「Ｐでないならば、Ｐである」は『矛盾』ではない。

―「20:28 2024/02/01」の時点で、この「記事の補足」が、完成してゐるので、明日、アップロードします。―
（01）
① ～Ｐ∨Ｐ（Ｐでないか、または、Ｐである）。
は「排中律」であって、「排中律」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　（１）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　～Ｐ＆～Ｐ　　　　　２２＆Ｉ
　２　（４）　　～（Ｐ∨Ｐ）　　　　　３ド・モルガンの法則
　２　（５）　～（～Ｐ→Ｐ）　　　　　４含意の定義
　２　（６）　～（～Ｐ→Ｐ）∨　Ｐ　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　７（８）　～（～Ｐ→Ｐ）∨　Ｐ　　７∨Ｉ
１　　（９）　～（～Ｐ→Ｐ）∨　Ｐ　　１２６７８∨Ｅ
１　　（ア）～｛（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ｝　９ド・モルガンの法則
（ⅱ）
１　　（１）～｛（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ｝　Ａ
１　　（２）　～（～Ｐ→Ｐ）∨　Ｐ　　１ド・モルガンの法則
　３　（３）　～（～Ｐ→Ｐ）　　　　　Ａ
　３　（４）　　～（Ｐ∨Ｐ）　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　～Ｐ＆～Ｐ　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　　　　～Ｐ　　　　　　５＆Ｉ
　３　（７）　　　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　６∨Ｉ
　　８（８）　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　８（９）　　　　　　　～Ｐ∨Ｐ　　８∨Ｉ
１　　（ア）　　　　　　　～Ｐ∨Ｐ　　１３７８９∨Ｅ
従って、
（02）により、
（03）
① 　　　～Ｐ∨Ｐ
② ～｛（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 　　　～Ｐ∨Ｐ（排中律）
② ～｛（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ｝
に於いて、
①＝② であるが故に、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）により、
（05）
① 　　　～Ｐ∨Ｐ（排中律）
② ～｛（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ｝
に対する「否定」は、
① 　～（～Ｐ∨Ｐ）
② 　　（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ
である。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１（１）（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ　Ａ
１（２）　～Ｐ→Ｐ　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　～Ｐ　１＆Ｅ
１（４）　　　　Ｐ　　　　　２３ＭＰＰ
１（５）　　　　　Ｐ＆～Ｐ　３４＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）　　　　　Ｐ＆～Ｐ　Ａ
１（２）　　　　　　　～Ｐ　１＆Ｅ
１（３）　　　　　Ｐ　　　　１＆Ｅ
１（４）　～～Ｐ∨Ｐ　　　　３∨Ｉ
１（５）　　～Ｐ→Ｐ　　　　４含意の定義
１（６）（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ　２５＆Ｉ
従って、
（06）により、
（07）
②（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ
③ 　 Ｐ＆～Ｐ（Ｐであって、Ｐでない）。
に於いて、
②＝③ であるが、
③ は『矛盾』である。
従って、
（07）により、
（08）
②（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ
③ 　 Ｐ＆～Ｐ
に於いて、すなはち、
②（Ｐでないならば、Ｐである）が、Ｐではない。
③  Ｐであるが、Ｐではない。
に於いて、
②＝③ であるが故に、
② は『矛盾』であり、
③ も『矛盾』である。
然るに、
（08）により、
（09）
②（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ
③ 　 Ｐ＆　　　～Ｐ
に於いて、
②＝③ である。
といふことは、
②（～Ｐ→Ｐ）
③　　Ｐ
②＝③ である。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１　（１）　～Ｐ→Ｐ　Ａ
　２（２）　～Ｐ　　　Ａ
１２（３）　　　　Ｐ　１２ＭＰＰ
１２（４）　～Ｐ＆Ｐ　２３＆
１　（５）～～Ｐ　　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　Ｐ　　　５ＤＮ
（ⅲ）
１（１）　　Ｐ　　　Ａ
１（２）～～Ｐ　　　１ＤＮ
１（３）～～Ｐ∨Ｐ　２∨Ｉ
１（４）　～Ｐ→Ｐ　３含意の定義
従って、
（09）（10）により、
（11）
果たして、
② ～Ｐ→Ｐ
③　 Ｐ
に於いて、すなはち、
② Ｐでないならば、Ｐである。
③ Ｐである。
に於いて、
②＝③ であるが、
② Ｐでないならば、Ｐである。
の「対偶」も、
② Ｐでないならば、Ｐである。
である。
従って、
（11）により、
（12）
③ Ｐである。
といふ「言ひ方」が、『矛盾』ではない以上、
② Ｐでないならば、Ｐである。
といふ「言ひ方」も、『矛盾』では、決してない。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
② Ｐでないならば、Ｐである。
といふ「言ひ方」は、
② Ｐでない。
としたら、『矛盾』するので、『矛盾』を認めないのであれば、
② Ｐでない。
とは「言へず」に、それ故、
② Ｐである。
といふ「意味」に、取れないことも、無い。
令和６年２月１日、毛利太。

「パースの法則（恒真式）」を「否定」すると「矛盾」する。

（01）
（ⅰ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　Ａ
１２（４）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　～Ｑ　　２６Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（５）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　４∨Ｉ
　２３　（６）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２５＆Ｉ
　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　３６ＲＡＡ
　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　７ＤＮ
　　　９（９）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　９（ア）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　９∨Ｉ
　２　９（イ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２ア＆Ｉ
　２　　（ウ）　　　　　　～Ｑ　　　９イＲＡＡ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　８ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　カＤＮ
（ⅲ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１２＆Ｉ
１　　　（エ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、
①＝② であって（含意の定義）、
②＝③ であって（ド・モルガンの法則）、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（replacement）」により、
① 　　Ｐ→　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ 　～Ｐ∨　Ｐ
に於いて、
①＝② であって（含意の定義）、
②＝③ であって（ド・モルガンの法則）、
①＝②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
「日本語」で言ふと、
① Ｐであるならば、Ｐである。
② Ｐでないか、または、Ｐである。
③（Ｐであって、Ｐでない）といふことはない。
といふ「言ひ方」は、順番に、
① 同一律（恒真）。
② 矛盾律（恒真）。
③ 排中律（恒真）。
として、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）により、
（08）
① 　　Ｐ→　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ 　～Ｐ∨　Ｐ
を「否定」すると、
