「量化子（quantifiers）の関係」。

（01）
① 　∀ｘ（　Ｆｘ）≡すべてのｘはＦである。
② 　∀ｘ（～Ｆｘ）≡すべてのｘはＦでない。
③ ～∀ｘ（　Ｆｘ）≡すべてのｘはＦである。といふわけではない。
④ ～∀ｘ（～Ｆｘ）≡すべてのｘはＦでない。といふわけではない。
⑤ ～∃ｘ（～Ｆｘ）≡　　あるｘがＦでない。といふことはない。
⑥ ～∃ｘ（　Ｆｘ）≡　　あるｘがＦである。といふことはない。
⑦　 ∃ｘ（～Ｆｘ）≡　　あるｘはＦでない。
⑧　 ∃ｘ（　Ｆｘ）≡　　あるｘはＦである。
に於いて、
①＝⑤
②＝⑥
③＝⑦
④＝⑧
であって、
①≠⑤
②≠⑥
③≠⑦
④≠⑧
ではない。
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）　∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅱ）　∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（　Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ 　∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔　 ∃ｘ（　Ｆｘ）
といふ「等式」は、すべて、「背理法（ＲＡＡ）」によって、「証明」出来る。
然るに、
（03）
（ａ）ｘは男である（　Ｆｘ）。
（ｂ）ｘは女でない（～Ｆｘ）。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）　∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅱ）　∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（　Ｆｘ）
の場合は、
（ⅰ）　∀ｘ（　男ｘ）⇔ ～∃ｘ（～男ｘ）
（ⅱ）　∀ｘ（～女ｘ）⇔ ～∃ｘ（　女ｘ）
といふ「代入」を行へば、
（ⅰ）＝（ⅱ） であって、
（ⅲ）～∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ 　∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔　 ∃ｘ（　Ｆｘ）
の場合も、
（ⅲ）～∀ｘ（　男ｘ）⇔ 　∃ｘ（～男ｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～女ｘ）⇔　 ∃ｘ（　女ｘ）
といふ「代入」を行へば、
（ⅲ）＝（ⅳ） である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）　∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ 　∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「２通り」を、「証明」すれば、
（ⅰ）　∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅱ）　∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（　Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ 　∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔　 ∃ｘ（　Ｆｘ）
といふ「４通り」を、「証明」したことになる。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
１　　（２）　　　　　Ｆａ　　　１ＵＥ
　３　（３）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　　４（４）　　　　～Ｆａ　　　Ａ
１　４（５）　Ｆａ＆～Ｆａ　　　３４＆Ｉ
　　４（６）～∀ｘ（　Ｆｘ）　　１５ＲＡＡ
　３　（７）～∀ｘ（　Ｆｘ）　　３４６ＥＥ
１３　（８）　∀ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　１７＆Ｉ
１　　（９）～∃ｘ（～Ｆｘ）　　３８ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　２　（３）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　２ＥＩ
１２　（４）～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　１３＆Ｉ
１　　（５）　　　～～Ｆａ　　　２４ＲＡＡ
１　　（６）　　　　　Ｆａ　　　５ＤＮ
１　　（７）　∀ｘ（　Ｆｘ）　　６ＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１　　（１）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　３ＥＩ
　２３（５）　～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　　　～～Ｆａ　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　　　Ｆａ　　　６ＤＮ
　２　（８）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　７ＵＩ
１２　（９）　～∀ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　１８＆Ｉ
１　　（ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ）　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　アＤＮ
（ⅳ）
１　　（１）　∃ｘ（～Ｆｘ）　Ａ
　２　（２）　　　　～Ｆａ　　Ａ
　　３（３）　∀ｘ（　Ｆｘ）　Ａ
　　３（４）　　　　　Ｆａ　　１ＵＥ
　２３（５）　～Ｆａ＆Ｆａ　　２４＆Ｉ
１　３（６）　～Ｆａ＆Ｆａ　　１２５ＥＥ
１　　（７）～∀ｘ（　Ｆｘ）　３６ＲＡＡ
従って、
（08）により、
（09）
（ⅲ）～∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（07）（09）により、
（10）
（ⅰ）　∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（Ｆｘ）⇔ 　∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（05）（10）により、
（11）
（ⅰ）　∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅱ）　∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（　Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（　Ｆｘ）⇔ 　∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔　 ∃ｘ（　Ｆｘ）
といふ「等式（量化子の関係）」が、成立する。
然るに、
（12）
（ⅴ）
１　（１）～∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　Ａ
１　（２）∃ｘ～～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　１量化子の関係
１　（３）　　∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　２ＤＮ
　４（４）　　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　Ａ
１　（５）　　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　３４４ＥＥ
　　（６）　～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　３５ＲＡＡ
　　（７）　∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　６量化子の関係
　　（８）　　　～（Ｆａ＆～Ｆａ）　７ＵＥ
　　（９）　　　　～Ｆａ∨　Ｆａ　　８ド・モルガンの法則
　　（ア）　　　　　Ｆａ→　Ｆａ　　９含意の定義
　　（イ）　　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）　アＵＩ
従って、
（12）により、
（13）
（ⅴ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）≡すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＦである）。
といふ「命題（同一律）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
（ⅵ）
１（１）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　（２）　　　Ｆａ→Ｆａ　　１１ＣＰ
　（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）　２ＵＩ
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
（ⅴ）
１　（１）～∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　Ａ
１　（２）∃ｘ～～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　１量化子の関係
１　（３）　　∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　２ＤＮ
　４（４）　　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　Ａ
１　（５）　　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　３４４ＥＥ
　　（６）　～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　３５ＲＡＡ
　　（７）　∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　６量化子の関係
　　（８）　　　～（Ｆａ＆～Ｆａ）　７ＵＥ
　　（９）　　　　～Ｆａ∨　Ｆａ　　８ド・モルガンの法則
　　（ア）　　　　　Ｆａ→　Ｆａ　　９含意の定義
　　（イ）　　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）　アＵＩ
といふ「計算」は、
（ⅵ）
１（１）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　（２）　　　Ｆａ→Ｆａ　　１１ＣＰ
　（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）　２ＵＩ
といふ「計算」で、「済ませる」ことが、出来る。
令和０２年０９月２０日、毛利太。