「象は鼻が長い。」の「述語計算」。

（01）
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 兎は、耳は長く、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
｛①＆②｝は、「矛盾」しない。
然るに、
（02）
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 兎は、耳は長く、兎の耳は鼻ではない。
③ ある兎は、象である。
に於いて、
｛①＆②｝＆③は、「矛盾」する。
従って、
（02）により、
（03）
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 兎は、耳は長く、兎の耳は鼻ではない。
とするならば、
③ ある兎が、象である。といふことはない。
然るに、
（04）
③ ある兎が、象である。といふことはない。
といふことは、
③ すべての兎は、象ではない。
といふ、ことである。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 兎は、耳は長く、兎の耳は鼻ではない。
とするならば、
③ すべての兎は、象ではない。
従って、
（05）により、
（06）
「記号」で書くと、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
であるならば、
③ ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
然るに、
（07）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ
　　　６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（８）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４８ＭＰＰ
　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５７ＭＰＰ
１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　６　　（エ）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　長ｂ＆耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（カ）　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
　２　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ
　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　キＵＥ
　２　６　オ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　カクＭＰＰ
１　　６　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ア＆Ｅ
１　　６　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　コＵＥ
１２　６　オ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　ケサＭＰＰ
　　　　　オ（ス）　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１２　６　オ（セ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ
１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　エオセＥＥ
１２３　　　（タ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ
１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ
１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係
１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ
１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義
１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。　　　然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（05）～（08）により、
（09）
①「象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。」　然るに、
②「兎は、耳は長く、兎の耳は鼻ではない。」従って、
③「すべての兎は、象ではない。」
といふ「推論（三段論法）」は、「述語計算（Predicate calculus）」としても、「妥当」である。
然るに、
（10）
①｛象、机、本、桜｝
②｛象、兎、馬、猫｝
に於いて、
① であれば、「（動物はどれですか）象が動物である。」と、言へるが、
② であれば、「（動物はどれですか）象が動物である。」とは言へない。
従って、
（10）により、
（11）
① 象が動物である。
といふことは、例へば、
①｛象、机、本、桜｝
に於いて、
① 象以外（机、本、桜）は動物ではない。
といふことに、他ならない。
従って、
（11）により、
（12）
① 鼻が長い。
といふことは、例へば、
①｛鼻、耳、目、口｝於いて、
① 鼻以外（耳、目、口）は長くない。
といふことに、他ならない。
従って、
（12）により、
（13）
① 象は、鼻が長い。
といふことは、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことに、他ならない。
従って、
（09）（13）により、
（14）
①「象は、鼻が長い。」然るに、
②「兎は、耳は長く、兎の耳は鼻ではない。」従って、
③「すべての兎は、象ではない。」
といふ「推論（三段論法）」は、「述語計算（Predicate calculus）」としても、「妥当」である。
従って、
（08）（13）（14）により、
（15）
① 象は、鼻が長い。⇔
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（14）（15）により、
（16）
①「象は、鼻が長い。」然るに、「兎は、耳は長く、兎の耳は鼻ではない。」従って、「すべての兎は、象ではない。」
といふ「推論（三段論法）」を、「妥当」であるとするならば、その一方で、
① 象は、鼻が長い。⇔ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（17）
①「象は、鼻が長い。」然るに、「兎は、耳は長く、兎の耳は鼻ではない。」従って、「すべての兎は、象ではない。」
といふ「推論（三段論法）」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（16）（17）により、
（18）
① 象は、鼻が長い。⇔ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
令和０３年０８月１８日、毛利太。