（01）
「（02）～（11）」に関しては、「昨日の記事の、別の計算」による「証明」であるため、あるいは、（12）から読まれることを、お勧めします。
（02）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
然るに、
（03）
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象の鼻が長いならば、象の鼻以外も長い。
③ 象の鼻以外が長くないならば、象の鼻は長くない。
に於いて、
① と、② は「矛盾」し、
② と、③ は「対偶」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① 象は（鼻が長い。）といふわけではない。⇔
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
といふ「等式」が、「日本語」としても、「述語論理」としても、「正しい」のであれば、そのときに限って、
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
といふ「述語論理式」から、
② 象の鼻が長いならば、象の鼻以外も長い。
③ 象の鼻以外が長くないならば、象の鼻は長くない。
といふ「日本語」に相当する、然るべき、「述語論理式」が「演繹」出来る。
然るに、
（05）
― 昨日（令和０２年０４月１８日）も書いたものの、―
（ａ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５交換法則
１３ （７） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６含意の定義
８ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
８ （９） ～～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ８ＤＮ
１３８ （ア） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７９ＭＴＴ
１３８ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア量化子の関係
ウ （ウ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ウ （エ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ウ含意の定義
ウ （オ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ エ、ド・モルガンの法則
ウ （カ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウＥＩ
１２８ （キ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） イウカＥＥ
１２ （ク） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８キＣＰ
１ （ケ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３クＣＰ
コ（コ） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） Ａ
コ（サ） 象ａ コ＆Ｅ
１ コ（シ） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ケサＭＰＰ
コ（ス） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） コ＆Ｅ
１ コ（セ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） シスＭＰＰ
１ （ソ） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） コセＣＰ
１ （タ）∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ソＵＩ
（ｂ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５含意の定義
７ （７） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
７ （８） ～～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ＤＮ
１３７ （９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６８ＭＴＴ
１３ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７９ＣＰ
１ （イ） 象ａ→［∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ３アＣＰ
ウ（ウ） 象ａ＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
ウ（エ） 象ａ ウ＆Ｅ
１ ウ（オ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） イエＭＰＰ
ウ（カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウ＆Ｅ
１ ウ（キ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） カキＭＰＰ
１ （ク） 象ａ＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ウキＣＰ
１ （ケ）∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ クＵＩ
（06）
― 昨日（令和０２年０４月１９日）は書かなかったものの、―
（ｃ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３４ （５） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
１３４ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２５ＭＰＰ
７（７） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
７（８） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
７（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ８含意の定義
７（ア） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ＥＩ
１３４ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６７アＥＥ
１３４ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ウＣＰ
１３ （オ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ含意の定義
１３ （カ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ オ、ド・モルガンの法則
１ （キ） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３カＣＰ
１ （ク）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ キＵＩ
（ｄ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ウキＣＰ
３ （３） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３ （４） ～～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３ＤＮ
１３ （５） ～｛象ａ＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ２４ＭＴＴ
１３ （６） ～象ａ∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ５ド・モルガンの法則
１３ （７） 象ａ→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ６含意の定義
１ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ 象ａ→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３７ＣＰ
９ （９） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
９ （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
１ ９ （イ） 象ａ→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８アＭＰＰ
９ （ウ） 象ａ ９＆Ｅ
１ ９ （エ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イウＭＰＰ
１ （オ） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９エＣＰ
カ （カ） 象ａ Ａ
キ（キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
カキ（ク） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） カキ＆Ｉ
１ カキ（ケ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オクＭＰＰ
１ カ （コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） キケＣＰ
１ カ （サ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） コ含意の定義
１ カ （シ） ～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］ サ、ド・モルガンの法則
１ （ス） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］ カシＣＰ
１ （セ）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ スＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝
に於いて、
① ならば、② である。
② ならば、① である。
① ならば、③ である。
③ ならば、① である。
従って、
（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝
に於いて、
①＝②
①＝③
であって、それ故、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
② すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚは、ｘの鼻以外（例へば、耳）であって、長い。
③ すべてのｘについて、ｘが象であって、（すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないとして、ｚは長くない）ならば、（あるｙがｘの鼻であって、長い。）といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。
② 象の鼻が長いならば、象の鼻以外も長い。
③ 象の鼻以外が長くないならば、象の鼻は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）～（10）により、
（11）
① 象は（鼻が長い。）といふわけではない。⇔
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
といふ「等式」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「正しい」。
然るに、
（12）
① 象は（鼻が長い。）といふわけではない。⇔
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
に対して、
④（象は鼻が長い。）といふわけではない。⇔
④（象は鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。⇔
④ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
④｛すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝といふことはない。
であるものの、当然、
①＝④ ではない。
然るに、
（13）
（ⅳ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
３ （４） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３含意の定義
３ （５） 象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ４ド・モルガンの法則
３ （６） 象ａ ５＆Ｅ
３ （７） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ５＆Ｅ
３ （８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ド・モルガンの法則
３ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８含意の定義
ア （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３ア （イ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９アＭＰＰ
３ア （ウ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
エ（エ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
エ（オ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） エ含意の定義
エ（カ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ オ、ド・モルガンの法則
エ（キ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） カＥＩ
３ア （ク） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウエキＥＥ
３ （ケ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） アクＣＰ
３ （コ） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ６ケ＆Ｉ
３ （サ）∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］ コＥＩ
１ （シ）∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ ２３サＥＥ
（ⅴ）
１ （１）∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］ Ａ
２ （２） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｂ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ １ＵＥ
２ （３） 象ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｂ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｂ） Ａ
２５ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４５ＣＰ
２５ （７） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
２５ （８） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
２５ （９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ８含意の定義
２５ （ア） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９ＥＩ
２５ （イ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア量化子の関係
２ （ウ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｂ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５イＣＰ
２ （エ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｂ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウ含意の定義
２ （カ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ エ、ド・モルガンの法則
２ （キ） 象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３カ＆Ｉ
２ （ク） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ キ、ド・モルガンの法則
２ （ケ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ク含意の定義
２ （コ）∃ｘ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ケＥＩ
１ （サ）∃ｘ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ １２コＥＥ
１ （シ）～∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ サ量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
④ ～∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑤ ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、すなはち、
④｛すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝といふことはない。
⑤ あるｘは、象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻ではなくて、長い。
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（14）により、
（15）
④（象は鼻が長い。）といふわけではない。
⑤ ある象は、鼻が長いならば、鼻以外（例へば、耳）も長い。
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（16）
⑤ 鼻が長いならば、鼻以外（例へば、耳）も長い。
⑥ 鼻以外が長くないならば、鼻も長くない。
に於いて、
⑤＝⑥ は、「対偶（Contraposition）」である。
ｃｆ.
