「連言除去の規則」と「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」。

（01）
１　　（１）　～（□∨～□）　　Ａ
　２　（２）　　　□　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　□∨～□　　　２∨Ｉ
１２　（４）　～（□∨～□）＆
　　　　　　　　（□∨～□）　　１３＆Ｉ
１　　（５）　　～□　　　　　　２４ＲＡＡ
１　　（６）　　　□∨～□　　　５∨Ｉ
１　　（７）　～（□∨～□）＆
　　　　　　　　（□∨～□）　　１６＆Ｉ
　　　（８）～～（□∨～□）　　１７ＲＡＡ
　　　（９）　　　□∨～□　　　８ＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① □∨～□
① □であるか、または、□ではない。
である所の「排中律」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
② Ｐ→（排中律）
④ Ｑ→（排中律）
であれば、
② Ｐ→（真）
④ Ｑ→（真）
である。
然るに、
（04）
（ⅰ）真→（真）
（ⅱ）真→（偽）
（ⅲ）偽→（真）
（ⅳ）偽→（偽）
に於いて、
（ⅱ）以外は、３つとも、「真」である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）真→（真）
（ⅲ）偽→（真）
は、両方とも、「真」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
② Ｐ→（排中律）
④ Ｑ→（排中律）
であれば、
② Ｐ→（真）
④ Ｑ→（真）
であって、
② Ｐ→（真）
④ Ｑ→（真）
であるならば、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
② Ｐ→（排中律）
④ Ｑ→（排中律）
に於いて、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
④ も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ　　Ａ
１　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ　　１含意の定義
　３　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　Ａ
　３　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）～Ｐ∨～Ｑ　∨Ｑ　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　Ｑ　　Ａ
　　６（７）～Ｐ∨～Ｑ　∨Ｑ　　６∨Ｉ
１　　（８）～Ｐ∨～Ｑ　∨Ｑ　　２３５６７∨Ｅ
１　　（９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｑ）　８結合法則
１　　（ア）　Ｐ→（～Ｑ∨Ｑ）　９含意の定義
（ⅱ）
１　　（１）　Ｐ→（～Ｑ∨Ｑ）　Ａ
１　　（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｑ）　１含意の定義
１　　（３）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｑ　２結合法則
　４　（４）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　Ａ
　４　（５）～（Ｐ＆　Ｑ）　　　４ド・モルガンの法則
　４　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｑ　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　Ｑ　Ａ
　　７（８）～（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｑ　７∨Ｉ
１　　（９）～（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｑ　３４６７８∨Ｅ
１　　（ア）　（Ｐ＆　Ｑ）→Ｑ　９含意の定義
（09）
（ⅲ）
１　　（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　　Ａ
１　　（２）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ）　　１含意の定義
　３　（３）～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　３　（４）～Ｑ∨Ｐ∨～Ｐ　　　３∨Ｉ
　　５（５）　　　（Ｑ→Ｐ）　　Ａ
　　５（６）　　　～Ｑ∨Ｐ　　　５含意の定義
　　５（７）～Ｑ∨Ｐ∨～Ｐ　　　６∨Ｉ
１　　（８）～Ｑ∨Ｐ∨～Ｐ　　　１３４５７∨Ｅ
１　　（９）～Ｑ∨（Ｐ∨～Ｐ）　８結合法則
１　　（ア）　Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ）　９含意の定義
（ⅳ）
１　　（１）　Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ）　Ａ
１　　（２）～Ｑ∨（Ｐ∨～Ｐ）　１含意の定義
１　　（３）（～Ｑ∨Ｐ）∨～Ｐ　２結合法則
　４　（４）（～Ｑ∨Ｐ）　　　　Ａ
　４　（５）　　Ｑ→Ｐ　　　　　４含意の定義
　４　（６）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ）　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　～Ｐ　Ａ
　　７（８）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ）　　７∨I
１　　（９）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ）　　１４６７８∨Ｉ
１　　（ア）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　　９含意の定義
従って、
（08）（09）により、
（10）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
②  Ｐ→（～Ｑ∨Ｑ）
③　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
④　Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ）
に於いて
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（10）により、
（11）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
②  Ｐ→（排中律）
③　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
④　Ｑ→（排中律）
に於いて
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（07）（11）により、
（12）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
③　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
に於いて、すなはち、
①（Ｐであって、Ｑである）ならば、Ｑである。
③  Ｐであるならば（Ｑであるならば、Ｐである）。
に於いて、すなはち、
①「連言除去の規則」
③「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
（ⅲ）
１（１）　　　Ｐ　　　　　Ａ
１（２）～Ｑ∨Ｐ　　　　　１∨Ｉ
１（３）　Ｑ→Ｐ　　　　　２含意の定義
　（４）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰ
（ⅳ）
１（１）　　　　Ｐ　　　　　Ａ
１（２）～～Ｑ∨Ｐ　　　　　１∨Ｉ
１（３）　～Ｑ→Ｐ　　　　２含意の定義
　（４）Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
③ Ｐ→（　Ｑ→Ｐ）
④ Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
③ が、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」であるならば、
④ も、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
「番号」を付け直すとして、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
②  Ｐ→（　Ｑ→Ｐ）
③　Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、すなはち、
①（Ｐであって、Ｑである）ならば、Ｑである。
②  Ｐであるならば（Ｑであるならば、Ｐである）。
③  Ｐであるならば（Ｑでないならば、Ｐである）。
に於いて、すなはち、
①「連言除去の規則」
②「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」
③「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（15）により、
（16）
①（Ｐであって、Ｑである）ならば、Ｑである。
②  Ｐであるならば（Ｑであっても、Ｑでなくとも、Ｐである）。
に於いて、すなはち、
①「連言除去の規則」
②「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
令和０３年０８月３１日、毛利太。