（01）
（ハ）量記号を一つにまとめたり、二つに分けたりするときの法則
１６.｛∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）｝→｛∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）｝
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１３９頁）
（02）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∀ｘ（～Ｆｘ） ３量化子の関係
３ （５） ～Ｆａ ４ＵＥ
３ （６） ～Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
３ （７） Ｆａ→Ｇａ ６含意の定義
３ （８） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ７ＥＩ
９ （９） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
ア（ア） Ｇａ Ａ
ア（イ） ～Ｆａ∨Ｇａ ア∨Ｉ
ア（ウ） Ｆａ→Ｇａ イ含意の定義
ア（エ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ウＥＩ
９ （オ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ９アエＥＥ
１ （カ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ２３８９オ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３ （３） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
２ ４（５） Ｇａ ２４ＭＰＰ
２ ４（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
２３ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） ３４６ＥＥ
２ （８） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ３７ＣＰ
１ （９） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） １２８ＥＥ
の場合は、
２３ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） ３４６ＥＥ
の行が、「間違ひ」である。
ｃｆ.
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎 ・浅野 楢英 訳、1973年、１５４・１５５頁）
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∀ｘ（～Ｆｘ） ３量化子の関係
３ （５）∀ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
６（７）∀ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ６∨Ｉ
１ （８）∀ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １３５６７∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （３）～∃ｘ（Ｆｘ） ２量化子の関係
２ （４）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ３∨Ｉ
５（５） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
５（６）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ５∨Ｉ
１ （７）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １２４５６∨Ｅ
１ （８） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ７含意の定義
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
２（３） ～Ｆａ∨Ｇａ ２含意の定義
２（４）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） ３ＥＩ
１ （５）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） １２４ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
２（２） ～Ｆａ∨Ｇａ Ａ
２（３） Ｆａ→Ｇａ ２含意の定義
２（４） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ３ＥＩ
１ （５） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） １２４ＥＥ
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
③ ∀ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
④ ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
従って、
（03）（06）により、
（07）
「番号」を付け直すと、
① ∀ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であって、
② ならば、① である。
然るに、
（08）
｛ｘの変域｝が｛ａ，ｂ，ｃ｝であるとして、
① ∀ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
② ∃ｘ（～Ｆ∨Ｇｘ）
といる「述語論理式」は、「順番」に、
①（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
②（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
といふ「論理式」に「等しい」。
然るに、
（09）
「∨」と「＆」の「働き（作用）」により、
①（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
②（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
① ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
といふことは、
①（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
②（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
といふことによって、「確認」することが、出来る。
令和０３年０８月１３日、毛利太。
2021年8月13日金曜日
2021年8月11日水曜日
「量記号を一つにまとめたり、二つに分けたりするときの法則」の例。
（01）
（ハ）量記号を一つにまとめたり、二つに分けたりするときの法則
８．∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡∀ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ（Ｇｘ）
９．∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）≡∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
１０．∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）≡∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
ｅｔｃ.・・・・・
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１３９頁）
然るに、
（02）
８.「すべての人は、フランス人の、学生である。」≡「すべての人はフランス人であって、すべての人は学生である。」
９.「 ある人は、フランス人か、学生である。」≡「 ある人はフランス人であるか、 ある人は学生である。」
といふ「等式」は、「当然」である。
然るに、
（03）
１０.「ある人は、フランス人であるならば、学生である。」≡「すべての人がフランス人であるならば、ある人は学生である。」
といふ「等式」は、極めて、「分かりにくい」。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３（３） Ｆａ→Ｇａ Ａ
２ （４） Ｆａ ２ＵＥ
２３（５） Ｇａ ３４ＭＰＰ
２３（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
１２ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） １３６ＥＥ
１ （８）∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ２７ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∃ｘ（～Ｆｘ） ３量化子の関係
５ （５） ～Ｆａ Ａ
５ （６） ～Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
５ （７） Ｆａ→Ｇａ ６含意の定義
５ （８） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ７ＥＩ
３ （９） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ３５８ＥＥ
ア （ア） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
イ（イ） Ｇａ Ａ
イ（ウ） ～Ｆａ∨Ｇａ イ∨Ｉ
イ（エ） Ｆａ→Ｇａ ウ含意の定義
イ（オ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） イＥＩ
ア （カ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） アイオＥＥ
