「（Ｅ.Ｊ.レモンの）メタ定理Ⅱ」と「真理表」について。

（01）
１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　Ｐ→～Ｑ　Ａ
　　３（３）　Ｐ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
　２３（５）　　　～Ｑ　２３ＭＰＰ
１２３（６）　Ｑ＆～Ｑ　４５＆Ｉ
１２　（７）～Ｐ　　　　３６ＲＡＡ
といふ「計算」は、
１　　（１）Ｐであるならば、Ｑである。と「仮定」し、
　２　（２）Ｐであるならば、Ｑでない。と「仮定」し、その上、
　　３（３）Ｐである。　　　　　　　　と「仮定」したところ、
１　３（４）　　　　　　　　Ｑである。となって、その上、
　２３（５）　　　　　　　　Ｑでない。となって、
１２３（６）Ｑであると、Ｑでない。とが、「同時に、真」になってしまったので、止むを得ず、
１２３ といふ「３つの仮定」の内の、取り敢へず、
　　３　を「除いて」、
１２だけを「残して」、同時に、
　　　（７）Ｐである。を、「否定」して、Ｐでない。とした。
といふ「意味」である。
従って、
（01）により、
（02）
１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　Ｐ→～Ｑ　Ａ
　　３（３）　Ｐ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
　２３（５）　　　～Ｑ　２３ＭＰＰ
１２３（６）　Ｑ＆～Ｑ　４５＆Ｉ
１２　（７）～Ｐ　　　　３６ＲＡＡ
といふ「命題計算」は、「日常言語による推論」が、「ベース」にあるため、「自然演繹（natural deducation）」と言ふに、十分に、値する。
然るに、
（03）
Ｇｏｏ辞書
しんりち‐ひょう〔‐ヘウ〕【真理値表】 の解説
数学や論理学で、いくつかの命題を論理演算子で合成して新しい命題を作ったとき、もとの命題と合成された命題の真偽の関係を示す表。真理表。真偽表。
従って、
（02）（03）により、
（04）
１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　Ｐ→～Ｑ　Ａ
　　３（３）　Ｐ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
　２３（５）　　　～Ｑ　２３ＭＰＰ
１２３（６）　Ｑ＆～Ｑ　４５＆Ｉ
１２　（７）～Ｐ　　　　３６ＲＡＡ
といふ「計算」は、その一方で、【真理表】を用ひても、「（機械的に）証明」出来る。
然るに、
（01）～（04）により、
（05）
「日常言語」で、「自然に演繹」出来る「事柄」を、「（機械的に）証明」する「必要」は無い。
といふ「意味」では、この場合、【真理表】は、「不要」である。
然るに、
（06）
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的 Ｗｆｆ（論理式） は定理として導出可能である。
証明のアウトライン。仮定により、「真理表テスト」のもとにおいて トートロージーであるような ｗｆｆＡ を選ぶ。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０７頁改）
（07）
１　証明を発見する練習の追加として、またつぎの節でその結果が必要となるので、つぎの連式を証明せよ。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０５頁）

　―「Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩」には、「解答」が載ってゐないので、私による、証明。―
（ａ）Ｐ＆Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１（１）　Ｐ＆Ｑ　Ａ
１（２）　　　Ｑ　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
１（４）　Ｐ→Ｑ　３含意の定義

（ｂ）～Ｐ＆Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１（１）～Ｐ＆Ｑ　Ａ
１（２）～Ｐ　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ
１（４）　Ｐ→Ｑ　３含意の定義

（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１（１）～Ｐ＆～Ｑ　Ａ
１（２）～Ｐ　　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨　Ｑ　２∨Ｉ
１（４）　Ｐ→　Ｑ　３含意の定義

（ｄ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ＆Ｑ）
１　（１）　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（２）　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
１　（３）　　　～Ｑ　　１＆Ｅ
　２（４）　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
１２（５）　～Ｑ＆Ｑ　　３４＆Ｉ
１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　２５ＲＡＡ

（ｅ）～Ｐ＆Ｑ├ ～（Ｐ＆Ｑ）
１　（１）　～Ｐ＆Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆Ｑ　　Ａ
１　（３）　～Ｐ　　　　１＆Ｅ
　２（４）　　Ｐ　　　　２＆Ｅ
１２（５）　～Ｐ＆Ｐ　　３４＆Ｉ
１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　２５ＲＡＡ

