（01）
① ∀ｘ（ Ｆｘ）≡すべてのｘはＦである。
② ∀ｘ（～Ｆｘ）≡すべてのｘはＦでない。
③ ～∀ｘ（ Ｆｘ）≡すべてのｘはＦである。といふわけではない。
④ ～∀ｘ（～Ｆｘ）≡すべてのｘはＦでない。といふわけではない。
⑤ ～∃ｘ（～Ｆｘ）≡ あるｘがＦでない。といふことはない。
⑥ ～∃ｘ（ Ｆｘ）≡ あるｘがＦである。といふことはない。
⑦ ∃ｘ（～Ｆｘ）≡ あるｘはＦでない。
⑧ ∃ｘ（ Ｆｘ）≡ あるｘはＦである。
に於いて、
①＝⑤
②＝⑥
③＝⑦
④＝⑧
であって、
①≠⑤
②≠⑥
③≠⑦
④≠⑧
ではない。
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅱ） ∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（ Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（ Ｆｘ）
といふ「等式」は、すべて、「背理法（ＲＡＡ）」によって、「証明」出来る。
然るに、
（03）
（ａ）ｘは男である（ Ｆｘ）。
（ｂ）ｘは女でない（～Ｆｘ）。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅱ） ∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（ Ｆｘ）
の場合は、
（ⅰ） ∀ｘ（ 男ｘ）⇔ ～∃ｘ（～男ｘ）
（ⅱ） ∀ｘ（～女ｘ）⇔ ～∃ｘ（ 女ｘ）
といふ「代入」を行へば、
（ⅰ）＝（ⅱ） であって、
（ⅲ）～∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（ Ｆｘ）
の場合も、
（ⅲ）～∀ｘ（ 男ｘ）⇔ ∃ｘ（～男ｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～女ｘ）⇔ ∃ｘ（ 女ｘ）
といふ「代入」を行へば、
（ⅲ）＝（ⅳ） である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「２通り」を、「証明」すれば、
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅱ） ∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（ Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（ Ｆｘ）
といふ「４通り」を、「証明」したことになる。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ １ＵＥ
３ （３） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
４（４） ～Ｆａ Ａ
１ ４（５） Ｆａ＆～Ｆａ ３４＆Ｉ
４（６）～∀ｘ（ Ｆｘ） １５ＲＡＡ
３ （７）～∀ｘ（ Ｆｘ） ３４６ＥＥ
１３ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ）＆
～∀ｘ（ Ｆｘ） １７＆Ｉ
１ （９）～∃ｘ（～Ｆｘ） ３８ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～Ｆａ Ａ
２ （３） ∃ｘ（～Ｆｘ） ２ＥＩ
１２ （４）～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
∃ｘ（～Ｆｘ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｆａ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｆａ ５ＤＮ
１ （７） ∀ｘ（ Ｆｘ） ６ＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１ （１） ～∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（～Ｆｘ） ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
∃ｘ（～Ｆｘ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ） ７ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘ（ Ｆｘ）＆
∀ｘ（ Ｆｘ） １８＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ（～Ｆｘ） アＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～Ｆａ Ａ
３（３） ∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
３（４） Ｆａ １ＵＥ
２３（５） ～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
１ ３（６） ～Ｆａ＆Ｆａ １２５ＥＥ
１ （７）～∀ｘ（ Ｆｘ） ３６ＲＡＡ
従って、
（08）により、
（09）
（ⅲ）～∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（07）（09）により、
（10）
（ⅰ） ∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（05）（10）により、
（11）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅱ） ∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（ Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（ Ｆｘ）
といふ「等式（量化子の関係）」が、成立する。
然るに、
（12）
（ⅴ）
１ （１）～∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～～（Ｆｘ＆～Ｆｘ） １量化子の関係
１ （３） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ） ２ＤＮ
４（４） Ｆａ＆～Ｆａ Ａ
１ （５） Ｆａ＆～Ｆａ ３４４ＥＥ
（６） ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ） ３５ＲＡＡ
（７） ∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ） ６量化子の関係
（８） ～（Ｆａ＆～Ｆａ） ７ＵＥ
（９） ～Ｆａ∨ Ｆａ ８ド・モルガンの法則
（ア） Ｆａ→ Ｆａ ９含意の定義
（イ） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｆｘ） アＵＩ
従って、
（12）により、
（13）
（ⅴ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）≡すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＦである）。
といふ「命題（同一律）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
（ⅵ）
１（１） Ｆａ Ａ
（２） Ｆａ→Ｆａ １１ＣＰ
（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ） ２ＵＩ
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
（ⅴ）
１ （１）～∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～～（Ｆｘ＆～Ｆｘ） １量化子の関係
１ （３） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ） ２ＤＮ
４（４） Ｆａ＆～Ｆａ Ａ
１ （５） Ｆａ＆～Ｆａ ３４４ＥＥ
（６） ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ） ３５ＲＡＡ
（７） ∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ） ６量化子の関係
（８） ～（Ｆａ＆～Ｆａ） ７ＵＥ
（９） ～Ｆａ∨ Ｆａ ８ド・モルガンの法則
（ア） Ｆａ→ Ｆａ ９含意の定義
（イ） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｆｘ） アＵＩ
といふ「計算」は、
（ⅵ）
１（１） Ｆａ Ａ
（２） Ｆａ→Ｆａ １１ＣＰ
（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ） ２ＵＩ
といふ「計算」で、「済ませる」ことが、出来る。
令和０２年０９月２０日、毛利太。
2020年9月20日日曜日
2020年9月19日土曜日
「（Ｅ.Ｊ.レモンの）メタ定理Ⅱ」と「真理表」について。
（01）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２３（５） ～Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１２ （７）～Ｐ ３６ＲＡＡ
といふ「計算」は、
１ （１）Ｐであるならば、Ｑである。と「仮定」し、
２ （２）Ｐであるならば、Ｑでない。と「仮定」し、その上、
３（３）Ｐである。 と「仮定」したところ、
１ ３（４） Ｑである。となって、その上、
２３（５） Ｑでない。となって、
１２３（６）Ｑであると、Ｑでない。とが、「同時に、真」になってしまったので、止むを得ず、
１２３ といふ「３つの仮定」の内の、取り敢へず、
３ を「除いて」、
１２だけを「残して」、同時に、
（７）Ｐである。を、「否定」して、Ｐでない。とした。
といふ「意味」である。
従って、
（01）により、
（02）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２３（５） ～Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１２ （７）～Ｐ ３６ＲＡＡ
といふ「命題計算」は、「日常言語による推論」が、「ベース」にあるため、「自然演繹（natural deducation）」と言ふに、十分に、値する。
然るに、
（03）
Ｇｏｏ辞書
しんりち‐ひょう〔‐ヘウ〕【真理値表】 の解説
数学や論理学で、いくつかの命題を論理演算子で合成して新しい命題を作ったとき、もとの命題と合成された命題の真偽の関係を示す表。真理表。真偽表。
従って、
（02）（03）により、
（04）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２３（５） ～Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１２ （７）～Ｐ ３６ＲＡＡ
といふ「計算」は、その一方で、【真理表】を用ひても、「（機械的に）証明」出来る。
然るに、
（01）～（04）により、
（05）
「日常言語」で、「自然に演繹」出来る「事柄」を、「（機械的に）証明」する「必要」は無い。
といふ「意味」では、この場合、【真理表】は、「不要」である。
然るに、
（06）
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的 Ｗｆｆ（論理式） は定理として導出可能である。
証明のアウトライン。仮定により、「真理表テスト」のもとにおいて トートロージーであるような ｗｆｆＡ を選ぶ。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０７頁改）
（07）
１ 証明を発見する練習の追加として、またつぎの節でその結果が必要となるので、つぎの連式を証明せよ。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０５頁）
―「Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩」には、「解答」が載ってゐないので、私による、証明。―
（ａ）Ｐ＆Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
（ｂ）～Ｐ＆Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１（１）～Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
（ｄ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ＆Ｑ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｑ １＆Ｅ
２（４） Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
（ｅ）～Ｐ＆Ｑ├ ～（Ｐ＆Ｑ）
１ （１） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
２（４） Ｐ ２＆Ｅ
１２（５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
（ｆ）～Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ＆Ｑ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
２（４） Ｐ ２＆Ｅ
１２（５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
（ｇ）Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ
１（１）Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）Ｐ １＆Ｅ
１（３）Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
（ｈ）～Ｐ＆Ｑ├ Ｐ∨Ｑ
１（１）～Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
（ｉ）Ｐ＆Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
（２） Ｑ １＆Ｅ
（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
（５） Ｐ １＆Ｅ
（６）～Ｑ∨Ｐ ５∨Ｉ
（７） Ｑ→Ｐ ６含意の定義
（８）（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ） ４７＆Ｉ
（９） Ｐ⇔Ｑ ８Ｄｆ.⇔
（ｊ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ⇔ Ｑ Ａ
２（３） （Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ２Ｄｆ.⇔
２（４） Ｐ→ Ｑ ３＆Ｅ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） ～Ｐ ４５ＭＴＴ
１ （７） Ｐ １＆Ｅ
１２（８） ～Ｐ＆Ｐ ６７＆Ｉ
１ （９）～（Ｐ⇔ Ｑ） ２８ＣＰ
（ｋ）～Ｐ＆Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
１ （１） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
２（２） Ｐ⇔Ｑ Ａ
２（３） （Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ） ２Ｄｆ.⇔
２（４） Ｑ→Ｐ ３＆Ｅ
１ （５） ～Ｐ １＆Ｅ
１２（６） ～Ｑ ４５ＭＴＴ
１ （７） Ｑ １＆Ｅ
１２（８） ～Ｑ＆Ｑ ６７＆Ｉ
１ （９） ～（Ｐ⇔Ｑ） ２８ＲＡＡ
（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
１（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｑ １＆Ｅ
１（４） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１（５） Ｑ→Ｐ ３含意の定義