１ （キ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） １３９アカ∨Ｉ
従って、
（04）により、
（05）
確かに、
１０．∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）≡∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
１０.「ある人は、フランス人であるならば、学生である。」≡「すべての人がフランス人であるならば、ある人は学生である。」
という「等式」は、「正しい」。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
１０.「ある人は、フランス人であるならば、学生である。」≡「すべての人がフランス人であるならば、ある人は学生である。」
という「等式」は、「述語論理的」には、「正しい」ものの、「直観的」には、「分かりにくい」。
令和０３年０８月１１日、毛利太。
（ハ）量記号を一つにまとめたり、二つに分けたりするときの法則
８．∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡∀ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ（Ｇｘ）
９．∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）≡∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
１０．∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）≡∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
ｅｔｃ.・・・・・
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１３９頁）
然るに、
（02）
８.「すべての人は、フランス人の、学生である。」≡「すべての人はフランス人であって、すべての人は学生である。」
９.「 ある人は、フランス人か、学生である。」≡「 ある人はフランス人であるか、 ある人は学生である。」
といふ「等式」は、「当然」である。
然るに、
（03）
１０.「ある人は、フランス人であるならば、学生である。」≡「すべての人がフランス人であるならば、ある人は学生である。」
といふ「等式」は、極めて、「分かりにくい」。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３（３） Ｆａ→Ｇａ Ａ
２ （４） Ｆａ ２ＵＥ
２３（５） Ｇａ ３４ＭＰＰ
２３（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
１２ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） １３６ＥＥ
１ （８）∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ２７ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∃ｘ（～Ｆｘ） ３量化子の関係
５ （５） ～Ｆａ Ａ
５ （６） ～Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
５ （７） Ｆａ→Ｇａ ６含意の定義
５ （８） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ７ＥＩ
３ （９） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ３５８ＥＥ
ア （ア） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
イ（イ） Ｇａ Ａ
イ（ウ） ～Ｆａ∨Ｇａ イ∨Ｉ
イ（エ） Ｆａ→Ｇａ ウ含意の定義
イ（オ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） イＥＩ
ア （カ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） アイオＥＥ
１ （キ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） １３９アカ∨Ｉ
従って、
（04）により、
（05）
確かに、
１０．∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）≡∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
１０.「ある人は、フランス人であるならば、学生である。」≡「すべての人がフランス人であるならば、ある人は学生である。」
という「等式」は、「正しい」。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
１０.「ある人は、フランス人であるならば、学生である。」≡「すべての人がフランス人であるならば、ある人は学生である。」
という「等式」は、「述語論理的」には、「正しい」ものの、「直観的」には、「分かりにくい」。
令和０３年０８月１１日、毛利太。
2021年8月10日火曜日
「パースの法則」の「証明（背理法）」。
（01）
命題計算では、パースの法則は（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ「説明」は、私には、完全に「意味不明」である。
ｃｆ.
Ｑが偽である。⇔ ～Ｑが真である。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
４ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
４ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ ３４６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
４ （５） Ｐ＆ Ｑ ４ド・モルガンの法則
４ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ ３４６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① が、「パースの法則」である以上、
② も、「パースの法則」である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で言ふと、
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐであるならば、Ｑでない）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
に於いて、
① が、「パースの法則」である以上、
② も、「パースの法則」である。
従って、
（04）により、
（05）
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐであるならば、Ｑでない）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
に於いて、
① と ② の、両方が、「パースの法則」である以上、「パースの法則」とは、
③（（Ｐであるならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも）、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ、「命題」を言ふ。
然るに、
（06）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（背理法を絶対に認めない人たちの会）
従って、
（05）（06）により、
（07）
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐであるならば、Ｑでない）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
③（（Ｐであるならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも）、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ、「３通りのパースの法則」に於いて、
「背理法を絶対に認めない人たちの会」の方たちは、
① といふ「パースの法則」だけを、「パズルのような（変な）命題」であると、言ふ。
然るに、
（08）
１ （１） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） Ａ（パースの法則の否定）
１ （２）～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨ Ｐ） １含意の定義
１ （３） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１ （４） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ ３＆Ｅ
１ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ４含意の定義
６ （６） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
６ （７） ～（～Ｐ∨Ｑ） ６含意の定義
６ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
６ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ５６９アア∨Ｅ
１ （ウ） ～Ｐ ３＆Ｅ
１ （エ） Ｐ＆～Ｐ イウ＆Ｉ（矛盾）
（オ）～～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） １エ背理法
（カ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ オＤＮ（二重否定）
従って、
（07）（08）により、
（09）
「背理法を絶対に認めない人たちの会」の方たちが、 「パズルのような（変な）命題」であると言ふ所の、「パースの法則」は、「背理法」によって、「証明」出来る。
令和０３年０８月１０日、毛利太。
命題計算では、パースの法則は（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ「説明」は、私には、完全に「意味不明」である。
ｃｆ.
