阪は首都ではない。
という「推論」は「妥当」ですか？
という「質問」をすると、
然るに、
（04）
（ⅰ）「東京」は「日本の首都」ではあっても、「日本」ではないし、
（ⅱ）「東京」は「日本の首都」ではあっても、「アメリカの首都」ではない。
従って、
（03）（04）により、
（05）
「コパイロット（マイクロソフトの生成ＡＩ）」が言う所の、
・ Ｐ：ｘは日本である。
・ Ｑ：ｘは東京である。
・ Ｒ：ｘは首都である。
という「論理的構造」は、「全く、論理的」ではない。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
「コパイロット（マイクロソフトの生成ＡＩ）」は、
（ⅰ）日本は、東京が首都である。然るに、
（ⅱ）大阪は、東京ではない。 従って、
（ⅲ）日本は、大阪は首都ではない。
という「日本語」を、
（ⅰ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝。
のような「述語論理式」に「翻訳」することは、「出来ない」。
という、ことになる。
然るに、
（07）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
従って、
（06）（07）により、
（08）
「生成ＡＩの研究者」は、
（ⅰ）日本は、東京が首都である。然るに、
（ⅱ）大阪は、東京ではない。 従って、
（ⅲ）日本は、大阪は首都ではない。
という「日本語」を、
（ⅰ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝。
という「述語論理式」に「翻訳」することに対して、「（無理であるとして、）見切りをつけた」。
という、ことになる。
令和６年１１月１９日、毛利太。
１ （１）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝ Ａ
１ （２） 日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） １ＵＥ
３ （３） 日本ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） ２３ＭＰＰ
５ （５） 東京ｂ＆首都ｂａ＆∀ｚ（首都ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 東京ｂ ５＆Ｅ
５ （６） ∀ｚ（首都ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （７） 首都ｃａ→ｂ＝ｃ ６ＵＥ
８ （８）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ） Ａ
９ （９） 大阪ｃ＆～東京ｃ Ａ
９ （ア） 大阪ｃ ９＆Ｅ
９ （イ） ～東京ｃ ９＆Ｅ
ウ（ウ） ｂ＝ｃ Ａ
９ウ（エ） ～東京ｂ イウ＝Ｅ
５ ９ウ（オ） ～東京ｂ＆東京ｂ ６エ＆Ｉ
５ ９ （カ） ｂ≠ｃ ウオＲＡＡ
５ ９ （キ） ～首都ｃａ ７カＭＴＴ
５ ９ （ク） 大阪ｃ＆～首都ｃａ アキ＆Ｉ
５８ （ケ） 大阪ｃ＆～首都ｃａ ８９クＥＥ
１３ ８ （コ） 大阪ｃ＆～首都ｃａ ４５ケＥＥ
１３ ８ （サ） ∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ） コＥＩ
１ ８ （シ） 日本ａ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ） ３サＣＰ
１ ８ （ス） ∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝ シＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝。
という『推論』、すなわち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｙは（東京であって、ｙはｘの首都であって、すべてのｚについて（ｚがｘの首都であるならば、ｙはｚである）｝。然るに、
（ⅱ）あるｚは（大阪であって、東京ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｚは（大阪であって、ｘの首都ではない）｝。
という『推論』、すなわち、
（ⅰ）日本は、東京が首都である。然るに、
（ⅱ）大阪は、東京ではない。 従って、
（ⅲ）日本は、大阪は首都ではない。
という『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（03）
「コパイロット（マイクロソフトの生成ＡＩ）」に対して、
（ⅰ）日本は、東京が首都である。然るに、
（ⅱ）大阪は、東京ではない。 従って、
（ⅲ）日本は、大阪は首都ではない。
という「推論」は「妥当」ですか？
という「質問」をすると、
（04）
（ⅰ）「東京」は「日本の首都」ではあっても、「日本」ではないし、
（ⅱ）「東京」は「日本の首都」ではあっても、「アメリカの首都」ではない。
従って、
（03）（04）により、
（05）
「コパイロット（マイクロソフトの生成ＡＩ）」が言う所の、
・ Ｐ：ｘは日本である。
・ Ｑ：ｘは東京である。
・ Ｒ：ｘは首都である。
という「論理的構造」は、「全く、論理的」ではない。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
「コパイロット（マイクロソフトの生成ＡＩ）」は、
（ⅰ）日本は、東京が首都である。然るに、
（ⅱ）大阪は、東京ではない。 従って、
（ⅲ）日本は、大阪は首都ではない。
という「日本語」を、
（ⅰ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝。
のような「述語論理式」に「翻訳」することは、「出来ない」。
という、ことになる。
然るに、
（07）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
従って、
（06）（07）により、
（08）
「生成ＡＩの研究者」は、
（ⅰ）日本は、東京が首都である。然るに、
（ⅱ）大阪は、東京ではない。 従って、
（ⅲ）日本は、大阪は首都ではない。
という「日本語」を、
（ⅰ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝。
という「述語論理式」に「翻訳」することに対して、「（無理であるとして、）見切りをつけた」。
という、ことになる。
令和６年１１月１９日、毛利太。
2024年11月17日日曜日
「鼻は象が長い」の「述語論理」と「生成ＡＩ（コパイロット）の無能ぶり」。
（01）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の顔、兎の顔、馬の顔｝
であるならば、
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（02）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふことは、要するに、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 鼻は象が長い。
⑪ 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
に於いて、
①＝⑪ である。
従って、
（03）により、
（04）
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くない。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｘがｙの鼻であって、ｙが象でない）ならば、ｘは長くない｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（05）
① 兎は象ではないが、兎には鼻がある。
② ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。
③ すべてのｙについて｛（ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく）、あるｘは（ｙの鼻である）｝。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
① 鼻の長い兎はいない。
② ～∃ｙ｛兎ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝。
③｛ｙが兎であって、あるｘが（ｙの鼻であって、ｘは長い）｝というそのようなｙは存在しない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
（ⅰ）鼻は象が長い。 然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はいない。
という『推論』は、「述語論理」であれば、
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ） ～∃ｙ｛ 兎ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝。
という『推論』に、「等しい」。
然るに、
（08）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ３＆Ｅ
５ （５） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆ ∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
５ （６） （兎ｂ→～象ｂ）＆ ∃ｘ（鼻ｘｂ） ５ＵＥ
５ （７） 兎ｂ→～象ｂ ６＆Ｅ
８ （８） 兎ｂ Ａ
５８ （９） ～象ｂ ７８ＭＰＰ
５ （ア） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ６＆Ｅ
イ （イ） 鼻ａｂ Ａ
５８イ （ウ） 鼻ａｂ＆～象ｂ ９イ＆Ｉ
３５８イ （エ） ～長ａ ４ウＭＰＰ
３５８イ （オ） 鼻ａｂ＆～長ａ イエ＆Ｉ
３５ イ （カ） 兎ｂ→鼻ａｂ＆～長ａ ８オＣＰ
キ （キ） ∃ｙ｛兎ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ Ａ
ク （ク） 兎ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ＆長ｘ） Ａ
ク （ケ） 兎ｂ ク＆Ｅ
３５ イ ク （コ） 鼻ａｂ＆～長ａ カクＭＰＰ
３５ イ ク （サ） ～長ａ コ＆Ｅ
ク （シ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆長ｘ） ク＆Ｅ
ス（ス） 鼻ａｂ＆長ａ Ａ
ス（セ） 長ａ ス＆Ｅ
３５ イ クス（ソ） ～長ａ＆長ａ サセ＆Ｉ
３５ イ ク （タ） ～長ａ＆長ａ シスソＥＥ
３５ イキ （チ） ～長ａ＆長ａ キクタＥＥ
３５ キ （ツ） ～長ａ＆長ａ アイチＥＥ
１ ５ キ （テ） ～長ａ＆長ａ ２３ツＥＥ
１ ５ （ト） ～∃ｙ｛兎ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ キテＲＡＡ
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆ ∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ） ～∃ｙ｛ 兎ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝。
という『推論』は「妥当」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
（ⅰ）鼻は象が長い。 然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はいない。
という『（日本語による）推論』は、「（述語論理としても）妥当」である。
然るに、
（11）
「コパイロット（マイクロソフトの生成ＡＩ）」に対して、
（ⅰ）鼻は象が長い。 然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はいない。
という「推論」は、妥当ですか？ という「質問」をすると、
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
「コパイロット（マイクロソフトの生成ＡＩ）」には、
（ⅰ）鼻は象が長い。 然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はいない。
という「日本語」を、
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆ ∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ） ～∃ｙ｛ 兎ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝。
という「述語論理」に「翻訳する能力」が、「完全に、欠落」しているが、
「画像は、コパイロット」が生成した。
従って、
（13）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