① 　～（Ｐ→　Ｐ）
② ～～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～（～Ｐ∨　Ｐ）
に於いて、
①＝②＝③ であるが、「二重否定律」により、
② ～～（Ｐ＆～Ｐ）
といふ「論理式」は、
② 　　（Ｐ＆～Ｐ）
といふ「論理式」、すなはち、「矛盾」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 同一律（恒真）。
② 矛盾律（恒真）。
③ 排中律（恒真）。
の「否定」は、「３つとも、矛盾（恒偽）」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
「恒真式（トートロジー）」を「否定」すると、そのときに限って、
「恒偽式（矛盾）」になる。
然るに、
（11）
（ⅳ）
１（１）　　～（Ｐ＆Ｑ→　　Ｐ）　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ｝　１含意の定義
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　Ｐ＆Ｑ　＆～Ｐ　　３結合法則
１（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　４＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　～Ｐ　　４＆Ｅ
１（７）　　　　Ｐ＆～Ｐ（矛盾）　５６＆Ｉ
（ⅴ）
１　　（１）　　　～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　Ａ
１　　（２）　　～（（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　１含意の定義
１　　（３）　～（（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ）　２含意の定義
１　　（４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ）　３含意の定義
１　　（５）　　　（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ　　４ド・モルガンの法則
１　　（６）　　　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ　　５ド・モルガンの法則
１　　（７）　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　　　６＆Ｅ
　８　（８）　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　８　（９）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　　（イ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　７８９アア∨Ｅ
１　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　６＆Ｅ
１　　（エ）　　　　　　Ｐ＆～Ｐ（矛盾）　　　　　イウ＆Ｉ
従って、
（10）（11）により、
（12）
⑤ 　　 Ｐ＆Ｑ→Ｐ
⑥（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）
は、「２つとも、恒真（トートロジー）」である。
従って、
（05）～（12）により、
（13）
① 　　　Ｐ→　Ｐ
② 　～（Ｐ＆～Ｐ）
③ 　　～Ｐ∨　Ｐ
⑤ 　　 Ｐ＆Ｑ→Ｐ
⑥（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）
といふ「５つの論理式」、すなはち、
① 同一律。
② 矛盾律。
③ 排中律。
④ 連言除去。
⑤ パースの法則。
は、「５つとも、恒真（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
（ⅵ）
１（１）～｛　∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｆｘ）｝　Ａ
１（２）～｛～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｆｘ）｝　１含意の定義
１（３）　　∀ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｆｘ）　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　４ＵＥ
１（６）　　　　　　　　　～∃ｘ（Ｆｘ）　　３＆Ｅ
１（７）　　　　　　　　　∀ｘ（～Ｆｘ）　　６量化子の関係
１（８）　　　　　　　　　　　　～Ｆａ　　　７ＵＥ
１（９）　　　　　Ｆａ＆～Ｆａ（矛盾）　　　５８＆Ｉ
従って、
（10）（14）により、
（15）
⑥ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｆｘ）
⑥ すべてのｘがＦであるならば、あるｘはＦである。
といふ「述語論理式」も、「恒真（トートロジー）」であるが、
⑥ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「式」は、「命題論理」に於ける、
⑤ Ｐ＆Ｑ→Ｐ（連言除去）
⑤ ＰであってＱであるならば、Ｑである。
に「相当」する。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　（８）　　Ｐ　　　　　　　　　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　　　～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　Ａ
１　　（２）　　～（（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　１含意の定義
１　　（３）　～（（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ）　２含意の定義
１　　（４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ）　３含意の定義
１　　（５）　　　（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ　　４ド・モルガンの法則
１　　（６）　　　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ　　５ド・モルガンの法則
１　　（７）　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　　　６＆Ｅ
　８　（８）　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　８　（９）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　　（イ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　７８９アア∨Ｅ
１　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　６＆Ｅ
１　　（エ）　　　　　　Ｐ＆～Ｐ（矛盾）　　　　　イウ＆Ｉ
　　　（オ）　　～～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　１エＲＡＡ
　　　（カ）　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ　　オＤＮ
従って、
（16）により、
（17）
① ├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
② ├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則（恒真式）」がそうであるやうに、
①「恒真（トートロジー）」とは、「仮定の数が０である」所の、「連式の結論」である。
②「恒真（トートロジー）」とは、「仮定の数が０である」所の、「連式の結論」である。
然るに、
（18）
①「仮定の数が０である」。
②「仮定の数が０である」。
といふことは、
①「恒真（トートロジー）である」。
②「恒真（トートロジー）である」。
といふことに、「他ならない」。
令和６年１月３０日、毛利太。

「ちょうど２個のものがＦである」の「述語論理」。

（01）
① ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝⇔
① あるｘとあるｙについて｛（ｘはＦであり、ｙもＦであるが）、ｘはｙではない。｝⇔
① 少なくとも、２個以上の対象（objects）がＦである。
然るに、
（02）
② ∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝⇔
② あるｘとあるｙとあるｚについて｛（ｘはＦであり、ｙもＦであり、ｚもＦであるが）、ｘはｙではなく、ｘはｚでもなく、ｚもｙではない。｝⇔
② 少なくとも、３個以上の対象（objects）がＦである。
従って、
（02）により、
（03）
③ ～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝⇔
③（３個以上の対象（objects）がＦである）といふことはない。⇔
