（01）
―「含意の定義」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ＆Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（02）
―「ド・モルガンの法則」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６イ＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （エ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（03）
―「排中律」の「証明（Ⅰ）」―
１（１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
１（２） ～～Ｐ＆～Ｐ １ド・モルガンの法則
（３）～～（～Ｐ∨Ｐ） １２ＲＡＡ
（４） ～Ｐ∨Ｐ ３ＤＮ
（04）
―「排中律」の「証明（Ⅱ）」―
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ Ａ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
然るに、
（05）
（ⅰ）
１（１）～Ｐ∨Ｐ Ａ
１（２） Ｐ→Ｐ １含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ→Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １含意の定義
従って、
（05）により、
（06）
① ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
② Ｐ→Ｐ（同一律）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
１（１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３）～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
に於いて、
（１）の場合は、「Ｐなので、 Ｐである。」といふ「意味」であり、
（２）の場合は、「Ｐならば、 Ｐである。」といふ「意味」であり、
（３）の場合は、「Ｐでないか、Ｐである。」といふ「意味」である。
然るに、
（08）
（１）「Ｐなので、 Ｐである。」
（２）「Ｐならば、 Ｐである。」
（３）「Ｐでないか、Ｐである。」
に於いて、
（１）は、さうではないが、
（２）は、「恒に、真である。」
（３）も、「恒に、真である。」
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
② Ｐ→Ｐ（同一律）
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（07）により、
（10）
１（１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３）～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
であるため、
＃（１） Ｐ
＃（２） Ｐ→Ｐ
＃（３）～Ｐ∨Ｐ
に於いて、上から順に、
＃＝１
＃＝
＃＝
である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「恒真式（トートロジー）」とは、『それ証明する際に、「仮定（＃）の数」が「０個」となる所の、「論理式」である。』
然るに、
（12）
（ⅰ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） Ｐ∨Ｐ １∨Ｉ
（３） Ｐ→（Ｐ∨Ｐ） １２ＣＰ
（４） ～Ｐ∨（Ｐ∨Ｐ） ３含意の定義
（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｐ ４結合法則
（〃） （排中律）∨Ｐ ４結合法則
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
（３） （Ｐ＆Ｐ）→Ｐ １２ＣＰ
（４）～（Ｐ∨Ｐ）∨Ｐ ３含意の定義
５ （５）～（Ｐ∨Ｐ） Ａ
５ （６）～Ｐ∨～Ｐ ５ド・モルガンの法則
５ （７） ～Ｐ ６冪等律
５ （８） ～Ｐ∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９∨Ｉ
（イ） ～Ｐ∨Ｐ ＿５８９ア∨Ｅ
（〃） 排中律 ＿５８９ア∨Ｅ
（ⅲ）
１（１）～（～Ｐ＆Ｐ） Ａ
１（２） Ｐ∨～Ｐ ２ド・モルガンの法則
（３）～（～Ｐ＆Ｐ）→（Ｐ∨～Ｐ） １２ＣＰ
（４） （～Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ∨～Ｐ） ３含意の定義
（〃） （矛盾）∨（排中律） ３含意の定義
従って、
（11）（12）により、
（13）
例へば、
① Ｐ→（Ｐ∨Ｐ）
②（Ｐ＆Ｐ）→Ｐ
③（～Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ∨～Ｐ）
といふ「３つの論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １５ＣＰ
従って、
（09）（11）（14）により、
（15）
④（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④（Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（16）
［規則］
１ 代入の規則
一つの恒真式の命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（15）（16）により、
（17）
④ Ｐ→Ｐ（同一律）
に於いて、
Ｐ＝Ｐ→Ｑ
といふ「代入」行った「結果」である所の、
④（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（18）
① Ａが、「恒真式（トートロジー）」であって、
② Ａ＝Ｂ であるならば、当然、Ｂも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（18）により、
（19）
「ある恒真式（トートロジー）」と、「等しい論理式」は、「その論理式」も「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（20）
（ⅰ）
１ （１）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２（２）Ｐ＆Ｑ Ａ
２（３）Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ （７） Ｐ＆Ｑ→Ｒ ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆Ｑ→Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５） Ｒ １４ＭＰＰ
１２ （６） Ｑ→Ｒ ３５ＣＰ
１ （７）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ２６ＣＰ
従って、
（20）により、
（21）
④ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
⑤（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（22）
④ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
⑤（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
Ｐ＝（Ａ→Ｂ）
Ｑ＝ Ａ
Ｒ＝ Ｂ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
④ （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）
⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ
従って、
（21）（22）により、
（23）
④ （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）
⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（15）（17）（19）（23）により、
（24）
④ （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）
⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ
といふ「論理式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（25）
２ 推論の規則
論理式「Ａ」と「Ａ→Ｂ」が共に真ならば、論理式Ｂも真である。
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（24）（25）により、
（26）
⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ といふ「論理式」は「恒真式」であって、
⑤ 論理式「Ａ→Ｂ」と「Ａ」が共に真ならば、論理式Ｂも真である。
従って、
（25）（26）により、
（27）
２ 推論の規則
論理式「Ａ」と「Ａ→Ｂ」が共に真ならば、論理式Ｂも真である。
論理式「Ａ→Ｂ」と「Ａ」が共に真ならば、論理式Ｂも真である。
といふ「規則」は、
⑤（Ａ＆（Ａ→Ｂ））→Ｂ といふ「論理式」は「恒真式」である。
⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ といふ「論理式」は「恒真式」である。
といふことと、「同じこと」である。
令和０２年０９月１０日、毛利太。
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