という事に関しては、「さも有りなむ」であると、「言わざるを得ない」。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
少なくとも、「述語論理」に関する「能力」は、私（人間）の方が、「コパイロット（生成ＡＩ）」よりも、上である。
令和６年１１月１７日、毛利太。
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の顔、兎の顔、馬の顔｝
であるならば、
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（02）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふことは、要するに、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 鼻は象が長い。
⑪ 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
に於いて、
①＝⑪ である。
従って、
（03）により、
（04）
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くない。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｘがｙの鼻であって、ｙが象でない）ならば、ｘは長くない｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（05）
① 兎は象ではないが、兎には鼻がある。
② ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。
③ すべてのｙについて｛（ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく）、あるｘは（ｙの鼻である）｝。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
① 鼻の長い兎はいない。
② ～∃ｙ｛兎ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝。
③｛ｙが兎であって、あるｘが（ｙの鼻であって、ｘは長い）｝というそのようなｙは存在しない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
（ⅰ）鼻は象が長い。 然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はいない。
という『推論』は、「述語論理」であれば、
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ） ～∃ｙ｛ 兎ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝。
という『推論』に、「等しい」。
然るに、
（08）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ３＆Ｅ
５ （５） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆ ∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
５ （６） （兎ｂ→～象ｂ）＆ ∃ｘ（鼻ｘｂ） ５ＵＥ
５ （７） 兎ｂ→～象ｂ ６＆Ｅ
８ （８） 兎ｂ Ａ
５８ （９） ～象ｂ ７８ＭＰＰ
５ （ア） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ６＆Ｅ
イ （イ） 鼻ａｂ Ａ
５８イ （ウ） 鼻ａｂ＆～象ｂ ９イ＆Ｉ
３５８イ （エ） ～長ａ ４ウＭＰＰ
３５８イ （オ） 鼻ａｂ＆～長ａ イエ＆Ｉ
３５ イ （カ） 兎ｂ→鼻ａｂ＆～長ａ ８オＣＰ
キ （キ） ∃ｙ｛兎ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ Ａ
ク （ク） 兎ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ＆長ｘ） Ａ
ク （ケ） 兎ｂ ク＆Ｅ
３５ イ ク （コ） 鼻ａｂ＆～長ａ カクＭＰＰ
３５ イ ク （サ） ～長ａ コ＆Ｅ
ク （シ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆長ｘ） ク＆Ｅ
ス（ス） 鼻ａｂ＆長ａ Ａ
ス（セ） 長ａ ス＆Ｅ
３５ イ クス（ソ） ～長ａ＆長ａ サセ＆Ｉ
３５ イ ク （タ） ～長ａ＆長ａ シスソＥＥ
３５ イキ （チ） ～長ａ＆長ａ キクタＥＥ
３５ キ （ツ） ～長ａ＆長ａ アイチＥＥ
１ ５ キ （テ） ～長ａ＆長ａ ２３ツＥＥ
１ ５ （ト） ～∃ｙ｛兎ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ キテＲＡＡ
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆ ∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ） ～∃ｙ｛ 兎ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝。
という『推論』は「妥当」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
（ⅰ）鼻は象が長い。 然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はいない。
という『（日本語による）推論』は、「（述語論理としても）妥当」である。
然るに、
（11）
「コパイロット（マイクロソフトの生成ＡＩ）」に対して、
（ⅰ）鼻は象が長い。 然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はいない。
という「推論」は、妥当ですか？ という「質問」をすると、
（09）（10）（11）により、
（12）
「コパイロット（マイクロソフトの生成ＡＩ）」には、
（ⅰ）鼻は象が長い。 然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はいない。
という「日本語」を、
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆ ∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ） ～∃ｙ｛ 兎ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ＆長ｘ）｝。
という「述語論理」に「翻訳する能力」が、「完全に、欠落」しているが、
従って、
（13）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
という事に関しては、「さも有りなむ」であると、「言わざるを得ない」。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
少なくとも、「述語論理」に関する「能力」は、私（人間）の方が、「コパイロット（生成ＡＩ）」よりも、上である。
令和６年１１月１７日、毛利太。
2024年11月15日金曜日
「（三上章の）象は鼻が長い」の「述語論理」と「主語と主題」と「古典文法」。
（01）
1,304,803 回視聴 2021/03/23 ゆる言語学ラジオ全部（順番通り）
「象は鼻が長い」の主語、分かりますか？象？鼻？
実は「日本語学者も文法的にどうなってるのか分からない」のです。
100年にわたって日本語学者たちが繰り広げてきた戦いの歴史を、お楽しみください。
然るに、
（02）
① 象鼻長（ザウビチャウ）。
という「漢文（音読）」は、
② 象の鼻は長い（象之鼻長）。
という「意味」でなければ、
③ 象は鼻は長い（象其鼻長）。
という「意味」である。
従って、
（03）
① 象鼻長（象は鼻長し）。
という「漢文（訓読）」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
という「述語論理式」に、「相当」する。
然るに、
（04）
そこでたとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理構造が明示されていなから、いわば非論理的な文である、という人もある。しかしこの文の論理構造をはっきり文章にあらわして、「すべてのｘについて、もしｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、ｙは長い」といえばいいかもしれない。しかし日常の言語によるコミニュケーションでは、たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている（田允茂、現代論理学入門、1962年、２９頁）。
従って、
（04）により、
（05）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
という「述語論理式」は、「論理的（Logical）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
① 象鼻長（象は鼻は長い）。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② は、「論理的（Logical）」であるが故に、
① も、「論理的（Logical）」である。
然るに、
（07）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆動物ｘ｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）＆動物ｘ｝ Ａ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆動物ａ １ＵＥ
２ （４） 兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ）＆動物ａ ２ＵＥ
５ （５） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆動物ａ ３７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ９＆Ｅ
イ （イ） 鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
イ （ウ） 長ｂ イ＆Ｅ
２ ６ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ）＆動物ａ ４８ＭＰＰ
２ ６ （オ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） エ＆Ｅ
カ （カ） 鼻ｂａ＆～長ｂ Ａ
カ （キ） ～長ｂ カ＆Ｅ
イカ （ク） 長ｂ＆～長ｂ ウカ＆Ｉ
１ ６ カ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ アイクＥＥ
１２ ６ （コ） 長ｂ＆～長ｂ オカケＥＥ
１２５ （サ） 長ｂ＆～長ｂ ５６コＥＥ
１２ （シ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ５サＲＡＡ
ス（ス） 象ａ＆兎ａ Ａ
ス（セ） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） スＥＩ
１２ ス（ソ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）＆∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） シセ＆Ｉ
１２ （タ） ～（象ａ＆兎ａ） スソＲＡＡ
１２ （チ） ～象ａ∨～兎ａ タ、ド・モルガンの法則
１２ （ツ） 象ａ→～兎ａ チ含意の定義
１２ （テ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ツＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆動物ｘ｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）＆動物ｘ｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
という『推論』、すなわち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く ）、ｘは動物である｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長くはなく）、ｘは動物である｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、ｘは兎ではない｝。
という『推論』、すなわち、
（ⅰ）象は鼻の（が）長い動物である。 然るに、
（ⅱ）兎は鼻の（が）長くない動物である。従って、
（ⅲ）象は兎ではない。
という『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（09）
生成ＡＩ（コパイロット）」によると、
従って、
（08）（09）により、
（10）
① 象は鼻の（が）長い動物である。
② Elephants are animals whose noses are long.
