『ド・モルガンの「馬の頭」の例』は、「大変、意外」である。ただし、

（01）
ド・モルガンが明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。
（１）すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。
― １０行、中略、―
１２３　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　　馬ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　 　Ａ
　　３（４）　　　　　　馬ｂ　　　　　　 　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３（５）　　　　　　　　　頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（６）　　　　　　馬ｂ→動ｂ　　　 　　　　　　　　　　　　１ＵＥ
１　３（７）　　　　　　　　　動ｂ　　　　　　　　　　　　　　　 ４６ＭＰＰ
１　３（８）　　　　　　動ｂ＆頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　５７＆Ｉ
１　３（９）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　８ＥＩ
１２　（ア）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　２３９ＥＥ
１　　（イ）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　 ２アＣＰ
１　　（ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ 　イＵＩ
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６７頁改）
然るに、
（02）
　　２（２）　馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　（８）（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　２２ＣＰ
といふ「同一律」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
□□□　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
１　　（１）　 ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ
　２　（２）　　　 （馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　 Ａ
　２　（３）　　　　　　 　∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　 ２＆Ｅ
　２　（４）　　　　 馬ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２＆Ｅ
１　　（５）　　　　 馬ａ→動ａ　　　　　　　　　　　　　　　　 １ＵＥ
１２　（６）　　　　　　　　動ａ　　　　　　　　　　　　　　　　４５ＭＰＰ
１２　（７）　　　（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　　３６＆Ｉ
１　　（８）　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　２７ＣＰ
１　　（９）∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝　８ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
② ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは動物である）。故に、すべてのｘについて｛（あるｙが馬であって、ｘがｙの頭である）ならば、（あるｙは動物であって、ｘはｙの頭である）｝。
② すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは動物である）。故に、すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは動物であって、あるｙはｘの頭である）｝。
といふ「推論」、すなはち、
① すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。
② すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１　　　　（１）　∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝　Ａ
１　　　　（２）　　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　　　馬ａ→∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　　（４）　　　　　馬ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３４　　（５）　　　　　　　　∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　　３４ＭＰＰ
　３４　　（６）　　　　　馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　　４５
１３４　　（７）　　　　　　　　　　　　　　 　 動ａ＆∃ｙ頭ｙａ      ３６ＭＰＰ
１３４　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　動ａ　　　　　　　　　７＆Ｅ
１３　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　馬ａ→動ａ　　　　　　４８ＣＰ
１　　　　（ア）　　　　（馬ａ→∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ→動ａ）　　　　　３９ＣＰ
１　　　　（イ）　　　～（馬ａ→∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ）　　　　　ア含意の定義
　　　ウ　（ウ）　　　～（馬ａ→∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ウ　（エ）　　　～（～馬ａ∨∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　ウ含意の定義
　　　ウ　（オ）　　　　（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　エ、ド・モルガンの法則
　　　ウ　（カ）　　　　（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ）　　　　オ∨Ｉ
　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　（馬ａ→動ａ）　　　　Ａ
　　　　キ（ク）　　　　（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ）　　　　キ∨Ｉ
１　　　　（ケ）　　　　（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ）　　　　イウカキク∨Ｅ
１　　　　（コ）　　～～（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ）　　　　ケＤＮ
１　　　　（サ）　　　～（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ→動ａ）　　　　コ含意の定義
１　　　　（シ）∀ｘ｛～（馬ｘ＆～∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ→動ｘ）｝　　　サＵＩ
従って、
（04）（05）により、
（06）
③ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝├ ∀ｘ｛～（馬ｘ＆～∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ→動ｘ）｝
といふ「推論」、すなはち、
③ すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは動物であって、あるｙはｘの頭である）｝。故に、すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭ではない）といふことが無いのであれば、（ｘが馬ならば、ｘは動物である）｝。
といふ「推論」、すなはち、
③ すべての馬の頭は動物の頭である。故に、頭が無い馬がゐないのであれば、すべての馬は動物である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（04）（06）により、
（07）
② すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。
③ すべての馬の頭は動物の頭である。故に、頭が無い馬がゐないのであれば、すべて馬は動物である。
といふ「推論」は、両方とも。「妥当」である。
然るに、
（08）
②「生物学的（常識的）」には、「頭が無い馬」は存在しないが故に、
②（文字通りに、）すべての馬の頭は動物の頭である。
といふことになり、その一方で、
③「論理的（非常識的）」には、「頭が無い馬」の存在は「否定できない」が故に、
③（頭の無い馬がゐないのであれば、）すべて馬は動物である。
といふ風にしか、言へないことになる。
然るに、
（09）
　∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
の形の文が意味していることはＡのクラスにはどのようなｘも存在しないということであって、ｘがどこか特定のクラスの中に存在しているということをいっているのではない。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１２４頁）
従って、
（06）（09）により、
（10）
④ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「述語論理式」が、さうであるやうに、
③ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」も、
③ 馬には頭がある。
とは、言ってはゐない。
従って、
（06）～（10）により、
（11）
③ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝├ ∀ｘ｛～（馬ｘ＆～∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ→動ｘ）｝
といふ「推論」からは、
③（頭の無い馬がゐないのであれば、その限りに於いて、）すべて馬は動物である。
といふ風にしか、言へないことになる。
令和０２年０９月２８日、毛利太。