―「昨日（令和０３年０９月２２日）」の記事を、書きなおします。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
４ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
５ （５） ～Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ∨～Ｑ ５∨Ｉ
４５ （７）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ４６＆Ｉ
４ （８） ～～Ｐ ５ＲＡＡ
４ （９） Ｐ ８ＤＮ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
ア （イ） ～Ｐ∨～Ｑ ア∨Ｉ
４ ア （ウ）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ４ア＆Ｉ
４ （エ） ～～Ｑ アウＲＡＡ
４ （オ） Ｑ エＤＮ
４ （カ） Ｐ＆ Ｑ ９オ＆Ｉ
３４ （キ）～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） ３カ＆Ｉ
３ （ク）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ４キＲＡＡ
３ （ケ） ～Ｐ∨～Ｑ クＤＮ
３ （コ）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ケ∨Ｉ
サ （サ） Ｒ Ａ
サ （シ） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ サ∨Ｉ
１ （ス） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３コサシ∨Ｅ
１ （セ）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ス結合法則
ソ （ソ）～Ｐ Ａ
ソ （タ）～Ｐ∨Ｒ ソ∨Ｉ
ソ （チ） Ｐ→Ｒ タ含意の定義
ソ （ツ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） チ∨Ｉ
テ（テ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
テ（ト） Ｑ→Ｒ テ∨Ｉ
テ（ナ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ト∨Ｉ
１ （ニ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） １ソツテナ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
然るに、
（02）
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ Ａ
１ （２） ｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ １Ｄｆ⇔
１ （３） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２＆Ｅ
１ （４） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
５ （５） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
６ （６） Ｐ＆ Ｑ Ａ
７ （７） ～Ｐ Ａ
６ （８） Ｐ ６＆Ｅ
６７ （９） ～Ｐ＆Ｐ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆Ｑ） ６８ＲＡＡ
イ （イ） ～Ｑ Ａ
６ （ウ） Ｑ ６＆Ｅ
６ イ （エ） ～Ｑ＆Ｑ ウエ＆Ｉ
イ （オ） ～（Ｐ＆Ｑ） ６オＲＡＡ
５ （カ） ～（Ｐ＆Ｑ） ５７アイオ
キ（キ） Ｒ Ａ
１ キ（ク） （Ｐ＆Ｑ） ４キＭＰＰ
１５ キ（ケ） ～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） カク＆I
１５ （コ） ～Ｒ キケＲＡＡ
１ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ５コＣＰ
１ （シ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ ３サ＆I
（ⅳ）
１ （１）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ Ａ
１ （２） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ １＆Ｅ
１ （３） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｒ Ａ
５ （５） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
６ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
７ （７） ～Ｐ Ａ
７ （８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
６７ （９） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ６８＆Ｉ
６ （ア） ～～Ｐ ７９ＲＡＡ
６ （イ） Ｐ アＤＮ
ウ（ウ） ～Ｑ Ａ
ウ（エ） ～Ｐ∨～Ｑ ウ∨Ｉ
６ ウ（オ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ６ウ＆Ｉ
６ （カ） ～～Ｑ ウオＲＡＡ
６ （キ） Ｑ カ＆Ｉ
６ （ク） Ｐ＆ Ｑ イキ＆Ｉ
５６ （ケ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） ５６＆Ｉ
５ （コ） ～～（～Ｐ∨～Ｑ） ６ケＲＡＡ
５ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ） コＤＮ
１ ５ （シ） ～Ｒ ３サＭＰＰ
１４５ （ス） Ｒ＆～Ｒ ４シ＆Ｉ
１４ （セ） ～～（Ｐ＆ Ｑ） ５スＲＡＡ
１４ （ソ） （Ｐ＆ Ｑ） セＤＮ
１ （タ） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ４ソＣＰ
１ （チ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ ２タ＆Ｉ
１ （ツ） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ チＤｆ.⇔
従って、
（01）（02）により、
（03）
「記号」書くと、
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
② （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③ （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で書くと、
① （Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ならば、Ｒである。
② （Ｐであるならば、Ｒであるか、）または、（Ｑであるならば、Ｒである。）
③ （Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ならば、そのとき限って、Ｒである。
④｛（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ならば、Ｒであり、｝尚且つ、｛（Ｐでないか、または、Ｑでない）ならば、Ｒではない。｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（04）により、
（05）
Ｐ＝ ２の倍数
Ｑ＝ ５の倍数
Ｒ＝１０の倍数