１（６）（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ） ４５＆Ｉ
１（７） Ｐ⇔Ｑ ６Ｄｆ.⇔
従って、
（06）（07）により、
（08）
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的 Ｗｆｆ（論理式） は定理として導出可能である。
といふ「メタ定理」を「理解」するためには、「命題計算」と、「真理表」の、両方を、「理解してゐる」必要が有る。
然るに、
（09）
真理表は習熟しやすいものなので、この節でのわれわれの取り扱いは手早くやれるだろう。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０５頁）
然るに、
（10）
特に第２章の第４、第５節と、第４章第２節は、本書の他の部分よりも遥かに難しい。普通の読者はとばす（つまり早く読み通す）のが賢明であろう。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、序ⅱ）
従って、
（11）
幸いに、私自身は、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的 Ｗｆｆ（論理式） は定理として導出可能である。
といふ「メタ定理」を「理解」してゐる、つもりでゐるものの、確かに、私自身の「経験」から言っても、
「①真理表」＜「②命題計算」＜「③メタ定理Ⅱ」
の「順」で、「左から右へ行く程、難しい」。
（12）
以下の証明はややこみあっている（The proof that follows is rather involved）。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０７頁）
といふくらひなので、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的 Ｗｆｆ（論理式） は定理として導出可能である。
といふことに関する「証明」は、「いくぶん、複雑である」。
令和０２年０９月１９日、毛利太。
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２３（５） ～Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１２ （７）～Ｐ ３６ＲＡＡ
といふ「計算」は、
１ （１）Ｐであるならば、Ｑである。と「仮定」し、
２ （２）Ｐであるならば、Ｑでない。と「仮定」し、その上、
３（３）Ｐである。 と「仮定」したところ、
１ ３（４） Ｑである。となって、その上、
２３（５） Ｑでない。となって、
１２３（６）Ｑであると、Ｑでない。とが、「同時に、真」になってしまったので、止むを得ず、
１２３ といふ「３つの仮定」の内の、取り敢へず、
３ を「除いて」、
１２だけを「残して」、同時に、
（７）Ｐである。を、「否定」して、Ｐでない。とした。
といふ「意味」である。
従って、
（01）により、
（02）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２３（５） ～Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１２ （７）～Ｐ ３６ＲＡＡ
といふ「命題計算」は、「日常言語による推論」が、「ベース」にあるため、「自然演繹（natural deducation）」と言ふに、十分に、値する。
然るに、
（03）
Ｇｏｏ辞書
しんりち‐ひょう〔‐ヘウ〕【真理値表】 の解説
数学や論理学で、いくつかの命題を論理演算子で合成して新しい命題を作ったとき、もとの命題と合成された命題の真偽の関係を示す表。真理表。真偽表。
従って、
（02）（03）により、
（04）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２３（５） ～Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１２ （７）～Ｐ ３６ＲＡＡ
といふ「計算」は、その一方で、【真理表】を用ひても、「（機械的に）証明」出来る。
然るに、
（01）～（04）により、
（05）
「日常言語」で、「自然に演繹」出来る「事柄」を、「（機械的に）証明」する「必要」は無い。
といふ「意味」では、この場合、【真理表】は、「不要」である。
然るに、
（06）
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的 Ｗｆｆ（論理式） は定理として導出可能である。
証明のアウトライン。仮定により、「真理表テスト」のもとにおいて トートロージーであるような ｗｆｆＡ を選ぶ。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０７頁改）
（07）
１ 証明を発見する練習の追加として、またつぎの節でその結果が必要となるので、つぎの連式を証明せよ。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０５頁）
―「Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩」には、「解答」が載ってゐないので、私による、証明。―
（ａ）Ｐ＆Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
（ｂ）～Ｐ＆Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１（１）～Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
（ｄ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ＆Ｑ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｑ １＆Ｅ
２（４） Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
（ｅ）～Ｐ＆Ｑ├ ～（Ｐ＆Ｑ）
１ （１） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
２（４） Ｐ ２＆Ｅ
１２（５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
（ｆ）～Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ＆Ｑ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
２（４） Ｐ ２＆Ｅ
１２（５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
（ｇ）Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ
１（１）Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）Ｐ １＆Ｅ
１（３）Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
（ｈ）～Ｐ＆Ｑ├ Ｐ∨Ｑ
１（１）～Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
（ｉ）Ｐ＆Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
（２） Ｑ １＆Ｅ
（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
（５） Ｐ １＆Ｅ
（６）～Ｑ∨Ｐ ５∨Ｉ
（７） Ｑ→Ｐ ６含意の定義
（８）（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ） ４７＆Ｉ
（９） Ｐ⇔Ｑ ８Ｄｆ.⇔
（ｊ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ⇔ Ｑ Ａ
２（３） （Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ２Ｄｆ.⇔
２（４） Ｐ→ Ｑ ３＆Ｅ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） ～Ｐ ４５ＭＴＴ
１ （７） Ｐ １＆Ｅ
１２（８） ～Ｐ＆Ｐ ６７＆Ｉ
１ （９）～（Ｐ⇔ Ｑ） ２８ＣＰ
（ｋ）～Ｐ＆Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
１ （１） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
２（２） Ｐ⇔Ｑ Ａ
２（３） （Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ） ２Ｄｆ.⇔
２（４） Ｑ→Ｐ ３＆Ｅ
１ （５） ～Ｐ １＆Ｅ
１２（６） ～Ｑ ４５ＭＴＴ
１ （７） Ｑ １＆Ｅ
１２（８） ～Ｑ＆Ｑ ６７＆Ｉ
１ （９） ～（Ｐ⇔Ｑ） ２８ＲＡＡ
（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
１（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｑ １＆Ｅ
１（４） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１（５） Ｑ→Ｐ ３含意の定義
１（６）（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ） ４５＆Ｉ
１（７） Ｐ⇔Ｑ ６Ｄｆ.⇔
従って、
（06）（07）により、
（08）
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的 Ｗｆｆ（論理式） は定理として導出可能である。
といふ「メタ定理」を「理解」するためには、「命題計算」と、「真理表」の、両方を、「理解してゐる」必要が有る。
然るに、
（09）
真理表は習熟しやすいものなので、この節でのわれわれの取り扱いは手早くやれるだろう。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０５頁）
然るに、
（10）
特に第２章の第４、第５節と、第４章第２節は、本書の他の部分よりも遥かに難しい。普通の読者はとばす（つまり早く読み通す）のが賢明であろう。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、序ⅱ）
従って、
（11）
幸いに、私自身は、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的 Ｗｆｆ（論理式） は定理として導出可能である。
といふ「メタ定理」を「理解」してゐる、つもりでゐるものの、確かに、私自身の「経験」から言っても、
「①真理表」＜「②命題計算」＜「③メタ定理Ⅱ」
の「順」で、「左から右へ行く程、難しい」。
（12）
以下の証明はややこみあっている（The proof that follows is rather involved）。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０７頁）
といふくらひなので、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的 Ｗｆｆ（論理式） は定理として導出可能である。
といふことに関する「証明」は、「いくぶん、複雑である」。
令和０２年０９月１９日、毛利太。
2020年9月16日水曜日
『「鼻は象が長い。」といふわけでない。』の「述語論理」。
（01）
｛象、兎、馬｝を｛変域（ドメイン）｝とすると、
｛鼻は、象が長い。｝
｛耳は、兎が長い。｝
｛顔は、馬が長い。｝
従って、
（01）により、
（02）
① 鼻は象が長い。⇔ 鼻は象は長く、象以外（兎、馬）は長くない。
② 耳は兎が長い。⇔ 耳は兎は長く、兎以外（象、馬）は長くない。
③ 顔は馬が長い。⇔ 顔は馬は長く、馬以外（象、兎）は長くない。
然るに、
（03）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）＆（鼻ｙａ＆～象ａ→～長ｙ）｝ Ａ
３ （３） （鼻ｙａ＆象ａ→長ｂ）＆（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） Ａ
４ （４）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ） Ａ
５ （５） ∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ） Ａ
６（６） 兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
６（７） 兎ａ ６＆Ｅ
６（８） ～象ａ ６＆Ｅ
６（９） 鼻ｂａ ６＆Ｅ
６（ア） 鼻ｂａ＆～象ａ ８９＆Ｉ
３ （イ） 鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ ３＆Ｅ
３ ６（ウ） ～長ｂ アイＭＰＰ
６（エ） 兎ａ＆鼻ｂａ ７９＆Ｉ
３ ６（オ） 兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ ウエ＆Ｉ
３ ６（カ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） オＥＩ
３ ５ （キ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） ５６カＥＥ
３ ５ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） キＥＩ
３４ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ４５クＥＥ
１ ４ （コ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ２３ケＥＥ
従って、
（03）
（04）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙは長く、ｙがｘの鼻であって、ｘが象でないならば、ｙは長くない。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて｛ｘは兎であって、象ではなく、ｙはｘの鼻である。｝従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて｛ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。｝
従って、
（02）（05）により、
（06）
（ⅰ）鼻は象が長い（鼻は象が長く、象以外は長くない）。然るに、
（ⅱ）ある兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）鼻が長くない、兎が存在する。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ １量化子の関係
４ （４） ∀ｙ～｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）＆ （鼻ｙａ＆～象ａ→～長ｙ）｝ Ａ
４ （５） ～｛（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）＆ （鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）｝ ４ＵＥ
４ （６） ～（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）∨～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ６含意の定義
８（８） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ） Ａ
４８（９） ～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ７８ＭＰＰ
４８（ア） ～（～（鼻ｂａ＆～象ａ）∨～長ｂ） ４８含意の定義
４８（イ） （鼻ｂａ＆～象ａ）＆ 長ｂ ア、ド・モルガンの法則
４８（ウ） （鼻ｂａ＆～象ａ＆長ｂ） イ結語法則
４８（エ） （～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ） ウ交換法則
４ （オ） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ） ８エＣＰ