③ Ｆである対象（objects）は、多くとも、高々、２個以下である。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１　（１）～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　Ａ
１　（２）∀ｘ～∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　１量化子の関係
１　（３）∀ｘ∀ｙ～∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　２量化子の関係
１　（４）∀ｘ∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　３量化子の関係
１　（５）　　∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ａ≠ｙ＆ａ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　４ＵＥ
１　（６）　　　　∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）＆　（ａ≠ｂ＆ａ≠ｚ＆ｂ≠ｚ）｝　５ＵＥ
１　（７）　　　　　　～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）＆　（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）｝　６ＵＥ
１　（８）　　　　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）　　７ド・モルガンの法則
１　（９）　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）　　８含意の定義
　ア（ア）　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１ア（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）　　９アＭＰＰ
１ア（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　イ、ド・モルガンの法則
１　（エ）　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　アウＣＰ
１　（オ）　　　　　∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝　エＵＩ
１　（カ）　　　∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→　（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　オＵＩ
１　（キ）　∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→　（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　カＵＩ
（ⅳ）
１　（１）　∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→　（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　Ａ
１　（２）　　　∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→　（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　１ＵＥ
１　（３）　　　　　∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝　２ＵＥ
１　（４）　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）　　３ＵＥ
　５（５）　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１５（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）　　４５ＭＰＰ
１５（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）　　６ド・モルガンの法則
１　（８）　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）　　５７ＣＰ
１　（９）　　　　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）　　８含意の定義
１　（ア）　　　　　　～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）＆　（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）｝　９ド・モルガンの法則
１　（イ）　　　　∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）＆　（ａ≠ｂ＆ａ≠ｚ＆ｂ≠ｚ）｝　アＵＩ
１　（ウ）　　∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→　（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　イＵＩ
１　（エ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　ウＵＩ
１　（オ）∀ｘ∀ｙ～∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　エ量化子の関係
１　（カ）∀ｘ～∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　オ量化子の関係
１　（キ）～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　カ量化子の関係
従って、
（03）（04）により、
（05）
③ ～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝≡Ｆである対象（objects）は、多くとも、２個以下である。
④ 　∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝≡Ｆである対象（objects）は、多くとも、２個以下である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
① 　　∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝　　　　　　　　　　　　　≡少なくとも、２個以上の対象（objects）がＦである。
④ ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝≡Ｆである対象（objects）は、多くとも、２個以下である。
従って、
（06）により、
（07）
⑤ ちょうど２個の対象がＦである。
といふ「日本語」は、①＆④ である所の、
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝
といふ「論理式」に「翻訳」出来る。
然るに、
（08）
（ⅴ）
１　　　（１）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　Ａ
１　　　（２）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　　（３）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　（４）　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　１＆Ｅ
１　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　５ＵＥ
１　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝　６ＵＥ
１　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　７ＵＥ
　　４　（９）　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４ア（イ）　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９ア＆Ｉ
１　４ア（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　８イＭＰＰ
１　４ア（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　ウ結合法則
１　４ア（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（ａ≠ｂ）∨（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　エＤＮ
１　４ア（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ≠ｂ）→（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　オ含意の定義
　　４　（キ）　　　　　　　　　　 ａ≠ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ４＆Ｅ
