「弱選言」と「強選言」と「選言三段論法」。

―「昨日（令和０２年０９月０２日）の記事」は削除をした上で、「明日以降」に、書き直します。―
（01）
（ⅰ）～（否定）
（ⅱ）＆（連言）
（ⅲ）∨（選言）
（ⅳ）→（　条件法）
（ⅴ）⇔（双条件法）
といふ「５つの記号」は、「命題論理」に於ける、「論理結合子」である。
然るに、
（02）
①　Ｐ⇔Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
① は、② に対する、「略号（abbreviation）」である。
従って、
（02）により、
（03）
①　 ～（Ｐ⇔Ｑ）
② ～｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）｝
に於いて、
① は、② に対する、「略号（abbreviation）」である。
然るに、
（04）
　―「ド・モルガンの法則」の「証明」―
（ⅰ）
１　　　（１）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　Ａ
　２　　（２）　～（　Ｐ∨　Ｑ）　Ａ
　　３　（３）　　　　Ｐ　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　　～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　Ａ
　　　７（８）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　７∨Ｉ
　２　７（９）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　２８＆Ｉ
　２　　（ア）　　　　　　～Ｑ　　７ＲＡＡ
　２　　（イ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　６イ＆Ｉ
１２　　（ウ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　１ウ＆Ｉ
１　　　（エ）～～（　Ｐ∨　Ｑ）　２エＲＡＡ
１　　　（オ）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　オＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　～Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（05）
　―「含意の定義」の「証明」―
（ⅰ）
１　　　　（１）　　　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２　　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２　　　（４）　　　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２　　　（５）　　　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２　　　（６）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ
１　　　　（７）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
　　８　　（８）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　Ａ
　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　９∨Ｉ
　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　８ア＆Ｉ
　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　９イＲＡＡ
　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　Ｑ　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　オ＆Ｉ
　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　８カ＆Ｉ
　　８　　（ク）　　　　　　～Ｑ　　オキＲＡＡ
　　８　　（ケ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　エク＆Ｉ
１　８　　（コ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　７ケ＆Ｉ
１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　８コＲＡＡ
１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　サＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　　　～Ｑ　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　　　～～Ｑ　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　　　Ｑ　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　　　Ｐ→　Ｑ　　ウクＣＰ
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　　（１）　～（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
１　　（２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆　（Ｑ→Ｐ）｝　１Ｄｆ.⇔
１　　（３）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　２ド・モルガンの法則
　４　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　４　（５）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　４含意の定義
　４　（６）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
　４　（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）　　６∨Ｉ
　　８（８）　　　　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　Ａ
　　８（９）　　　　　　　～（～Ｑ∨Ｐ）　　８含意の定義
　　８（ア）　　　　　　　　　Ｑ∨～Ｐ　　　８ド・モルガンの法則
　　８（イ）　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　ア交換法則
　　８（ウ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）　　イ∨Ｉ
１　　（エ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）　　１４７８ウ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　２ド・モルガンの法則
