「象が鼻が長い。」等の「述語論理」。

（01）
① 象は動物である。
② 象は、鼻は長い。
③ 象は、鼻が長い。
④ 象が、鼻が長い。
（02）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（03）
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ）　Ａ
１　　（３）　　　　象ａ→　動物ａ　　１ＵＥ
　　４（４）　　　　～動物ａ＆象ａ　　Ａ
　　４（５）　　　　象ａ　　　　　　　４＆Ｅ
１　４（６）　　　　　　　　動物ａ　　３５ＭＰＰ
　　４（７）　　　　～動物ａ　　　　　４＆Ｅ
１　４（８）　　　動物ａ＆～動物ａ　　６７＆Ｉ
１２　（９）　　　動物ａ＆～動物ａ　　２４８ＥＥ
１　　（ア）～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ）　２９ＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）├ ～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ）
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（06）
（ⅱ）
１　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　　　　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝　　　　Ａ
１　　（３）　　　　象ａ→　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　１ＵＥ
　　４（４）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆象ａ　　　　　Ａ
　　４（５）　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ　　　　　４＆Ｅ
１　４（６）　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　３５ＭＰＰ
　　４（７）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　４＆Ｅ
１　４（８）∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　６７＆Ｉ
１２　（９）∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　２４８ＥＥ
１　　（ア）～∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝　　　　２９ＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
② ∀ｘ｛象ｘ→　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝├ ～∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（08）
（ⅲ）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ
　　　６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（８）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４８ＭＰＰ
　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５７ＭＰＰ
１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　６　　（エ）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　長ｂ＆耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（カ）　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
　２　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ
　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　キＵＥ
　２　６　オ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　カクＭＰＰ
１　　６　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ア＆Ｅ
１　　６　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　コＵＥ
１２　６　オ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　ケサＭＰＰ
　　　　　オ（ス）　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１２　６　オ（セ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ
１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　エオセＥＥ
１２３　　　（タ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ
１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ
１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係
１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ
１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義
１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝├
∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（10）
（ⅳ）
１　　　　　　　（１）　　∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　　　（２）　　∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　　（３）　　　　　象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
１　　　　　　　（４）　　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ　　３Ｄｆ．⇔
１　　　　　　　（５）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ　　４＆Ｉ
　　６　　　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　Ａ
　　　７　　　　（７）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　Ａ
１　　７　　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ　　５７ＭＰＰ
１　６７　　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆象ａ　　６８＆Ｉ
１　６　　　　　（ア）　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　　７９ＲＡＡ
１　６　　　　　（イ）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　ア、ド・モルガンの法則
１　６　　　　　（ウ）　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　イ交換法則
　　　　エ　　　（エ）　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ　　　（オ）　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　  エ量化子の関係
　　　　　カ　　（カ）　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　カ　　（キ）　　　　　　～（　鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　カ含意の定義
　　　　　カ　　（ク）　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　キ、ド・モルガンの法則
　　　　　カ　　（ケ）　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　クＥＩ
　　　　エ　　　（コ）　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　エカケＥＥ
　　　　エ　　　（サ）　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）∨　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　コ∨Ｉ
　　　　　　シ　（シ）　　　　　　　　　　　　　　 　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）       Ａ
　　　　　　シ　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ）      シ量化子の関係
　　　　　　シ　（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆長ｂ）　　　スＵＥ
　　　　　　シ　（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　セ、ド・モルガンの法則
　　　　　　シ　（タ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　ソ含意の定義
　　　　　　シ　（チ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　タＵＩ
　　　　　　シ　（ツ）　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　チ∨Ｉ
１　６　　　　　（テ）　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　ウエサシツ∨Ｅ
１　　　　　　　（ト）　　～象ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　６テＣＰ
　２　　　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　　　　　ニ（ニ）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　　ニ（ヌ）　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナニＭＰＰ
１２　　　　　ニ（ネ）　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　トヌＭＰＰ
１２　　　　　　（ノ）　　　兎ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　ニネＣＰ
１２　　　　　　（ハ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　　ノＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）├ ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
従って、
（04）～（11）により、
（12）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）├ ～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝├ ～∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝├
∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）├ ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
といふ「推論」、すなはち、
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
① 象は動物である。
② 象は、鼻は長い。
③ 象は、鼻が長い。
④ 象が、鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理式」に、「対応」する。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象は、鼻は長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
③ 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ 象が、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「等式」が、「正しく」はないのであれば、
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（15）
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
「否定否定式（ＭＴＴ）」により、
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象は、鼻は長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
③ 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ 象が、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「等式」は、「正しい」。
令和０３年０９月０７日、毛利太。