１　４ア（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　カキＭＰＰ
１　４　（ケ）　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ→（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　アクＣＰ
１　４　（コ）　　　　　　　　　　∀ｚ（Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ケＵＩ
１　４　（サ）　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）］　　　　　　　　　　　　　　　　４コ＆Ｉ
１　４　（シ）　　∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　サＥＩ
１３　　（ス）　　∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　３４シＥＥ
１３　　（セ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　スＥＩ
１　　　（ソ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　１３セＥＥ
（ⅵ）
１　　　（１）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）］　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ→（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　５ＵＥ
　　　７（７）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　３７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６８ＭＰＰ
　　３７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９∨Ｉ
　　３　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　７アＣＰ
　　３　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝　イＵＩ
　　３　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　ウＵＩ
　　３　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　エＵＩ
　　３　（カ）　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　４オ＆I
　　３　（キ）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　カＥＩ
　２　　（ク）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　２３キＥＥ
　２　　（コ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　クＥＩ
１　　　（サ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　１２コＥＥ
従って、
（08）により、
（09）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
⑥ ちょうど２個の対象がＦである。⇔
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝⇔
⑥ あるｘとあるｙについて｛（ｘはＦであり、ｙもＦであるが、ｘとｙは同一ではなく）、すべてのｚについて［ｚがＦであるならば、ｘがｚであるか、または、ｙがｚである］｝。
といふ「等式」が「成立」する。
従って、
（10）により、
（11）
⑥ ちょうど２人の人物が犯人である。⇔
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（犯人ｘ＆犯人ｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［犯人ｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝⇔
⑥ あるｘとあるｙについて｛（ｘは犯人であり、ｙも犯人であるが、ｘとｙは同一人物ではなく）、すべてのｚについて［ｚが犯人であるならば、ｘがｚであるか、または、ｙがｚである］｝。
といふ「等式」が「成立」する。
因みに、
（12）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
⑤＝⑥ である。
といふことは、「昭和堂、論理学の基礎、1994年、１７７頁」に書かれてゐるのもの、「述語計算（証明）」自体は、載ってゐない。
（13）
私の「愛読書」である「E.J.レモン著、論理学初歩、1973年」は、「問題に対する解答」が載ってないし、最近、ブックオフで買った「論理学の書籍」は、「誤植」がふんだんに有って、「答え」に、マチガイがある。
令和６年１月２７日、毛利太。

「すべての人間はその人自身である。」の「述語論理」。

（01）
「述語論理」は「無矛盾」であって「完全」である。
然るに、
（02）
① すべての人は、その人自身に等しい。
といふ「命題」は、明らかに「真」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① すべての人は、その人自身に等しい。
といふ「命題」、すなはち、
① ∀ｘ（人ｘ→ｘ＝ｘ）
① すべてのｘについて（ｘが人であるならば、ｘはｘに等しい）。
といふ「命題」は、「導出可能」でなければ、ならない。
然るに、
（04）
１　　（１）　人ａ　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　～∀ｘ（ｘ≠ａ→～人ｘ）　Ａ
　２　（３）　∃ｘ～（ｘ≠ａ→～人ｘ）　２量化子の関係
　　４（４）　　　～（ａ≠ａ→～人ａ）　Ａ
　　４（５）　　　～（ａ＝ａ∨～人ａ）　４含意の定義
　　４（６）　　　　　ａ≠ａ＆　人ａ　　５ド・モルガンの法則
　　４（７）　　　　　ａ≠ａ　　　　　　６＆Ｅ
　　　（８）　　　　　ａ＝ａ　　　　　　＝Ｉ
　　４（９）（ａ≠ａ）＆（ａ＝ａ）　　　７８＆Ｉ
　２　（ア）（ａ≠ａ）＆（ａ＝ａ）　　　２４９ＥＥ
　　　（イ）～～∀ｘ（ｘ≠ａ→～人ｘ）　２アＲＡＡ
　　　（ウ）　　∀ｘ（ｘ≠ａ→～人ｘ）　イＤＮ
　　　（エ）　　　　　ａ≠ａ→～人ａ　　１ＵＥ
１　　（オ）　　　　　　　　～～人ａ　　１ＤＮ
１　　（カ）　　　　　ａ＝ａ　　　　　　エオＭＴＴ
　　　（キ）　　　人ａ→ａ＝ａ　　　　　１カＣＰ
　　　（ク）∀ｘ（人ｘ→ｘ＝ｘ）　　　　キＵＩ
従って、
（03）（04）により、
（05）
果たして、
① ∀ｘ（人ｘ→ｘ＝ｘ）⇔
① すべての人は、その人自身に等しい。⇔
① すべてのｘについて（ｘが人であるならば、ｘはｘに等しい）。
といふ「恒真命題（トートロジー）」は、「導出可能」である。
令和６年１月２５日、毛利太。

「量化子（∀，∃）」と「ド・モルガンの法則」について。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｘ（　Ｆｘ）　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（～Ｆｘ）　Ａ
１　　（３）　　　　　Ｆａ　　１ＵＥ
　　４（４）　　　　～Ｆａ　　Ａ
１　４（５）　Ｆａ＆～Ｆａ　　３４＆Ｉ
　　４（６）～∀ｘ（　Ｆｘ）　１５ＲＡＡ
　２　（７）～∀ｘ（　Ｆｘ）　２４６ＥＥ
１２　（８）　∀ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　～∀ｘ（　Ｆｘ）　１７＆Ｉ
１　　（９）～∃ｘ（～Ｆｘ）　２８ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）　～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　３ＥＩ
１　３（５）　～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｃ）　　１４＆Ｉ
１　　（６）　　　　～～Ｆａ　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）　　　　　　Ｆａ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　７ＵＩ
１２　（９）　　∀ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　２８＆Ｉ
１　　（ア）～～∀ｘ（　Ｆｘ）　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　アＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① 　∀ｘ（　Ｆｘ）
② ～∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
① すべての（ｘはＦである）。
②（（Ｆでないｘ）が存在する）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１　　　　　（１）　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ　　Ａ
