「パースの法則」は、「変」ではない。

―「昨日（令和０３年０９月０２日）」の「記事」を書き直します。―
（01）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ。
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　Ａ
　２　　（２）　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　Ａ
　２　　（３）　　　　（Ｐ→Ｑ）　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　　　Ｐ　２３ＭＰＰ
１　　　（５）　　　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　２４ＣＰ
１　　　（６）　　～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　５含意の定義
　　７　（７）　　～（～Ｐ∨Ｑ）　　　Ａ
　　７　（８）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　（９）　　　　Ｐ　　　　　　　８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
１　　　（イ）　　　　　　　　　　Ｐ　１７９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　　（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ　Ａ
　２　　（２）　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　Ａ
　２　　（３）　　　　（Ｐ→～Ｑ）　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　　　 Ｐ　２３ＭＰＰ
１　　　（５）　　　（～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ　２４ＣＰ
１　　　（６）　　～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ　５含意の定義
　　７　（７）　　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　Ａ
　　７　（８）　　　　Ｐ＆～～Ｑ　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　（９）　　　　Ｐ　　　　　　　 ８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　 Ｐ　Ａ
１　　　（イ）　　　　　　　　　 　Ｐ　１７９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
①（（ＰならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰである）ならばＰである。
といふ「命題（パースの法則））」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
①（（ＰならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
であって、尚且つ、
②（（ＰならばＱでない）ならばＰである）ならばＰである。
といふことは、
③（（Ｐならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも）Ｐである）ならばＰである。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
「パースの法則」とは、
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも、）Ｐである）ならばＰである。
といふことに、他ならない。
然るに、
（06）
例へば、
③（（日本人ならば、男性であっても、女性であっても）日本人である）ならば日本人である。
であるといふ「命題（パースの法則）」は、「明らかに、真」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも、）Ｐである）ならばＰである。
である所の「パースの法則」は、「変」ではなく、「普通」である。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　Ｐ　１３ＭＰＰ
１　　　（５）　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　２４ＣＰ
１　　　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　５含意の定義
　　７　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　Ａ
　　７　（８）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　（９）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　８∨Ｉ
　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　　ア（イ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　ア∨Ｉ
１　　　（ウ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　１７９アイ∨Ｅ
（ⅳ）
１　　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　Ａ
　２　　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　Ａ
　  ３　（３）　　Ｐ→　Ｑ　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　　　Ｑ　　　　３４＆Ｉ
　２　　（６）　　　　～Ｑ　　　　２＆Ｅ
　２３　（７）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　５６
　２　　（８）～（Ｐ→　Ｑ）　　　３ＲＡＡ
　２　　（９）～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　２∨Ｉ
　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　　ア（イ）～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　ア∨Ｉ
１　　　（ウ）～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　１２９アイ∨Ｅ
１　　　（エ）　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　ウ含意の定義
従って、
（08）により、
（09）
③（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ
④（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
（10）
③（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（11）
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は、「日本語」で言ふと、
④（（ＰであってＱでない）か、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ「意味」である。
然るに、
（12）
例へば、
④（（日本人であって男性でない）か、日本人である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
といふ「命題」は、「明らかに、真である」。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
③（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ であって、尚且つ、
④ は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（13）により、
（14）
③（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於ける、
③ も、必然的に、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（05）（14）により、
（15）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「４通りの、恒真式」を、「１つの、パースの法則」と、捉える限り、「パースの法則」は、「変」ではなく、「普通」である。
令和０３年０９月０２日、毛利太。