Ｑが偽である。⇔ ～Ｑが真である。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
４ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
４ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ ３４６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
４ （５） Ｐ＆ Ｑ ４ド・モルガンの法則
４ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ ３４６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① が、「パースの法則」である以上、
② も、「パースの法則」である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で言ふと、
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐであるならば、Ｑでない）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
に於いて、
① が、「パースの法則」である以上、
② も、「パースの法則」である。
従って、
（04）により、
（05）
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐであるならば、Ｑでない）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
に於いて、
① と ② の、両方が、「パースの法則」である以上、「パースの法則」とは、
③（（Ｐであるならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも）、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ、「命題」を言ふ。
然るに、
（06）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（背理法を絶対に認めない人たちの会）
従って、
（05）（06）により、
（07）
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐであるならば、Ｑでない）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
③（（Ｐであるならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも）、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ、「３通りのパースの法則」に於いて、
「背理法を絶対に認めない人たちの会」の方たちは、
① といふ「パースの法則」だけを、「パズルのような（変な）命題」であると、言ふ。
然るに、
（08）
１ （１） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） Ａ（パースの法則の否定）
１ （２）～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨ Ｐ） １含意の定義
１ （３） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１ （４） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ ３＆Ｅ
１ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ４含意の定義
６ （６） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
６ （７） ～（～Ｐ∨Ｑ） ６含意の定義
６ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
６ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ５６９アア∨Ｅ
１ （ウ） ～Ｐ ３＆Ｅ
１ （エ） Ｐ＆～Ｐ イウ＆Ｉ（矛盾）
（オ）～～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） １エ背理法
（カ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ オＤＮ（二重否定）
従って、
（07）（08）により、
（09）
「背理法を絶対に認めない人たちの会」の方たちが、 「パズルのような（変な）命題」であると言ふ所の、「パースの法則」は、「背理法」によって、「証明」出来る。
令和０３年０８月１０日、毛利太。
2021年8月8日日曜日
「述語論理」に於ける「ド・モルガンの法則（量化子の関係）」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（～Ｆｘ） ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
∃ｘ（～Ｆｘ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ） ７ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘ（ Ｆｘ）＆
∀ｘ（ Ｆｘ） １８＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ（～Ｆｘ） アＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
２ （４） Ｆａ ２ＵＥ
２３（５） ～Ｆａ＆Ｆａ ３４＆Ｉ
３（６） ～∀ｘ（ Ｆｘ） ２５ＲＡＡ
１ （７） ～∀ｘ（ Ｆｘ） １３６ＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ Ａ
２ （２） ～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ４∨Ｉ
２３ （６） ～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝＆
｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｆａ ３６ＲＡＡ
２ （８） Ｆａ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
９ （ア） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｂ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝＆
｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～Ｆｂ ９ウＲＡＡ
２ （オ） Ｆｂ エＲＡＡ
カ（カ） ～Ｆｃ Ａ
カ（キ） ～Ｆｂ∨～Ｆｃ ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝＆
｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ ２ク＆Ｉ
２ （コ） ～～Ｆｃ カケＲＡＡ
２ （サ） Ｆｃ コＤＮ
２ （シ） Ｆａ＆Ｆｂ ８オ＆Ｉ
２ （ス） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ｝＆
｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ｝ １ス＆Ｉ
１ （ソ）～～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ ２セＲＡＡ
１ （タ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ソＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ Ａ
２ （２） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ Ａ
１ （３） ～Ｆａ∨（～Ｆｂ∨～Ｆｃ） １結合法則
４ （４） ～Ｆａ Ａ
２ （５） Ｆａ ２＆Ｅ
２４ （６） ～Ｆａ＆Ｆａ ４５＆Ｉ
４ （７） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ２６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｆｂ∨～Ｆｃ） Ａ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
２ （ア） Ｆｂ ２＆Ｅ
２ ９ （イ） ～Ｆｂ＆Ｆｂ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ２イＲＡＡ
エ（エ） ～Ｆｃ Ａ
２ （オ） Ｆｃ ２＆Ｅ
２ エ（カ） ～Ｆｃ＆Ｆｃ エオ＆Ｉ
エ（キ） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ２カＲＡＡ
８ （ク） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ８９ウエキ∨Ｅ
１ （ケ） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ３４７８９∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
として、
① ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