　２　　　　（２）　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨　～Ｆｃ　　Ａ
１　　　　　（３）（　Ｆａ＆　Ｆｂ）＆　Ｆｃ　　１結合法則
　２　　　　（４）（～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨～Ｆｃ　　２結合法則
１　　　　　（５）（　Ｆａ＆　Ｆｂ）　　　　　　３＆Ｅ
　　６　　　（６）（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　　　　　Ａ
１　　　　　（７）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　　８　　（８）　～Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
１　　８　　（９）　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　　　　　７８＆Ｉ
　　　８　　（ア）～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　１９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　５＆Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
１　　　ウ　（エ）　　Ｆｂ＆～Ｆｂ　　　　　　　イウ＆Ｉ
　　　　ウ　（オ）　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　１エＲＡＡ
　　６　　　（カ）　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　６８アウオ∨Ｅ
１　　　　　（キ）　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　３＆Ｅ
　　　　　ク（ク）　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　Ａ
１　　　　ク（ケ）　　　　　　　Ｆｃ＆～Ｆｃ　　キク＆Ｉ
　　　　　ク（コ）　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　１ケＲＡＡ
　２　　　　（サ）　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　４６カクコ∨Ｅ
１２　　　　（シ）　　（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　１サ＆Ｉ
１　　　　　（ス）～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　２シＲＡＡ
（ⅳ）
１　　　　　（１）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　Ａ
　２　　　　（２）　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　Ａ
　　３　　　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　（４）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　　（５）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　４∨Ｉ
１　３　　　（６）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　１５＆Ｉ
１　　　　　（７）　　～～Ｆａ　　　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
１　　　　　（８）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　　（９）　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　　９　　（ア）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　　（イ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　ア∨Ｉ
１　　９　　（ウ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　１イ＆Ｉ
１　　　　　（エ）　　　　　　～～Ｆｂ　　　　　　　９ウＲＡＡ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　エＤＮ
　　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
　　　　　カ（キ）　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　カ∨Ｉ
　　　　　カ（ク）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　キ∨Ｉ
１　　　　カ（ケ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　１ク＆Ｉ
１　　　　　（コ）　　　　　　　　　　～～Ｆｃ　　　カケＲＡＡ
１　　　　　（サ）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　コＤＮ
１　　　　　（シ）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ　　　　　　　８オ＆Ｉ
１　　　　　（ス）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　サシ＆Ｉ
１２　　　　（セ）　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　２ス＆Ｉ
１　　　　　（ソ）～～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　２セＲＡＡ
１　　　　　（タ）　　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　ソＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
③ 　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
① 　∀ｘ（　Ｆｘ）
② ～∃ｘ（～Ｆｘ）
③ 　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
③ 　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
といふ「論理式」は、
③（ａはＦであり、ｂもＦであり、ｃもＦである）。
④（ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないかの、いづれかである）といふことはない。
といふ「意味」である。
従って、
（06）により、
（07）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、そのときに限って、
③ 　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
といふ「論理式」は、
① すべての（ｘはＦである）。
②（（Ｆでないｘ）が存在する）といふことはない。
といふ「意味」である。
従って、
（02）（06）（07）により、
（08）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、そのときに限って、
① 　∀ｘ（　Ｆｘ）
② ～∃ｘ（～Ｆｘ）
③ 　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｍ｝
であるならば、そのときに限って、
① ∀ｘ（Ｆｘ）
② すべてのｘは、Ｆである。
③（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ＆Ｆｍ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（10）
第１に、固有名詞を　つぎの符号のひとつとして定義する。
　ｍ，ｎ，・・・・・
第２に、任意の名前をつぎの符号のひとつとして定義する。
　ａ，ｂ，ｃ，・・・・・
第３に、個体変数を　つぎの符号のひとつとして定義する。
　ｘ，ｙ，ｚ，・・・・・
第４に、述語文字を　つぎの符号のひとつとして定義する。
　Ｆ，Ｇ，Ｈ，・・・・・
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１７６頁）
然るに、
（11）
１００　Ｆｍ，∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ Ｇｍ
１　（１）Ｆｍ　　　　　　　　Ａ
　２（２）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２（３）　　　Ｆｍ→Ｇｍ　　２ＵＥ
１２（４）　　　　　　Ｇｍ　　１３ＭＰＰ
１００は論理学では有名なつぎの論証に見られるような、明らかに健全な論証の形式を示している。
　（３）ソクラテスは人間である。すべての人間は死すべきものである。故にソクラテスは死すべきものである。
（固有名詞ｍはソクラテス、述語文字Ｆは人間であること、そして述語文字Ｇは死すべきものであること、を表すものとする。）
