「∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）」を「展開」すると、

（01）
３　つぎの定理を証明せよ。
（ａ）├ ∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２０３頁）
（02）
　― 私による「解答」―
１　（１）　　　　　Ｆα　　　　　Ａ
　　（２）　　　　　Ｆα→Ｆα　　１１ＣＰ
　３（３）　　　∀ｘＦｘ　　　　　Ａ
　３（４）　　　　　Ｆα　　　　　３ＵＥ
　３（５）　　　　　　　　Ｆα　　２４ＭＰＰ
　　（６）　　　∀ｘＦｘ→Ｆα　　３５ＣＰ
　　（７）∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）　６ＵＩ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ａ）├ ∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）
といふ「連式」は、「定理（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
｛α、β、γ｝が｛変域（ドメイン）」である場合、
（ａ）├ ∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）
といふ「連式」は、
①　  （Ｆα∨Ｆβ∨Ｆγ）→Ｆｙ
②  ～（Ｆα∨Ｆβ∨Ｆγ）∨Ｆｙ
③　（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆｙ
④｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆα｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆβ｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆγ｝
といふ「形」に、「展開」できる。
然るに、
（05）
④｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆα｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆβ｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆγ｝
といふ「それ」は、
⑤ ＆Ｅ（連言除去）
⑥ ＆Ｅ（連言除去）
⑦ ∨Ｅ（選言除去）
⑧ 含意の定義（Ｄｆ.→）
⑨ ＆Ｉ（連言導入）
により、
⑩｛Ｆα→Ｆα｝＆｛Ｆβ→Ｆβ｝＆｛Ｆγ→Ｆγ｝
といふ「型」に、「書き換へ」ことが出来る。
然るに、
（06）
⑩｛Ｆα→Ｆα｝＆｛Ｆβ→Ｆβ｝＆｛Ｆγ→Ｆγ｝
といふ「式」は、
⑩｛αがＦであるならば、αはＦであり｝＆｛βがＦであるならば、βはＦであり｝＆｛γがＦであるならば、γはＦである｝。
といふ「意味」である。
然るに、
（07）
｛α、β、γ｝が｛変域（ドメイン）」である場合、
⑩｛Ｆα→Ｆα｝＆｛Ｆβ→Ｆβ｝＆｛Ｆγ→Ｆγ｝≡
⑩｛αがＦであるならば、αはＦであり｝＆｛βがＦであるならば、βはＦであり｝＆｛γがＦであるならば、γはＦである｝。
といふことは、
⑩ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）≡すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＦである）。
といふことに、他ならない。
（08）
「Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２０３頁」でいふ所の『定理（theorem）』とは『恒真式（トートロジー）』に他ならない。
然るに、
（09）
⑩ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）≡すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＦである）。
といふ「同一律」は、『恒真式（トートロジー）』である。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
１　（１）　　　　　Ｆα　　　　　Ａ
　　（２）　　　　　Ｆα→Ｆα　　１１ＣＰ
　３（３）　　　∀ｘＦｘ　　　　　Ａ
　３（４）　　　　　Ｆα　　　　　３ＵＥ
　３（５）　　　　　　　　Ｆα　　２４ＭＰＰ
　　（６）　　　∀ｘＦｘ→Ｆα　　３５ＣＰ
　　（７）∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）　６ＵＩ
といふ「計算」、並びに、
①　 　（Ｆα∨Ｆβ∨Ｆγ）→Ｆｙ
② 　～（Ｆα∨Ｆβ∨Ｆγ）∨Ｆｙ
③　（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆｙ
④｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆα｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆβ｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆγ｝
といふ「それ」により、
（ａ）├ ∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）
といふ「連式」は、『定理（恒真式）』である。
令和０２年０９月２２日、毛利太。