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆動物ｘ｝.
④ For all x｛if x is an elephant, then y is（x's nose and long）& x is an animal｝.
⑤ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、ｘは動物である｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤ である。
ｃｆ.
①「私の国・鼻の長い動物」の「の」は「連体助詞（格助詞）」であって、
①「我が国・鼻が長い動物」の「が」も「連体助詞（格助詞）」である。
従って、
（10）により、
（11）
① 象は鼻の（が）長い動物である。⇔
② Elephants are animals whose noses are long.⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆動物ｘ｝.⇔
④ For all x｛if x is an elephant, then y is（x's nose and long）& x is an animal｝.
に於いて、
②「Elephants」が「主語（Subject）」であるならば、
① 「象は」も「主語（Subject）」であるし、
②「Elephants」が「主題（Topic）」 であるならば、
① 「象は」も「主題（Topic）」 である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① 象は鼻の（が）長い動物である。⇔
② Elephants are animals whose noses are long.⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆動物ｘ｝.⇔
④ For all x｛if x is an elephant, then y is（x's nose and long）& x is an animal｝.
に於ける、
①「象は（Elephants）」が、「主題（Topic）」 であるとしても、
①「象は（Elephants）」が、「主語（Subject）」ではない。
ということには、ならない。
従って、
（12）により、
（13）
よく「日本語には主語が２つある」と言われます。簡単に言ってしまうと、主語を表す形には「は」と「が」あるということです。こう言うと反論を述べる人が必ず出ると思います。日本語では「は」は主題といい、「が」を主格というので、主語はないのです（倉本幸彦、なぜ、日本人は日本語を説明でいないのか、2017年、３８頁）。
ということには、ならない。
然るに、
（14）
Ｄ＝｛象、兎、馬｝
であるならば、
① 象は動物であり、
② 兎も動物であり、
③ 馬も動物である。
という「理由」により、
① 象が動物である。
とは、言えない。
然るに、
（15）
Ｄ＝｛象、兎、馬｝
ではなく、
Ｄ＝｛象、机、本｝
であるならば、
① 象は動物であるが、
② 机は動物ではなく、
③ 本も動物ではない。
という「理由」により、
① 象が動物である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
① 象が動物である。
ということは、
Ｄ＝｛象、机、本｝
という場合がそうであるように、
① 象は動物である（が、象以外（机と本）は動物ではない）。
ということに、他ならない。
従って、
（16）により、
（17）
① 象は鼻が長い。
ということは、
① 象は鼻は長く（鼻以外（である耳）は長くない）。
ということに、他ならない。
然るに、
（18）
― 当初から、繰り返し、書いているものの、―
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（象ａ＆兎ａ） サＵＥ
ス （ス） 象ａ Ａ
セ （セ） 兎ａ Ａ
スセ （ソ） 象ａ＆兎ａ スセ＆Ｉ
１２ スセ （タ） ～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ） シソ＆Ｉ
１２ ス （チ） ～兎ａ セタＲＡＡ
１２ （ツ） 象ａ→～兎ａ スチＣＰ
テ（テ） 兎ａ Ａ
テ（ト） ～～兎ａ テＤＮ
１２ テ（ナ） ～象ａ ツトＭＴＴ
１２ （ニ） 兎ａ→～象ａ テナＣＰ
１２ （ヌ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
という「推論（計算）」は、「妥当」である。
従って、
（18）により、
（19）
「記号」で書くと、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
という『推論』は「妥当」である。
従って、
（19）により、
（20）
「日本語」で書くと、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。
という『推論』は「妥当」である。
従って、
（17）（20）により、
（21）
「（普通の）日本語」で書くと、
（ⅰ）象は鼻が長い。 然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
という『推論』は「妥当」である。
然るに、
（22）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ → 動物ｘ｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛動物ｘ→～植物ｘ｝ Ａ
１ （３） 象ａ → 動物ａ １ＵＥ
２ （４） 動物ａ→～植物ａ ２ＵＥ
５（５） 象ａ Ａ
１ ５（６） 動物ａ ３５ＭＰＰ
１２５（７） ～植物ａ ４６ＭＰＰ
１２ （８） 象ａ→ ～植物ａ ２７ＣＰ
１２ （９）∀ｘ｛象ｘ→ ～動物ｘ｝ ８ＵＩ
従って、
（22）により、
（23）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ → 動物ｘ｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛動物ｘ→～植物ｘ｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛象ｘ →～植物ｘ｝。
という『推論』、従って、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象 であるならば、ｘは動物である｝。 然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが動物であるならば、ｘは植物ではない｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが象 であるならば、ｘは植物ではない｝。
という『推論』、従って、
（ⅰ）象は、動物である。 然るに、
（ⅱ）動物は植物ではない。従って、
（ⅲ）象は、植物ではない。
という『推論』は、「妥当」である。
従って、
（21）（22）（23）により、
（24）
① 象は鼻が長い。
② 象は動物である。
に於いて、
① 象は と、
② 象は は、両方とも、
① ∀ｘ｛象ｘ→
② ∀ｘ｛象ｘ→
であって、従って、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
であって、従って、
① For all x｛if x is an elephant,
② For all x｛if x is an elephant,
である。
然るに、
（25）
② 象は動物である。
① 象は鼻が長い。
に対して、
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
であるということは、
② 動物ｘ が「述語」であるならば、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） も「述語」である。
ということを、「意味」している。
従って、
（25）により、
（26）
二重主語文とは、大きな枠組みとして主語と述語が構成されている文の中に、さらに主語と述語の構成が含まれている文を指します。たとえば「象は鼻が長い」という文は、大きな枠組みとして「象は」が主語、「鼻が長い」が述語ですが、「鼻が長い」の部分は「鼻が」と「長い」という主語と述語の構成になっています。
という「（橋本進吉の）直観」は、「論理的」に、「正しい」し、
② Elephants are animals whose noses are long.