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１３５頁）
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｍ｝
であるならば、そのときに限って、
１００　Ｆｍ，∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ Ｇｍ
１　（１）Ｆｍ　　　　　　　　Ａ
　２（２）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２（３）　　　Ｆｍ→Ｇｍ　　２ＵＥ
１２（４）　　　　　　Ｇｍ　　１３ＭＰＰ
といふ「計算」は、
１　（１）Ｆｍ　　　　　　　　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ→Ｇａ＆
　　　　　　　　Ｆｂ→Ｇｂ＆
　　　　　　　　Ｆｃ→Ｇｃ＆
　　　　　　　　Ｆｍ→Ｇｍ　　Ａ
　２（３）　　　Ｆｍ→Ｇｍ　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　　Ｇｍ　　１３ＭＰＰ
といふ「計算」に「他ならない」。
令和６年１月２２日、毛利太。

「ド・モルガンの法則」と「含意の定義」と「パースの法則」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４（４）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１２３４４∨Ｅ
　　　（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　１５ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
　Ｐ＝花子は日本人である。
～Ｑ＝花子は男性でない（女性である）。
であるとして、
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子は日本人である＆～花子は男性である）∨花子は日本人である）→花子は日本人である。
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２７ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２５＆Ｉ
　２　　（６）　　　　Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　７（８）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ
　２　７（９）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２８＆Ｉ
　２　　（ア）　　　　　　～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
　２　　（イ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　６ア＆Ｉ
１２　　（ウ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　エＤＮ
従って、
（04）により、
（05）
① 　～Ｐ∨　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
（ⅲ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＰＰ
従って、
（06）により、
（07）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　　Ｐ→　Ｑ
に於いて、すなはち、
②（Ｐであって、Ｑでない）といふことはない。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（05）（07）により、
（08）
① 　～Ｐ∨　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　　Ｐ→　Ｑ
に於いて、
に於いて、
①＝②＝③ であるものの、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
①＝③ を、「含意の定義（α）」とし、
②＝③ を、「含意の定義（β）」とする。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１　　（１）　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ　　Ａ
１　　（２）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ）　１「含意の定義（α）」
１　　（３）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　２ド・モルガンの法則
　４　（４）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）　　　　　Ａ
　４　（５）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　　４ド・モルガンの法則
　４　（６）　　　（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ　　　　　５「含意の定義（α）」
　４　（７）～～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　　６ＤＮ
　４　（８）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　　７「含意の定義（α）」
　４　（９）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　８∨Ｉ
　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　ア（イ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　ア∨Ｉ
１　　（ウ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　３４９アイ∨Ｅ
１　　（エ）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　　ウ「含意の定義（β）」
（ⅱ）
１　　（１）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　　Ａ
１　　（２）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　１「含意の定義（β）」
　３　（３）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　　Ａ
　３　（４）～～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　　３「含意の定義（α）」
　３　（５）　　　（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ　　　　　４ＤＮ
　３　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　　５「含意の定義（α）」
　３　（７）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）　　　　　６ド・モルガンの法則
　３　（８）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　９（ア）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　９∨Ｉ
１　　（イ）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　１３８９ア∨Ｅ
１　　（ウ）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ）　イ、ド・モルガンの法則
１　　（エ）　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ　　１「含意の定義（α）」
従って、
（09）により、
（10）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）（10）により、
（11）
　Ｐ＝花子は日本人である。
～Ｑ＝花子は男性でない（女性である）。
であるとして、
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子は日本人である＆～花子は男性である）∨花子は日本人である）→花子は日本人である。
②（（花子は日本人である→　花子は男性である）→花子は日本人である）→花子は日本人である。
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
「直観主義の論理体系ＮＪ」では、次の諸性質は「同値」である。
├ ～～Ｐ→Ｐ 　　　　　　　二重否定除去律
├ 　  Ｐ∨～Ｐ　　　　　　　排中律
├ （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　パースの法則。
（大阪教育図書、論理と思考、2021年、８５頁）
従って、
（11）（12）により、
（13）
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」であって、特に、