（ｆ）～Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ＆Ｑ）
１　（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
１　（３）　～Ｐ　　　　　１＆Ｅ
　２（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
１　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ

（ｇ）Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ
１（１）Ｐ＆～Ｑ　Ａ
１（２）Ｐ　　　　１＆Ｅ
１（３）Ｐ∨Ｑ　　２∨Ｉ

（ｈ）～Ｐ＆Ｑ├ Ｐ∨Ｑ
１（１）～Ｐ＆Ｑ　Ａ
１（２）　　　Ｑ　１＆Ｅ
１（３）　Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ

（ｉ）Ｐ＆Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
（１）　Ｐ＆Ｑ　　　Ａ
（２）　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
（３）～Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
（４）　Ｐ→Ｑ　　　３含意の定義
（５）　Ｐ　　　　　１＆Ｅ
（６）～Ｑ∨Ｐ　　　５∨Ｉ
（７）　Ｑ→Ｐ　　　６含意の定義
（８）（Ｐ→Ｑ）＆
　　　（Ｑ→Ｐ）　　４７＆Ｉ
（９）　Ｐ⇔Ｑ　　　８Ｄｆ.⇔

（ｊ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
１　（１）　　Ｐ＆～Ｑ　 Ａ
　２（２）　　Ｐ⇔　Ｑ　 Ａ
　２（３）　（Ｐ→　Ｑ）＆
　　　　　　（Ｑ→　Ｐ）　２Ｄｆ.⇔
　２（４）　　Ｐ→　Ｑ　　３＆Ｅ
１　（５）　　　　～Ｑ　　１＆Ｅ
１２（６）　～Ｐ　　　　　４５ＭＴＴ
１　（７）　　Ｐ　　　　　１＆Ｅ
１２（８）　～Ｐ＆Ｐ　　　６７＆Ｉ
１　（９）～（Ｐ⇔　Ｑ）　２８ＣＰ

（ｋ）～Ｐ＆Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
１　（１）　　～Ｐ＆Ｑ　 Ａ
　２（２）　　　Ｐ⇔Ｑ　 Ａ
　２（３）　　（Ｐ→Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｑ→Ｐ）　２Ｄｆ.⇔
　２（４）　　　Ｑ→Ｐ　　３＆Ｅ
１　（５）　　　　～Ｐ　　１＆Ｅ
１２（６）　　～Ｑ　　　　４５ＭＴＴ
１　（７）　　　　　Ｑ　　１＆Ｅ
１２（８）　　～Ｑ＆Ｑ　　６７＆Ｉ
１　（９）　～（Ｐ⇔Ｑ）　２８ＲＡＡ

（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
１（１）～Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
１（２）～Ｐ　　　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｑ　　　　　１＆Ｅ
１（４）　Ｐ→Ｑ　　　２含意の定義
１（５）　Ｑ→Ｐ　　　３含意の定義
１（６）（Ｐ→Ｑ）＆
　　　　（Ｑ→Ｐ）　　４５＆Ｉ
１（７）　Ｐ⇔Ｑ　　　６Ｄｆ.⇔

従って、
（06）（07）により、
（08）
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的 Ｗｆｆ（論理式） は定理として導出可能である。
といふ「メタ定理」を「理解」するためには、「命題計算」と、「真理表」の、両方を、「理解してゐる」必要が有る。
然るに、
（09）
真理表は習熟しやすいものなので、この節でのわれわれの取り扱いは手早くやれるだろう。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０５頁）
然るに、
（10）
特に第２章の第４、第５節と、第４章第２節は、本書の他の部分よりも遥かに難しい。普通の読者はとばす（つまり早く読み通す）のが賢明であろう。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、序ⅱ）
従って、
（11）
幸いに、私自身は、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的 Ｗｆｆ（論理式） は定理として導出可能である。
といふ「メタ定理」を「理解」してゐる、つもりでゐるものの、確かに、私自身の「経験」から言っても、
「①真理表」＜「②命題計算」＜「③メタ定理Ⅱ」
の「順」で、「左から右へ行く程、難しい」。
（12）
以下の証明はややこみあっている（The proof that follows is rather involved）。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０７頁）
といふくらひなので、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的 Ｗｆｆ（論理式） は定理として導出可能である。
といふことに関する「証明」は、「いくぶん、複雑である」。
令和０２年０９月１９日、毛利太。