という「英語」にも、「主語（Elephants、noses）」は、「２つ有る」。
然るに、
（27）
主語や目的語や補語、これだけは自分で考えるクセを付けて下さい。学校の先生がこれまた、考えなくとも、どんどん入れて訳してくれるんです。古文はよく、省かれているんですね。誰が、誰を、誰に、みたいなものが、日本語はよく省略されているんですけど、先生がどんどん補って下さる。で皆さんは何でその主語になるのかよくわかんないまま、またノートに、訳のところに、一生懸命、書いて覚えて、テストを受けてる。さっきも言いました。自力です。「自力で補足するです。」入試のときそばで誰も助けてくれないからですね。で実は、これが皆さんを古文嫌いにさせている、つまり、せっかく、訳ができた。単語を覚えて、Ａさんがしてることを、Ｂさんがしたと勘違いして、変え～んな、文章にしちゃったことないですかあ。ワタシは模擬試験の時にですねえ、よく、ストーリーは、ある程度わかったのに、「やったひととやられた人を勘違い」して、もう途中で「大混乱」してですね。七行目ぐらいまで頑張って読んだのに、もう「まんなか辺」で、プチッと切れて、もうええいいや、ワケわかんなくなっちゃたといって、「放り出し」ことがよくありますけども、これ（主語・目的語・補語）を自分で意識すると、「こうやって考えながらやるんだな」って意識すると、かなり読みやすくなるんです（東進ハイスクール 荻野文子先生 - YouTube）。
従って、
（28）
「三上章先生は、日本語に、主語は無い」と言うものの、「（古文という）日本語」は、「主語・目的語・補語」を「意識せず」には、「理解」出来ない。
令和６年１１月１６日、毛利太。
1,304,803 回視聴 2021/03/23 ゆる言語学ラジオ全部（順番通り）
「象は鼻が長い」の主語、分かりますか？象？鼻？
実は「日本語学者も文法的にどうなってるのか分からない」のです。
100年にわたって日本語学者たちが繰り広げてきた戦いの歴史を、お楽しみください。
然るに、
（02）
① 象鼻長（ザウビチャウ）。
という「漢文（音読）」は、
② 象の鼻は長い（象之鼻長）。
という「意味」でなければ、
③ 象は鼻は長い（象其鼻長）。
という「意味」である。
従って、
（03）
① 象鼻長（象は鼻長し）。
という「漢文（訓読）」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
という「述語論理式」に、「相当」する。
然るに、
（04）
そこでたとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理構造が明示されていなから、いわば非論理的な文である、という人もある。しかしこの文の論理構造をはっきり文章にあらわして、「すべてのｘについて、もしｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、ｙは長い」といえばいいかもしれない。しかし日常の言語によるコミニュケーションでは、たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている（田允茂、現代論理学入門、1962年、２９頁）。
従って、
（04）により、
（05）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
という「述語論理式」は、「論理的（Logical）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
① 象鼻長（象は鼻は長い）。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② は、「論理的（Logical）」であるが故に、
① も、「論理的（Logical）」である。
然るに、
（07）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆動物ｘ｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）＆動物ｘ｝ Ａ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆動物ａ １ＵＥ
２ （４） 兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ）＆動物ａ ２ＵＥ
５ （５） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆動物ａ ３７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ９＆Ｅ
イ （イ） 鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
イ （ウ） 長ｂ イ＆Ｅ
２ ６ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ）＆動物ａ ４８ＭＰＰ
２ ６ （オ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） エ＆Ｅ
カ （カ） 鼻ｂａ＆～長ｂ Ａ
カ （キ） ～長ｂ カ＆Ｅ
イカ （ク） 長ｂ＆～長ｂ ウカ＆Ｉ
１ ６ カ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ アイクＥＥ
１２ ６ （コ） 長ｂ＆～長ｂ オカケＥＥ
１２５ （サ） 長ｂ＆～長ｂ ５６コＥＥ
１２ （シ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ５サＲＡＡ
ス（ス） 象ａ＆兎ａ Ａ
ス（セ） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） スＥＩ
１２ ス（ソ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）＆∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） シセ＆Ｉ
１２ （タ） ～（象ａ＆兎ａ） スソＲＡＡ
１２ （チ） ～象ａ∨～兎ａ タ、ド・モルガンの法則
１２ （ツ） 象ａ→～兎ａ チ含意の定義
１２ （テ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ツＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆動物ｘ｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）＆動物ｘ｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
という『推論』、すなわち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く ）、ｘは動物である｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長くはなく）、ｘは動物である｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、ｘは兎ではない｝。
という『推論』、すなわち、
（ⅰ）象は鼻の（が）長い動物である。 然るに、
（ⅱ）兎は鼻の（が）長くない動物である。従って、
（ⅲ）象は兎ではない。
という『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（09）
生成ＡＩ（コパイロット）」によると、
（08）（09）により、
（10）
① 象は鼻の（が）長い動物である。
② Elephants are animals whose noses are long.
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆動物ｘ｝.
④ For all x｛if x is an elephant, then y is（x's nose and long）& x is an animal｝.
⑤ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、ｘは動物である｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤ である。
ｃｆ.
①「私の国・鼻の長い動物」の「の」は「連体助詞（格助詞）」であって、
①「我が国・鼻が長い動物」の「が」も「連体助詞（格助詞）」である。
従って、
（10）により、
（11）
① 象は鼻の（が）長い動物である。⇔
② Elephants are animals whose noses are long.⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆動物ｘ｝.⇔
④ For all x｛if x is an elephant, then y is（x's nose and long）& x is an animal｝.
に於いて、
②「Elephants」が「主語（Subject）」であるならば、
① 「象は」も「主語（Subject）」であるし、
②「Elephants」が「主題（Topic）」 であるならば、
① 「象は」も「主題（Topic）」 である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① 象は鼻の（が）長い動物である。⇔
② Elephants are animals whose noses are long.⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆動物ｘ｝.⇔
④ For all x｛if x is an elephant, then y is（x's nose and long）& x is an animal｝.
に於ける、
①「象は（Elephants）」が、「主題（Topic）」 であるとしても、
①「象は（Elephants）」が、「主語（Subject）」ではない。
ということには、ならない。
従って、
（12）により、
（13）
よく「日本語には主語が２つある」と言われます。簡単に言ってしまうと、主語を表す形には「は」と「が」あるということです。こう言うと反論を述べる人が必ず出ると思います。日本語では「は」は主題といい、「が」を主格というので、主語はないのです（倉本幸彦、なぜ、日本人は日本語を説明でいないのか、2017年、３８頁）。
ということには、ならない。
然るに、
（14）
Ｄ＝｛象、兎、馬｝
であるならば、
① 象は動物であり、
② 兎も動物であり、
③ 馬も動物である。
という「理由」により、
① 象が動物である。
とは、言えない。
然るに、
（15）
Ｄ＝｛象、兎、馬｝
ではなく、
Ｄ＝｛象、机、本｝
であるならば、
① 象は動物であるが、
② 机は動物ではなく、
③ 本も動物ではない。
という「理由」により、
① 象が動物である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
① 象が動物である。
ということは、
Ｄ＝｛象、机、本｝
という場合がそうであるように、
① 象は動物である（が、象以外（机と本）は動物ではない）。
ということに、他ならない。
従って、
（16）により、
（17）
① 象は鼻が長い。
ということは、
① 象は鼻は長く（鼻以外（である耳）は長くない）。
ということに、他ならない。
然るに、
（18）
― 当初から、繰り返し、書いているものの、―
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（象ａ＆兎ａ） サＵＥ
ス （ス） 象ａ Ａ
セ （セ） 兎ａ Ａ
スセ （ソ） 象ａ＆兎ａ スセ＆Ｉ
１２ スセ （タ） ～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ） シソ＆Ｉ
１２ ス （チ） ～兎ａ セタＲＡＡ
１２ （ツ） 象ａ→～兎ａ スチＣＰ
テ（テ） 兎ａ Ａ
テ（ト） ～～兎ａ テＤＮ
１２ テ（ナ） ～象ａ ツトＭＴＴ
１２ （ニ） 兎ａ→～象ａ テナＣＰ
１２ （ヌ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
という「推論（計算）」は、「妥当」である。
従って、
（18）により、
（19）
「記号」で書くと、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
という『推論』は「妥当」である。
従って、
（19）により、
（20）
「日本語」で書くと、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。
という『推論』は「妥当」である。
従って、
（17）（20）により、
（21）
「（普通の）日本語」で書くと、
（ⅰ）象は鼻が長い。 然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
という『推論』は「妥当」である。
然るに、
（22）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ → 動物ｘ｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛動物ｘ→～植物ｘ｝ Ａ
１ （３） 象ａ → 動物ａ １ＵＥ
２ （４） 動物ａ→～植物ａ ２ＵＥ
５（５） 象ａ Ａ
１ ５（６） 動物ａ ３５ＭＰＰ
１２５（７） ～植物ａ ４６ＭＰＰ
１２ （８） 象ａ→ ～植物ａ ２７ＣＰ
１２ （９）∀ｘ｛象ｘ→ ～動物ｘ｝ ８ＵＩ
従って、
（22）により、
（23）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ → 動物ｘ｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛動物ｘ→～植物ｘ｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛象ｘ →～植物ｘ｝。
という『推論』、従って、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象 であるならば、ｘは動物である｝。 然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが動物であるならば、ｘは植物ではない｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが象 であるならば、ｘは植物ではない｝。
という『推論』、従って、
（ⅰ）象は、動物である。 然るに、
（ⅱ）動物は植物ではない。従って、
（ⅲ）象は、植物ではない。
という『推論』は、「妥当」である。
従って、
（21）（22）（23）により、
（24）
① 象は鼻が長い。
② 象は動物である。
に於いて、
① 象は と、
② 象は は、両方とも、
① ∀ｘ｛象ｘ→
② ∀ｘ｛象ｘ→
であって、従って、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
であって、従って、
① For all x｛if x is an elephant,
② For all x｛if x is an elephant,
である。
然るに、
（25）
② 象は動物である。
① 象は鼻が長い。
に対して、
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