といふ「論理式」は、
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「述語論理式」に、等しい。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）といふことは、
① ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）といふことに、他ならない。
然るに、
（07）
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふことは、
①（すべてのｘが、Ｆである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
といふ、ことである。
従って、
（06）（07）により、
（08）
①（すべてのｘが、Ｆである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「（述語論理に於ける）ド・モルガンの法則」といふ。
令和０３年０８月０８日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） ～∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（～Ｆｘ） ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
∃ｘ（～Ｆｘ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ） ７ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘ（ Ｆｘ）＆
∀ｘ（ Ｆｘ） １８＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ（～Ｆｘ） アＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
２ （４） Ｆａ ２ＵＥ
２３（５） ～Ｆａ＆Ｆａ ３４＆Ｉ
３（６） ～∀ｘ（ Ｆｘ） ２５ＲＡＡ
１ （７） ～∀ｘ（ Ｆｘ） １３６ＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ Ａ
２ （２） ～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ４∨Ｉ
２３ （６） ～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝＆
｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｆａ ３６ＲＡＡ
２ （８） Ｆａ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
９ （ア） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｂ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝＆
｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～Ｆｂ ９ウＲＡＡ
２ （オ） Ｆｂ エＲＡＡ
カ（カ） ～Ｆｃ Ａ
カ（キ） ～Ｆｂ∨～Ｆｃ ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝＆
｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ ２ク＆Ｉ
２ （コ） ～～Ｆｃ カケＲＡＡ
２ （サ） Ｆｃ コＤＮ
２ （シ） Ｆａ＆Ｆｂ ８オ＆Ｉ
２ （ス） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ｝＆
｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ｝ １ス＆Ｉ
１ （ソ）～～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝ ２セＲＡＡ
１ （タ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ソＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ Ａ
２ （２） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ Ａ
１ （３） ～Ｆａ∨（～Ｆｂ∨～Ｆｃ） １結合法則
４ （４） ～Ｆａ Ａ
２ （５） Ｆａ ２＆Ｅ
２４ （６） ～Ｆａ＆Ｆａ ４５＆Ｉ
４ （７） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ２６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｆｂ∨～Ｆｃ） Ａ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
２ （ア） Ｆｂ ２＆Ｅ
２ ９ （イ） ～Ｆｂ＆Ｆｂ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ２イＲＡＡ
エ（エ） ～Ｆｃ Ａ
２ （オ） Ｆｃ ２＆Ｅ
２ エ（カ） ～Ｆｃ＆Ｆｃ エオ＆Ｉ
エ（キ） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ２カＲＡＡ
８ （ク） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ８９ウエキ∨Ｅ
１ （ケ） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝ ３４７８９∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
として、
① ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
といふ「論理式」は、
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「述語論理式」に、等しい。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）といふことは、
① ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ｝
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）といふことに、他ならない。
然るに、
（07）
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふことは、
①（すべてのｘが、Ｆである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
といふ、ことである。
従って、
（06）（07）により、
（08）
①（すべてのｘが、Ｆである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「（述語論理に於ける）ド・モルガンの法則」といふ。
令和０３年０８月０８日、毛利太。
2021年8月7日土曜日
「二項述語」と「二つの量化子」。
（01）
｛変域｝を｛人間｝とし、
｛人間｝を｛ａ，ｂ，ｃ｝とする。
然るに、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
④ ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、明らかに、
①（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ａｃ）＆（愛ｂａ＆愛ｂｂ＆愛ｂｃ）＆（愛ｃａ＆愛ｃｂ＆愛ｃｃ）
④（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）∨（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）∨（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
という「論理式」に、相当する。
従って、
（02）により、
（03）
② ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
③ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
②（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ａｃ）∨（愛ｂａ＆愛ｂｂ＆愛ｂｃ）∨（愛ｃａ＆愛ｃｂ＆愛ｃｃ）
③（愛ａａ∨愛ｂａ∨愛ｃａ）＆（愛ａｂ∨愛ｂｂ∨愛ｃｂ）＆（愛ａｃ∨愛ｂｃ∨愛ｃｃ）
という「論理式」に、相当する。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
③ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
④ ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
①（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ａｃ）＆（愛ｂａ＆愛ｂｂ＆愛ｂｃ）＆（愛ｃａ＆愛ｃｂ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ａｃ）∨（愛ｂａ＆愛ｂｂ＆愛ｂｃ）∨（愛ｃａ＆愛ｃｂ＆愛ｃｃ）
③（愛ａａ∨愛ｂａ∨愛ｃａ）＆（愛ａｂ∨愛ｂｂ∨愛ｃｂ）＆（愛ａｃ∨愛ｂｃ∨愛ｃｃ）