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① （２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
② （２の倍数であるならば、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、１０の倍数である。）
③ （２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのとき限って、１０の倍数である。
④｛（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数であり、｝尚且つ、｛（２の倍数でないか、または、５の倍数でない）ならば、１０の倍数ではない。｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（06）
② ２×３＝ ６は、１０の倍数ではなく、５×３も、１０の倍数ではないが、
④ ２×５＝１０は、１０の倍数であって、５×４も、１０の倍数である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② （２の倍数であるならば、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、１０の倍数である。）
④｛（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数であり、｝尚且つ、｛（２の倍数でないか、または、５の倍数でない）ならば、１０の倍数ではない。｝
に於いて、
② は、「偽（ウソ）」であるが、
④ は、「真（本当）」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① （２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
② （２の倍数であるならば、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、１０の倍数である。）
③ （２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのとき限って、１０の倍数である。
④｛（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数であり、｝尚且つ、｛（２の倍数でないか、または、５の倍数でない）ならば、１０の倍数ではない。｝
に於いて、
①＝② であって、② は、「偽（ウソ）」であり、
③＝④ であって、④ は、「真（本当）」である。
従って、
（08）により、
（09）
「必然的」に、
①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
③（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのとき限って、１０の倍数である。
に於いて、
① は、「偽（ウソ）」であり、
③ は、「真（本当）」である。
然るに、
（10）
① Ａならば、Ｂである。
③ Ａならば、そのときに限って、Ｂである。
に於いて、
① Ａは、Ｂの「十分条件」であって、「必要・十分条件」ではなく、
③ Ａは、Ｂの「必要・十分条件」であって、「十分条件」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
といふ「仮言命題」に於いて、
①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）といふことは、１０の倍数であることの、「十分条件」であって、「必要十分条件」ではない。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
に於いて、
生徒Ａ は、「間違って」ゐて、
教師Ｂ も、「間違って」ゐる。
然るに、
（13）
思ふに、普通の、高校の数学の教師は、
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
に於いて、
生徒Ａ は、「正しい」し、
教師Ｂ も、「正しい」と、思ふに、「違ひ」ない。
然るに、
（01）（02）により、
（14）
「ド・モルガンの法則」を用ひるのであれば、
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ （カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ （キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ Ａ
１ （２） ｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ １Ｄｆ⇔
１ （３） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２＆Ｅ
１ （４） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
５ （５） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
５ （カ） ～（Ｐ＆Ｑ） ４ド・モルガンの法則
キ（キ） Ｒ Ａ
１ キ（ク） （Ｐ＆Ｑ） ４キＭＰＰ
１５ キ（ケ） ～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） カク＆I
１５ （コ） ～Ｒ キケＲＡＡ
１ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ５コＣＰ
１ （シ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ ３サ＆I
（ⅳ）
１ （１）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ Ａ
１ （２） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ １＆Ｅ
１ （３） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｒ Ａ
５ （５） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
５ （サ） （～Ｐ∨～Ｑ） ５ド・モルガンの法則
１ ５ （シ） ～Ｒ ３サＭＰＰ
１４５ （ス） Ｒ＆～Ｒ ４シ＆Ｉ
１４ （セ） ～～（Ｐ＆ Ｑ） ５スＲＡＡ
１４ （ソ） （Ｐ＆ Ｑ） セＤＮ
１ （タ） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ４ソＣＰ
１ （チ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ ２タ＆Ｉ
１ （ツ） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ チＤｆ.⇔
従って、
（01）（02）（14）により、
（15）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
② （Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③ （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
といふ「会話」は、「論理的」には、「間違ひ」であって、
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのときに限って、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
といふ「会話」こそが、「正しい」。
といふ、ことになる。
然るに、
（17）
このやうに、書いてゐるにも、拘はらず、
私自身は、まだ何となく、スッキリとは、してゐない。
令和０３年０９月２３日、毛利太。
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