であるということは、
② 動物ｘ が「述語」であるならば、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） も「述語」である。
ということを、「意味」している。
従って、
（25）により、
（26）
二重主語文とは、大きな枠組みとして主語と述語が構成されている文の中に、さらに主語と述語の構成が含まれている文を指します。たとえば「象は鼻が長い」という文は、大きな枠組みとして「象は」が主語、「鼻が長い」が述語ですが、「鼻が長い」の部分は「鼻が」と「長い」という主語と述語の構成になっています。
という「（橋本進吉の）直観」は、「論理的」に、「正しい」し、
② Elephants are animals whose noses are long.
という「英語」にも、「主語（Elephants、noses）」は、「２つ有る」。
然るに、
（27）
主語や目的語や補語、これだけは自分で考えるクセを付けて下さい。学校の先生がこれまた、考えなくとも、どんどん入れて訳してくれるんです。古文はよく、省かれているんですね。誰が、誰を、誰に、みたいなものが、日本語はよく省略されているんですけど、先生がどんどん補って下さる。で皆さんは何でその主語になるのかよくわかんないまま、またノートに、訳のところに、一生懸命、書いて覚えて、テストを受けてる。さっきも言いました。自力です。「自力で補足するです。」入試のときそばで誰も助けてくれないからですね。で実は、これが皆さんを古文嫌いにさせている、つまり、せっかく、訳ができた。単語を覚えて、Ａさんがしてることを、Ｂさんがしたと勘違いして、変え～んな、文章にしちゃったことないですかあ。ワタシは模擬試験の時にですねえ、よく、ストーリーは、ある程度わかったのに、「やったひととやられた人を勘違い」して、もう途中で「大混乱」してですね。七行目ぐらいまで頑張って読んだのに、もう「まんなか辺」で、プチッと切れて、もうええいいや、ワケわかんなくなっちゃたといって、「放り出し」ことがよくありますけども、これ（主語・目的語・補語）を自分で意識すると、「こうやって考えながらやるんだな」って意識すると、かなり読みやすくなるんです（東進ハイスクール 荻野文子先生 - YouTube）。
従って、
（28）
「三上章先生は、日本語に、主語は無い」と言うものの、「（古文という）日本語」は、「主語・目的語・補語」を「意識せず」には、「理解」出来ない。
令和６年１１月１６日、毛利太。
2024年11月14日木曜日
「恒真式（トートロジー）」の「定義（Ⅱ）」。
―（20）以下に、「昨日（令和６年１１月１３日）の記事」の「続き」を書きます。―
然るに、
（17）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ １２ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １２ＣＰ
然るに、
（18）
（ⅰ）
１（１） ～｛ （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝ Ａ
１（２） ～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ｝ 含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
（８）～～｛ （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝ １７ＲＡＡ
（９） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ８ＤＮ
（ⅱ）
１（１） ～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ Ａ
１（２） ～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ∨Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
１（７） ～Ｐ ６＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ４７＆Ｉ
（９）～～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ １８ＲＡＡ
（ア） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ９ＤＮ
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
である所の、
①「連言除去」
②「選言導入」
を含めて、「恒真式（トートロジー）」とは、
「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」である。
然るに、
（20）
① ～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝
② ～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝
ではなく、
③ ～｛（Ｐ∨Ｑ）→Ｐ｝
④ ～｛Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）｝
の場合は、
（ⅲ）
１（１）～｛ （Ｐ∨Ｑ）→ Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ∨Ｑ）∨ Ｐ｝ 含意の定義
１（３） （Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ∨Ｑ ３＆Ｅ
からは、
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
とはならないし、
（ⅳ）
１（１）～｛ Ｐ→ （Ｐ＆Ｑ）｝ Ａ
１（２）～｛～Ｐ∨ （Ｐ＆Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） Ｐ＆～（Ｐ＆Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ＆Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ∨～Ｑ ５ド・モルガンの法則
からは、
１（７） ～Ｐ ６＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ４７＆Ｉ
とはならない。
従って、
（19）（20）により、
（21）
① ～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝
② ～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝
の場合、すなわち、
①「連言除去」
②「選言導入」
の場合は、「否定をすると、矛盾が生じる」ため、「背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」であるが、
③ ～｛（Ｐ∨Ｑ）→Ｐ｝
④ ～｛Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）｝
の場合は、「否定しても、矛盾が生じない」ため、「背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」ではない。
従って、
（21）により、
（22）
③ ～｛（Ｐ∨Ｑ）→Ｐ｝
④ ～｛Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）｝
は、「偽（矛盾）」ではないため、
③（Ｐ∨Ｑ）→Ｐ
④ Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）
は、「真」ではない。
従って、
（22）により、
（23）
③（Ｐ∨Ｑ）├ Ｐ
④ Ｐ├ （Ｐ＆Ｑ）├ Ｑ
という「推論」、すなわち、
③ Ｐまたは、Ｑである。従って、Ｐである。
④ Ｐである。従って、ＰであってＱである。従って、Ｑである。
という「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（23）により、
（24）
例えば、
Ｐ＝男性である。
Ｑ＝女性である。
として、
③ 男性か、または、女性である。従って、男性である。
④ 男性である。従って、女性である。
という「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（25）
話は変わるものの、
１９４８年、ゲーデルは、アメリカ市民権を取得する。このとき、保証人に名を連ねたのがアインシュタインである。当時、アメリカ市民権を取得するには、米国憲法に関する面接試験が課せられていた。そのため、ゲーデルは、合衆国憲法を一から勉強しはじめた。面接当日、ゲーデルは「合衆国憲法が独裁国家に合法的に移行する可能性を秘めていることを発見した」とアインシュタインたちに語り、彼らを当惑させた。そして、移民審査をする判事から「あなたは、独裁国家（ナチス・ドイツに併合されたオーストリア）から来られたのですね。我がアメリカ合衆国ではそのようなことは起きませんから、安心してください」と言われた際、ゲーデルは、即座に「それどころか私は、いかにしてそのようなことが起こりうるのかを証明できるのです」と答えた。そのため、その場に付き添っていたアインシュタインたちが慌てて場を取り繕うという一幕があった（ウィキペディア）。
然るに、
（26）
連立方程式を解かせると間違った答えを出したり、定理の証明を求めると奇妙な間違い計算を続けて、最後に「証明ができました」と言ったりする。使い物にならない。数学だけではない。形式論理の適用でも間違えることがある。例えば、逆命題と対偶命題を混同し、誤った結論を出すことがある。こうした問題はＣｈａｔＧＰＴだけでなく、そのもとになって大規模言語モデルＬＬＭに共通する問題だ（野口悠紀雄、生成ＡＩ革命、2024年、２９９頁）。
従って、
（25）（26）により、
（27）
（ⅰ）「（超一流の）論理学者」は、「アメリカ合衆国憲法の瑕疵を、証明出来る」が、
（ⅱ）「（論理が苦手）なＡＩ」は、「アメリカ合衆国憲法の瑕疵を、証明出来ない」。
という風に、思われる。
令和６年１１月１４日、毛利太。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ １２ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １２ＣＰ
然るに、
（18）
（ⅰ）
１（１） ～｛ （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝ Ａ
１（２） ～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ｝ 含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
（８）～～｛ （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝ １７ＲＡＡ
（９） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ８ＤＮ
（ⅱ）
１（１） ～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ Ａ
１（２） ～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ∨Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
１（７） ～Ｐ ６＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ４７＆Ｉ
（９）～～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ １８ＲＡＡ
（ア） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ９ＤＮ
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
である所の、
①「連言除去」
②「選言導入」
を含めて、「恒真式（トートロジー）」とは、
「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」である。
然るに、
（20）
① ～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝
② ～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝
ではなく、
③ ～｛（Ｐ∨Ｑ）→Ｐ｝
④ ～｛Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）｝
の場合は、
（ⅲ）
１（１）～｛ （Ｐ∨Ｑ）→ Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ∨Ｑ）∨ Ｐ｝ 含意の定義
１（３） （Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ∨Ｑ ３＆Ｅ
からは、
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
とはならないし、
（ⅳ）
１（１）～｛ Ｐ→ （Ｐ＆Ｑ）｝ Ａ
１（２）～｛～Ｐ∨ （Ｐ＆Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） Ｐ＆～（Ｐ＆Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ＆Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ∨～Ｑ ５ド・モルガンの法則
からは、
１（７） ～Ｐ ６＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ４７＆Ｉ
とはならない。
従って、
（19）（20）により、
（21）
① ～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝
② ～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝
の場合、すなわち、
①「連言除去」
②「選言導入」
の場合は、「否定をすると、矛盾が生じる」ため、「背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」であるが、
③ ～｛（Ｐ∨Ｑ）→Ｐ｝
④ ～｛Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）｝
の場合は、「否定しても、矛盾が生じない」ため、「背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」ではない。
従って、
（21）により、
（22）
③ ～｛（Ｐ∨Ｑ）→Ｐ｝
④ ～｛Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）｝
は、「偽（矛盾）」ではないため、
③（Ｐ∨Ｑ）→Ｐ
④ Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）
は、「真」ではない。
従って、
（22）により、
（23）
③（Ｐ∨Ｑ）├ Ｐ