⑤ ∃ｘ｛象ｘ＆［ ∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）］｝
⑥ ∃ｘ｛象ｘ＆［～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆長ｙ）］｝
従って、
（15）（16）により、
（17）
④（象は鼻が長い。）といふわけではない。
⑤ ある象は 鼻が長いならば、鼻以外（例へば、耳）も長い。
⑥ ある象は、鼻以外が長くないならば、鼻も長くない。
に於いて、
④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（01）～（17）により、
（18）
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。
② 象の鼻が長いならば、象の鼻以外も長い。
③ 象の鼻以外が長くないならば、象の鼻は長くない。
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝
に於いて、
①＝②＝③ であって、
④（象は鼻が長い。）といふわけではない。
⑤ ある象は、鼻が長いならば、鼻以外（例へば、耳）も長い。
⑥ ある象は、鼻以外が長くないならば、鼻も長くない。
④ ～∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑤ ∃ｘ｛象ｘ＆［ ∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
⑥ ∃ｘ｛象ｘ＆［～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆ 長ｙ）］｝
に於いて、
④＝⑤＝⑥ である。
といふことは、「述語論理」としても、「正しい」。
（19）
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝
は、「すべての象が、さうである。」といふ「意味」であって、
④ ～∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑤ ∃ｘ｛象ｘ＆［ ∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
⑥ ∃ｘ｛象ｘ＆［～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆ 長ｙ）］｝
は、「象の中の、ある象は、さうである。」といふ「意味」である。
令和０２年０４月２０日、毛利太。
2020年4月20日月曜日
2020年4月19日日曜日
「象は（鼻が長い。）といふわけではない。」の「否定」の「述語論理」。
（01）
― 何度も、書いてゐるやうに、―
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（02）
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふのであれば、例へば、
② 鼻と耳が長い象はゐないし、
③ 鼻も耳も長くない象はゐない。
従って、
（02）により、
（03）
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。
とするならば、例へば、
② 鼻と耳が長い象はゐるし、
③ 鼻も耳も長くない象もゐる。
といふ、ことになる。
然るに、
（04）
― 昨日（令和０２年０４月１８日）も書いたものの、―
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５含意の定義
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１３７ （８） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８ＭＰＰ
１３７ （９） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８量化子の関係
ア （ア） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ア （イ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ア含意の定義
ア （ウ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ イ、ド・モルガンの法則
ア （エ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウＥＩ
１３７ （オ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９アエＥＥ
１３ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ７オＣＰ
１ （キ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３カＣＰ
ク（ク） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
ク（ケ） 象ａ ク＆Ｅ
１ ク（コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） キケＭＰＰ
ク（サ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ク＆Ｅ
１ ク（シ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） コサＭＰＰ
１ （ス） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クシＣＰ
１ （セ）∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ スＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３４ （５） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
１３４ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２５ＭＰＰ
７（７） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
７（８） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
７（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ８含意の定義
７（ア） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ＥＩ
１３４ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６７アＥＥ
１３４ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ウＣＰ
１３ （オ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ含意の定義
１３ （カ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ オ、ド・モルガンの法則
１ （キ） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３カＣＰ
１ （ク）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ キＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
（06）
― 昨日（令和０２年０４月１８日）も書いたものの、―
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ ２＆Ｅ
１ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
５ （６） ～鼻ｂａ→～長ｂ １ＵＥ
５ （７） 鼻ｂａ∨～長ｂ ６含意の定義
５ （８） ～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） ７ド・モルガンの法則
５ （９） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８ＵＩ
５ （ア） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９量化子の関係
１５ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １アＭＴＴ
１ （ウ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５イＣＰ
１ （エ） 象ａ＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３ウ＆Ｉ
１ （オ）∀ｘ｛象ｘ＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ エＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ ２＆Ｅ
１ （４） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２＆Ｅ
５ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
５ （６） ～～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５ＤＮ
１５ （７） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４６ＭＴＴ
１５ （８） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７量化子の関係
９（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
９（ア） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ９含意の定義
９（イ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ ア、ド・モルガンの法則
９（ウ） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） イＥＩ
１５ （エ） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ８９ウＥＥ
１ （オ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ５エＣＰ
１ （カ） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ３オ＆Ｉ
１ （キ）∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ カＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（05）（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
（09）
― 昨日（令和０２年０４月１８日）は書かなかったものの、―
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５交換法則
１３ （７） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６含意の定義
８ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
８ （９） ～～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ８ＤＮ
１３８ （ア） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７９ＭＴＴ
１３８ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア量化子の関係
ウ （ウ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ウ （エ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ウ含意の定義
ウ （オ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ エ、ド・モルガンの法則
ウ （カ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウＥＩ
１２８ （キ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） イウカＥＥ
１２ （ク） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８キＣＰ
１ （ケ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３クＣＰ
コ（コ） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） Ａ
コ（サ） 象ａ コ＆Ｅ
１ コ（シ） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ケサＭＰＰ
コ（ス） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） コ＆Ｅ
１ コ（セ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） シスＭＰＰ
１ （ソ） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） コセＣＰ
１ （タ）∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ソＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５含意の定義
７ （７） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
７ （８） ～～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ＤＮ
１３７ （９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６８ＭＴＴ
１３ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７９ＣＰ
１ （イ） 象ａ→［∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ３アＣＰ
ウ（ウ） 象ａ＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
ウ（エ） 象ａ ウ＆Ｅ
１ ウ（オ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） イエＭＰＰ
ウ（カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウ＆Ｅ
１ ウ（キ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） カキＭＰＰ
１ （ク） 象ａ＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ウキＣＰ
１ （ケ）∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ クＵＩ
従って、
（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
① ならば、② であり、
① ならば、③ である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
いづれにせよ、
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
② すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚは、ｘの鼻以外（例へば、耳）であって、長い。
③ すべてのｘについて、ｘが象であって、（すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないとして、ｚは長くない）ならば、（あるｙがｘの鼻であって、長い。）といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（12）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
② すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚは、ｘの鼻以外（例へば、耳）であって、長い。
③ すべてのｘについて、ｘが象であって、（すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないとして、ｚは長くない）ならば、（あるｙがｘの鼻であって、長い。）といふことはない。
といふことは、
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。
② 象の鼻が長いならば、象の鼻以外も長い。
③ 象の鼻以外が長くないならば、象の鼻は長くない。
といふことである。
然るに、
（13）
② 象の鼻が長いならば、象の鼻以外も長い。
③ 象の鼻以外が長くないならば、象の鼻は長くない。
といふことは、例へば、
② 鼻と耳が長い象がゐる。
③ 鼻も耳も長くない象がゐる。
といふことである。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。
とするならば、その時に限って、例へば、
② 鼻と耳が長い象はゐるし、
③ 鼻も耳も長くない象もゐる。
といふ「命題」は、「述語論理」としても、「真（本当）」である。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
とするならば、その時に限って、例へば、
② 鼻と耳が長い象はゐるし、