④（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）∨（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）∨（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「論理式」に、相当する。
然るに、
（05）
①（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ａｃ）＆（愛ｂａ＆愛ｂｂ＆愛ｂｃ）＆（愛ｃａ＆愛ｃｂ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ａｃ）∨（愛ｂａ＆愛ｂｂ＆愛ｂｃ）∨（愛ｃａ＆愛ｃｂ＆愛ｃｃ）
③（愛ａａ∨愛ｂａ∨愛ｃａ）＆（愛ａｂ∨愛ｂｂ∨愛ｃｂ）＆（愛ａｃ∨愛ｂｃ∨愛ｃｃ）
④（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）∨（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）∨（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、② であっても、① であるとは、限らない。
② ならば、③ であるが、③ であっても、② であるとは、限らない。
③ ならば、④ であるが、④ であっても、③ であるとは、限らない。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∀ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
③ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
④ ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、② であっても、① であるとは、限らない。
② ならば、③ であるが、③ であっても、② であるとは、限らない。
③ ならば、④ であるが、④ であっても、③ であるとは、限らない。
従って、
（01）（06）により、
（07）
① すべての人は、すべての人を、愛す。
② ある人は、すべての人を、愛す。
③ すべての人は、ある人に、愛される。
④ ある人は、 ある人を、愛す。
に於いて、
① ならば、② であるが、② であっても、① であるとは、限らない。
② ならば、③ であるが、③ であっても、② であるとは、限らない。
③ ならば、④ であるが、④ であっても、③ であるとは、限らない。
令和０３年０８月０７日、毛利太。
｛変域｝を｛人間｝とし、
｛人間｝を｛ａ，ｂ，ｃ｝とする。
然るに、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
④ ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、明らかに、
①（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ａｃ）＆（愛ｂａ＆愛ｂｂ＆愛ｂｃ）＆（愛ｃａ＆愛ｃｂ＆愛ｃｃ）
④（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）∨（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）∨（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
という「論理式」に、相当する。
従って、
（02）により、
（03）
② ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
③ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
②（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ａｃ）∨（愛ｂａ＆愛ｂｂ＆愛ｂｃ）∨（愛ｃａ＆愛ｃｂ＆愛ｃｃ）
③（愛ａａ∨愛ｂａ∨愛ｃａ）＆（愛ａｂ∨愛ｂｂ∨愛ｃｂ）＆（愛ａｃ∨愛ｂｃ∨愛ｃｃ）
という「論理式」に、相当する。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
③ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
④ ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
①（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ａｃ）＆（愛ｂａ＆愛ｂｂ＆愛ｂｃ）＆（愛ｃａ＆愛ｃｂ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ａｃ）∨（愛ｂａ＆愛ｂｂ＆愛ｂｃ）∨（愛ｃａ＆愛ｃｂ＆愛ｃｃ）
③（愛ａａ∨愛ｂａ∨愛ｃａ）＆（愛ａｂ∨愛ｂｂ∨愛ｃｂ）＆（愛ａｃ∨愛ｂｃ∨愛ｃｃ）
④（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）∨（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）∨（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「論理式」に、相当する。
然るに、
（05）
①（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ａｃ）＆（愛ｂａ＆愛ｂｂ＆愛ｂｃ）＆（愛ｃａ＆愛ｃｂ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ａｃ）∨（愛ｂａ＆愛ｂｂ＆愛ｂｃ）∨（愛ｃａ＆愛ｃｂ＆愛ｃｃ）
③（愛ａａ∨愛ｂａ∨愛ｃａ）＆（愛ａｂ∨愛ｂｂ∨愛ｃｂ）＆（愛ａｃ∨愛ｂｃ∨愛ｃｃ）
④（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）∨（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）∨（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、② であっても、① であるとは、限らない。
② ならば、③ であるが、③ であっても、② であるとは、限らない。
③ ならば、④ であるが、④ であっても、③ であるとは、限らない。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∀ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
③ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
④ ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、② であっても、① であるとは、限らない。
② ならば、③ であるが、③ であっても、② であるとは、限らない。
③ ならば、④ であるが、④ であっても、③ であるとは、限らない。
従って、
（01）（06）により、
（07）
① すべての人は、すべての人を、愛す。
② ある人は、すべての人を、愛す。
③ すべての人は、ある人に、愛される。
④ ある人は、 ある人を、愛す。
に於いて、
① ならば、② であるが、② であっても、① であるとは、限らない。
② ならば、③ であるが、③ であっても、② であるとは、限らない。
③ ならば、④ であるが、④ であっても、③ であるとは、限らない。
令和０３年０８月０７日、毛利太。
2021年8月6日金曜日
∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）⇒ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
（01）
ある人αは、個人である。
然るに、
（02）
ある人αは、すべての男性を愛し、尚且つ、
ある人αは、すべての女性を愛してゐる。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ある人αといふ人（個人）は、すべての人（すべての男性と女性）を愛す。
然るに、
（04）
① ある人αといふ人（個人）が、すべての人（すべての男性と女性）を愛す。
といふのであれば、
② すべての人（すべての男性と女性）は、ある人（α）によって、愛されてゐる。
然るに、
（05）
ある人βは、すべての男性だけを愛し、
ある人γは、すべての女性だけを愛す。
といふのであれば、この場合も、
② すべての人（すべての男性と女性）は、ある人（βかγ）によって愛されてゐる。
然るに、
（06）
ある人βは、すべての男性だけを愛し、
ある人γは、すべての女性だけを愛す。
といふのであれば、
βは、すべての人（すべての男女）を愛してゐる。といふわけではないし、
γも、すべての人（すべての男女）を愛してゐる。といふわけではない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② すべての人（すべての男性と女性）が、ある人によって愛されてゐる。
といふことが「真（本当）」であるからといって、
① ある、１人の人が、すべての人（すべての男性と女性）を愛してゐる。
とは、限らない。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① ある人は、すべての人を愛す。
② すべての人は、ある人によって愛されてゐる。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
