「排中律」と（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）と「常識」。

（01）
練習問題５：１０個の原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、８０頁）
〔私による解答〕
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
　　（１）　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　　ＴＩ（定理導入の規則）
２　（２）　　　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
２　（３）～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　２∨Ｉ
２　（４）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　３含意の定義
２　（５）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　　４∨Ｉ
　６（６）　　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
　６（７）　　　　　　～Ｑ∨Ｒ　　　６∨Ｉ
　６（８）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　　７含意の定義
　６（９）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　　８∨Ｉ
　　（ア）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　　１２５６９∨Ｅ
然るに、
（02）
練習問題５：１０個の原始的規則だけを用いて、つぎの連式を証明せよ。
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、８０頁改）
〔私による解答〕
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
１　　　　　　　　　　　　　（１）　～（Ｑ∨～Ｑ）　　　　Ａ
　２　　　　　　　　　　　　（２）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　　　　　　　　　　　（３）　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　２∨Ｉ
１２　　　　　　　　　　　　（４）　～（Ｑ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ∨～Ｑ）　　　　１３＆Ｉ
１　　　　　　　　　　　　　（５）　　～Ｑ　　　　　　　　２４ＲＡＡ
１　　　　　　　　　　　　　（６）　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　５∨Ｉ
１　　　　　　　　　　　　　（７）　～（Ｑ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ∨～Ｑ）　　　　１６＆Ｉ
　　　　　　　　　　　　　　（８）～～（Ｑ∨～Ｑ）　　　　１７ＲＡＡ
　　　　　　　　　　　　　　（９）　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　８ＤＮ
　　ア　　　　　　　　　　　（ア）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ（９の選言項左）
　　ア　　　　　　　　　　　（イ）～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　ア∨Ｉ
　　　ウ　　　　　　　　　　（ウ）Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　　　エ　　　　　　　　　（エ）～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ（イの選言項左）
　　　ウ　　　　　　　　　　（オ）Ｐ　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　ウエ　　　　　　　　　（カ）～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　エオ＆Ｉ
　　　　エ　　　　　　　　　（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　ウカＲＡＡ
　　　　　ク　　　　　　　　（ク）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ（イの選言項右）
　　　ウ　　　　　　　　　　（ケ）　　～Ｑ　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　ウ　ク　　　　　　　　（コ）Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　クケ＆Ｉ
　　　　　ク　　　　　　　　（サ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　ウコＲＡＡ
　　ア　　　　　　　　　　　（シ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　アエキクサ∨Ｅ
　　　　　　ス　　　　　　　（ス）　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　セ　　　　　　（セ）　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　　スセ　　　　　　（ソ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　スセ＆Ｉ
　　ア　　　スセ　　　　　　（タ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　シソ＆Ｉ
　　ア　　　ス　　　　　　　（チ）　　　～～Ｑ　　　　　　セタＲＡＡ
　　ア　　　ス　　　　　　　（ツ）　　　　　Ｑ　　　　　　チＤＮ
　　ア　　　　　　　　　　　（テ）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　スツＣＰ
　　ア　　　　　　　　　　　（ト）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　テ∨Ｉ
　　　　　　　　ナ　　　　　（ナ）　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ（９の選言項右）
　　　　　　　　ナ　　　　　（ニ）　　　　　～Ｑ∨Ｒ　　　ナ∨Ｉ
　　　　　　　　　ヌ　　　　（ヌ）　　　　　Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　　　　　　　　　　ネ　　　（ネ）　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ（ニの選言項左）
　　　　　　　　　ヌ　　　　（ノ）　　　　　Ｑ　　　　　　ヌ＆Ｅ
　　　　　　　　　ヌネ　　　（ハ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　ネノ＆Ｉ
　　　　　　　　　　ネ　　　（ヒ）　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　ヌハＲＡＡ
　　　　　　　　　　　フ　　（フ）　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ（ニの選言項右）
　　　　　　　　　ヌ　　　　（ヘ）　　　　　　　～Ｒ　　　ヌ＆Ｅ
　　　　　　　　　ヌ　フ　　（ホ）　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　フヘ＆Ｉ
　　　　　　　　　　　フ　　（マ）　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　ヌホＲＡＡ
　　　　　　　　ナ　　　　　（ミ）　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　ナネヒフマ∨Ｅ
　　　　　　　　　　　　ム　（ム）　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　　　　メ（メ）　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　　　　　　　　　ムメ（モ）　　　　　Ｑ＆～Ｒ　　　ムメ＆Ｉ
　　　　　　　　ナ　　　ムメ（ヤ）　　　～（Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｒ）　　ミモ＆Ｉ
　　　　　　　　ナ　　　ム　（イ）　　　　　　～～Ｒ　　　メヤＲＡＡ
　　　　　　　　ナ　　　ム　（ユ）　　　　　　　　Ｒ　　　イＤＮ
　　　　　　　　ナ　　　　　（エ）　　　　　　Ｑ→Ｒ　　　ムユＣＰ
　　　　　　　　ナ　　　　　（ヨ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　エ∨Ｉ
　 　　　　　　　　　　　　 （ラ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　＿アトナヨ∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
いづれにせよ、
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「連式」は、「恒真式（トートロジー）」であって、
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「連式」は、
（ｂ）├ Ｑ∨～Ｑ（排中律）
に、由来する。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
①  Ｑ∨～Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
① が、「恒真式（トートロジー）」であるが故に、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（04）により、
（05）
①  Ｑ∨～Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
　Ｑ＝日本人である。
～Ｑ＝外国人である。
　Ｐ＝東洋人である。
　Ｒ＝男性である。
として、
①  日本人であるか、または、外国人である。
②（東洋人であるならば、日本人であるか）、または（日本人であるならば、男性である）。
に於いて、
① が、「恒真式（トートロジー）」であるが故に、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（06）
「普通の感覚（常識）」からすれば、
①  日本人であるか、または、外国人である。
②（東洋人であるならば、日本人であるか）、または（日本人であるならば、男性である）。
に於いて、
① が、「真」なのだから、
② も、「真」である。
とすることには、「違和感」があるに、違いない。
然るに、
（07）
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
　　（１）　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　　ＴＩ（定理導入の規則）
２　（２）　　　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
２　（３）～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　２∨Ｉ
２　（４）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　３含意の定義
２　（５）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　　４∨Ｉ
　６（６）　　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
　６（７）　　　　　　～Ｑ∨Ｒ　　　６∨Ｉ
　６（８）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　　７含意の定義
　６（９）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　　８∨Ｉ
　　（ア）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　　１２５６９∨Ｅ
といふ「計算」に慣れてしまふと、
①  Ｑ∨～Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふことからすれば、
①  日本人であるか、または、外国人である。
②（東洋人であるならば、日本人であるか）、または（日本人であるならば、男性である）。
に於いても、
① が、「真（本当）」であるが故に、
② も、「真（本当）」である。
といふことに対して、それほど、「違和感」は無い（？）。
ｃｆ.
②　（Ｐ→Ｑ）∨（　Ｑ→Ｒ）
③（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｑ∨Ｒ）：含意の定義
④（～Ｐ∨Ｒ）∨（Ｑ∨～Ｑ）：交換法則・結合法則
令和０３年０９月２９日、毛利太。