③ 鼻も耳も長くない象もゐる。
といふ「結論」は、「述語論理」としても、「正しい」。
従って、
（15）により、
（16）
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない）。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］。
とするならば、その時に限って、例へば、
② 鼻と耳が長い象はゐないし、
③ 鼻も耳も長くない象もゐない。
といふ「命題」は、「述語論理」としても、「真（本当）」。
然るに、
（17）
② 鼻と耳が長い象はゐないし、
③ 鼻も耳も長くない象もゐない。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（01）（16）（17）により、
（18）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない）。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（01）により、
（19）
一番初めの、（01）に於いて、
― 何度も、書いてゐるやうに、―
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
といふ風に、書いてゐるため、「以上の、説明」は、「証明」にはなってゐない。
（20）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「等式」を「証明」する上で、一番簡単な「それ」は、これも、
― 何度も、書いてゐるやうに、―
次のやうな「証明」である。
（21）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（21）により、
（22）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（23）
（ⅱ）
１ （１） Ｑ→ Ｐ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１２ （４） Ｐ １２ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～Ｑ ２５ＰＡＡ
１ （７）～Ｐ→～Ｑ ３６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１）～Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３）～Ｐ Ａ
１ ３（４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｑ＆～Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｐ ３５ＰＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｑ→ Ｐ ２７ＣＰ
従って、
（23）により、
（24）
② Ｑ→ Ｐ
③ ～Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ は、「対偶(Contraposition）」である。
従って、
（24）により、
（25）
② Ｑ→ Ｐ
③ ～Ｐ→～Ｑ
に於いて、
Ｑ＝理事長
Ｐ＝私
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
② 理事長ならば私です。
③ 私でないならば理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶(Contraposition）」である。
従って、
（25）により、
（26）
② 理事長は私です。
③ 私以外理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶(Contraposition）」である。
従って、
（22）（26）により、
（27）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、理事長は私です。
③ タゴール記念会は、私以外理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（28）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、理事長は私です。
③ タゴール記念会は、私以外理事長ではない。
に於いて、
タゴール記念会＝象
私＝鼻
理事長＝長い
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① 象は、鼻が長い。
② 象は、長いのは鼻です。
③ 象は、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。（Ｑ.Ｅ.Ｄ）
令和０２年０４月１９日、毛利太。
― 何度も、書いてゐるやうに、―
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（02）
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふのであれば、例へば、
② 鼻と耳が長い象はゐないし、
③ 鼻も耳も長くない象はゐない。
従って、
（02）により、
（03）
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。
とするならば、例へば、
② 鼻と耳が長い象はゐるし、
③ 鼻も耳も長くない象もゐる。
といふ、ことになる。
然るに、
（04）
― 昨日（令和０２年０４月１８日）も書いたものの、―
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５含意の定義
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１３７ （８） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８ＭＰＰ
１３７ （９） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８量化子の関係
ア （ア） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ア （イ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ア含意の定義
ア （ウ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ イ、ド・モルガンの法則
ア （エ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウＥＩ
１３７ （オ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９アエＥＥ
１３ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ７オＣＰ
１ （キ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３カＣＰ
ク（ク） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
ク（ケ） 象ａ ク＆Ｅ
１ ク（コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） キケＭＰＰ
ク（サ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ク＆Ｅ
１ ク（シ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） コサＭＰＰ
１ （ス） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クシＣＰ
１ （セ）∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ スＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３４ （５） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
１３４ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２５ＭＰＰ
７（７） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
７（８） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
７（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ８含意の定義
７（ア） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ＥＩ
１３４ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６７アＥＥ
１３４ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ウＣＰ
１３ （オ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ含意の定義
１３ （カ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ オ、ド・モルガンの法則
１ （キ） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３カＣＰ
１ （ク）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ キＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
（06）
― 昨日（令和０２年０４月１８日）も書いたものの、―
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ ２＆Ｅ
１ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
５ （６） ～鼻ｂａ→～長ｂ １ＵＥ
５ （７） 鼻ｂａ∨～長ｂ ６含意の定義
５ （８） ～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） ７ド・モルガンの法則
５ （９） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８ＵＩ
５ （ア） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９量化子の関係
１５ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １アＭＴＴ
１ （ウ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５イＣＰ
１ （エ） 象ａ＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３ウ＆Ｉ
１ （オ）∀ｘ｛象ｘ＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ エＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ ２＆Ｅ
１ （４） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２＆Ｅ
５ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
５ （６） ～～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５ＤＮ
１５ （７） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４６ＭＴＴ
１５ （８） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７量化子の関係
９（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
９（ア） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ９含意の定義
９（イ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ ア、ド・モルガンの法則
９（ウ） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） イＥＩ
１５ （エ） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ８９ウＥＥ
１ （オ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ５エＣＰ
１ （カ） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ３オ＆Ｉ
１ （キ）∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ カＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（05）（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
（09）
― 昨日（令和０２年０４月１８日）は書かなかったものの、―
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５交換法則
１３ （７） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６含意の定義
８ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
８ （９） ～～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ８ＤＮ
１３８ （ア） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７９ＭＴＴ
１３８ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア量化子の関係
ウ （ウ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ウ （エ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ウ含意の定義
ウ （オ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ エ、ド・モルガンの法則
ウ （カ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウＥＩ
１２８ （キ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） イウカＥＥ
１２ （ク） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８キＣＰ
１ （ケ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３クＣＰ
コ（コ） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） Ａ
コ（サ） 象ａ コ＆Ｅ
１ コ（シ） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ケサＭＰＰ
コ（ス） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） コ＆Ｅ
１ コ（セ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） シスＭＰＰ
１ （ソ） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） コセＣＰ
１ （タ）∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ソＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５含意の定義
７ （７） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
７ （８） ～～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ＤＮ
１３７ （９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６８ＭＴＴ
１３ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７９ＣＰ
１ （イ） 象ａ→［∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ３アＣＰ
ウ（ウ） 象ａ＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
ウ（エ） 象ａ ウ＆Ｅ
１ ウ（オ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） イエＭＰＰ
ウ（カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウ＆Ｅ
１ ウ（キ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） カキＭＰＰ
１ （ク） 象ａ＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ウキＣＰ
１ （ケ）∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ クＵＩ
従って、
（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
① ならば、② であり、
① ならば、③ である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
いづれにせよ、
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
② すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚは、ｘの鼻以外（例へば、耳）であって、長い。
③ すべてのｘについて、ｘが象であって、（すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないとして、ｚは長くない）ならば、（あるｙがｘの鼻であって、長い。）といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（12）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
② すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚは、ｘの鼻以外（例へば、耳）であって、長い。
③ すべてのｘについて、ｘが象であって、（すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないとして、ｚは長くない）ならば、（あるｙがｘの鼻であって、長い。）といふことはない。
といふことは、
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。
② 象の鼻が長いならば、象の鼻以外も長い。
③ 象の鼻以外が長くないならば、象の鼻は長くない。
といふことである。
然るに、
（13）
② 象の鼻が長いならば、象の鼻以外も長い。
③ 象の鼻以外が長くないならば、象の鼻は長くない。
といふことは、例へば、
② 鼻と耳が長い象がゐる。
③ 鼻も耳も長くない象がゐる。
といふことである。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。
とするならば、その時に限って、例へば、
② 鼻と耳が長い象はゐるし、
③ 鼻も耳も長くない象もゐる。
といふ「命題」は、「述語論理」としても、「真（本当）」である。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない。）といふわけではない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
とするならば、その時に限って、例へば、
② 鼻と耳が長い象はゐるし、
③ 鼻も耳も長くない象もゐる。
といふ「結論」は、「述語論理」としても、「正しい」。
従って、
（15）により、
（16）
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない）。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］。
とするならば、その時に限って、例へば、
② 鼻と耳が長い象はゐないし、
③ 鼻も耳も長くない象もゐない。
といふ「命題」は、「述語論理」としても、「真（本当）」。
然るに、
（17）
② 鼻と耳が長い象はゐないし、
③ 鼻も耳も長くない象もゐない。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（01）（16）（17）により、
（18）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は（鼻は長く、鼻以外は長くない）。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（01）により、
（19）
一番初めの、（01）に於いて、
― 何度も、書いてゐるやうに、―
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
といふ風に、書いてゐるため、「以上の、説明」は、「証明」にはなってゐない。
（20）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「等式」を「証明」する上で、一番簡単な「それ」は、これも、
― 何度も、書いてゐるやうに、―
次のやうな「証明」である。
（21）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（21）により、
（22）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（23）
（ⅱ）
１ （１） Ｑ→ Ｐ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１２ （４） Ｐ １２ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～Ｑ ２５ＰＡＡ
１ （７）～Ｐ→～Ｑ ３６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１）～Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３）～Ｐ Ａ
１ ３（４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｑ＆～Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｐ ３５ＰＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｑ→ Ｐ ２７ＣＰ
従って、
（23）により、
（24）
② Ｑ→ Ｐ
③ ～Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ は、「対偶(Contraposition）」である。
従って、
（24）により、
（25）
② Ｑ→ Ｐ
③ ～Ｐ→～Ｑ
に於いて、
Ｑ＝理事長
Ｐ＝私
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
② 理事長ならば私です。
③ 私でないならば理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶(Contraposition）」である。
従って、
（25）により、
（26）
② 理事長は私です。
③ 私以外理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶(Contraposition）」である。
従って、
（22）（26）により、
（27）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、理事長は私です。
③ タゴール記念会は、私以外理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（28）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、理事長は私です。
③ タゴール記念会は、私以外理事長ではない。
に於いて、
タゴール記念会＝象
私＝鼻
理事長＝長い
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① 象は、鼻が長い。
② 象は、長いのは鼻です。
③ 象は、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。（Ｑ.Ｅ.Ｄ）
令和０２年０４月１９日、毛利太。
2020年4月18日土曜日
「象は（鼻が長い。）といふわけではない。」の「述語論理」。
（01）
― 何度も、書いてゐるやうに、―
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（01）により、
（02）
② （象は鼻が長い。）といふわけではない。
ではなく、
② 象は（鼻が長い。）といふわけではない。
であれば、
② ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
といふ「論理式」に、対応する。
然るに、
（03）
― 先程（令和０２年０４月１８日）も書いたものの、―
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５含意の定義
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１３７ （８） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８ＭＰＰ
１３７ （９） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８量化子の関係
ア （ア） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ア （イ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ア含意の定義
ア （ウ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ イ、ド・モルガンの法則
ア （エ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウＥＩ
１３７ （オ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９アエＥＥ
１３ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ７オＣＰ
１ （キ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３カＣＰ
ク（ク） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
ク（ケ） 象ａ ク＆Ｅ
１ ク（コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） キケＭＰＰ
ク（サ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ク＆Ｅ
１ ク（シ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） コサＭＰＰ
１ （ス） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クシＣＰ
１ （セ）∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ スＵＩ
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３４ （５） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
１３４ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２５ＭＰＰ
７（７） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
７（８） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
７（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ８含意の定義
７（ア） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ＥＩ
１３４ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６７アＥＥ
１３４ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ウＣＰ
１３ （オ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ含意の定義
１３ （カ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ オ、ド・モルガンの法則
１ （キ） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３カＣＰ
１ （ク）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ キＵＩ
従って、
（02）（03）により、
（04）
② ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
② 象は（鼻が長い。）といふわけではない。
③ 象は、鼻が長いならば、鼻以外も長い。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ ２＆Ｅ
１ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
５ （６） ～鼻ｂａ→～長ｂ １ＵＥ
５ （７） 鼻ｂａ∨～長ｂ ６含意の定義
５ （８） ～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） ７ド・モルガンの法則
５ （９） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８ＵＩ
５ （ア） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９量化子の関係
１５ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １アＭＴＴ
１ （ウ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５イＣＰ
１ （エ） 象ａ＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３ウ＆Ｉ
１ （オ）∀ｘ｛象ｘ＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ エＵＩ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ ２＆Ｅ
１ （４） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２＆Ｅ
５ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
５ （６） ～～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５ＤＮ
１５ （７） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４６ＭＴＴ
１５ （８） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７量化子の関係
９（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
９（ア） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ９含意の定義
９（イ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ ア、ド・モルガンの法則
９（ウ） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） イＥＩ
１５ （エ） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ８９ウＥＥ
１ （オ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ５エＣＰ
１ （カ） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ３オ＆Ｉ
１ （キ）∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ カＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
④ すべてのｘについて、ｘが象であって、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。ならば、あるｙがｘの鼻であって、長い、といふことはない。
に於いて、
③＝④ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（07）により、
（08）
③ 象は、鼻が長いならば、鼻以外も長い。
④ 象は、鼻以外が長くないならば、鼻は長くない。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
② 象は（鼻が長い。）といふわけではない。
③ 象は、鼻が長いならば、鼻以外も長い。
④ 象は、鼻以外が長くないならば、鼻は長くない。
といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
といふ「述語論理式」に、対応する。
（10）
「述語論理」を「独学」することが、「難しい」かどうかは、人それぞれなので、何とも、言へない。
然るに、
（11）
いづれにせよ、
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた述語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号―しかももたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）。
といふ風に、Ｅ.Ｊ.レモンは、言ってゐる。
令和０２年０４月１８日、毛利太。
― 何度も、書いてゐるやうに、―
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（01）により、
（02）
② （象は鼻が長い。）といふわけではない。
ではなく、
② 象は（鼻が長い。）といふわけではない。
であれば、
② ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
といふ「論理式」に、対応する。
然るに、
（03）
― 先程（令和０２年０４月１８日）も書いたものの、―
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５含意の定義
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１３７ （８） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８ＭＰＰ
１３７ （９） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８量化子の関係