② は、「直観主義の論理体系ＮＪ」では、「排中律（Ｐ∨～Ｐ）」に「等しい」。
然るに、
（13）により、
（14）
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
とするならば、「当然」、
①（（太郎が日本人の男性である）か、または、太郎が日本人である）ならば、太郎は日本人である。
②（（太郎が日本人であるならば、太郎が女性である）ならば、太郎が日本人である）ならば、太郎は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（14）により、
（15）
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に於いて、
① 女性である。
② 男性である。
といふ「部分」は、実際には、「意味が無い（不要である）」。
然るに、
（01）（09）により、
（16）
（ⅰ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４（４）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１２３４４∨Ｅ
　　　（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　１５ＣＰ
（ⅰ）
１　　（１）　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ　　Ａ
１　　（２）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ）　１「含意の定義（α）」
１　　（３）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　２ド・モルガンの法則
　４　（４）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）　　　　　Ａ
　４　（５）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　　４ド・モルガンの法則
　４　（６）　　　（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ　　　　　５「含意の定義（α）」
　４　（７）～～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　　６ＤＮ
　４　（８）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　　７「含意の定義（α）」
　４　（９）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　８∨Ｉ
　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　ア（イ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　ア∨Ｉ
１　　（ウ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　３４９アイ∨Ｅ
１　　（エ）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　　ウ「含意の定義（β）」
（ⅱ）
１　　（１）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　　Ａ
１　　（２）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　１「含意の定義（β）」
　３　（３）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　　Ａ
　３　（４）～～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　　３「含意の定義（α）」
　３　（５）　　　（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ　　　　　４ＤＮ
　３　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　　５「含意の定義（α）」
　３　（７）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）　　　　　６ド・モルガンの法則
　３　（８）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　９（ア）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　９∨Ｉ
１　　（イ）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　１３８９ア∨Ｅ
１　　（ウ）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ）　イ、ド・モルガンの法則
１　　（エ）　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ　　１「含意の定義（α）」
といふ「計算」は、
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌ（ウィキペディア）。
で言ふ所の、『自然演繹の体系Ｌ』である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
『自然演繹の体系Ｌ』からすると、
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、「実質的」に、
①（（花子が日本である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である）　ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に、「等しい」。
然るに、
（18）
①（（花子が日本である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である）　ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、② を含めて、「少なくとも、変ではない」。
然るに、
（19）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（背理法を絶対に認めない人たちの会）
然るに、
（19）により、
（20）
確かに、任意の命題Ｐ, Ｑについての、例へば、
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「パースの法則（合成命題）」は、「（パズルみたいで）変である」が、
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」が「恒真命題（トートロジー）」であることには、「何らの違和感」も無い。
従って、
（17）～（20）により、
（21）
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「パースの法則」が、「ヘンテコ」である「理由」は、
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に対して、
②「（不要である所の）花子は男性である。」
といふ「命題」を加へたからである。
（22）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（４）　Ｐ　　　　　　１２２３３∨Ｅ
　　　（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ　１４ＣＰ
であると「同時」に、
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４（４）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１２３４４∨Ｅ
　　　（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　１５ＣＰ
である。
従って、
（01）（10）（22）により、
（23）
①　（Ｐ　　　　∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「３つの論理式」は、すなはち、
①　（Ｐであるか、Ｐである）ならばＰである。
②（（Ｐであって、Ｑでない）か、Ｐである）ならば、Ｐである。
③（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ「３つの命題」は、「３つ」とも、「恒真命題（トートロジー）」であって、尚且つ、
②＝③ であって、特に、
③ を、「パースの法則」と言ふ。
令和６年１月２１日、毛利太。

―「補足」をします。―
（24）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ
（ⅲ）
１　（１）　（Ｐ→Ｐ）→Ｐ　　　　Ａ
　２（２）　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　（３）　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　２２ＣＰ
１　（４）　　　　　　　Ｐ　　　　１３ＭＰＰ
　　（５）（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ　１４ＣＰ
従って、
（24）により、
（25）
① 　 Ｐ→Ｐ