４ （カ） ∀ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）｝ オＵＩ
４ （キ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ カＥＩ
１ （ク） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ キＥＩ
１ （ケ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ３４クＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （３） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ） ２ＵＥ
４（４） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ） Ａ
２４（５） （～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ） ３４ＭＰＰ
２４（６） （鼻ｂａ＆～象ａ＆長ｂ） ５交換法則
２４（７） （鼻ｂａ＆～象ａ）＆長ｂ ６結合法則
２４（８） ～（～（鼻ｂａ＆～象ａ）∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
２ （９） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ４８ＣＰ
２ （ア） ～（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）∨～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ９含意の定義
２ （イ） ～｛（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）＆ （鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）｝ ア、ド・モルガンの法則
２ （ウ） ∀ｙ～｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）＆ （鼻ｙａ＆～象ａ→～長ｙ）｝ イＵＩ
２ （エ）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ ウＥＩ
１ （カ）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ １２エＥＥ
１ （キ）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ カ量化子の関係
１ （ク）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ キ量化子の関係
従って、
（07）により、
（08）
② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝
③ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（05）（07）（08）により、
（09）
② すべてのｘとあるｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙは長く、ｙがｘの鼻であって、ｘが象でないならば、ｙは長くない。｝といふわけではない。
③ あるｘとすべてのｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙが長いならば、他のｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
③ あるｘとすべてのｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙが長いならば、他のｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝
といふことは、
③ 鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物はゐる。
といふ、ことである。
従って、
（02）（09）（10）により、
（11）
② 鼻は象が長い（鼻は象が長く、象以外は長くない。）といふわけではない。
③ 鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物はゐる。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（12）
１ （１）∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （３） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｙ） ２ＵＥ
４ （４） ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） Ａ
５ （５） ∃ｙ（象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
６（６） 象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
６（７） 長ｂ ６＆Ｅ
６（８） ～（鼻ｂａ＆象ａ）∨長ｂ ７∨Ｉ
６（９） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ） ８含意の定義
２ ６（ア） （～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｙ） ３９ＭＰＰ
２ ６（イ） ∃ｙ（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） アＥＩ
２ ５ （ウ） ∃ｙ（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） ５６イＥＥ
２ ５ （エ） ∃ｘ∃ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） ウＥＩ
１ ５ （オ） ∃ｘ∃ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） １２エＥＥ
従って、
（12）により、
（13）
（ⅰ）∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（ 象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）あるｘとすべてのｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙが長いならば、ｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて｛ｘは象であって、ｙはｘの鼻であって、長い。）従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて｛ｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、長い。）
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
（ⅰ）鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物がゐる。然るに、
（ⅱ）鼻が長い象はゐる。従って、
（ⅲ）象以外にも、鼻が長い動物がゐる。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（11）～（15）により、
（16）
（ⅰ）鼻は象が長い（鼻は象が長く、象以外は長くない。）といふわけではない。従って、
（ⅱ）鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物はゐる。然るに、
（ⅲ）鼻が長い象はゐる。従って、
（ⅳ）象以外にも、鼻が長い動物がゐる。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（16）により、
（17）
① 鼻は象が長い。 ⇔ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。
② 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔ ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。
③ 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（18）
「現状」に於いて、
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。
② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。
③ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝。
といふ「述語論理（Predicate logic）」に対して、「関心」を持ってゐる、「日本語の文法の、研究者」は、おそらくは、皆無に近い。
令和０９年１６日、毛利太。
｛象、兎、馬｝を｛変域（ドメイン）｝とすると、
｛鼻は、象が長い。｝
｛耳は、兎が長い。｝
｛顔は、馬が長い。｝
従って、
（01）により、
（02）
① 鼻は象が長い。⇔ 鼻は象は長く、象以外（兎、馬）は長くない。
② 耳は兎が長い。⇔ 耳は兎は長く、兎以外（象、馬）は長くない。
③ 顔は馬が長い。⇔ 顔は馬は長く、馬以外（象、兎）は長くない。
然るに、
（03）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）＆（鼻ｙａ＆～象ａ→～長ｙ）｝ Ａ
３ （３） （鼻ｙａ＆象ａ→長ｂ）＆（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） Ａ
４ （４）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ） Ａ
５ （５） ∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ） Ａ
６（６） 兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
６（７） 兎ａ ６＆Ｅ
６（８） ～象ａ ６＆Ｅ
６（９） 鼻ｂａ ６＆Ｅ
６（ア） 鼻ｂａ＆～象ａ ８９＆Ｉ
３ （イ） 鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ ３＆Ｅ
３ ６（ウ） ～長ｂ アイＭＰＰ
６（エ） 兎ａ＆鼻ｂａ ７９＆Ｉ
３ ６（オ） 兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ ウエ＆Ｉ
３ ６（カ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） オＥＩ
３ ５ （キ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） ５６カＥＥ
３ ５ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） キＥＩ
３４ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ４５クＥＥ
１ ４ （コ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ２３ケＥＥ
従って、
（03）
（04）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙは長く、ｙがｘの鼻であって、ｘが象でないならば、ｙは長くない。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて｛ｘは兎であって、象ではなく、ｙはｘの鼻である。｝従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて｛ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。｝
従って、
（02）（05）により、
（06）
（ⅰ）鼻は象が長い（鼻は象が長く、象以外は長くない）。然るに、
（ⅱ）ある兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）鼻が長くない、兎が存在する。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ １量化子の関係
４ （４） ∀ｙ～｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）＆ （鼻ｙａ＆～象ａ→～長ｙ）｝ Ａ
４ （５） ～｛（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）＆ （鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）｝ ４ＵＥ
４ （６） ～（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）∨～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ６含意の定義
８（８） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ） Ａ
４８（９） ～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ７８ＭＰＰ
４８（ア） ～（～（鼻ｂａ＆～象ａ）∨～長ｂ） ４８含意の定義
４８（イ） （鼻ｂａ＆～象ａ）＆ 長ｂ ア、ド・モルガンの法則
４８（ウ） （鼻ｂａ＆～象ａ＆長ｂ） イ結語法則
４８（エ） （～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ） ウ交換法則
４ （オ） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ） ８エＣＰ
４ （カ） ∀ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）｝ オＵＩ
４ （キ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ カＥＩ
１ （ク） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ キＥＩ
１ （ケ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ３４クＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （３） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ） ２ＵＥ
４（４） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ） Ａ
２４（５） （～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ） ３４ＭＰＰ
２４（６） （鼻ｂａ＆～象ａ＆長ｂ） ５交換法則
２４（７） （鼻ｂａ＆～象ａ）＆長ｂ ６結合法則
２４（８） ～（～（鼻ｂａ＆～象ａ）∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
２ （９） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ４８ＣＰ
２ （ア） ～（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）∨～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ９含意の定義
２ （イ） ～｛（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）＆ （鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）｝ ア、ド・モルガンの法則
２ （ウ） ∀ｙ～｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）＆ （鼻ｙａ＆～象ａ→～長ｙ）｝ イＵＩ