ア （ア） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ア （イ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ア含意の定義
ア （ウ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ イ、ド・モルガンの法則
ア （エ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウＥＩ
１３７ （オ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９アエＥＥ
１３ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ７オＣＰ
１ （キ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３カＣＰ
ク（ク） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
ク（ケ） 象ａ ク＆Ｅ
１ ク（コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） キケＭＰＰ
ク（サ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ク＆Ｅ
１ ク（シ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） コサＭＰＰ
１ （ス） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クシＣＰ
１ （セ）∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ スＵＩ
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３４ （５） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
１３４ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２５ＭＰＰ
７（７） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
７（８） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
７（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ８含意の定義
７（ア） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ＥＩ
１３４ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６７アＥＥ
１３４ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ウＣＰ
１３ （オ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ含意の定義
１３ （カ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ オ、ド・モルガンの法則
１ （キ） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３カＣＰ
１ （ク）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ キＵＩ
従って、
（02）（03）により、
（04）
② ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
② 象は（鼻が長い。）といふわけではない。
③ 象は、鼻が長いならば、鼻以外も長い。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ ２＆Ｅ
１ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
５ （６） ～鼻ｂａ→～長ｂ １ＵＥ
５ （７） 鼻ｂａ∨～長ｂ ６含意の定義
５ （８） ～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） ７ド・モルガンの法則
５ （９） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８ＵＩ
５ （ア） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９量化子の関係
１５ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １アＭＴＴ
１ （ウ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５イＣＰ
１ （エ） 象ａ＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３ウ＆Ｉ
１ （オ）∀ｘ｛象ｘ＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ エＵＩ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ ２＆Ｅ
１ （４） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２＆Ｅ
５ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
５ （６） ～～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５ＤＮ
１５ （７） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４６ＭＴＴ
１５ （８） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７量化子の関係
９（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
９（ア） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ９含意の定義
９（イ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ ア、ド・モルガンの法則
９（ウ） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） イＥＩ
１５ （エ） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ８９ウＥＥ
１ （オ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ５エＣＰ
１ （カ） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ３オ＆Ｉ
１ （キ）∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ カＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
④ すべてのｘについて、ｘが象であって、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。ならば、あるｙがｘの鼻であって、長い、といふことはない。
に於いて、
③＝④ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（07）により、
（08）
③ 象は、鼻が長いならば、鼻以外も長い。
④ 象は、鼻以外が長くないならば、鼻は長くない。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
② 象は（鼻が長い。）といふわけではない。
③ 象は、鼻が長いならば、鼻以外も長い。
④ 象は、鼻以外が長くないならば、鼻は長くない。
といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
といふ「述語論理式」に、対応する。
（10）
「述語論理」を「独学」することが、「難しい」かどうかは、人それぞれなので、何とも、言へない。
然るに、
（11）
いづれにせよ、
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた述語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号―しかももたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）。
といふ風に、Ｅ.Ｊ.レモンは、言ってゐる。
令和０２年０４月１８日、毛利太。
「象は鼻が長い」と「鼻は象が長い」の「述語論理」。
（01）
― 以前にも書いたものの、―
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ ３＆Ｅ
６ （６） 長ａ Ａ
６ （７） ～～長ａ ６ＤＮ
３６ （８） ～（～象ｂ＆鼻ａｂ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） 象ｂ∨～鼻ａｂ ８ド・モルガンの法則
ア （ア） 象ｂ Ａ
ア （イ） ～～象ａ アＤＮ
ア （ウ） ～～象ａ∨～鼻ａｂ イ∨Ｉ
エ （エ） ～鼻ａｂ Ａ
エ （オ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ エ∨Ｉ
３６ （カ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ ９アウエオ∨Ｅ
３６ （キ） ～象ｂ→～鼻ａｂ カ含意の定義
３ （ク） 長ａ→（～象ｂ→～鼻ａｂ） ６キＣＰ
ケ（ケ） 長ａ＆ ～象ｂ Ａ
ケ（コ） 長ａ ケ＆Ｅ
３ ケ（サ） ～象ｂ→～鼻ａｂ クコＭＰＰ
ケ（シ） ～象ｂ ケ＆Ｅ
３ ケ（ス） ～鼻ａｂ サシＭＰＰ
３ （セ） 長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ ケスＣＰ
３ （ソ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ） ４セ＆Ｉ
３ （タ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ ソＥＩ
１ （チ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ ２３タＥＥ
１ （ツ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝ チＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） 長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
６ （６） 鼻ａｂ Ａ
６ （７） ～～鼻ａｂ ６ＤＮ
３６ （８） ～（長ａ＆～象ｂ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） ～長ａ∨ 象ｂ ８ド・モルガンの法則
３６ （ア） 象ａ∨～長ａ ９交換法則
イ （イ） 象ａ Ａ
イ （ウ） ～～象ａ イＤＮ
イ （エ） ～～象ａ∨～長ａ ウ∨Ｉ
オ （オ） ～長ａ Ａ
オ （カ） ～～象ａ∨～長ａ オ∨Ｉ
３６ （キ） ～～象ａ∨～長ａ アイエオカ∨Ｅ
３６ （ク） ～象ａ→～長ａ キ含意の定義
３ （ケ） 鼻ａｂ→（～象ａ→～長ａ） ６クＣＰ
コ（コ） ～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
コ（サ） 鼻ａｂ コ＆Ｅ
３ コ（シ） ～象ａ→～長ａ ケサＭＰＰ
コ（ス） ～象ｂ コ＆Ｅ
３ コ（セ） ～長ａ シスＭＰＰ
３ （ソ） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ コセＣＰ
３ （タ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ４ソ＆Ｉ
３ （チ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ タＥＩ
１ （ツ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ ２３チＥＥ
１ （テ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ ツＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙが象でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふことは、
① 鼻は象は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ「意味」である。
（04）
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝⇔
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙが象でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
といふことは、
② 鼻は象は長く、象以外の動物で、ある部分が長いならば、鼻以外の、例へば、耳が長い。
② 鼻は象は長く、象以外の動物で、ある部分が長いならば、鼻以外の、例へば、顔が長い。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
｛象、兎、馬｝を、｛変域（ドメイン）｝とすると、
① 鼻は象が長く、
② 耳は兎が長く、
③ 顔は馬が長い。
といふ「日本語」は、「正しい」。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 鼻は象が長い。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
― 昨日（令和２年２月１７日）も書いたものの、―
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ ２量化子の関係
４ （４） ∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ Ａ
４ （５） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆ （～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）｝ ４ＵＥ
４ （６） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）→～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ６含意の定義
８ （８） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ） Ａ
４８ （９） ～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ４８ＭＰＰ
４８ （ア） ～｛～（～象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ｝ ９含意の定義
４８ （イ） （～象ｂ＆鼻ａｂ）＆ 長ａ アド・モルガンの法則
４８ （ウ） （～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） イ結合法則
４ （エ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）→（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ８ウＣＰ
４ （オ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） エ含意の定義
カ （カ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ） Ａ
カ （キ） ～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨長ａ） カ含意の定義
カ （ク） （鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ａ キ、ド・モルガンの法則
カ （ケ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ） ク結合法則
カ （コ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ケ∨Ｉ
サ（サ） （～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） Ａ
サ（シ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） サ∨Ｉ
４ （ス） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） オカコサシ∨Ｅ
４ （セ） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ａ）｝ スＵＩ
４ （ソ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ セＥＩ
１ （タ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ ３４ソＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ａ）｝ Ａ
２ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ｂ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ２ＵＥ
４ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ｂ） Ａ
４ （５） （鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ｂ ４結合法則
４ （６） ～～｛（鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ｂ｝ ５ＤＮ