然るに、
（09）
｛変域｝を、｛人間｝とするならば、
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ「論理式」は、
① ある人は、すべての人を愛す。
② すべての人は、ある人によって愛されてゐる。
といふ「意味」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
然るに、
（11）
｛変域｝を、｛ａ、ｂ、ｃ｝とするならば、
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式は、
①（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）∨（Ｆｂａ＆Ｆｂｂ＆Ｆｂｃ）∨（Ｆｃａ＆Ｆｃｂ＆Ｆｃｃ）
②（Ｆａａ∨Ｆｂａ∨Ｆｃａ）＆（Ｆａｂ∨Ｆｂｂ∨Ｆｃｂ）＆（Ｆａｃ∨Ｆｂｃ∨Ｆｃｃ）
といふ「論理式」に、「展開」出来る。
然るに、
（12）
「＆」の「意味（働き）」と、
「∨」の「意味（働き）」からすれば、
①（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）∨（Ｆｂａ＆Ｆｂｂ＆Ｆｂｃ）∨（Ｆｃａ＆Ｆｃｂ＆Ｆｃｃ）
②（Ｆａａ∨Ｆｂａ∨Ｆｃａ）＆（Ｆａｂ∨Ｆｂｂ∨Ｆｃｂ）＆（Ｆａｃ∨Ｆｂｃ∨Ｆｃｃ）
に於いて、たしかに、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
といふことは、「一目瞭然」である。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
① ある人は、すべての人を愛す。
② すべての人は、ある人によって愛されてゐる。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
といふことを、「理解」してゐる「人間の脳」の中には、
①（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）∨（Ｆｂａ＆Ｆｂｂ＆Ｆｂｃ）∨（Ｆｃａ＆Ｆｃｂ＆Ｆｃｃ）
②（Ｆａａ∨Ｆｂａ∨Ｆｃａ）＆（Ｆａｂ∨Ｆｂｂ∨Ｆｃｂ）＆（Ｆａｃ∨Ｆｂｃ∨Ｆｃｃ）
といふ「論理式」が、「格納」されてゐる。
といふことは、「本当」である？！？
令和０３年０８月０６日、毛利太。
ある人αは、個人である。
然るに、
（02）
ある人αは、すべての男性を愛し、尚且つ、
ある人αは、すべての女性を愛してゐる。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ある人αといふ人（個人）は、すべての人（すべての男性と女性）を愛す。
然るに、
（04）
① ある人αといふ人（個人）が、すべての人（すべての男性と女性）を愛す。
といふのであれば、
② すべての人（すべての男性と女性）は、ある人（α）によって、愛されてゐる。
然るに、
（05）
ある人βは、すべての男性だけを愛し、
ある人γは、すべての女性だけを愛す。
といふのであれば、この場合も、
② すべての人（すべての男性と女性）は、ある人（βかγ）によって愛されてゐる。
然るに、
（06）
ある人βは、すべての男性だけを愛し、
ある人γは、すべての女性だけを愛す。
といふのであれば、
βは、すべての人（すべての男女）を愛してゐる。といふわけではないし、
γも、すべての人（すべての男女）を愛してゐる。といふわけではない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② すべての人（すべての男性と女性）が、ある人によって愛されてゐる。
といふことが「真（本当）」であるからといって、
① ある、１人の人が、すべての人（すべての男性と女性）を愛してゐる。
とは、限らない。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① ある人は、すべての人を愛す。
② すべての人は、ある人によって愛されてゐる。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
然るに、
（09）
｛変域｝を、｛人間｝とするならば、
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ「論理式」は、
① ある人は、すべての人を愛す。
② すべての人は、ある人によって愛されてゐる。
といふ「意味」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
然るに、
（11）
｛変域｝を、｛ａ、ｂ、ｃ｝とするならば、
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式は、
①（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）∨（Ｆｂａ＆Ｆｂｂ＆Ｆｂｃ）∨（Ｆｃａ＆Ｆｃｂ＆Ｆｃｃ）
②（Ｆａａ∨Ｆｂａ∨Ｆｃａ）＆（Ｆａｂ∨Ｆｂｂ∨Ｆｃｂ）＆（Ｆａｃ∨Ｆｂｃ∨Ｆｃｃ）
といふ「論理式」に、「展開」出来る。
然るに、
（12）
「＆」の「意味（働き）」と、
「∨」の「意味（働き）」からすれば、
①（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）∨（Ｆｂａ＆Ｆｂｂ＆Ｆｂｃ）∨（Ｆｃａ＆Ｆｃｂ＆Ｆｃｃ）
②（Ｆａａ∨Ｆｂａ∨Ｆｃａ）＆（Ｆａｂ∨Ｆｂｂ∨Ｆｃｂ）＆（Ｆａｃ∨Ｆｂｃ∨Ｆｃｃ）
に於いて、たしかに、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
といふことは、「一目瞭然」である。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
① ある人は、すべての人を愛す。
② すべての人は、ある人によって愛されてゐる。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
といふことを、「理解」してゐる「人間の脳」の中には、
①（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）∨（Ｆｂａ＆Ｆｂｂ＆Ｆｂｃ）∨（Ｆｃａ＆Ｆｃｂ＆Ｆｃｃ）
②（Ｆａａ∨Ｆｂａ∨Ｆｃａ）＆（Ｆａｂ∨Ｆｂｂ∨Ｆｃｂ）＆（Ｆａｃ∨Ｆｂｃ∨Ｆｃｃ）
といふ「論理式」が、「格納」されてゐる。
といふことは、「本当」である？！？
令和０３年０８月０６日、毛利太。
2021年8月5日木曜日
「量化子の順番」について。
（01）
第１に、固有名をつぎの符号のひとつとして定義する。
ｍ，ｎ，・・・・・
第２に、任意の名前をつぎの符号のひとつとして定義する。
ａ，ｂ，ｃ，・・・・・
第３に、個体変数をつぎの符号のひとつとして定義する。
ｘ，ｙ，ｚ，・・・・・
第４に、述語文字をつぎの符号のひとつとして定義する。
Ｆ，Ｇ，Ｈ，・・・・・
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎 ・浅野 楢英 訳、1973年、１７６頁）
従って、
（01）により、
（02）
｛変域｝を、｛人間｝とするならば、
ｘは、「誰か（someone）」であって、
ｙも、「誰か（someone）」であって、
ｚも、「誰か（someone）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① 愛ｘｙ＝ｘはｙを愛す。
② 愛ｙｘ＝ｙはｘを愛す。
③ 誰かが誰かを愛す。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（04）
｛変域｝を、｛人間｝とするならば、
① ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
② ∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
は、それぞれ、
① ある人は、ある人を愛す。
② ある人は、ある人によって愛される。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（愛ａｙ） Ａ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） ∃ｘ（愛ｘｂ） ３ＥＩ
２ （５） ∃ｘ（愛ｘｂ） ２３４ＥＥ
２ （６）∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） ５ＥＩ
１ （７）∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） １２６ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（愛ｘｂ） Ａ
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∃ｙ（愛ａｙ） ３ＥＩ
２ （５） ∃ｙ（愛ａｙ） ２３４ＥＥ
２ （６）∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） ５ＥＩ
１ （７）∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） １２６ＥＥ
従って、
（05）により、
（06）
① ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
② ∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ある人は、ある人を愛す。
② ある人は、ある人によって愛される。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
「論理的」には、
① Somebody loves somebody.
② Somebody is loved by somebody.