２ （エ）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ ウＥＩ
１ （カ）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ １２エＥＥ
１ （キ）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ カ量化子の関係
１ （ク）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ キ量化子の関係
従って、
（07）により、
（08）
② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝
③ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（05）（07）（08）により、
（09）
② すべてのｘとあるｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙは長く、ｙがｘの鼻であって、ｘが象でないならば、ｙは長くない。｝といふわけではない。
③ あるｘとすべてのｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙが長いならば、他のｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
③ あるｘとすべてのｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙが長いならば、他のｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝
といふことは、
③ 鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物はゐる。
といふ、ことである。
従って、
（02）（09）（10）により、
（11）
② 鼻は象が長い（鼻は象が長く、象以外は長くない。）といふわけではない。
③ 鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物はゐる。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（12）
１ （１）∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （３） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｙ） ２ＵＥ
４ （４） ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） Ａ
５ （５） ∃ｙ（象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
６（６） 象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
６（７） 長ｂ ６＆Ｅ
６（８） ～（鼻ｂａ＆象ａ）∨長ｂ ７∨Ｉ
６（９） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ） ８含意の定義
２ ６（ア） （～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｙ） ３９ＭＰＰ
２ ６（イ） ∃ｙ（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） アＥＩ
２ ５ （ウ） ∃ｙ（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） ５６イＥＥ
２ ５ （エ） ∃ｘ∃ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） ウＥＩ
１ ５ （オ） ∃ｘ∃ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） １２エＥＥ
従って、
（12）により、
（13）
（ⅰ）∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（ 象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）あるｘとすべてのｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙが長いならば、ｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて｛ｘは象であって、ｙはｘの鼻であって、長い。）従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて｛ｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、長い。）
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
（ⅰ）鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物がゐる。然るに、
（ⅱ）鼻が長い象はゐる。従って、
（ⅲ）象以外にも、鼻が長い動物がゐる。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（11）～（15）により、
（16）
（ⅰ）鼻は象が長い（鼻は象が長く、象以外は長くない。）といふわけではない。従って、
（ⅱ）鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物はゐる。然るに、
（ⅲ）鼻が長い象はゐる。従って、
（ⅳ）象以外にも、鼻が長い動物がゐる。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（16）により、
（17）
① 鼻は象が長い。 ⇔ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。
② 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔ ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。
③ 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（18）
「現状」に於いて、
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。
② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。
③ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝。
といふ「述語論理（Predicate logic）」に対して、「関心」を持ってゐる、「日本語の文法の、研究者」は、おそらくは、皆無に近い。
令和０９年１６日、毛利太。
2020年9月15日火曜日
「選言除去（∨Ｉ）」の「証明」。
（01）
論理式 Ｐ，Ｑ，Ｒ について、Ｐ→Ｒ， Ｑ→Ｒ， Ｐ∨Ｑ がすべて真であるような任意の解釈のもとで Ｒ は必ず真になります。これは「選言除去」と呼ばれる推論規則です。
（選言除去 | 述語論理 | 論理 | 数学 | ワイズ）
然るに、
（02）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、「仮定の規則」により、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真」である。
然るに、
（03）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於ける、
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、
１２３ （８） 偽 ３４５６７選言除去
である。とする。
然るに、
（04）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於ける、「５つのＲ」の内、「１つのＲが、偽である。」ならば、「５つのＲは、すべて、偽である。」
従って、
（04）により、
（05）
１ （１）Ｐ→偽 仮定
２ （２）Ｑ→偽 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） 偽 １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） 偽 ２６ＭＰＰ
１２３ （８） 偽 ３４５６７選言除去
である。
然るに、
（06）
「→」の「マトリックス（真理表）」により、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
に於いて、
１ （１）真→偽 仮定
２ （２）真→偽 仮定
であるならば、その時に限って、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
といふ「２つの仮定」は、「２つとも、偽である。」
従って、
（02）（05）（06）により、
（07）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真である。」が故に、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
といふ「２つの仮言命題」を、
１ （１）真→偽 仮定
２ （２）真→偽 仮定
であることは、無い。
従って、
（04）（07）
（08）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
といふ「２つの仮言命題」を、
１ （１）真→偽 仮定
２ （２）真→偽 仮定
とすることは、出来ない。といふのであれば、
１ （１）偽→偽 仮定
２ （２）偽→偽 仮定
であると、「せざるを得ない」。
然るに、
（09）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
に於いて、
１ （１）偽→偽 仮定
２ （２）偽→偽 仮定
であるならば、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
に於いても、
１ （１）偽→偽 仮定
２ （２）偽→偽 仮定
３ （３）偽∨偽 仮定
であると、「せざるを得ない」。
然るに、
（10）
「∨」の「マトリックス（真理表）」により、
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
に於いて、
３ （３）偽∨偽 仮定
であるならば、
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
は、「偽」である。
従って、
（02）～（10）により、
（11）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於ける、
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、
１２３ （８） 偽 ３４５６７選言除去
である。とすると、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
といふ「３つの仮定」が、「同時に、３つとも、真である。」といふことは、「有り得ない。」
従って、
（02）（11）により、
（12）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真」であると、するのであれば、
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、
Ｒ＝偽 である。
とすることは、出来ず、それ故、
必然的に、 Ｒ＝真 である。
従って、
（12）により、
（13）
Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ，Ｐ∨Ｑ├ Ｒ
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（01）（13）により、
（14）
論理式 Ｐ，Ｑ，Ｒ について、Ｐ→Ｒ， Ｑ→Ｒ， Ｐ∨Ｑ がすべて真であるような任意の解釈のもとで Ｒ は必ず真になります。これは「選言除去」と呼ばれる推論規則です。
（選言除去 | 述語論理 | 論理 | 数学 | ワイズ）
といふ「説明」は、正しい（Ｑ.Ｅ.Ｄ）。
令和０２年０９月１５日、毛利太。
論理式 Ｐ，Ｑ，Ｒ について、Ｐ→Ｒ， Ｑ→Ｒ， Ｐ∨Ｑ がすべて真であるような任意の解釈のもとで Ｒ は必ず真になります。これは「選言除去」と呼ばれる推論規則です。
（選言除去 | 述語論理 | 論理 | 数学 | ワイズ）
然るに、
（02）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、「仮定の規則」により、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真」である。
然るに、
（03）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於ける、
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、
１２３ （８） 偽 ３４５６７選言除去
である。とする。
然るに、
（04）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於ける、「５つのＲ」の内、「１つのＲが、偽である。」ならば、「５つのＲは、すべて、偽である。」
従って、
（04）により、
（05）
１ （１）Ｐ→偽 仮定
２ （２）Ｑ→偽 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） 偽 １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） 偽 ２６ＭＰＰ
１２３ （８） 偽 ３４５６７選言除去
である。
然るに、
（06）
「→」の「マトリックス（真理表）」により、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
に於いて、
１ （１）真→偽 仮定
２ （２）真→偽 仮定
であるならば、その時に限って、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
といふ「２つの仮定」は、「２つとも、偽である。」
従って、
（02）（05）（06）により、
（07）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真である。」が故に、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
といふ「２つの仮言命題」を、
１ （１）真→偽 仮定
２ （２）真→偽 仮定
であることは、無い。
従って、
（04）（07）
（08）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
といふ「２つの仮言命題」を、
１ （１）真→偽 仮定
２ （２）真→偽 仮定
とすることは、出来ない。といふのであれば、
１ （１）偽→偽 仮定
２ （２）偽→偽 仮定
であると、「せざるを得ない」。
然るに、
（09）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
に於いて、
１ （１）偽→偽 仮定
２ （２）偽→偽 仮定
であるならば、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
に於いても、
１ （１）偽→偽 仮定
２ （２）偽→偽 仮定
３ （３）偽∨偽 仮定
であると、「せざるを得ない」。
然るに、
（10）
「∨」の「マトリックス（真理表）」により、
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
に於いて、
３ （３）偽∨偽 仮定
であるならば、
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
は、「偽」である。
従って、
（02）～（10）により、
（11）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於ける、
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、
１２３ （８） 偽 ３４５６７選言除去
である。とすると、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