④ Ｐ├ （Ｐ＆Ｑ）├ Ｑ
という「推論」、すなわち、
③ Ｐまたは、Ｑである。従って、Ｐである。
④ Ｐである。従って、ＰであってＱである。従って、Ｑである。
という「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（23）により、
（24）
例えば、
Ｐ＝男性である。
Ｑ＝女性である。
として、
③ 男性か、または、女性である。従って、男性である。
④ 男性である。従って、女性である。
という「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（25）
話は変わるものの、
１９４８年、ゲーデルは、アメリカ市民権を取得する。このとき、保証人に名を連ねたのがアインシュタインである。当時、アメリカ市民権を取得するには、米国憲法に関する面接試験が課せられていた。そのため、ゲーデルは、合衆国憲法を一から勉強しはじめた。面接当日、ゲーデルは「合衆国憲法が独裁国家に合法的に移行する可能性を秘めていることを発見した」とアインシュタインたちに語り、彼らを当惑させた。そして、移民審査をする判事から「あなたは、独裁国家（ナチス・ドイツに併合されたオーストリア）から来られたのですね。我がアメリカ合衆国ではそのようなことは起きませんから、安心してください」と言われた際、ゲーデルは、即座に「それどころか私は、いかにしてそのようなことが起こりうるのかを証明できるのです」と答えた。そのため、その場に付き添っていたアインシュタインたちが慌てて場を取り繕うという一幕があった（ウィキペディア）。
然るに、
（26）
連立方程式を解かせると間違った答えを出したり、定理の証明を求めると奇妙な間違い計算を続けて、最後に「証明ができました」と言ったりする。使い物にならない。数学だけではない。形式論理の適用でも間違えることがある。例えば、逆命題と対偶命題を混同し、誤った結論を出すことがある。こうした問題はＣｈａｔＧＰＴだけでなく、そのもとになって大規模言語モデルＬＬＭに共通する問題だ（野口悠紀雄、生成ＡＩ革命、2024年、２９９頁）。
従って、
（25）（26）により、
（27）
（ⅰ）「（超一流の）論理学者」は、「アメリカ合衆国憲法の瑕疵を、証明出来る」が、
（ⅱ）「（論理が苦手）なＡＩ」は、「アメリカ合衆国憲法の瑕疵を、証明出来ない」。
という風に、思われる。
令和６年１１月１４日、毛利太。
2024年11月13日水曜日
「恒真式（トートロジー）」の「定義」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（02）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨Ｑ オＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
Ｑ＝Ｐ であるとして、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなわち、
①「同一律（トートロジー）」
②「矛盾律（トートロジー）」
③「排中律（トートロジー）」
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ６１＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
従って、
（06）により、
（07）
①├ Ｐ→ Ｐ
②├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
③├ ～Ｐ∨ Ｐ
という「連式」に対する、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
（05）により、
（08）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であるため、それらの「否定」である所の、
① ～｛ Ｐ→ Ｐ｝
② ～｛～（Ｐ＆～Ｐ）｝
③ ～｛ ～Ｐ∨ Ｐ｝
に於いても、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
（ⅱ）
１（１） ～｛～（Ｐ＆～Ｐ）｝ Ａ
１（２） Ｐ＆～Ｐ １ＤＮ
（３）～～｛～（Ｐ＆～Ｐ）｝ １２ＲＡＡ（背理法）
（４） ～（Ｐ＆～Ｐ） ３ＤＮ
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である所の「恒真式（トートロジー）」は、
（ａ）「否定」をすると、
（ｂ）「矛盾」が生じるが故に、
（ｃ）「背理法（ＲＡＡ）」により、
（ｄ）「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
（ⅱ）
１ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４）Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
２（４）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ １３ＣＰ
（５） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １４ＣＰ
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「連式（sequents）」は「妥当」である。
従って、
（12）により、
（13）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「連式」に対する、
① Ｑ
② Ｐ→Ｑ
③（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数が１である所の、連式の結論」であって、
② は、「仮定の数が２である所の、連式の結論」であって、
③ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」であって、
④ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」である。
然るに、
（14）
（ⅲ）
１（１） ～｛ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｑ）｝ Ａ
１（２） ～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（ Ｐ→Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） ～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）｝ ２含意の定義
１（４） Ｐ→Ｑ＆～（～Ｐ∨Ｑ） ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｐ→Ｑ ４＆Ｅ
１（６） ～（～Ｐ∨Ｑ） ４＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｑ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｐ ７＆Ｅ
１（９） Ｑ ５８ＭＰＰ
１（ア） ～Ｑ ７＆Ｅ
１（イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
（ウ）～～｛ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｑ）｝ １イＲＡＡ
（エ） （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｑ） ウＤＮ
（ⅳ）
１（１） ～｛ Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→ Ｑ）｝ Ａ
１（２） ～｛～Ｐ∨（ （Ｐ→Ｑ）→ Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） ～｛～Ｐ∨（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｑ）｝ ２含意の定義
１（４） Ｐ＆～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｑ） ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｑ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｐ→Ｑ ７＆Ｅ
１（９） Ｑ ５８ＭＰＰ
１（ア） ～Ｑ ７＆Ｅ
１（イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
（ウ）～～｛ Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→ Ｑ）｝ １イＲＡＡ
（エ） Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→ Ｑ） ウＤＮ
従って、
（13）（14）により、
（15）
③（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
に於いて、
③ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」であって、
④ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」である。
ということは、
③ は、「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる。」
④ は、「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる。」
ということを、「意味」している。
従って、
（10）（15）により、
（16）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
④ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
⑤ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「恒真式（トートロジー）」は、すべて、
②「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ １２ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １２ＣＰ
然るに、
（18）
（ⅰ）
１（１） ～｛ （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝ Ａ
１（２） ～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ｝ 含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
（８）～～｛ （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝ １７ＲＡＡ
（９） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ８ＤＮ
（ⅱ）
１（１） ～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ Ａ
１（２） ～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ∨Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
１（７） ～Ｐ ６＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ４７＆Ｉ
（９）～～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ １８ＲＡＡ
（ア） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ９ＤＮ
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
である所の、
①「連言除去」
②「選言導入」
を含めて、「恒真式（トートロジー）」とは、
②「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」である。
令和６年１１月１３日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（02）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨Ｑ オＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
Ｑ＝Ｐ であるとして、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなわち、
①「同一律（トートロジー）」
②「矛盾律（トートロジー）」
③「排中律（トートロジー）」
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ６１＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
従って、
（06）により、
（07）
①├ Ｐ→ Ｐ
②├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
③├ ～Ｐ∨ Ｐ
という「連式」に対する、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
（05）により、
（08）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であるため、それらの「否定」である所の、
① ～｛ Ｐ→ Ｐ｝
② ～｛～（Ｐ＆～Ｐ）｝
③ ～｛ ～Ｐ∨ Ｐ｝
に於いても、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
（ⅱ）
１（１） ～｛～（Ｐ＆～Ｐ）｝ Ａ
１（２） Ｐ＆～Ｐ １ＤＮ
（３）～～｛～（Ｐ＆～Ｐ）｝ １２ＲＡＡ（背理法）
（４） ～（Ｐ＆～Ｐ） ３ＤＮ
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である所の「恒真式（トートロジー）」は、
（ａ）「否定」をすると、
（ｂ）「矛盾」が生じるが故に、
（ｃ）「背理法（ＲＡＡ）」により、
（ｄ）「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
（ⅱ）
１ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４）Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
２（４）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ １３ＣＰ
（５） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １４ＣＰ
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「連式（sequents）」は「妥当」である。
従って、
（12）により、
