「象は鼻が長い。といふわけではない。」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　Ａ
１　　（３）　　　　象ａ→　動物ａ　　１ＵＥ
　　４（４）　　　　象ａ＆～動物ａ　　Ａ
　　４（５）　　　　象ａ　　　　　　　４＆Ｅ
１　４（６）　　　　　　　　動物ａ　　３５ＭＰＰ
　　４（７）　　　　　　　～動物ａ　　４＆Ｅ
１　４（８）　　　　動物＆～動物ａ　　６７＆Ｉ
１２　（９）　　　　動物＆～動物ａ　　２４８ＥＥ
１　　（ア）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　２ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　Ａ
　２　（２）　　　　象ａ　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　　　～動物ａ　　　Ａ
　２３（４）　　　　象ａ＆～動物ａ　　　２３＆Ｉ
　２３（５）　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　４ＥＩ
１２３（６）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）＆
　　　　　　　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　１５＆Ｉ
１２　（７）　　　　　～～動物ａ　　　　３６ＲＡＡ
１２　（８）　　　　　　　動物ａ　　　　７ＤＮ
１　　（９）　　　　象ａ→動物ａ　　　　２８ＣＰ
１　　（ア）　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　９ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① 　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① 　～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）
② ～～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）
② 　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① ～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）
② 　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。といふわけではない。
② （象であって、動物でないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）により、
（06）
① ～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）
② 　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、すなはち、
① 象は動物である。といふわけではない。
② 動物ではない象が、存在する。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
③ 象は、鼻が長い。⇔
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
従って、
（06）（07）により、
（08）
③ ～∀ｘ｛象ｘ→　　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ 　∃ｘ｛象ｘ＆～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
に於いて、すなはち、
③ 象は、鼻が長い。といふわけではない。
④ ［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］ではない象が、存在する。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（09）
（ⅳ）
１　　　　（１）∃ｘ｛象ｘ＆～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝　Ａ
　２　　　（２）　　　象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　Ａ
　２　　　（３）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　（４）　　　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　２＆Ｅ
　２　　　（５）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　４ド・モルガンの法則
　　６　　（６）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　６　　（７）　　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　６含意の定義
　　６　　（８）　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　７ＵＥ
　　６　　（９）　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　８ド・モルガンの法則
　　６　　（ア）　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　６含意の定義
　　６　　（イ）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　アＵＩ
　　６　　（ウ）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　イ∨Ｉ
　　　エ　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　Ａ
　　　エ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　エ量化子の関係
　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　　Ａ
　　　　カ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（　鼻ｃａ∨～長ｃ）　　　カ含意の定義
　　　　カ（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　　キド・モルガンの法則
　　　　カ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　クＥＩ
　　　エ　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　エカケＥＥ
　　　エ　（サ）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　コ∨Ｉ
　２　　　（シ）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　５６ウエサ∨Ｅ
　２　　　（ス）　　　象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　３シ＆Ｉ
　２　　　（セ）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　　スＥＩ
１　　　　（ソ）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　　１２セＥＥ
（ⅴ）
１　　　　（１）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　　Ａ
　２　　　（２）　　　象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　Ａ
　２　　　（３）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　（４）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　２＆Ｅ
　　５　　（５）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　５ＵＥ
　　５　　（７）　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　６含意の定義
　　５　　（８）　　　　　　　～（鼻ｂａ＆　長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　５　　（９）　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　８ＵＩ
　　５　　（ア）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　９量化子の関係
　　５　　（イ）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　ア∨Ｉ
　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　Ａ
　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　　Ａ
　　　　エ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｃａ∨～長ｃ）　　　エ、ド・モルガンの法則
　　　　エ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　　オ含意の定義
　　　　エ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　カＥＩ
　　　ウ　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　ウエキＥＥ
　　　ウ　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　ク量化子の関係
　　　ウ　（コ）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　ケ∨Ｉ
　２　　　（サ）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　４５イウコ∨Ｅ
従って、
（09）により、
（10）
④ ∃ｘ｛象ｘ＆～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
⑤ ∃ｘ｛象ｘ＆ 　 ∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆  長ｚ）｝
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
③ 象は、鼻が長い。といふわけではない。
④ ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
④ あるｘについて｛ｘは象であって、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）か、または、あるｚは（ｘの鼻以外であるが、ｚは長い）｝。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（11）により、
（12）
③ 象は、鼻が長い。といふわけではない。
④ 鼻が長くないか、または、鼻以外も長い象が存在する。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（06）（08）（10）（12）により、
（13）
① ～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）
② 　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
③ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④　 ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆  長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① 象は動物である。といふわけではない。
② 動物ではない象が、存在する。
③ 象は、鼻が長い。といふわけではない。
④ 鼻が長くないか、または、鼻以外も長い象が存在する。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
令和０３年０８月２０日、毛利太。