といふ「３つの仮定」が、「同時に、３つとも、真である。」といふことは、「有り得ない。」
従って、
（02）（11）により、
（12）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真」であると、するのであれば、
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、
Ｒ＝偽 である。
とすることは、出来ず、それ故、
必然的に、 Ｒ＝真 である。
従って、
（12）により、
（13）
Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ，Ｐ∨Ｑ├ Ｒ
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（01）（13）により、
（14）
論理式 Ｐ，Ｑ，Ｒ について、Ｐ→Ｒ， Ｑ→Ｒ， Ｐ∨Ｑ がすべて真であるような任意の解釈のもとで Ｒ は必ず真になります。これは「選言除去」と呼ばれる推論規則です。
（選言除去 | 述語論理 | 論理 | 数学 | ワイズ）
といふ「説明」は、正しい（Ｑ.Ｅ.Ｄ）。
令和０２年０９月１５日、毛利太。
2020年9月14日月曜日
「象は鼻が長い。」の「述語論理」の「説明」。
―「先程（令和０２年０９月１４日）の記事」を補足します。―
（01）
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（〃）兎は、鼻以外（耳）も長い。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象であるとすると、「矛盾」する。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
然るに、
（05）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふことは、要するに、
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ、ことである。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。 とするならば、
（ⅰ）象は、鼻（と耳）が長い。
としても、「矛盾」しない。
然るに、
（09）
（ⅰ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。
といふのであれば、これだけでは、
（ⅱ）兎の鼻は、長いのか、長くないのか。
といふことに関しては、「不明」である。
従って、
（04）～（09）により、
（10）
（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（11）
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
ではなく、
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
とするならば、
（ⅰ）象は鼻は長い。
となって、
（ⅰ）象は鼻は長い。
といふことは、
（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。
といふ、ことである。
然るに、
（04）（11）により、
（12）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
といふ「仮定」からは、
１２（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２（〃）兎は象でない。
といふ「結論」を、得ることは、出来ない。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」ではない。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」が、「日本語」として、「妥当」であると、するならば、
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（15）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「否定」することは、出来ない。
令和０２年０９月１４日、毛利太。
（01）
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（〃）兎は、鼻以外（耳）も長い。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象であるとすると、「矛盾」する。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
然るに、
（05）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふことは、要するに、
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ、ことである。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。 とするならば、
（ⅰ）象は、鼻（と耳）が長い。
としても、「矛盾」しない。
然るに、
（09）
（ⅰ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。
といふのであれば、これだけでは、
（ⅱ）兎の鼻は、長いのか、長くないのか。
といふことに関しては、「不明」である。
従って、
（04）～（09）により、
（10）
（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（11）
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
ではなく、
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
とするならば、
（ⅰ）象は鼻は長い。
となって、
（ⅰ）象は鼻は長い。
といふことは、
（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。
といふ、ことである。
然るに、
（04）（11）により、
（12）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
といふ「仮定」からは、
１２（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２（〃）兎は象でない。
といふ「結論」を、得ることは、出来ない。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」ではない。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」が、「日本語」として、「妥当」であると、するならば、
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（15）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「否定」することは、出来ない。
令和０２年０９月１４日、毛利太。
「象の鼻が長い」等の「述語論理」。
―「昨日（令和０２年０９月１３日）の記事」を書き直します。―
（01）
①｛象、兎、馬、犬｝
であれば、
象は、動物であり、
兎も、動物であり、
馬も、動物であり、
犬も、動物である。
従って、
（01）により、
（02）
①｛象、兎、馬、犬｝
であれば、
① 象が動物である。
とは、言へない。
然るに、
（03）
①｛象、机、車、家｝
であれば、
象は、動物であり、
机は、動物ではなく
車も、動物ではなく、
家も、動物ではない。
従って、
（03）により、
（04）
①｛象、机、車、家｝
であれば、
① 象が動物である。
然るに、
（05）
①｛象、机、車、家｝
於いて、
象は、動物であり、
机は、動物ではなく、
車も、動物ではなく、
家も、動物ではない。
といふことは、
① 象は動物であり、象以外（机、車、家）は動物ではない。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ＡがＢである。
ならば、そのときに限って、
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１） ～Ａ→～Ｂ 仮定
２ （２） Ｂ 仮定
３（３） ～Ａ 仮定
１ ３（４） ～Ｂ １３前件肯定
１２３（５） Ｂ＆～Ｂ ２４＆導入
１２ （６）～～Ａ ３５背理法
１２ （７） Ａ ６二重否定
１ （８） Ｂ→ Ａ ２７条件法
（ⅱ）
１ （１） Ｂ→ Ａ 仮定
２ （２） ～Ａ 仮定
３（３） Ｂ 仮定
１ ３（４） Ａ １３前件肯定
１２３（５） ～Ａ＆Ａ ２４＆導入
１２ （６） ～Ｂ ３５ＲＡＡ
１ （７） ～Ａ→～Ｂ ２６条件法
従って、
（07）により、
（08）
① ～Ａ→～Ｂ≡Ａでないならば、Ｂでない。
② Ｂ→ Ａ≡Ｂであるならば、Ａである。
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（09）
① Ａ以外はＢでない。
② ＢはＡである。
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（06）（09）により、
（10）
① ＡがＢである。
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
③ ＡはＢであり、ＢはＡである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
① Ｃは、ＡがＢである。
② Ｃは、ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
③ Ｃは、ＡはＢであり、ＢはＡである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（11）により、
（12）
① Ｃは、ＡがＢである。
② Ｃは、ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
③ Ｃは、ＡはＢであり、ＢはＡである。
に於いて、
Ｃ＝タゴール記念会
Ａ＝私
Ｂ＝理事長
といふ「代入（Substitutions）」を行ふと、
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長でない。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（13）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（12）（13）により、
（14）
三上章 先生は、
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長でない。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私である。
に於いて、
①＝③ である。
といふことには、気付いてゐるが、
①＝② である。
といふことには、気付いてゐない。
従って、
（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は鼻は長く、長いのは鼻である。
に於いて、
①＝② である。
といふことには、気付いてゐない。
然るに、
（16）
① 君が行く。
⑤ 君が行く道。
に於いて、
① 君（体言）が（ 格助詞 ）行く（終止形）。
⑤ 君（体言）が（準体助詞）行く（連体形）道。
である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
① 象の鼻が長い。
⑤ 象の鼻が長いこと。
に於いても、
① 鼻が（ 格助詞 ）
⑤ 鼻が（準体助詞）
である。
従って、
（17）により、
（18）
① 象の鼻が長い。
⑤ 象の鼻が長いこと。
であるならば、
① 鼻が（ 格助詞 ）
⑤ 鼻が（準体助詞）
に於いて、
①＝⑤ ではないため、「注意」が、「必要」である。
然るに、
（10）により、
（19）
① 象の鼻が長い。
② 象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（19）により、
（20）
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（20）により、
（21）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、象ではななく、ｙはｘの鼻である。）従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。）
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（21）により、
（22）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（22）により、
（23）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝ １ＵＥ
３ （４） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｙａ） Ａ
７（７） 兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
７（８） 兎ａ ７＆Ｅ
７（９） ～象ａ＆鼻ｂａ ７＆Ｅ
３ ７（ア） ～長ｂ ４９ＭＰＰ
７（イ） 鼻ｂａ ９＆Ｅ
３ ７（ウ） 鼻ｂａ＆～長ｂ アイ＆Ｉ
３ ７（エ） 兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ ８ウ＆Ｉ
３ ７（オ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） エＥＩ
３ ６ （カ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） ６７オＥＥ
３ ６ （キ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） カＥＩ
３５ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ５６キＥＥ
１ ５ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ２３クＥＥ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（19）～（23）により、
（24）
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（10）により、
（25）
① 鼻は象が長い。
② 鼻は象は長く、象以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（25）により、
（26）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（26）により、
（27）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、象ではななく、ｙはｘの鼻である。）従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。）
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（27）により、
（28）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（28）により、
（29）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝ １ＵＥ
３ （４） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｙａ） Ａ
７（７） 兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
７（８） 兎ａ ７＆Ｅ
７（９） ～象ａ＆鼻ｂａ ７＆Ｅ
３ ７（ア） ～長ｂ ４９ＭＰＰ
７（イ） 鼻ｂａ ９＆Ｅ
３ ７（ウ） 鼻ｂａ＆～長ｂ アイ＆Ｉ
３ ７（エ） 兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ ８ウ＆Ｉ
３ ７（オ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） エＥＩ