（13）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「連式」に対する、
① Ｑ
② Ｐ→Ｑ
③（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数が１である所の、連式の結論」であって、
② は、「仮定の数が２である所の、連式の結論」であって、
③ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」であって、
④ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」である。
然るに、
（14）
（ⅲ）
１（１） ～｛ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｑ）｝ Ａ
１（２） ～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（ Ｐ→Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） ～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）｝ ２含意の定義
１（４） Ｐ→Ｑ＆～（～Ｐ∨Ｑ） ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｐ→Ｑ ４＆Ｅ
１（６） ～（～Ｐ∨Ｑ） ４＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｑ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｐ ７＆Ｅ
１（９） Ｑ ５８ＭＰＰ
１（ア） ～Ｑ ７＆Ｅ
１（イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
（ウ）～～｛ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｑ）｝ １イＲＡＡ
（エ） （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｑ） ウＤＮ
（ⅳ）
１（１） ～｛ Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→ Ｑ）｝ Ａ
１（２） ～｛～Ｐ∨（ （Ｐ→Ｑ）→ Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） ～｛～Ｐ∨（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｑ）｝ ２含意の定義
１（４） Ｐ＆～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｑ） ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｑ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｐ→Ｑ ７＆Ｅ
１（９） Ｑ ５８ＭＰＰ
１（ア） ～Ｑ ７＆Ｅ
１（イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
（ウ）～～｛ Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→ Ｑ）｝ １イＲＡＡ
（エ） Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→ Ｑ） ウＤＮ
従って、
（13）（14）により、
（15）
③（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
に於いて、
③ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」であって、
④ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」である。
ということは、
③ は、「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる。」
④ は、「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる。」
ということを、「意味」している。
従って、
（10）（15）により、
（16）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
④ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
⑤ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「恒真式（トートロジー）」は、すべて、
②「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ １２ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １２ＣＰ
然るに、
（18）
（ⅰ）
１（１） ～｛ （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝ Ａ
１（２） ～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ｝ 含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
（８）～～｛ （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝ １７ＲＡＡ
（９） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ８ＤＮ
（ⅱ）
１（１） ～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ Ａ
１（２） ～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ∨Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
１（７） ～Ｐ ６＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ４７＆Ｉ
（９）～～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ １８ＲＡＡ
（ア） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ９ＤＮ
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
である所の、
①「連言除去」
②「選言導入」
を含めて、「恒真式（トートロジー）」とは、
②「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」である。
令和６年１１月１３日、毛利太。
2024年11月12日火曜日
「ある式の否定が偽」ならば「ある式自体は真」である。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） Ｐ→Ｑ １２ＭＰＰ
１２（３） Ｑ １２ＣＰ
１ （４） （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ ２３ＣＰ
（５）Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １４ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
②├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「連式」は「妥当」である。
然るに、
（03）
①（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「同一律（の代入例）」がそうであるように、
①「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
②「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は、「恒真式（トートロジー）」である。
という「理由」により、
② Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１（１） Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→Ｑ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（ （Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨（ （～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ） ２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） ３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ） ４ド・モルガンの法則
（ⅲ）
１（１）～Ｐ∨（ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） １ド・モルガンの法則
１（３）～Ｐ∨（ （～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ） ２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（ （Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ３含意の定義
１（５） Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ４含意の定義
従って、
（05）により、
（06）
② Ｐ→（（Ｐ→ Ｑ）→Ｑ）
③ ～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
② Ｐ→（（Ｐ→ Ｑ）→Ｑ）
③ ～｛～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
③ は、② の「否定」である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
② Ｐ→（（Ｐ→ Ｑ）→Ｑ）
③ ～｛～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
② が「真」であるため、その「否定」である、
③ は「偽」である。
然るに、
（09）
（ⅲ）
１（１）～｛～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）｝ Ａ
１（２） Ｐ＆～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ） １ド・モルガンの法則
１（３） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ） ２＆Ｅ
１（４） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～（Ｐ＆～Ｑ） ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ∨ Ｑ ５ド・モルガンの法則
１（７） Ｐ→ Ｑ ６含意の定義
１（８） Ｐ ２＆Ｅ
１（９） Ｑ ７８ＭＰＰ
１（ア） ～Ｑ ４＆Ｅ
１（イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
従って、
（08）（09）により、
（10）
② Ｐ→（（Ｐ→ Ｑ）→Ｑ）
③ ～｛～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
② の「否定」は、
③ であるが、果たして、
③ は、「矛盾（Ｑ＆～Ｑ）」を「含意」する。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
（ⅰ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は「恒真式」であるため、
（ⅱ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」の「否定」は、「偽」であり、
（ⅲ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」の「否定」は、「偽」であるため、
（ⅳ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は「恒真式」である。
然るに、
（12）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ２＆Ｅ
然るに、
（13）
１（１）～｛ （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
（ⅰ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は「恒真式（トートロジー）」であるため、
（ⅱ）「（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ」は、「連言除去」は「真」であって、
（ⅲ）「（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ」の「否定」は、「矛盾」である。
然るに、
（15）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １２ＣＰ
然るに、
（16）
１（１）～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ Ａ
１（２）～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～（Ｐ∨Ｑ） ３＆Ｅ
１（５） ～Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
１（６） Ｐ ３＆Ｅ
１（７） ～Ｐ ５＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ６７＆Ｉ
従って、
（11）（15）（16）により、
（17）
（ⅰ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は「恒真式（トートロジー）」であるため、
（ⅱ）「Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）」は、すなわち、「宣言導入」は「真」であって、
（ⅲ）「Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）」の「否定」は、「矛盾」である。
令和６年１１月１２日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） Ｐ→Ｑ １２ＭＰＰ
１２（３） Ｑ １２ＣＰ
１ （４） （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ ２３ＣＰ