に於いて、「（能動態・受動態の）区別」は、無い。
然るに、
（09）
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｙ（愛ａｙ） Ａ
２（３） 愛ａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｘ（愛ｘｂ） ３ＥＩ
２（５）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） １２５ＥＥ
（ⅳ）
１ （１）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（愛ｘｂ） １ＵＥ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（愛ａｙ） ３ＵＩ（は、反則なので、無効である。）
３（５）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） １３５ＥＥ
従って、
（09）により、
（10）
③ ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
④ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
に於いて、
③ ならば、④ であるが、
④ ならば、③ であるとは、限らない。
従って、
（10）により、
（11）
③ ある人は、すべての人を愛す。
④ すべての人は、ある人によって愛される。
に於いて、
③ ならば、④ であるが、
④ ならば、③ であるとは、限らない。
従って、
（06）（11）により、
（12）
① ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
② ∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
に於いては、
①＝② であるが、
③ ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
④ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
に於いては、
③＝④ ではない。
令和０３年０８月０５日、毛利太。
第１に、固有名をつぎの符号のひとつとして定義する。
ｍ，ｎ，・・・・・
第２に、任意の名前をつぎの符号のひとつとして定義する。
ａ，ｂ，ｃ，・・・・・
第３に、個体変数をつぎの符号のひとつとして定義する。
ｘ，ｙ，ｚ，・・・・・
第４に、述語文字をつぎの符号のひとつとして定義する。
Ｆ，Ｇ，Ｈ，・・・・・
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎 ・浅野 楢英 訳、1973年、１７６頁）
従って、
（01）により、
（02）
｛変域｝を、｛人間｝とするならば、
ｘは、「誰か（someone）」であって、
ｙも、「誰か（someone）」であって、
ｚも、「誰か（someone）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① 愛ｘｙ＝ｘはｙを愛す。
② 愛ｙｘ＝ｙはｘを愛す。
③ 誰かが誰かを愛す。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（04）
｛変域｝を、｛人間｝とするならば、
① ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
② ∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
は、それぞれ、
① ある人は、ある人を愛す。
② ある人は、ある人によって愛される。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（愛ａｙ） Ａ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） ∃ｘ（愛ｘｂ） ３ＥＩ
２ （５） ∃ｘ（愛ｘｂ） ２３４ＥＥ
２ （６）∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） ５ＥＩ
１ （７）∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） １２６ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（愛ｘｂ） Ａ
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∃ｙ（愛ａｙ） ３ＥＩ
２ （５） ∃ｙ（愛ａｙ） ２３４ＥＥ
２ （６）∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） ５ＥＩ
１ （７）∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） １２６ＥＥ
従って、
（05）により、
（06）
① ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
② ∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ある人は、ある人を愛す。
② ある人は、ある人によって愛される。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
「論理的」には、
① Somebody loves somebody.
② Somebody is loved by somebody.
に於いて、「（能動態・受動態の）区別」は、無い。
然るに、
（09）
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｙ（愛ａｙ） Ａ
２（３） 愛ａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｘ（愛ｘｂ） ３ＥＩ
２（５）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） １２５ＥＥ
（ⅳ）
１ （１）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（愛ｘｂ） １ＵＥ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（愛ａｙ） ３ＵＩ（は、反則なので、無効である。）
３（５）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） １３５ＥＥ
従って、
（09）により、
（10）
③ ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
④ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
に於いて、
③ ならば、④ であるが、
④ ならば、③ であるとは、限らない。
従って、
（10）により、
（11）
③ ある人は、すべての人を愛す。
④ すべての人は、ある人によって愛される。
に於いて、
③ ならば、④ であるが、
④ ならば、③ であるとは、限らない。
従って、
（06）（11）により、
（12）
① ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
② ∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
に於いては、
①＝② であるが、
③ ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
④ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
に於いては、
③＝④ ではない。
令和０３年０８月０５日、毛利太。
2021年8月2日月曜日
述語論理、固有名、任意の名前。
（01）
第１に、固有名をつぎの符号のひとつとして定義する。
ｍ，ｎ，・・・・・
第２に、任意の名前をつぎの符号のひとつとして定義する。
ａ，ｂ，ｃ，・・・・・
第３に、個体変数をつぎの符号のひとつとして定義する。
ｘ，ｙ，ｚ，・・・・・
第４に、述語文字をつぎの符号のひとつとして定義する。
Ｆ，Ｇ，Ｈ，・・・・・
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎 ・浅野 楢英 訳、1973年、１７６頁）
然るに、
（02）
１００ Ｆｍ，∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ Ｇｍ
