「選言除去（∨Ｉ）」の「証明」。

（01）
論理式 Ｐ，Ｑ，Ｒ について、Ｐ→Ｒ， Ｑ→Ｒ， Ｐ∨Ｑ がすべて真であるような任意の解釈のもとで Ｒ は必ず真になります。これは「選言除去」と呼ばれる推論規則です。
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然るに、
（02）
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
　　　４　（４）Ｐ　　　仮定
１　　４　（５）　　Ｒ　１４ＭＰＰ
　　　　６（６）　　Ｑ　仮定
　２　　６（７）　　Ｒ　２６ＭＰＰ
１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去
に於いて、「仮定の規則」により、
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真」である。
然るに、
（03）
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
　　　４　（４）Ｐ　　　仮定
１　　４　（５）　　Ｒ　１４ＭＰＰ
　　　　６（６）　　Ｑ　仮定
　２　　６（７）　　Ｒ　２６ＭＰＰ
１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去
に於ける、
１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去
に於いて、
１２３　　（８）　　偽　３４５６７選言除去
である。とする。
然るに、
（04）
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
　　　４　（４）Ｐ　　　仮定
１　　４　（５）　　Ｒ　１４ＭＰＰ
　　　　６（６）　　Ｑ　仮定
　２　　６（７）　　Ｒ　２６ＭＰＰ
１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去
に於ける、「５つのＲ」の内、「１つのＲが、偽である。」ならば、「５つのＲは、すべて、偽である。」
従って、
（04）により、
（05）
１　　　　（１）Ｐ→偽　仮定
　２　　　（２）Ｑ→偽　仮定
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
　　　４　（４）Ｐ　　　仮定
１　　４　（５）　　偽　１４ＭＰＰ
　　　　６（６）　　Ｑ　仮定
　２　　６（７）　　偽　２６ＭＰＰ
１２３　　（８）　　偽　３４５６７選言除去
である。
然るに、
（06）
「→」の「マトリックス（真理表）」により、
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
に於いて、
１　　　　（１）真→偽　仮定
　２　　　（２）真→偽　仮定
であるならば、その時に限って、
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
といふ「２つの仮定」は、「２つとも、偽である。」
従って、
（02）（05）（06）により、
（07）
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真である。」が故に、
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
といふ「２つの仮言命題」を、
１　　　　（１）真→偽　仮定
　２　　　（２）真→偽　仮定
であることは、無い。
従って、
（04）（07）
（08）
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
といふ「２つの仮言命題」を、
１　　　　（１）真→偽　仮定
　２　　　（２）真→偽　仮定
とすることは、出来ない。といふのであれば、
１　　　　（１）偽→偽　仮定
　２　　　（２）偽→偽　仮定
であると、「せざるを得ない」。
然るに、
（09）
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
に於いて、
１　　　　（１）偽→偽　仮定
　２　　　（２）偽→偽　仮定
であるならば、
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
に於いても、
１　　　　（１）偽→偽　仮定
　２　　　（２）偽→偽　仮定
　　３　　（３）偽∨偽　仮定
であると、「せざるを得ない」。
然るに、
（10）
「∨」の「マトリックス（真理表）」により、
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
に於いて、
　　３　　（３）偽∨偽　仮定
であるならば、
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
は、「偽」である。
従って、
（02）～（10）により、
（11）
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
　　　４　（４）Ｐ　　　仮定
１　　４　（５）　　Ｒ　１４ＭＰＰ
　　　　６（６）　　Ｑ　仮定
　２　　６（７）　　Ｒ　２６ＭＰＰ
１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去
に於ける、
１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去
に於いて、
１２３　　（８）　　偽　３４５６７選言除去
である。とすると、
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
といふ「３つの仮定」が、「同時に、３つとも、真である。」といふことは、「有り得ない。」
従って、
（02）（11）により、
（12）
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
　　　４　（４）Ｐ　　　仮定
１　　４　（５）　　Ｒ　１４ＭＰＰ
　　　　６（６）　　Ｑ　仮定
　２　　６（７）　　Ｒ　２６ＭＰＰ
１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去
に於いて、
１　　　　（１）Ｐ→Ｒ　仮定
　２　　　（２）Ｑ→Ｒ　仮定
　　３　　（３）Ｐ∨Ｑ　仮定
といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真」であると、するのであれば、
１２３　　（８）　　Ｒ　３４５６７選言除去
に於いて、
　　　　　　　　　　Ｒ＝偽　である。
とすることは、出来ず、それ故、
必然的に、　　　　　Ｒ＝真　である。
従って、
（12）により、
（13）
Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ，Ｐ∨Ｑ├ Ｒ
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（01）（13）により、
（14）
論理式 Ｐ，Ｑ，Ｒ について、Ｐ→Ｒ， Ｑ→Ｒ， Ｐ∨Ｑ がすべて真であるような任意の解釈のもとで Ｒ は必ず真になります。これは「選言除去」と呼ばれる推論規則です。
（選言除去 | 述語論理 | 論理 | 数学 | ワイズ）
といふ「説明」は、正しい（Ｑ.Ｅ.Ｄ）。
令和０２年０９月１５日、毛利太。