③（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
は、「２つ」とも「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（26）
②（偽→偽）→偽
は「偽」であるため、
②（Ｐ→Ｐ）→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
15:37 2024/01/21

「源氏物語の作者は二人とはゐない」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）源氏物語の作者（Ｇ）は、二人とはゐない（at most one person）。然るに、
（ⅱ）紫式部（ｍ）は源氏物語の作者（Ｇ）である。然るに、
（ⅲ）清少納言（ｎ）は紫式部（ｍ）ではない。従って、
（ⅳ）清少納言（ｎ）は源氏物語の作者（Ｇ）ではない。
然るに、
（02）
１　　 　 （１）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝　Ａ
１　 　 　（２）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝　１量化子の関係
１　 　　 （３）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝　２量化子の関係
１　　 　 （４）∀ｘ∀ｙ｛～（Ｇｘ＆Ｇｙ）∨（ｘ＝ｙ）｝　３ド・モルガンの法則
１　　  　（５）∀ｘ∀ｙ｛　（Ｇｘ＆Ｇｙ）→（ｘ＝ｙ）｝　４含意の定義
１　　  　（６）∀ｘ∀ｙ｛　（Ｇｘ＆Ｇｙ）→（ｘ＝ｙ）｝　５ＤＮ
１　　  　（７）　　∀ｙ｛　（Ｇｍ＆Ｇｙ）→（ｍ＝ｙ）｝　６ＵＥ
１　　  　（８）　　　　　　（Ｇｍ＆Ｇｎ）→（ｍ＝ｎ）　  ７ＵＥ
　９　 　 （９）　　　　　　　Ｇｍ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　ア 　 （ア）　　　　　　　　　　　　　　　ｍ≠ｎ　　　Ａ
１　ア 　 （イ）　　　　　～（Ｇｍ＆Ｇｎ）　　　　　　　　８９ＭＴＴ
　　　ウ　（ウ）　　　　　　　Ｇｍ　　　　　　　　　　　  Ａ
　　　　エ（オ）　　　　　　　　　　Ｇｎ　　　　　　　　  Ａ
　　　ウエ（カ）　　　　　　　Ｇｍ＆Ｇｎ　　　　　　　　  ウオ＆Ｉ
１　アウエ（キ）～（Ｇｍ＆Ｇｎ）＆（Ｇｍ＆Ｇｎ）　　　　  イカ＆Ｉ
１　アウ　（ク）　　　　　　　　　～Ｇｎ　　　　　　　　  エキＲＡＡ
１　ア　　（ケ）　　　　　　Ｇｍ→～Ｇｎ　　　　　　　　  ウクＣＰ
１９ア　　（コ）　　　　　　　　　～Ｇｎ　　　　　　　　  ９ケＭＰＰ
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）　　　　　　　Ｇｍ。　　　　　　　　　　　然るに、
（ⅲ）　　　　　　　　　　　　　　　ｍ≠ｎ。　　従って、
（ⅳ）　　　　　　　　　　　　　　　～Ｇｎ。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）あるｘとあるｙについて｛（ｘが源氏物語の著者であって、ｙも源氏物語であって）、尚且つ、（ｘはｙと「同一人物」ではない）。｝といふことはない。然るに、
（ⅱ）ｍは源氏物語の著者である。　　然るに、
（ⅲ）ｍとｎは「同一人物」ではない。従って、
（ⅳ）ｎは源氏物語の著者ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）源氏物語の作者は、二人とはゐない。然るに、
（ⅱ）紫式部は源氏物語の作者である。然るに、
（ⅲ）清少納言は紫式部ではない。従って、
（ⅳ）清少納言は源氏物語の作者ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（02）（03）により、
（05）
（ⅰ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）　　　　　　Ｇｍ。　　　　　　　　　　　然るに、
（ⅲ）　　　　　　　　　　　　　　ｍ≠ｎ。　　従って、
（ⅳ）　　　　　　　　　　　　　　～Ｇｎ。
といふ「推論」は、「不妥当（invalid）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（ⅰ）源氏物語の作者は、一人とは限らない。然るに、
（ⅱ）紫式部は源氏物語の作者である。然るに、
（ⅲ）清少納言は紫式部ではない。従って、
（ⅳ）清少納言は源氏物語の作者ではない。
といふ「推論」は「不妥当（invalid）」である。
令和６年１月２０日、毛利太。

「虎長百獣長」の「述語論理」。

（01）
１　　　　　（１）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∀ｚ（長ｚｙ→ｘ＝ｚ）｝　Ａ
　２　　　　（２）　　∃ｚ（狐ｚ＆～虎ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　（３）　　∀ｙ｛虎ａ＆百獣ｙ＆長ａｙ→∀ｚ（長ｚｙ→ａ＝ｚ）｝　Ａ
　　３　　　（４）　　　　｛虎ａ＆百獣ｂ＆長ａｂ→∀ｚ（長ｚｂ→ａ＝ｚ）　　３ＵＥ
　　　５　　（５）　　　　　虎ａ＆百獣ｂ＆長ａｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３５　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（長ｚｂ→ａ＝ｚ）　　４５ＭＰＰ
　　３５　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｃｂ→ａ＝ｃ　　　６ＵＥ
　　　　８　（８）　　　　　狐ｃ＆～虎ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　８　（９）　　　　　狐ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　　８　（ア）　　　　　　　　～虎ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　５　　（イ）　　　　　虎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　　５８　（ウ）　　　　　虎ａ＆～虎ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　アイ＆Ｉ
　　　　　エ（エ）　　　　　　ａ＝ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　５８エ（オ）　　　　　虎ｃ＆～虎ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウエ＝Ｅ
　　　５８　（カ）　　　　　　ａ≠ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エオＲＡＡ
　　３５８　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｃｂ　　　　　　　７カＭＴＴ
　　３５８　（ク）　　　　　狐ｃ＆～長ｃｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　９キ＆Ｉ
　　３５８　（ケ）　　∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　クＥＩ
　２３５　　（コ）　　∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　２８ケＥＥ
　２３　　　（サ）　　　　　虎ａ＆百獣ｂ＆長ａｂ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｂ）　　５コＣＰ
　２３　　　（シ）　　∀ｙ｛虎ａ＆百獣ｙ＆長ａｙ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｙ）｝　サＵＩ
　２３　　　（ス）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｙ）｝　シＥＩ
１２　　　　（セ）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｙ）｝　１３スＥＥ
従って、
（01）
（02）
（ⅰ）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∀ｚ（長ｚｙ→ｘ＝ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）　　∃ｚ（狐ｚ＆～虎ｚ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｙ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）あるｘとすべてのｙについて｛ｘが虎であって、ｙが百獣であって、ｘがｙの長であるならば、すべてのｚについて（ｚがｙの長であるならば、ｘはｚと「同一」である｝。然るに、
（ⅱ）あるｚは（狐はであって、虎ではない）。従って、
（ⅲ）あるｘとすべてのｙについて｛ｘが虎であって、ｙが百獣であって、ｘがｙの長であるならば、あるはｚ（狐であって、ｙの長ではない）｝。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）唯、虎のみ、百獣に長たり（唯虎長百獣長也）。然るに、
（ⅱ）狐は虎に非ざるなり（狐非虎也）。故に、
（ⅲ）虎は百獣に長たりて、狐は長たらず（虎長百獣、狐不長）。
といふ「推論」は「妥当」である。
令和６年１月１９日、毛利太。