１ （１） Ｆｍ Ａ
２（２）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（３） Ｆｍ→Ｇｍ ２ＵＥ
１２（４） Ｇｍ １３ＭＰＰ
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎 ・浅野 楢英 訳、1973年、１３４頁）
然るに、
（03）
たとえば、１００の証明はまたつぎの連式の証明であると考えてよい。
Ｆａ，∀ｙ（Ｆｙ→Ｇｙ）├ Ｇａ
ここでは「ｍ」は「ａ」によって、「ｘ」は「ｙ」によって置き換えられている。
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎 ・浅野 楢英 訳、1973年、１９８頁）
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｆｍ，∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ Ｇｍ
② Ｆａ，∀ｙ（Ｆｙ→Ｇｙ）├ Ｇａ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（04）により、
（05）
第１に、固有名をつぎの符号のひとつとして定義する。
ｍ，ｎ，・・・・・
第２に、任意の名前をつぎの符号のひとつとして定義する。
ａ，ｂ，ｃ，・・・・・
でいふ所の、「固有名詞」と、「任意の名前」の「区別」は、「曖昧で、分かりにくい。」
然るに、
（06）
練習問題
１ 次の連式の妥当性を証明せよ。
（ａ）Ｆａ ┤├ ∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ）
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎 ・浅野 楢英 訳、1973年、２１４頁）
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１） Ｆａ Ａ
２ （２） ～∀ｘ（ｘ＝ａ→ Ｆｘ） Ａ
２ （３） ∃ｘ～（ｘ＝ａ→ Ｆｘ） ２量化子の関係
４（４） ～（ａ＝ａ→ Ｆａ） Ａ
４（５） ～（ａ≠ａ∨ Ｆａ） ４含意の定義
４（６） ａ＝ａ＆～Ｆａ ５ド・モルガンの法則
４（７） ～Ｆａ ６＆Ｅ
２ （８） ～Ｆａ ２４７ＥＥ
１２ （９） Ｆａ＆～Ｆａ １８＆Ｉ
１ （ア） ～～∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ） １ＤＮ
（ウ）Ｆａ→∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ） １イＣＰ
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ） Ａ
１（２） ａ＝ａ→Ｆａ １ＵＥ
１（３） ａ＝ａ ＝Ｉ
１（４） Ｆａ ２３ＭＰＰ
（５）∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ）→Ｆａ １４ＣＰ
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｆａ→∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ）
② ∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ）→Ｆａ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
①「任意のａが、Ｆである。」といふことは、
②「いかなるｘであっても、ｘがａであるならば、ｘはＦである。」といふことに、「等しい」。
然るに、
（10）
①「任意のａが、Ｆである。」といふことは、
②「いかなるｘであっても、ｘがａであるならば、ｘはＦである。」といふことに、「等しい」。
といふことであるならば、「曖昧で、分かりにくい。」といふことは、無い。
令和０３年０８月０２日、毛利太。
第１に、固有名をつぎの符号のひとつとして定義する。
ｍ，ｎ，・・・・・
第２に、任意の名前をつぎの符号のひとつとして定義する。
ａ，ｂ，ｃ，・・・・・
第３に、個体変数をつぎの符号のひとつとして定義する。
ｘ，ｙ，ｚ，・・・・・
第４に、述語文字をつぎの符号のひとつとして定義する。
Ｆ，Ｇ，Ｈ，・・・・・
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎 ・浅野 楢英 訳、1973年、１７６頁）
然るに、
（02）
１００ Ｆｍ，∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ Ｇｍ
１ （１） Ｆｍ Ａ
２（２）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（３） Ｆｍ→Ｇｍ ２ＵＥ
１２（４） Ｇｍ １３ＭＰＰ
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎 ・浅野 楢英 訳、1973年、１３４頁）
然るに、
（03）
たとえば、１００の証明はまたつぎの連式の証明であると考えてよい。
Ｆａ，∀ｙ（Ｆｙ→Ｇｙ）├ Ｇａ
ここでは「ｍ」は「ａ」によって、「ｘ」は「ｙ」によって置き換えられている。
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎 ・浅野 楢英 訳、1973年、１９８頁）
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｆｍ，∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ Ｇｍ
② Ｆａ，∀ｙ（Ｆｙ→Ｇｙ）├ Ｇａ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（04）により、
（05）
第１に、固有名をつぎの符号のひとつとして定義する。
ｍ，ｎ，・・・・・
第２に、任意の名前をつぎの符号のひとつとして定義する。
ａ，ｂ，ｃ，・・・・・
でいふ所の、「固有名詞」と、「任意の名前」の「区別」は、「曖昧で、分かりにくい。」
然るに、
（06）
練習問題
１ 次の連式の妥当性を証明せよ。
（ａ）Ｆａ ┤├ ∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ）
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎 ・浅野 楢英 訳、1973年、２１４頁）
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１） Ｆａ Ａ
２ （２） ～∀ｘ（ｘ＝ａ→ Ｆｘ） Ａ
２ （３） ∃ｘ～（ｘ＝ａ→ Ｆｘ） ２量化子の関係
４（４） ～（ａ＝ａ→ Ｆａ） Ａ
４（５） ～（ａ≠ａ∨ Ｆａ） ４含意の定義
４（６） ａ＝ａ＆～Ｆａ ５ド・モルガンの法則
４（７） ～Ｆａ ６＆Ｅ
２ （８） ～Ｆａ ２４７ＥＥ
１２ （９） Ｆａ＆～Ｆａ １８＆Ｉ
１ （ア） ～～∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ） １ＤＮ
（ウ）Ｆａ→∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ） １イＣＰ
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ） Ａ
１（２） ａ＝ａ→Ｆａ １ＵＥ
１（３） ａ＝ａ ＝Ｉ
１（４） Ｆａ ２３ＭＰＰ
（５）∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ）→Ｆａ １４ＣＰ
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｆａ→∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ）
② ∀ｘ（ｘ＝ａ→Ｆｘ）→Ｆａ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
①「任意のａが、Ｆである。」といふことは、
②「いかなるｘであっても、ｘがａであるならば、ｘはＦである。」といふことに、「等しい」。
然るに、
（10）
①「任意のａが、Ｆである。」といふことは、
②「いかなるｘであっても、ｘがａであるならば、ｘはＦである。」といふことに、「等しい」。
といふことであるならば、「曖昧で、分かりにくい。」といふことは、無い。
令和０３年０８月０２日、毛利太。
登録:
投稿 (Atom)