４ （７） ～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨ 長ｂ｝ ６ド・モルガンの法則
４ （８） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ） ７含意の定義
４ （９） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ８∨Ｉ
ア （ア） （～象ｂ＆鼻ａｂ ＆長ａ） Ａ
ア （イ） （～象ｂ＆鼻ａｂ）＆長ａ ア結合法則
ア （ウ） ～～｛（～象ｂ＆鼻ａｂ）＆長ａ｝ イＤＮ
ア （エ） ～｛～（象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ｝ ウ、ド・モルガンの法則
ア （カ） ～（象ｂ＆鼻ａｂ →～長ａ） エ、含意の定義
ア （キ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） カ∨Ｉ
２ （ク） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ３４９アキ∨Ｅ
２ （ケ） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆ （～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）｝ ク、ド・モルガンの法則
２ （コ） ∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ ケＵＩ
２ （サ） ～∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ コ量化子の関係
２ （シ）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ サＵＩ
２ （ス）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ シ量化子の関係
１ （セ）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ｘ）｝ １２スＥＥ
従って、
（07）により、
（08）
③ ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
④ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
に於いて、すなはち、
③「すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。」といふわけではない。
④「あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなく、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い。」
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（09）
④「あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなくて、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い）。」
といふことは、
④（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
といふことである。
然るに、
（10）
① 鼻は象が長い。
④（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
に於いて、
① と ④ は、「矛盾」する。
従って、
（11）
① 鼻は、象が長い。
④（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
に於いて、
① の「否定」は、④ であって、
④ の「否定」は、① である。
従って、
（06）～（11）により、
（12）
① 鼻は象が長い。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立し、
③ 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔
③ ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
④ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝⇔
④ あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなく、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い）。
といふ「等式」が、成立し、
① の「否定」は、③ であって、
③ の「否定」は、① である。
然るに、
（13）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
に於いて、
鼻⇒□
象⇒鼻
□⇒象
といふ「置換（Replacement）」を行ふと、
② ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘｙ＆鼻ｙ→長ｘ）＆（～鼻ｙ＆象ｘｙ→～長ｘ）｝
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの象であって、ｙが鼻ならば、ｘは長く、ｙが鼻ではなく、ｘがｙの象ならば、ｘは長くない。
といふ「論理式」になる。
然るに、
（14）
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの象であって、ｙが鼻ならば、ｘは長く、ｙが鼻ではなく、ｘがｙの象ならば、ｘは長くない。
といふことは、
ｘ＝象
ｙ＝鼻
といふことであって、それ故、
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの象であって、ｙが鼻ならば、象は長く、ｙが鼻ではなく、ｘがｙの象ならば、象は長くない。
といふことになる。
然るに、
（15）
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② 象は、鼻が長く、鼻以外は長くない。
と言ってゐるのであって、
② 象は長い。
② 象は長くない。
とは、言っていない。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は象は長く。象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「論理式」は、「真（本当）」であるが、
② 象は鼻が長い。⇔
② ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘｙ＆鼻ｙ→長ｘ）＆（～鼻ｙ＆象ｘｙ→～長ｘ）｝
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの象であって、ｙが鼻ならば、ｘは長く、ｙが鼻ではなく、ｘがｙの象ならば、ｘは長くない。
といふ「論理式」は、「偽（ウソ）」である。
然るに、
（17）
― 何度も、書いてゐるやうに、―
③ 象は鼻が長い。⇔
③ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（18）
④ （象は鼻が長い。）といふわけではない。
ではなく、
④ 象は（鼻が長い。）といふわけではない。
であれば、
④ ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
といふ「論理式」に、対応する。
然るに、
（19）
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５含意の定義
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１３７ （８） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８ＭＰＰ
１３７ （９） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８量化子の関係
ア （ア） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ア （イ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ア含意の定義
ア （ウ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ イ、ド・モルガンの法則
ア （エ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウＥＩ
１３７ （オ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９アエＥＥ
１３ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ７オＣＰ
１ （キ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３カＣＰ
ク（ク） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
ク（ケ） 象ａ ク＆Ｅ
１ ク（コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） キケＭＰＰ
ク（サ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ク＆Ｅ
１ ク（シ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） コサＭＰＰ
１ （ス） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クシＣＰ
１ （セ）∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ スＵＩ
（ⅴ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３４ （５） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
１３４ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２５ＭＰＰ
７（７） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
７（８） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
７（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ８含意の定義
７（ア） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ＥＩ
１３４ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６７アＥＥ
１３４ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ウＣＰ
１３ （オ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ含意の定義
１３ （カ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ オ、ド・モルガンの法則
１ （キ） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３カＣＰ
１ （ク）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ キＵＩ
従って、
（19）により、
（20）
④ ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（21）
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
といふことは、
⑤ 象は鼻は長いが、鼻以外（例へば、耳）も長い。
といふことである。
従って、
（17）～（21）により、
（22）
④ 象は（鼻が長い。）といふわけではない。⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
⑤ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ⇔
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（01）～（22）により、
（23）
「番号」を付け直すと、
① 象は鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
③ 象は（鼻が長い。）といふわけではない。
④ （鼻は象が長い。）といふわけではない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
④ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
といふ「述語論理式」に、対応する。
然るに、
（24）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
といふ「論理式」は、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「意味」である。
然るに、
（25）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふことは、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 鼻は、象は長く、象以外は長くない。
といふことである。
従って、
（23）（24）（25）により、
（26）
③ Ａは、ＢがＣである。
といふ「日本語」は、いづれにせよ、
③ Ａは、ＢはＣであり、Ｂ以外はＣではない。
といふ「意味」である。
然るに、
（27）
日本語には、「象は鼻が長い」や「日本は温泉が多い」など、「○○は××が……」のように二重に主語があるように見える文が多くあります。また、主語だけでなく、「この本は、父が買ってくれました」の「この本は」のように「買う」という動詞の目的語が「は」で示されているように見える文もあります。三上章のこの本は、そのような複雑な性質を持つ「…は…が…」の文（後にこの本の題名にちなんで「象鼻文」とよく呼ばれるようになりました）の性質を、助詞「は」の「代行」の性質を使って明確に説明することでわかりやすく解説していくものです。
助詞「は」の代行の性質とは、たとえば、「大根は葉を捨てます」（料理番組）の場合、この「は」は「大根の葉」の「の」の代わり（代行）であるという考え方です。これによって、「象は鼻が長い」も「象の鼻が長いこと」の意味であり、「この本は父が買ってくれた」も「この本を父が買ってくれた」の意味であるという、簡単な説明ができるようになるのです。そして、なぜ代行するのかといいうと、それは、文の《題目》を示すためであるというふうに話が進行し、日本語には主語がなく、《題目》を中核とした言語であるという著者の主張が展開されていきます。日本語の「は」の性格を初めて明確化した著書として、この本は現在の学界でも広く知られています。
現在では三上の主張の、日本語には主語がないという部分については否定的な見解が多くなっていますが、この書で三上が提議した諸問題は、三上の説がそのまま受け入れられている部分が多く、日本語文法研究における「題目」の概念の研究書として第一に上げられるものです。
（象は鼻が長い - 青山学院大学 文学部）
然るに、
（28）
述語論理はもともと数学の理論の記述を目的として生まれたもので， どのような数学的内容も記述できることが経験的に知られている． この高い記述能力は数学以外の知識体系にも応用できる可能性を示している． たとえば，計算機プログラミングの基本的形態の一つである「論理プログラミング」 は基本的には述語論理の考え方を応用したものである．計算機科学では 論理プログラミング以外にもさまざまな場面で述語論理やその拡張・変形が 用いられている．
（京都大学、高崎金久）
然るに、
（29）
「大学の先生（国語学者）」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
④ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
といふ「論理式」が、さうであるところの、「述語論理」には「関心」が無いし、
「大学の先生（数学者・論理学者）」は、
日本語には、「象は鼻が長い」や「日本は温泉が多い」など、「○○は××が……」のように二重に主語があるように見える文が多くあります。
といふ「象鼻文」には、「関心」が無い。
令和０２年０４月１８日、毛利太。
― 以前にも書いたものの、―
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ ３＆Ｅ
６ （６） 長ａ Ａ
６ （７） ～～長ａ ６ＤＮ
３６ （８） ～（～象ｂ＆鼻ａｂ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） 象ｂ∨～鼻ａｂ ８ド・モルガンの法則
ア （ア） 象ｂ Ａ
ア （イ） ～～象ａ アＤＮ
ア （ウ） ～～象ａ∨～鼻ａｂ イ∨Ｉ
エ （エ） ～鼻ａｂ Ａ
エ （オ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ エ∨Ｉ
３６ （カ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ ９アウエオ∨Ｅ
３６ （キ） ～象ｂ→～鼻ａｂ カ含意の定義
３ （ク） 長ａ→（～象ｂ→～鼻ａｂ） ６キＣＰ
ケ（ケ） 長ａ＆ ～象ｂ Ａ
ケ（コ） 長ａ ケ＆Ｅ
３ ケ（サ） ～象ｂ→～鼻ａｂ クコＭＰＰ
ケ（シ） ～象ｂ ケ＆Ｅ
３ ケ（ス） ～鼻ａｂ サシＭＰＰ
３ （セ） 長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ ケスＣＰ
３ （ソ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ） ４セ＆Ｉ
３ （タ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ ソＥＩ
