「パースの法則」と「同値」の「論理式」。

（01）
①　（学生であるか、または、学生である）ならば、学生である。
②｛（学生で、男子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
③｛（学生で、女子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
といふ「命題」は、３つとも、明らかに、「真」である。
従って、
（02）
　Ｐ＝学生である。
　Ｑ＝男子である。
～Ｑ＝女子である。
として、
①　（Ｐ∨　Ｐ）→Ｐ
②｛（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
といふ「論理式」は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（４）　Ｐ　　　　　　１２２３３∨Ｅ
　　　（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ　１４ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　　４（４）　　　　　　Ｐ　Ａ
１　　（５）　Ｐ　　　　　　１２３４４∨Ｅ
　　　（６）｛（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ　１５ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４（４）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１２３４４∨Ｅ
　　　（６）｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ　１５ＣＰ
従って、
（02）（03）により、
（04）
①　（Ｐ∨　Ｐ）→Ｐ
②｛（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
といふ「論理式」は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１　　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　Ａ
　２　　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　Ａ
　　３　（３）　　Ｐ→　Ｑ　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　　　Ｑ　　　　３４＆Ｉ
　２　　（６）　　　　～Ｑ　　　　２＆Ｅ
　２３　（７）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　５６
　２　　（８）～（Ｐ→　Ｑ）　　　３ＲＡＡ
　２　　（９）～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　２∨Ｉ
　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　　ア（イ）～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　ア∨Ｉ
１　　　（ウ）～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　１２９アイ∨Ｅ
１　　　（エ）　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　ウ含意の定義
（ⅳ）
１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　Ｐ　１３ＭＰＰ
１　　　（５）　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　２４ＣＰ
１　　　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　５含意の定義
　　７　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　Ａ
　　７　（８）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　（９）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　８∨Ｉ
　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　　ア（イ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　ア∨Ｉ
１　　　（ウ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　１７９アイ∨Ｅ
従って、
（05）により、
（06）
③（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
④（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
①　（Ｐ∨　Ｐ）→Ｐ
②｛（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「論理式」は、４つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
（ⅴ）
１　　　（１）　　（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　（Ｐ→～Ｑ）　　　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　　Ｐ　　　１３ＭＰＰ
１　　　（５）　（～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ　　　２４ＣＰ
１　　　（６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ　　　５含意の定義
　　７　（７）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　Ａ
　　７　（８）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　（９）　　　Ｐ　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　（イ）　　　Ｐ　　　　　　　　　６７９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ　１イＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
⑤｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
①　（Ｐ∨　Ｐ）→Ｐ
②｛（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
⑤｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「論理式」は、５つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（01）（02）（11）により、
（12）
　Ｐ＝学生である。
　Ｑ＝男子である。
～Ｑ＝女子である。
として、
①　（学生であるか、または、学生である）ならば、学生である。
②｛（学生で、男子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
③｛（学生で、女子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
④｛（学生であるならば、男子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
⑤｛（学生であるならば、女子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
といふ「命題」は、５つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
④｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
④｛（学生であるならば、男子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
は、「パースの法則」である。
然るに、
（11）（12）（14）により、
（15）
④｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
④｛（学生であるならば、男子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
が、「パースの法則」である以上、
⑤｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
⑤｛（学生であるならば、男子でないならば）、学生であるならば｝、学生である。
も、「パースの法則」である。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ「言ひ方」が、私には、全く、理解出来ない。
（17）
④｛（学生であるならば、男子であるならば）、学生であるならば｝、学生である。
⑤｛（学生であるならば、男子でないならば）、学生であるならば｝、学生である。
の両方が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
⑥｛（学生であるならば、男子であっても、男子でなくとも）、学生であるならば｝、学生である。
といふ、ことである。
然るに、
（01）（17）により、
（18）
①　（学生であるか、または、学生である）ならば、学生である。
②｛（学生で、男子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
③｛（学生で、女子である）か、または、学生である｝ならば、学生である。
⑥｛（学生であるならば、男子であっても、男子でなくとも）、学生であるならば｝、学生である。
といふ「命題」は、４つとも、明らかに、「真」である。
従って、
（14）～（18）により、
（19）
「パースの法則」は、少しも、「変」ではなく、極めて、「普通」である。
令和０３年０９月０４日、毛利太。