３ ６ （カ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） ６７オＥＥ
３ ６ （キ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） カＥＩ
３５ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ５６キＥＥ
１ ５ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ２３クＥＥ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（25）～（29）により、
（30）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（10）により、
（31）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（31）により、
（32）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（32）により、
（33）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。｝
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（33）により、
（34）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（34）により、
（35）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（31）～（35）により、
（36）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（37）
① 象は鼻が長い。
③ 象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。
に於いて、
①＝③ であるならば、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
といふ「仮定」は、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
といふ「仮定」と、「交換」することになる。
然るに、
（35）（37）により、
（38）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
といふ「仮定」からは、
１２（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２（〃）すべての兎は、象ではない。 ナＵＩ
といふ「結論」を、得ることが、出来ない。
従って、
（36）（37）（38）により、
（39）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」を、「妥当」であると、する一方で、
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② ではないと、することは、出来ない。
然るに、
（40）
5つ星のうち5.0 この名著が切れているとは！
2011年11月4日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
この名著が切れているとは嘆かわしい！「は」主題説によって本質的な日本語論を展開し、日本語論争を巻き起こした、こういう古典とも言える本は常に手に入る状態であってほしい。
（「三上章、象は鼻が長い、1960年」の、カスタマーレビュー）
然るに、
（41）
「三上章、象は鼻が長い、1960年」には、
① ＡがＢである。
② ＡはＢであり、ＢはＡである。
③ ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことに対する、「言及」が無い。
それ故、
（42）
私自身は、「三上章、象は鼻が長い、1960年」といふ「著作」が、「名著」であるとは、少しも、思はない。
然るに、
（43）
2016年12月29日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
「日本文法入門」とあるので、特に中身を確認せず手にとったのが良くありませんでした。
結論から言うと、この本は決してゴロ寝して読むレベルのカジュアルな本ではなく、ある程度の日本語文法知識（たとえそれが西洋から輸入されたものであっても）を得て、そこそこ文法を体系的に捉えられる人が手にとって読む本だろうと感じました。
包摂判断・類概念といった専門用語からはじまり、さまざまな学者の説も交えているので、初学者にとってはちんぷんかんぷんでした。
（「三上章、象は鼻が長い、1960年」の、カスタマーレビュー）
然るに、
（44）
「三上章、象は鼻が長い、1960年」といふ「著作」は、正直にいって、私にとっても、「ちんぷんかんぷん」である。
令和０２年０９月１４日、毛利太。
（01）
①｛象、兎、馬、犬｝
であれば、
象は、動物であり、
兎も、動物であり、
馬も、動物であり、
犬も、動物である。
従って、
（01）により、
（02）
①｛象、兎、馬、犬｝
であれば、
① 象が動物である。
とは、言へない。
然るに、
（03）
①｛象、机、車、家｝
であれば、
象は、動物であり、
机は、動物ではなく
車も、動物ではなく、
家も、動物ではない。
従って、
（03）により、
（04）
①｛象、机、車、家｝
であれば、
① 象が動物である。
然るに、
（05）
①｛象、机、車、家｝
於いて、
象は、動物であり、
机は、動物ではなく、
車も、動物ではなく、
家も、動物ではない。
といふことは、
① 象は動物であり、象以外（机、車、家）は動物ではない。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ＡがＢである。
ならば、そのときに限って、
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１） ～Ａ→～Ｂ 仮定
２ （２） Ｂ 仮定
３（３） ～Ａ 仮定
１ ３（４） ～Ｂ １３前件肯定
１２３（５） Ｂ＆～Ｂ ２４＆導入
１２ （６）～～Ａ ３５背理法
１２ （７） Ａ ６二重否定
１ （８） Ｂ→ Ａ ２７条件法
（ⅱ）
１ （１） Ｂ→ Ａ 仮定
２ （２） ～Ａ 仮定
３（３） Ｂ 仮定
１ ３（４） Ａ １３前件肯定
１２３（５） ～Ａ＆Ａ ２４＆導入
１２ （６） ～Ｂ ３５ＲＡＡ
１ （７） ～Ａ→～Ｂ ２６条件法
従って、
（07）により、
（08）
① ～Ａ→～Ｂ≡Ａでないならば、Ｂでない。
② Ｂ→ Ａ≡Ｂであるならば、Ａである。
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（09）
① Ａ以外はＢでない。
② ＢはＡである。
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（06）（09）により、
（10）
① ＡがＢである。
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
③ ＡはＢであり、ＢはＡである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
① Ｃは、ＡがＢである。
② Ｃは、ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
③ Ｃは、ＡはＢであり、ＢはＡである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（11）により、
（12）
① Ｃは、ＡがＢである。
② Ｃは、ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
③ Ｃは、ＡはＢであり、ＢはＡである。
に於いて、
Ｃ＝タゴール記念会
Ａ＝私
Ｂ＝理事長
といふ「代入（Substitutions）」を行ふと、
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長でない。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（13）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（12）（13）により、
（14）
三上章 先生は、
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長でない。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私である。
に於いて、
①＝③ である。
といふことには、気付いてゐるが、
①＝② である。
といふことには、気付いてゐない。
従って、
（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は鼻は長く、長いのは鼻である。
に於いて、
①＝② である。
といふことには、気付いてゐない。
然るに、
（16）
① 君が行く。
⑤ 君が行く道。
に於いて、
① 君（体言）が（ 格助詞 ）行く（終止形）。
⑤ 君（体言）が（準体助詞）行く（連体形）道。
である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
① 象の鼻が長い。
⑤ 象の鼻が長いこと。
に於いても、
① 鼻が（ 格助詞 ）
⑤ 鼻が（準体助詞）
である。
従って、
（17）により、
（18）
① 象の鼻が長い。
⑤ 象の鼻が長いこと。
であるならば、
① 鼻が（ 格助詞 ）
⑤ 鼻が（準体助詞）
に於いて、
①＝⑤ ではないため、「注意」が、「必要」である。
然るに、
（10）により、
（19）
① 象の鼻が長い。
② 象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（19）により、
（20）
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（20）により、
（21）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、象ではななく、ｙはｘの鼻である。）従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。）
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（21）により、
（22）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（22）により、
（23）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝ １ＵＥ
３ （４） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｙａ） Ａ
７（７） 兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
７（８） 兎ａ ７＆Ｅ
７（９） ～象ａ＆鼻ｂａ ７＆Ｅ
３ ７（ア） ～長ｂ ４９ＭＰＰ
７（イ） 鼻ｂａ ９＆Ｅ
３ ７（ウ） 鼻ｂａ＆～長ｂ アイ＆Ｉ
３ ７（エ） 兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ ８ウ＆Ｉ
３ ７（オ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） エＥＩ
３ ６ （カ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） ６７オＥＥ
３ ６ （キ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） カＥＩ
３５ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ５６キＥＥ
１ ５ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ２３クＥＥ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（19）～（23）により、
（24）
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（10）により、
（25）
① 鼻は象が長い。
② 鼻は象は長く、象以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（25）により、
（26）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（26）により、
（27）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、象ではななく、ｙはｘの鼻である。）従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。）
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（27）により、
（28）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（28）により、
（29）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝ １ＵＥ
３ （４） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｙａ） Ａ
７（７） 兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
７（８） 兎ａ ７＆Ｅ
７（９） ～象ａ＆鼻ｂａ ７＆Ｅ
３ ７（ア） ～長ｂ ４９ＭＰＰ
７（イ） 鼻ｂａ ９＆Ｅ
３ ７（ウ） 鼻ｂａ＆～長ｂ アイ＆Ｉ
３ ７（エ） 兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ ８ウ＆Ｉ
３ ７（オ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） エＥＩ
３ ６ （カ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） ６７オＥＥ
３ ６ （キ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） カＥＩ
３５ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ５６キＥＥ
１ ５ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ２３クＥＥ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（25）～（29）により、
（30）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（10）により、
（31）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（31）により、
（32）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（32）により、
（33）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。｝
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（33）により、
（34）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（34）により、
（35）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（31）～（35）により、
（36）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（37）
① 象は鼻が長い。
③ 象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。
に於いて、
①＝③ であるならば、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
といふ「仮定」は、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