１ （チ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ ２３タＥＥ
１ （ツ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝ チＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） 長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
６ （６） 鼻ａｂ Ａ
６ （７） ～～鼻ａｂ ６ＤＮ
３６ （８） ～（長ａ＆～象ｂ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） ～長ａ∨ 象ｂ ８ド・モルガンの法則
３６ （ア） 象ａ∨～長ａ ９交換法則
イ （イ） 象ａ Ａ
イ （ウ） ～～象ａ イＤＮ
イ （エ） ～～象ａ∨～長ａ ウ∨Ｉ
オ （オ） ～長ａ Ａ
オ （カ） ～～象ａ∨～長ａ オ∨Ｉ
３６ （キ） ～～象ａ∨～長ａ アイエオカ∨Ｅ
３６ （ク） ～象ａ→～長ａ キ含意の定義
３ （ケ） 鼻ａｂ→（～象ａ→～長ａ） ６クＣＰ
コ（コ） ～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
コ（サ） 鼻ａｂ コ＆Ｅ
３ コ（シ） ～象ａ→～長ａ ケサＭＰＰ
コ（ス） ～象ｂ コ＆Ｅ
３ コ（セ） ～長ａ シスＭＰＰ
３ （ソ） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ コセＣＰ
３ （タ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ４ソ＆Ｉ
３ （チ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ タＥＩ
１ （ツ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ ２３チＥＥ
１ （テ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ ツＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙが象でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふことは、
① 鼻は象は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ「意味」である。
（04）
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝⇔
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙが象でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
といふことは、
② 鼻は象は長く、象以外の動物で、ある部分が長いならば、鼻以外の、例へば、耳が長い。
② 鼻は象は長く、象以外の動物で、ある部分が長いならば、鼻以外の、例へば、顔が長い。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
｛象、兎、馬｝を、｛変域（ドメイン）｝とすると、
① 鼻は象が長く、
② 耳は兎が長く、
③ 顔は馬が長い。
といふ「日本語」は、「正しい」。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 鼻は象が長い。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
― 昨日（令和２年２月１７日）も書いたものの、―
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ ２量化子の関係
４ （４） ∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ Ａ
４ （５） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆ （～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）｝ ４ＵＥ
４ （６） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）→～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ６含意の定義
８ （８） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ） Ａ
４８ （９） ～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ４８ＭＰＰ
４８ （ア） ～｛～（～象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ｝ ９含意の定義
４８ （イ） （～象ｂ＆鼻ａｂ）＆ 長ａ アド・モルガンの法則
４８ （ウ） （～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） イ結合法則
４ （エ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）→（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ８ウＣＰ
４ （オ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） エ含意の定義
カ （カ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ） Ａ
カ （キ） ～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨長ａ） カ含意の定義
カ （ク） （鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ａ キ、ド・モルガンの法則
カ （ケ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ） ク結合法則
カ （コ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ケ∨Ｉ
サ（サ） （～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） Ａ
サ（シ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） サ∨Ｉ
４ （ス） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） オカコサシ∨Ｅ
４ （セ） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ａ）｝ スＵＩ
４ （ソ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ セＥＩ
１ （タ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ ３４ソＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ａ）｝ Ａ
２ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ｂ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ２ＵＥ
４ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ｂ） Ａ
４ （５） （鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ｂ ４結合法則
４ （６） ～～｛（鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ｂ｝ ５ＤＮ
４ （７） ～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨ 長ｂ｝ ６ド・モルガンの法則
４ （８） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ） ７含意の定義
４ （９） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ８∨Ｉ
ア （ア） （～象ｂ＆鼻ａｂ ＆長ａ） Ａ
ア （イ） （～象ｂ＆鼻ａｂ）＆長ａ ア結合法則
ア （ウ） ～～｛（～象ｂ＆鼻ａｂ）＆長ａ｝ イＤＮ
ア （エ） ～｛～（象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ｝ ウ、ド・モルガンの法則
ア （カ） ～（象ｂ＆鼻ａｂ →～長ａ） エ、含意の定義
ア （キ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） カ∨Ｉ
２ （ク） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ３４９アキ∨Ｅ
２ （ケ） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆ （～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）｝ ク、ド・モルガンの法則
２ （コ） ∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ ケＵＩ
２ （サ） ～∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ コ量化子の関係
２ （シ）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ サＵＩ
２ （ス）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ シ量化子の関係
１ （セ）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ｘ）｝ １２スＥＥ
従って、
（07）により、
（08）
③ ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
④ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
に於いて、すなはち、
③「すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。」といふわけではない。
④「あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなく、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い。」
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（09）
④「あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなくて、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い）。」
といふことは、
④（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
といふことである。
然るに、
（10）
① 鼻は象が長い。
④（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
に於いて、
① と ④ は、「矛盾」する。
従って、
（11）
① 鼻は、象が長い。
④（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
に於いて、
① の「否定」は、④ であって、
④ の「否定」は、① である。
従って、
（06）～（11）により、
（12）
① 鼻は象が長い。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立し、
③ 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔
③ ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
④ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝⇔
④ あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなく、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い）。
といふ「等式」が、成立し、
① の「否定」は、③ であって、
③ の「否定」は、① である。
然るに、
（13）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
に於いて、
鼻⇒□
象⇒鼻
□⇒象
といふ「置換（Replacement）」を行ふと、
② ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘｙ＆鼻ｙ→長ｘ）＆（～鼻ｙ＆象ｘｙ→～長ｘ）｝
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの象であって、ｙが鼻ならば、ｘは長く、ｙが鼻ではなく、ｘがｙの象ならば、ｘは長くない。
といふ「論理式」になる。
然るに、
（14）
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの象であって、ｙが鼻ならば、ｘは長く、ｙが鼻ではなく、ｘがｙの象ならば、ｘは長くない。
といふことは、
ｘ＝象
ｙ＝鼻
といふことであって、それ故、
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの象であって、ｙが鼻ならば、象は長く、ｙが鼻ではなく、ｘがｙの象ならば、象は長くない。
といふことになる。
然るに、
（15）
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② 象は、鼻が長く、鼻以外は長くない。
と言ってゐるのであって、
② 象は長い。
② 象は長くない。
とは、言っていない。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は象は長く。象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「論理式」は、「真（本当）」であるが、
② 象は鼻が長い。⇔
② ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘｙ＆鼻ｙ→長ｘ）＆（～鼻ｙ＆象ｘｙ→～長ｘ）｝
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの象であって、ｙが鼻ならば、ｘは長く、ｙが鼻ではなく、ｘがｙの象ならば、ｘは長くない。
といふ「論理式」は、「偽（ウソ）」である。
然るに、
（17）
― 何度も、書いてゐるやうに、―
③ 象は鼻が長い。⇔
③ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（18）
④ （象は鼻が長い。）といふわけではない。
ではなく、
④ 象は（鼻が長い。）といふわけではない。
であれば、
④ ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
といふ「論理式」に、対応する。
然るに、
（19）
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５含意の定義
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１３７ （８） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８ＭＰＰ
１３７ （９） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８量化子の関係
ア （ア） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ア （イ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ア含意の定義
ア （ウ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ イ、ド・モルガンの法則
ア （エ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウＥＩ
１３７ （オ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９アエＥＥ
１３ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ７オＣＰ
１ （キ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３カＣＰ
ク（ク） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
ク（ケ） 象ａ ク＆Ｅ
１ ク（コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） キケＭＰＰ
ク（サ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ク＆Ｅ
１ ク（シ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） コサＭＰＰ
１ （ス） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クシＣＰ
１ （セ）∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ スＵＩ
（ⅴ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３４ （５） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