（５）Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １４ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
②├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「連式」は「妥当」である。
然るに、
（03）
①（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「同一律（の代入例）」がそうであるように、
①「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
②「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は、「恒真式（トートロジー）」である。
という「理由」により、
② Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１（１） Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→Ｑ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（ （Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨（ （～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ） ２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） ３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ） ４ド・モルガンの法則
（ⅲ）
１（１）～Ｐ∨（ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） １ド・モルガンの法則
１（３）～Ｐ∨（ （～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ） ２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（ （Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ３含意の定義
１（５） Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ４含意の定義
従って、
（05）により、
（06）
② Ｐ→（（Ｐ→ Ｑ）→Ｑ）
③ ～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
② Ｐ→（（Ｐ→ Ｑ）→Ｑ）
③ ～｛～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
③ は、② の「否定」である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
② Ｐ→（（Ｐ→ Ｑ）→Ｑ）
③ ～｛～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
② が「真」であるため、その「否定」である、
③ は「偽」である。
然るに、
（09）
（ⅲ）
１（１）～｛～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）｝ Ａ
１（２） Ｐ＆～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ） １ド・モルガンの法則
１（３） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ） ２＆Ｅ
１（４） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～（Ｐ＆～Ｑ） ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ∨ Ｑ ５ド・モルガンの法則
１（７） Ｐ→ Ｑ ６含意の定義
１（８） Ｐ ２＆Ｅ
１（９） Ｑ ７８ＭＰＰ
１（ア） ～Ｑ ４＆Ｅ
１（イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
従って、
（08）（09）により、
（10）
② Ｐ→（（Ｐ→ Ｑ）→Ｑ）
③ ～｛～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
② の「否定」は、
③ であるが、果たして、
③ は、「矛盾（Ｑ＆～Ｑ）」を「含意」する。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
（ⅰ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は「恒真式」であるため、
（ⅱ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」の「否定」は、「偽」であり、
（ⅲ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」の「否定」は、「偽」であるため、
（ⅳ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は「恒真式」である。
然るに、
（12）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ２＆Ｅ
然るに、
（13）
１（１）～｛ （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
（ⅰ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は「恒真式（トートロジー）」であるため、
（ⅱ）「（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ」は、「連言除去」は「真」であって、
（ⅲ）「（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ」の「否定」は、「矛盾」である。
然るに、
（15）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １２ＣＰ
然るに、
（16）
１（１）～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ Ａ
１（２）～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～（Ｐ∨Ｑ） ３＆Ｅ
１（５） ～Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
１（６） Ｐ ３＆Ｅ
１（７） ～Ｐ ５＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ６７＆Ｉ
従って、
（11）（15）（16）により、
（17）
（ⅰ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は「恒真式（トートロジー）」であるため、
（ⅱ）「Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）」は、すなわち、「宣言導入」は「真」であって、
（ⅲ）「Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）」の「否定」は、「矛盾」である。
令和６年１１月１２日、毛利太。
2024年11月9日土曜日
「パースの法則（論理学初歩・練習問題）」
（01）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。パースの法則は直観論理や中間論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない（ウィキペディア）。
然るに、
（02）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既にに証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using Primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already Proved,Prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ｃ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
４ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
４ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １４６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「含意の定義、ド・モルガンの法則」を用いれば、「パースの法則」は、「９行の計算」で、「証明」出来る。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８オ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ６オ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）（04）により、
（05）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は「含意の定義」であって、「E.J.レモンの原始的規則（Primitive rules）」で「証明」出来る。
然るに、
（04）により、
（06）
（ⅰ）
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｑ オ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）（06）により、
（07）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」であって、「E.J.レモンの原始的規則（Primitive rules）」で「証明」出来る。
然るに、
（08）
自然演繹（しぜんえんえき、英: Natural deduction）は、「自然な」ものとしての論理的推論の形式的モデルを提供する証明理論の手法であり、哲学的論理学の用語である。自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌは、証明の構文規則に関する次のような「１０個の原始的規則（Primitive rules）」だけを持つ。
（ウィキペディア改）
従って、
（03）（05）（07）（08）により、
（09）
「パースの法則」は、「自然演繹（ジョン・レモンが開発した体系Ｌ）」に於ける、「１０個の原始的規則（Primitive rules）」で、「証明」出来る。
従って、
（01）（09）により、
（10）
命題計算では、「パースの法則」は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言うものの、「パースの法則」は 「自然な」ものとしての「論理的推論の形式的モデルを提供する証明理論の手法」によって、「証明」出来る。
令和６年１１月０９日、毛利太。
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。パースの法則は直観論理や中間論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない（ウィキペディア）。
然るに、
（02）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既にに証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using Primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already Proved,Prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ｃ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
４ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
４ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １４６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「含意の定義、ド・モルガンの法則」を用いれば、「パースの法則」は、「９行の計算」で、「証明」出来る。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８オ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ６オ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）（04）により、
（05）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は「含意の定義」であって、「E.J.レモンの原始的規則（Primitive rules）」で「証明」出来る。
然るに、
（04）により、
（06）
（ⅰ）
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｑ オ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）（06）により、
（07）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」であって、「E.J.レモンの原始的規則（Primitive rules）」で「証明」出来る。
然るに、
（08）
自然演繹（しぜんえんえき、英: Natural deduction）は、「自然な」ものとしての論理的推論の形式的モデルを提供する証明理論の手法であり、哲学的論理学の用語である。自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌは、証明の構文規則に関する次のような「１０個の原始的規則（Primitive rules）」だけを持つ。
（ウィキペディア改）
従って、
（03）（05）（07）（08）により、
（09）
「パースの法則」は、「自然演繹（ジョン・レモンが開発した体系Ｌ）」に於ける、「１０個の原始的規則（Primitive rules）」で、「証明」出来る。
従って、
（01）（09）により、
（10）
命題計算では、「パースの法則」は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言うものの、「パースの法則」は 「自然な」ものとしての「論理的推論の形式的モデルを提供する証明理論の手法」によって、「証明」出来る。
令和６年１１月０９日、毛利太。
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