「述語論理」に於ける「ド・モルガンの法則（量化子の関係）」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　３ＥＩ
　２３（５）　～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　　　～～Ｆａ　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　　　Ｆａ　　　６ＤＮ
　２　（８）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　７ＵＩ
１２　（９）　～∀ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　１８＆Ｉ
１　　（ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ）　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　アＤＮ
（ⅱ）
１　　（１）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　２　（４）　　　　　　Ｆａ　　　２ＵＥ
　２３（５）　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　３４＆Ｉ
　　３（６）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　２５ＲＡＡ
１　　（７）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　１３６ＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）
② 　∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　　　（１）　　～｛Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ｝　　Ａ
　２　　　（２）　～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝　　Ａ
　　３　　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　４∨Ｉ
　２３　　（６）　～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝＆
　　　　　　　　　　｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝　　２５＆Ｉ
　２　　　（７）　　～～Ｆａ　　　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　２　　　（８）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　（９）　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　（イ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｂ　　　ア∨Ｉ
　２　９　（ウ）　～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝＆
　　　　　　　　　　｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝　　２イ＆Ｉ
　２　　　（エ）　　　　　　～～Ｆｂ　　　　　　　９ウＲＡＡ
　２　　　（オ）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　エＲＡＡ
　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
　　　　カ（キ）　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　∨Ｉ
　　　　カ（ク）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　キ∨Ｉ
　２　　カ（ケ）　～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝＆
　　　　　　　　　　｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝　　２ク＆Ｉ
　２　　　（コ）　　　　　　　　　　～～Ｆｃ　　　カケＲＡＡ
　２　　　（サ）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　コＤＮ
　２　　　（シ）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　８オ＆Ｉ
　２　　　（ス）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　　　サシ＆Ｉ
１２　　　（セ）　　　　～｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ｝　　１ス＆Ｉ
１　　　　（ソ）～～｛～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ｝　　２セＲＡＡ
１　　　　（タ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　ソＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　Ａ
１　　　　　（３）　～Ｆａ∨（～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　１結合法則
　　４　　　（４）　～Ｆａ　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（５）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２４　　　（６）　～Ｆａ＆Ｆａ　　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）　～｛Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ｝　　２６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　（～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　２　　　　（ア）　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　９　（イ）　　　　　　～Ｆｂ＆Ｆｂ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）　～｛Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ｝　　２イＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
　２　　　　（オ）　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　２＆Ｅ
　２　　　エ（カ）　　　　　　　～Ｆｃ＆Ｆｃ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）　～｛Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ｝　　２カＲＡＡ
　　　８　　（ク）　～｛Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ｝　　８９ウエキ∨Ｅ
１　　　　　（ケ）　～｛Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ｝　　３４７８９∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① ～｛Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ｝
② 　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
として、
① ～｛Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ｝
② 　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
といふ「論理式」は、
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）
② 　∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「述語論理式」に、等しい。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）
② 　∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）といふことは、
① ～｛Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ｝
② 　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）といふことに、他ならない。
然るに、
（07）
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）
② 　∃ｘ（～Ｆｘ）
といふことは、
①（すべてのｘが、Ｆである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
といふ、ことである。
従って、
（06）（07）により、
（08）
①（すべてのｘが、Ｆである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「（述語論理に於ける）ド・モルガンの法則」といふ。
令和０３年０８月０８日、毛利太。