　２　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　３含意の定義
　２　（５）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　（～Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　６交換法則
　　６（８）　　　　　　　～（～Ｑ∨Ｐ）　　７ド・モルガンの法則
　　６（９）　　　　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　８含意の定義
　 　　６（ア）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　９∨Ｉ
１　　（イ）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　１２５６ア∨Ｅ
１　　（ウ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆　（Ｑ→Ｐ）｝　イ、ド・モルガンの法則
１　　（エ）　～（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　　　ウＤｆ.⇔
従って、
（06）により、
（07）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
§４　選言命題は不十分である。選言に２種類あることが看過されているからである。
（ａ）弱選言（Week disjunction）
両立的（inclusive）選言ともいう。―中略―、
（ｂ）強選言（Strong disjunction）
不両立（imcompatible）選言とか相反的（exclusive）選言といい、伝統的論理学のいう選言はこの種のものである。
（岩波全書、論理学入門、1979年、３０・３１頁改）
然るに、
（09）
（ａ）弱選言（Week disjunction） といふのは、
（〃）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
といふ「場合」を、言ふ。
（10）
（ｂ）強選言（Strong disjunction） といふのは、
（〃）（Ｐであるか）、または、（Ｑである）。
といふ「場合」を、言ふ。
然るに、
（01）（02）（07）（08）により、
（11）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）か、または、（Ｐであって、Ｑでなく、Ｐでなくて、Ｑである）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（12）
③（Ｐであって、Ｑでなく、Ｐでなくて、Ｑである）。
といふことは「矛盾」であるため、
②（Ｐであって、Ｑでなく、Ｐでなくて、Ｑである）。
といふことは「有り得ない」。
従って、
（11）（12）により、
（13）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（14）
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）。
といふことは、
④（Ｐであるか）、または、（Ｑである）。
といふ、ことである。
従って、
（07）（10）（13）（14）により、
（15）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③ （Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、それ故、
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、
（ｂ）強選言（Strong disjunction） である。
従って、
（01）（09）（10）（15）により、
（16）
（ⅰ）　～Ｐ
（ⅱ）　　Ｐ＆Ｑ
（ⅲ）　　Ｐ∨Ｑ
（ⅳ）　　Ｐ→Ｑ
（ⅴ）　　Ｐ⇔Ｑ
（ⅵ）～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、上から順に、
（ⅰ）否定
（ⅱ）連言
（ⅲ）弱選言
（ⅳ）条件法
（ⅴ）双条件法
（ⅵ）強選言
である。
従って、
（09）（10）（16）により、
（17）
（ⅲ）　　Ｐ∨Ｑ　≡（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
（ⅵ）～（Ｐ⇔Ｑ）≡（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、どちらか、一方である。
に於いて、
（ⅲ）は「弱選言」であって、
（ⅵ）は「強選言」である。
然るに、
（18）
（ⅲ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
（ⅵ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、どちらか、一方である。
に於いて、尚且つ、
（ⅲ）　Ｐでない。
（ⅵ）　Ｐでない。
とするならば、それぞれ、
（ⅲ）　Ｑである。
（ⅵ）　Ｑである。
従って、
（17）（18）により、
（19）
③ 　　Ｐ∨Ｑ　，～Ｐ├ Ｑ
⑥ ～（Ｐ⇔Ｑ），～Ｐ├ Ｑ
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（20）
（ⅲ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
（ⅵ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、どちらか、一方である。
に於いて、尚且つ、
（ⅲ）　Ｐである。
（ⅵ）　Ｐである。
とするならば、
（ⅲ）には、（Ｐであって、Ｑである。）といふことが「真」である「可能性」と、
（〃）には、（Ｐであって、Ｑである。）といふことが「偽」である「可能性」が有る。
ものの。その一方で、
（ⅵ）には、（Ｐであって、Ｑである。）といふことが「偽」である「可能性」しかない。
従って、
（17）（20）により、
（21）
③ 　　Ｐ∨Ｑ　，Ｐ├ ～Ｑ
⑥ ～（Ｐ⇔Ｑ），Ｐ├ ～Ｑ
といふ「推論（三段論法）」に於いて、
③ は、「妥当」ではないが、
⑥ は、「妥当」である。
従って、
（19）（21）により、
（22）
⑦（Ｐであるか、または、Ｑである。）然るに、Ｐでない。故に、Ｑである。
⑧（Ｐであるか、または、Ｑである。）然るに、Ｐである。故に、Ｑでない。
に於いて、
⑦ であれば、
⑦（Ｐであるか、または、Ｑである。）が、「弱選言」であっても、「強選言」であっても、いづれにせよ、「推論」は「妥当」であるが、
⑧ であれば、
⑧（Ｐであるか、または、Ｑである。）が、「弱選言」であっても、「強選言」であっても、いづれにせよ、「推論」は「妥当」である。
といふことには、ならない。
従って、
（18）～（22）により、
（23）
通常、「選言」という名称で呼ばれているものは、「弱選言」と呼ぶものである。
これは「ＰまたはＱ」としたときに、「Ｐが真」であっても、「必ずしも、Ｑが偽にならない」ような「選言」のことである（数学Ｗｉｋｉ改）。
といふ、ことになる。
令和０２年０９月０３日、毛利太。