といふ「仮定」と、「交換」することになる。
然るに、
（35）（37）により、
（38）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
といふ「仮定」からは、
１２（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２（〃）すべての兎は、象ではない。 ナＵＩ
といふ「結論」を、得ることが、出来ない。
従って、
（36）（37）（38）により、
（39）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」を、「妥当」であると、する一方で、
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② ではないと、することは、出来ない。
然るに、
（40）
5つ星のうち5.0 この名著が切れているとは！
2011年11月4日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
この名著が切れているとは嘆かわしい！「は」主題説によって本質的な日本語論を展開し、日本語論争を巻き起こした、こういう古典とも言える本は常に手に入る状態であってほしい。
（「三上章、象は鼻が長い、1960年」の、カスタマーレビュー）
然るに、
（41）
「三上章、象は鼻が長い、1960年」には、
① ＡがＢである。
② ＡはＢであり、ＢはＡである。
③ ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことに対する、「言及」が無い。
それ故、
（42）
私自身は、「三上章、象は鼻が長い、1960年」といふ「著作」が、「名著」であるとは、少しも、思はない。
然るに、
（43）
2016年12月29日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
「日本文法入門」とあるので、特に中身を確認せず手にとったのが良くありませんでした。
結論から言うと、この本は決してゴロ寝して読むレベルのカジュアルな本ではなく、ある程度の日本語文法知識（たとえそれが西洋から輸入されたものであっても）を得て、そこそこ文法を体系的に捉えられる人が手にとって読む本だろうと感じました。
包摂判断・類概念といった専門用語からはじまり、さまざまな学者の説も交えているので、初学者にとってはちんぷんかんぷんでした。
（「三上章、象は鼻が長い、1960年」の、カスタマーレビュー）
然るに、
（44）
「三上章、象は鼻が長い、1960年」といふ「著作」は、正直にいって、私にとっても、「ちんぷんかんぷん」である。
令和０２年０９月１４日、毛利太。
2020年9月12日土曜日
「代入（置換）」について。
（01）
―「排中律」の「証明」―
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ Ａ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
然るに、
（02）
～真≡「真ではない」≡「偽である」
～偽≡「偽ではない」≡「真である」
従って、
（02）により、
（03）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、
Ｐ＝真
Ｐ＝偽
といふ「代入（Substitutions）」を行ふと、
① ～Ｐ∨Ｐ≡「Ｐは偽であるか、または、真である。」
② ～Ｐ∨Ｐ≡「Ｐは真であるか、または、偽である。」
然るに、
（04）
①「Ｐは偽であるか、または、真である。」
②「Ｐは真であるか、または、偽である。」
といふことは、「恒に、真である。」
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）≡「（Ｐ→Ｑ）は偽であるか、または、真である。」
② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）≡「（Ｐ→Ｑ）は真であるか、または、偽である。」
然るに、
（07）
①「（Ｐ→Ｑ）は偽であるか、または、真である。」
②「（Ｐ→Ｑ）は真であるか、または、偽である。」
といふことは、「恒に、真である。」
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（05）（08）により、
（09）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
といふ「論理式」が、「恒真式（トートロジー）」であるならば、
Ｐ＝（Ｐ→Ｑ）
Ｐ＝（Ｐ→Ｑ）
といふ「代入（Substitutions）」を行った「結果（Substitution instances）」である所の、
① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」である。
（10）
① ２×３
② ２×（１＋２）
であれば、「その数値（６）」に於いて、
①＝② である。
従って、
（10）により、
（11）
① Ａ×Ｂ
② Ａ×（Ｃ＋Ｄ）
に於いて、
①＝② であるならば、
Ｂ＝（Ｃ＋Ｄ） である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
「四則演算」がそうであるやうに、
「命題計算」に於いても、
① Ｐ＆Ｑ
② Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② であるならば、「その真理値（真・偽）」に於いて、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ） である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ １２ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１（２） （Ｑ∨Ｒ） １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ） １２ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）
といふ「２つの論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「論理式」が、「恒真式」であるならば、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）
といふ「代入（置き換へ）」を行った「結果」である所の、
②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）
に於いて、「左辺の真理値（真・偽）」と、「右辺の真理値（真・偽）」は、「等しい」。
従って、
（15）により、
（16）
「逆」に言へば、
②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」が、「恒真式（トートロジー）」であるならば、
（Ｑ∨Ｒ）＝Ｑ
といふ「Substitution（Replacement）」を行った「結果」である所の、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
（Ｑ∨Ｒ）＝Ｑ
に於いて、「左辺の真理値（真・偽）」と、「右辺の真理値（真・偽）」は、「等しい」。
令和０２年０９月１２日、毛利太。
―「排中律」の「証明」―
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ Ａ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
然るに、
（02）
～真≡「真ではない」≡「偽である」
～偽≡「偽ではない」≡「真である」
従って、
（02）により、
（03）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、
Ｐ＝真
Ｐ＝偽
といふ「代入（Substitutions）」を行ふと、
① ～Ｐ∨Ｐ≡「Ｐは偽であるか、または、真である。」
② ～Ｐ∨Ｐ≡「Ｐは真であるか、または、偽である。」
然るに、
（04）
①「Ｐは偽であるか、または、真である。」
②「Ｐは真であるか、または、偽である。」
といふことは、「恒に、真である。」
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）≡「（Ｐ→Ｑ）は偽であるか、または、真である。」
② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）≡「（Ｐ→Ｑ）は真であるか、または、偽である。」
然るに、
（07）
①「（Ｐ→Ｑ）は偽であるか、または、真である。」
②「（Ｐ→Ｑ）は真であるか、または、偽である。」
といふことは、「恒に、真である。」
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（05）（08）により、
（09）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
といふ「論理式」が、「恒真式（トートロジー）」であるならば、
Ｐ＝（Ｐ→Ｑ）
Ｐ＝（Ｐ→Ｑ）
といふ「代入（Substitutions）」を行った「結果（Substitution instances）」である所の、
① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」である。
（10）
① ２×３
② ２×（１＋２）
であれば、「その数値（６）」に於いて、
①＝② である。
従って、
（10）により、
（11）
① Ａ×Ｂ
② Ａ×（Ｃ＋Ｄ）
に於いて、
①＝② であるならば、
Ｂ＝（Ｃ＋Ｄ） である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
「四則演算」がそうであるやうに、
「命題計算」に於いても、
① Ｐ＆Ｑ
② Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② であるならば、「その真理値（真・偽）」に於いて、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ） である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ １２ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１（２） （Ｑ∨Ｒ） １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ） １２ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）
といふ「２つの論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「論理式」が、「恒真式」であるならば、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）
といふ「代入（置き換へ）」を行った「結果」である所の、
②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）
に於いて、「左辺の真理値（真・偽）」と、「右辺の真理値（真・偽）」は、「等しい」。
従って、
（15）により、
（16）
「逆」に言へば、
②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」が、「恒真式（トートロジー）」であるならば、
（Ｑ∨Ｒ）＝Ｑ
といふ「Substitution（Replacement）」を行った「結果」である所の、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
（Ｑ∨Ｒ）＝Ｑ
に於いて、「左辺の真理値（真・偽）」と、「右辺の真理値（真・偽）」は、「等しい」。
令和０２年０９月１２日、毛利太。
2020年9月10日木曜日
「括弧」と「返り点」と「漢文の、目による直読」。
（01）
① 如揮快刀断乱麻＝
① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕
に於いて、
如〔 〕⇒〔 〕如
揮（ ）⇒（ ）揮
断（ ）⇒（ ）断
といふ「移動」を行ふと、
① 〔（快刀）揮（乱麻）断〕如＝
① 〔（快刀を）揮って（乱麻を）断つが〕如し。
（02）
② 如揮快刀断乱麻者＝
② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。
に於いて、
如〔 〕⇒〔 〕如
揮（ ）⇒（ ）揮
断（ ）⇒（ ）断
といふ「移動」を行ふと、
② 〔（快刀）揮（乱麻）断者〕如＝
② 〔（快刀を）揮って（乱麻を）断つ者が〕如し。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 如揮快刀断乱麻。
② 如揮快刀断乱麻者。
に対する「括弧」は、両方とも、
①〔（ ）（ ）〕
②〔（ ）（ ）〕
であって、「同じ」になる。
然るに、
（04）
① 如下 揮二 快刀一 断中 乱麻上⇒
① 快刀一 揮二 乱麻上 断中 如下＝
① 快刀一を 揮二って 乱麻上を 断中つが 如下し。
然るに、
（05）
② 如下 揮二 快刀一 断二 乱麻一 者上⇒
② 快刀一 揮二 乱麻一 断二 者上 如下＝
② 快刀一を 揮二って 乱麻一を 断二つ 者上が 如下し。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 如揮快刀断乱麻。
② 如揮快刀断乱麻者。
に対する「返り点」は、それぞれ、
① 下 二 一 中 上
② 下 二 一 二 一 上
であって、「同じ」ではない。
然るに、
（07）
① 如下揮二快刀一断中乱麻上。
② 如下揮二快刀一断二乱麻一者上。
ではなく、
① 如下揮二快刀一断二乱麻一＃上。
② 如下揮二快刀一断二乱麻一者上。
であるならば、
① 如揮快刀断乱麻＃。
② 如揮快刀断乱麻者。
に対する「返り点」は、それぞれ、
① 下 二 一 二 一 上
② 下 二 一 二 一 上
であって、「同じ」になる。
然るに、
（08）
① 如揮快刀断乱麻＃。
に於いて、
① ＃
は「ダミー」であって、「意味も、音も無い」ものと、する。
加へて、
（09）
① 如揮快刀断乱麻＃。
に於いて、
① ＃
は、「省く」ことが出来る、とする。
従って、
（07）（08）（09）
（10）
① 如下揮二快刀一断二乱麻一上。
② 如下揮二快刀一断二乱麻一者上。
であるため、この場合は、
① 如揮快刀断乱麻。
② 如揮快刀断乱麻者。
に対する「返り点」は、両方とも、
① 下 二 一 二 一 上
② 下 二 一 二 一 上
といふ風に、「同じ」になる。
然るに、
（11）
① 如下揮二快刀一断二乱麻一上。
② 如下揮二快刀一断二乱麻一者上。
といふ「返り点」は、
① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕。
② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。
と書いても、「同じ」ことであり、
① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕。
② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。
といふ「それ」は、
① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕
② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。
といふ「括弧」と、「同じ」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
①〔（ ）（ ）〕
といふ「括弧」は、
① 下 二 一 二 一 上
といふ「返り点」に「相当」する。
然るに、
（13）
「返り点」は、「その発想」として、
（ⅰ）「漢文訓読」の「語順」を表し、尚且つ、
（ⅱ）飽くまでも、「漢字」に付く。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
「返り点」の「発想」からすれば、
① 如下揮二快刀一断二乱麻一上。
② 如下揮二快刀一断二乱麻一者上。
に於いて、
② に関しては、「有り得る」が、
① に関しては、「有り得ない」。
然るに、
（15）
① 如揮快刀断乱麻。
② 如揮快刀断乱麻者。
といふ「漢文」に於ける、「補足構造」は「共通」であって、「括弧」を用ひて、それ「表す」とすると、
① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕。
② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。
といふ「形」になる。
然るに、
（16）
漢語における語順は、国語と大きく違っているところがある。すなわち、その補足構造における語順は、国語とは全く反対である。しかし、訓読は、国語の語順に置きかえて読むことが、その大きな原則となっている。それでその補足構造によっている文も、返り点によって、国語としての語順が示されている（鈴木直治、中国語と漢文、1975年、２９６頁）。
従って、
（15）（16）により、
（17）
② 如揮快刀断乱麻者。
といふ「漢文」の、
② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。
といふ「補足構造」が、「分かった時点」で、
② 〔（快刀）揮（乱麻）断者〕如＝
② 〔（快刀を）揮って（乱麻を）断つ者が〕如し。
といふ「訓読の語順」が、「一意的に、定まる」ことになる。
従って、
（17）により、
（18）
例へば、
③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者（孟子集注）。
といふ「漢文」の、
③ 欲雖｛人之所［不〔能（無）〕］｝然多而不（節）未｛有［不〔失（其本心）〕者］｝。
といふ「補足構造」が、「分かった時点」で、
③ 欲｛人之［〔（無）能〕不］所｝雖然多而（節）不未｛［〔（其本心）失〕不者］有｝不＝
③ 欲は｛人の［〔（無き）能は〕不る］所なりと｝雖へども、然れども、多くして（節せ）ざれば未だ｛［〔（其の本心を）失は〕不る者］有ら｝不。
といふ「訓読の語順」が、「一意的に、定まる」ことになる。
然るに、
（19）
③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者。
といふ「漢文」を、
③ 欲は人の無き能は不る所なりと雖へども、然れども、多くして、節せざれば、未だ其の本心を失は不る者有ら不。
と「訓読」出来さえすれば、
③ 欲は人の無き能は不る所なりと雖へども、然れども、多くして、節せざれば、未だ其の本心を失は不る者有ら不。
といふ「語順」を下に、
③ 欲 雖二 人 之 所一レ 不レ 能レ 無 然 多 而 不レ 節 未レ 有上 不レ 失二 其 本 心一 者上 。
といふ「返り点」を、付けることが、出来る。
然るに、
（20）
徂徠は、書を千遍読めば意味はおのずとわかる（「読書千遍、其義自見」）とはどういうことか、幼時にはわからなかったと云う。意味がわからないのに読めるはずがなく、読めればわかっているはずだと思ったからである。しかし後になって、中華では文字列をそのままの順で読むために、意味がわからなくとも読めること、それに対して。日本では中華の文字をこちらの言語の語順に直して読むために意味がとれなければ読めないことに気づく（勉誠出版、続「訓読」論、2010年、１７頁）。
（21）
徂徠は「題言十則」のなかで以下のように述べている。
中華の人多く言へり、「読書、読書」と。予は便ち謂へり、書を読むは書を看るに如かず、と。此れ中華と此の方との語言同じからざるに縁りて、故に此の方は耳口の二者、皆な力を得ず、唯だ一双の眼のみ、三千世界の人を合はせて、総て殊なること有ること莫し。
ここでの「読書」は、文脈からして音読であろう（勉誠出版、「訓読」論、2008年、２７・２４４頁）
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者。
といふ「漢文」に対して、
③ 欲 雖二 人 之 所一レ 不レ 能レ 無 然 多 而 不レ 節 未レ 有上 不レ 失二 其 本 心一 者上 。
といふ「返り点」を付けるためには、
③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者。
といふ「漢文」が、
③ 欲雖｛人之所［不〔能（無）〕］｝然多而不（節）未｛有［不〔失（其本心）〕者］｝。
といふ風に、見えるまで、「ひたすら、見る」しかない。
然るに、
（23）
③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者。
といふ「漢文」が、
③ 欲雖｛人之所［不〔能（無）〕］｝然多而不（節）未｛有［不〔失（其本心）〕者］｝。
といふ風に、見える人であれば、
④ 我非欲揮快刀断乱麻者。
といふ「漢文」くらひは、それを「見た瞬間に」、
④ 我は快刀を揮って乱麻を断たんと欲する者に非ず。
といふ風に、「訓読」出来ることになる。
然るに、
（24）
④ 我非欲揮快刀断乱麻者。
といふ「漢文」を「見ると同時」に、
④ 我は快刀を揮って乱麻を断たんと欲する者に非ず。
といふ風に、「訓読」出来るのであれば、その人は、
④ 我非欲揮快刀断乱麻者。
といふ「漢文」を「目によって、直読」してゐることなる。
然るに、
（25）
p.9に「また、訓読ということには、大きな限界があるものなのであって、先人は、目による直読によって、その限界を乗り越えて来ていたのであることを忘れてはならない。」
ｐ.385に「わが国における漢学の発達は、右のように、目による直読式の読法が、大きな基礎になっていたのであって、訓点による読誦は、この直読による暗記を助けるためのものであったともいうことができる」と書かれている。（ｐ.7から9に同じ趣旨の事が書いてある）
私は、著者のいう『目による直読式の読法』の基本的な読み方・考え方を知りたくて、様々な本を物色していますが残念な事に出会えません。
（「鈴木直治、中国語と漢文、1975年」のカスタマーレビュウー）
従って、
（23）（24）（25）により、
（26）
『目による直読式の読法』の基本的な読み方を、マスターするには、
取り敢へず、例へば、
④ 我非欲揮快刀断乱麻者。
等の「漢文（白文）」に対して、
④ 我非［欲〔揮（快刀）断（乱麻）〕者］。
といふ「括弧」を、付ける「練習」をすれば良い。
（27）
「ある程度」、それが出来るようになったならば、
④ 我非欲揮快刀断乱麻者。
といふ「漢文（白文）」を見たら、そのまま、
④ 我は快刀を揮って乱麻を断たんと欲する者に非ず。
といふ風に、読むように、すれば良い。
令和０２年０９月１０日、毛利太。
① 如揮快刀断乱麻＝
① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕
に於いて、
如〔 〕⇒〔 〕如
揮（ ）⇒（ ）揮
断（ ）⇒（ ）断
といふ「移動」を行ふと、
① 〔（快刀）揮（乱麻）断〕如＝
① 〔（快刀を）揮って（乱麻を）断つが〕如し。
（02）
② 如揮快刀断乱麻者＝
② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。
に於いて、
如〔 〕⇒〔 〕如
揮（ ）⇒（ ）揮
断（ ）⇒（ ）断
といふ「移動」を行ふと、
② 〔（快刀）揮（乱麻）断者〕如＝
② 〔（快刀を）揮って（乱麻を）断つ者が〕如し。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 如揮快刀断乱麻。
② 如揮快刀断乱麻者。
に対する「括弧」は、両方とも、
①〔（ ）（ ）〕
②〔（ ）（ ）〕
であって、「同じ」になる。
然るに、
（04）
① 如下 揮二 快刀一 断中 乱麻上⇒
① 快刀一 揮二 乱麻上 断中 如下＝
① 快刀一を 揮二って 乱麻上を 断中つが 如下し。
然るに、
（05）
② 如下 揮二 快刀一 断二 乱麻一 者上⇒
② 快刀一 揮二 乱麻一 断二 者上 如下＝
② 快刀一を 揮二って 乱麻一を 断二つ 者上が 如下し。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 如揮快刀断乱麻。
② 如揮快刀断乱麻者。
に対する「返り点」は、それぞれ、
① 下 二 一 中 上
② 下 二 一 二 一 上
であって、「同じ」ではない。
然るに、
（07）
① 如下揮二快刀一断中乱麻上。
② 如下揮二快刀一断二乱麻一者上。
ではなく、
① 如下揮二快刀一断二乱麻一＃上。
② 如下揮二快刀一断二乱麻一者上。
であるならば、
① 如揮快刀断乱麻＃。
② 如揮快刀断乱麻者。
に対する「返り点」は、それぞれ、
① 下 二 一 二 一 上
② 下 二 一 二 一 上
であって、「同じ」になる。
然るに、
（08）
① 如揮快刀断乱麻＃。
に於いて、
① ＃
は「ダミー」であって、「意味も、音も無い」ものと、する。
加へて、
（09）
① 如揮快刀断乱麻＃。
に於いて、
① ＃
は、「省く」ことが出来る、とする。
従って、
（07）（08）（09）
（10）
① 如下揮二快刀一断二乱麻一上。
② 如下揮二快刀一断二乱麻一者上。
であるため、この場合は、
① 如揮快刀断乱麻。
② 如揮快刀断乱麻者。
に対する「返り点」は、両方とも、
① 下 二 一 二 一 上
② 下 二 一 二 一 上
といふ風に、「同じ」になる。
然るに、
（11）
① 如下揮二快刀一断二乱麻一上。
② 如下揮二快刀一断二乱麻一者上。
といふ「返り点」は、
① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕。
② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。
と書いても、「同じ」ことであり、
① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕。
② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。
といふ「それ」は、
① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕
② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。
といふ「括弧」と、「同じ」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
①〔（ ）（ ）〕
といふ「括弧」は、
① 下 二 一 二 一 上
といふ「返り点」に「相当」する。
然るに、
（13）
「返り点」は、「その発想」として、
（ⅰ）「漢文訓読」の「語順」を表し、尚且つ、
（ⅱ）飽くまでも、「漢字」に付く。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
「返り点」の「発想」からすれば、
① 如下揮二快刀一断二乱麻一上。
② 如下揮二快刀一断二乱麻一者上。
に於いて、
② に関しては、「有り得る」が、
① に関しては、「有り得ない」。
然るに、
（15）
① 如揮快刀断乱麻。
② 如揮快刀断乱麻者。
といふ「漢文」に於ける、「補足構造」は「共通」であって、「括弧」を用ひて、それ「表す」とすると、
① 如〔揮（快刀）断（乱麻）〕。
② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。
といふ「形」になる。
然るに、
（16）
漢語における語順は、国語と大きく違っているところがある。すなわち、その補足構造における語順は、国語とは全く反対である。しかし、訓読は、国語の語順に置きかえて読むことが、その大きな原則となっている。それでその補足構造によっている文も、返り点によって、国語としての語順が示されている（鈴木直治、中国語と漢文、1975年、２９６頁）。
従って、
（15）（16）により、
（17）
② 如揮快刀断乱麻者。
といふ「漢文」の、
② 如〔揮（快刀）断（乱麻）者〕。
といふ「補足構造」が、「分かった時点」で、
② 〔（快刀）揮（乱麻）断者〕如＝
② 〔（快刀を）揮って（乱麻を）断つ者が〕如し。
といふ「訓読の語順」が、「一意的に、定まる」ことになる。
従って、
（17）により、
（18）
例へば、
③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者（孟子集注）。
といふ「漢文」の、
③ 欲雖｛人之所［不〔能（無）〕］｝然多而不（節）未｛有［不〔失（其本心）〕者］｝。
といふ「補足構造」が、「分かった時点」で、
③ 欲｛人之［〔（無）能〕不］所｝雖然多而（節）不未｛［〔（其本心）失〕不者］有｝不＝
③ 欲は｛人の［〔（無き）能は〕不る］所なりと｝雖へども、然れども、多くして（節せ）ざれば未だ｛［〔（其の本心を）失は〕不る者］有ら｝不。
といふ「訓読の語順」が、「一意的に、定まる」ことになる。
然るに、
（19）
③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者。
といふ「漢文」を、
③ 欲は人の無き能は不る所なりと雖へども、然れども、多くして、節せざれば、未だ其の本心を失は不る者有ら不。
と「訓読」出来さえすれば、
③ 欲は人の無き能は不る所なりと雖へども、然れども、多くして、節せざれば、未だ其の本心を失は不る者有ら不。
といふ「語順」を下に、
③ 欲 雖二 人 之 所一レ 不レ 能レ 無 然 多 而 不レ 節 未レ 有上 不レ 失二 其 本 心一 者上 。
といふ「返り点」を、付けることが、出来る。
然るに、
（20）
徂徠は、書を千遍読めば意味はおのずとわかる（「読書千遍、其義自見」）とはどういうことか、幼時にはわからなかったと云う。意味がわからないのに読めるはずがなく、読めればわかっているはずだと思ったからである。しかし後になって、中華では文字列をそのままの順で読むために、意味がわからなくとも読めること、それに対して。日本では中華の文字をこちらの言語の語順に直して読むために意味がとれなければ読めないことに気づく（勉誠出版、続「訓読」論、2010年、１７頁）。
（21）
徂徠は「題言十則」のなかで以下のように述べている。
中華の人多く言へり、「読書、読書」と。予は便ち謂へり、書を読むは書を看るに如かず、と。此れ中華と此の方との語言同じからざるに縁りて、故に此の方は耳口の二者、皆な力を得ず、唯だ一双の眼のみ、三千世界の人を合はせて、総て殊なること有ること莫し。
ここでの「読書」は、文脈からして音読であろう（勉誠出版、「訓読」論、2008年、２７・２４４頁）
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者。
といふ「漢文」に対して、
③ 欲 雖二 人 之 所一レ 不レ 能レ 無 然 多 而 不レ 節 未レ 有上 不レ 失二 其 本 心一 者上 。
といふ「返り点」を付けるためには、
③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者。
といふ「漢文」が、
③ 欲雖｛人之所［不〔能（無）〕］｝然多而不（節）未｛有［不〔失（其本心）〕者］｝。
といふ風に、見えるまで、「ひたすら、見る」しかない。
然るに、
（23）
③ 欲雖人之所不能無然多而不節未有不失其本心者。
といふ「漢文」が、
③ 欲雖｛人之所［不〔能（無）〕］｝然多而不（節）未｛有［不〔失（其本心）〕者］｝。
といふ風に、見える人であれば、
④ 我非欲揮快刀断乱麻者。
といふ「漢文」くらひは、それを「見た瞬間に」、
④ 我は快刀を揮って乱麻を断たんと欲する者に非ず。
といふ風に、「訓読」出来ることになる。
然るに、
（24）
④ 我非欲揮快刀断乱麻者。
といふ「漢文」を「見ると同時」に、
④ 我は快刀を揮って乱麻を断たんと欲する者に非ず。
といふ風に、「訓読」出来るのであれば、その人は、
④ 我非欲揮快刀断乱麻者。
といふ「漢文」を「目によって、直読」してゐることなる。
然るに、
（25）
p.9に「また、訓読ということには、大きな限界があるものなのであって、先人は、目による直読によって、その限界を乗り越えて来ていたのであることを忘れてはならない。」
ｐ.385に「わが国における漢学の発達は、右のように、目による直読式の読法が、大きな基礎になっていたのであって、訓点による読誦は、この直読による暗記を助けるためのものであったともいうことができる」と書かれている。（ｐ.7から9に同じ趣旨の事が書いてある）
私は、著者のいう『目による直読式の読法』の基本的な読み方・考え方を知りたくて、様々な本を物色していますが残念な事に出会えません。
（「鈴木直治、中国語と漢文、1975年」のカスタマーレビュウー）
従って、
（23）（24）（25）により、
（26）
『目による直読式の読法』の基本的な読み方を、マスターするには、
取り敢へず、例へば、
④ 我非欲揮快刀断乱麻者。
等の「漢文（白文）」に対して、
④ 我非［欲〔揮（快刀）断（乱麻）〕者］。
といふ「括弧」を、付ける「練習」をすれば良い。
（27）
「ある程度」、それが出来るようになったならば、
④ 我非欲揮快刀断乱麻者。
といふ「漢文（白文）」を見たら、そのまま、
④ 我は快刀を揮って乱麻を断たんと欲する者に非ず。
といふ風に、読むように、すれば良い。
令和０２年０９月１０日、毛利太。
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