「含意の定義」は「トートロジー」である。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～Ｑ　　　８アＲＡＡ
１２　　（ウ）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ
１２　　（エ）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　イウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２エＤＮ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　オＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（８）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（９）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（ア）　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ
　　　７　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　（ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１　　　エ　（ケ）　　　　　Ｑ　　　エＤＮ
１　　　　　（コ）　　Ｐ→　Ｑ　　　エケＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　２（３）　　　Ｐ＆～Ｑ　　２ド・モルガンの法則
　２（４）　　　Ｐ　　　　　３＆Ｅ
１２（５）　　　　　　Ｑ　　１４ＭＰＰ
　２（６）　　　　　～Ｑ　　３＆Ｅ
１２（７）　　　Ｑ＆～Ｑ　　５６＆Ｅ
１　（８）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２７ＲＡＡ
１　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８ＤＮ
（ⅱ）
１　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ
１　　（２）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１ド・モルガンの法則
　３　（３）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　４（４）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　３４（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　３４＆Ｉ
１３４（６）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　２５＆Ｉ
１３　（７）　　　～～Ｑ　　　４６ＲＡＡ
１３　（８）　　　　　Ｑ　　　７ＤＮ
１　　（９）　　Ｐ→　Ｑ　　　３８ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
「ド・モルガンの法則」により、
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（02）（04）により、
（05）
①（　Ｐ→Ｑ）→（～Ｐ∨Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｑ）→（　Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
①（Ｐ→Ｑ）→（～Ｐ∨Ｑ）
②（真→偽）→（～真∨偽）
に於いて、
① が、「偽」であるためは、「真理値」に於いて、
①＝② でなければ、ならない。
然るに、
（07）
②（真→偽）→（～真∨偽）
であるならば、
③（偽）→（偽）
である。
然るに、
（08）
（ⅰ）真→真
（ⅱ）真→偽
（ⅲ）偽→真
（ⅳ）偽→偽
に於いて、
（ⅱ）以外は、３つとも、「真」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
②（真→偽）→（～真∨偽）
であるならば、
③（偽）→（偽）
であるが、
③ は、「真」であり、そのため、
② は、「真」である。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
①（Ｐ→Ｑ）→（～Ｐ∨Ｑ）
を、「偽」にすることは、「不可」であり、それ故、
① は、「恒真式（トートロジー）」である。
（11）
④（～Ｐ∨Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
⑤（～真∨偽）→（真→偽）
に於いて、
④ が、「偽」であるためは、「真理値」に於いて、
④＝⑤ でなければ、ならない。
然るに、
（12）
⑤（～真∨偽）→（真→偽）
であるならば、
⑥（偽）→（偽）
である。
従って、
（08）（12）により、
（13）
⑤（～真∨偽）→（真→偽）
であるならば、
⑥（偽）→（偽）
であるが、
⑥ は、「真」であり、そのため、
⑤ は、「真」である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
④（～Ｐ∨Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
を、「偽」にすることは、「不可」であり、それ故、
④ は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（05）（10）（14）により、
（15）
①（　Ｐ→Ｑ）→（～Ｐ∨Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｑ）→（　Ｐ→Ｑ）
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であり、
④ も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（15）により、
（16）
①（Ｐ→Ｑ）⇔（～Ｐ∨Ｑ）
といふ「含意の定義」は、「恒真式（トートロジー）」である。
令和０３年０８月２９日、毛利太。