１３４ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２５ＭＰＰ
７（７） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
７（８） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
７（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ８含意の定義
７（ア） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ＥＩ
１３４ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６７アＥＥ
１３４ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ウＣＰ
１３ （オ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ含意の定義
１３ （カ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ オ、ド・モルガンの法則
１ （キ） 象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３カＣＰ
１ （ク）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ キＵＩ
従って、
（19）により、
（20）
④ ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（21）
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
といふことは、
⑤ 象は鼻は長いが、鼻以外（例へば、耳）も長い。
といふことである。
従って、
（17）～（21）により、
（22）
④ 象は（鼻が長い。）といふわけではない。⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
⑤ ∀ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ⇔
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（01）～（22）により、
（23）
「番号」を付け直すと、
① 象は鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
③ 象は（鼻が長い。）といふわけではない。
④ （鼻は象が長い。）といふわけではない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
④ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
といふ「述語論理式」に、対応する。
然るに、
（24）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
といふ「論理式」は、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「意味」である。
然るに、
（25）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふことは、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 鼻は、象は長く、象以外は長くない。
といふことである。
従って、
（23）（24）（25）により、
（26）
③ Ａは、ＢがＣである。
といふ「日本語」は、いづれにせよ、
③ Ａは、ＢはＣであり、Ｂ以外はＣではない。
といふ「意味」である。
然るに、
（27）
日本語には、「象は鼻が長い」や「日本は温泉が多い」など、「○○は××が……」のように二重に主語があるように見える文が多くあります。また、主語だけでなく、「この本は、父が買ってくれました」の「この本は」のように「買う」という動詞の目的語が「は」で示されているように見える文もあります。三上章のこの本は、そのような複雑な性質を持つ「…は…が…」の文（後にこの本の題名にちなんで「象鼻文」とよく呼ばれるようになりました）の性質を、助詞「は」の「代行」の性質を使って明確に説明することでわかりやすく解説していくものです。
助詞「は」の代行の性質とは、たとえば、「大根は葉を捨てます」（料理番組）の場合、この「は」は「大根の葉」の「の」の代わり（代行）であるという考え方です。これによって、「象は鼻が長い」も「象の鼻が長いこと」の意味であり、「この本は父が買ってくれた」も「この本を父が買ってくれた」の意味であるという、簡単な説明ができるようになるのです。そして、なぜ代行するのかといいうと、それは、文の《題目》を示すためであるというふうに話が進行し、日本語には主語がなく、《題目》を中核とした言語であるという著者の主張が展開されていきます。日本語の「は」の性格を初めて明確化した著書として、この本は現在の学界でも広く知られています。
現在では三上の主張の、日本語には主語がないという部分については否定的な見解が多くなっていますが、この書で三上が提議した諸問題は、三上の説がそのまま受け入れられている部分が多く、日本語文法研究における「題目」の概念の研究書として第一に上げられるものです。
（象は鼻が長い - 青山学院大学 文学部）
然るに、
（28）
述語論理はもともと数学の理論の記述を目的として生まれたもので， どのような数学的内容も記述できることが経験的に知られている． この高い記述能力は数学以外の知識体系にも応用できる可能性を示している． たとえば，計算機プログラミングの基本的形態の一つである「論理プログラミング」 は基本的には述語論理の考え方を応用したものである．計算機科学では 論理プログラミング以外にもさまざまな場面で述語論理やその拡張・変形が 用いられている．
（京都大学、高崎金久）
然るに、
（29）
「大学の先生（国語学者）」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
④ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
といふ「論理式」が、さうであるところの、「述語論理」には「関心」が無いし、
「大学の先生（数学者・論理学者）」は、
日本語には、「象は鼻が長い」や「日本は温泉が多い」など、「○○は××が……」のように二重に主語があるように見える文が多くあります。
といふ「象鼻文」には、「関心」が無い。
令和０２年０４月１８日、毛利太。
2020年4月17日金曜日
「日本語基礎講座 三上文法入門、６５・６６頁」
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１２ （４） Ｑ １２ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ３６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３）～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② は、「対偶(Contraposition）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｑ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｑ
に於いて、
①＝② は、「対偶(Contraposition）」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
①（ Ｐ→ Ｑ）＆（ Ｑ→ Ｐ）
②（～Ｑ→～Ｐ）＆（ Ｑ→ Ｐ）
③（ Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
④（～Ｑ→～Ｐ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（04）
（05）
①（ 私→ 幹）＆（ 幹→ 私）
②（～幹→～私）＆（ 幹→ 私）
③（ 私→ 幹）＆（～私→～幹）
④（～幹→～私）＆（～私→～幹）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（05）により、
（06）
①（ 私ならば 幹事）＆（ 幹事ならば 私）
②（～幹事ならば～私）＆（ 幹事ならば 私）
③（ 私ならば 幹事）＆（～私ならば～幹事）
④（～幹事ならば～私）＆（～私ならば～幹事）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を変へると、
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（08）
無題化というのは、「Ⅹは」の「は」を消すことですから、センテンスの形のままでもできないことはありませんが、センテンスの形では、本当に無題になりきらない場合も起こります。たとえば。
私は、幹事です。
私が、幹事です。
のように、「は」を消しても、センテンスの意味は、
幹事は、私です。
というのに近く、題が文中の別の箇所に移り隠れたにすぎません。つまり、本当には無題化していないわけです。
（山崎紀美子、日本語基礎講座 三上文法入門、2003年、６５・６６頁）
然るに、
（07）（08）により、
（09）
私は、幹事です。
私が、幹事です。
のように、「は」を消しても、センテンスの意味は、
幹事は、私です。
というのに近い。といふことは、
① 私が、幹事です。
といふ「日本語の意味」が、
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
といふ「日本語の意味」に、近いといふことであって、尚且つ、
②＝③ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
山崎先生は、
① 私が、幹事です。
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
に於いて、
①＝②＝③ ではないにしても、
①≒②≒③ である。
と、言ってゐる。
然るに、
（11）
②「私」は
②「私以外にはゐない。」
従って、
（12）
②「幹事は私です。」
と言ふのあれば、必然的に、
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
といふ、「意味」になる。
然るに、
（13）
③（その場に於いて、）私以外にも幹事がゐる。
にも拘らず、
① 私が幹事です。
と、言ふことは、有り得ない。
従って、
（08）～（13）により、
（14）
実際には、
① 私が、幹事です。
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
に於いて、
①≒②≒③ ではなく、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）（14）により、
（15）
ただ単に、
① 私が、幹事です。
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことを、「確認」すれば、良いだけなのであって、
私が、幹事です。
のように、「は」を消しても、センテンスの意味は、
幹事は、私です。
というのに近く、題が文中の別の箇所に移り隠れたにすぎません。つまり、本当には無題化していないわけです。
といふ風に、言はなければならない「必要」などは、無いはずである。
（16）
① 象は、鼻が長い。
② 鼻が長い象。
③ 象の長い鼻。
④ 象の鼻が長いコト。
に於いて、
① 象は は、「題」である。
② 象が は、「題」ではない。
③ 象の は、「題」ではない。
④ 象の は、「題」ではない。
従って、
（16）により、
（17）
① 象は、鼻が長い。
に対して、
② 鼻が長い象。
③ 象の長い鼻。
④ 象の鼻が長いコト。
は、「無題」なので、「無題化」である。
として、「そうのやうに、言った」ところで、
「何か、良いことが有るのか。」といふ風に、私は、言ひたい。
令和０２年０４月１７日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１２ （４） Ｑ １２ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ３６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３）～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② は、「対偶(Contraposition）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｑ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｑ
に於いて、
①＝② は、「対偶(Contraposition）」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
①（ Ｐ→ Ｑ）＆（ Ｑ→ Ｐ）
②（～Ｑ→～Ｐ）＆（ Ｑ→ Ｐ）
③（ Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
④（～Ｑ→～Ｐ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（04）
（05）
①（ 私→ 幹）＆（ 幹→ 私）
②（～幹→～私）＆（ 幹→ 私）
③（ 私→ 幹）＆（～私→～幹）
④（～幹→～私）＆（～私→～幹）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（05）により、
（06）
①（ 私ならば 幹事）＆（ 幹事ならば 私）
②（～幹事ならば～私）＆（ 幹事ならば 私）
③（ 私ならば 幹事）＆（～私ならば～幹事）
④（～幹事ならば～私）＆（～私ならば～幹事）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を変へると、
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（08）
無題化というのは、「Ⅹは」の「は」を消すことですから、センテンスの形のままでもできないことはありませんが、センテンスの形では、本当に無題になりきらない場合も起こります。たとえば。
私は、幹事です。
私が、幹事です。
のように、「は」を消しても、センテンスの意味は、
幹事は、私です。
というのに近く、題が文中の別の箇所に移り隠れたにすぎません。つまり、本当には無題化していないわけです。
（山崎紀美子、日本語基礎講座 三上文法入門、2003年、６５・６６頁）
然るに、
（07）（08）により、
（09）
私は、幹事です。
私が、幹事です。
のように、「は」を消しても、センテンスの意味は、
幹事は、私です。
というのに近い。といふことは、
① 私が、幹事です。
といふ「日本語の意味」が、
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
といふ「日本語の意味」に、近いといふことであって、尚且つ、
②＝③ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
山崎先生は、
① 私が、幹事です。
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
に於いて、
①＝②＝③ ではないにしても、
①≒②≒③ である。
と、言ってゐる。
然るに、
（11）
②「私」は
②「私以外にはゐない。」
従って、
（12）
②「幹事は私です。」
と言ふのあれば、必然的に、
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
といふ、「意味」になる。
然るに、
（13）
③（その場に於いて、）私以外にも幹事がゐる。
にも拘らず、
① 私が幹事です。
と、言ふことは、有り得ない。
従って、
（08）～（13）により、
（14）
実際には、
① 私が、幹事です。
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
に於いて、
①≒②≒③ ではなく、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）（14）により、
（15）
ただ単に、
① 私が、幹事です。
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことを、「確認」すれば、良いだけなのであって、
私が、幹事です。
のように、「は」を消しても、センテンスの意味は、
幹事は、私です。
というのに近く、題が文中の別の箇所に移り隠れたにすぎません。つまり、本当には無題化していないわけです。
といふ風に、言はなければならない「必要」などは、無いはずである。
（16）
① 象は、鼻が長い。
② 鼻が長い象。
③ 象の長い鼻。
④ 象の鼻が長いコト。
に於いて、
① 象は は、「題」である。
② 象が は、「題」ではない。
③ 象の は、「題」ではない。
④ 象の は、「題」ではない。
従って、
（16）により、
（17）
① 象は、鼻が長い。
に対して、
② 鼻が長い象。
③ 象の長い鼻。
④ 象の鼻が長いコト。
は、「無題」なので、「無題化」である。
として、「そうのやうに、言った」ところで、
「何か、良いことが有るのか。」といふ風に、私は、言ひたい。
令和０２年０４月１７日、毛利太。
「鼻は象が長い」の「否定」の「述語論理」。
（01）
― 以前にも、書いたものの、―
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ ３＆Ｅ
６ （６） 長ａ Ａ
６ （７） ～～長ａ ６ＤＮ
３６ （８） ～（～象ｂ＆鼻ａｂ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） 象ｂ∨～鼻ａｂ ８ド・モルガンの法則
ア （ア） 象ｂ Ａ
ア （イ） ～～象ａ アＤＮ
ア （ウ） ～～象ａ∨～鼻ａｂ イ∨Ｉ
エ （エ） ～鼻ａｂ Ａ
エ （オ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ エ∨Ｉ
３６ （カ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ ９アウエオ∨Ｅ
３６ （キ） ～象ｂ→～鼻ａｂ カ含意の定義
３ （ク） 長ａ→（～象ｂ→～鼻ａｂ） ６キＣＰ
ケ（ケ） 長ａ＆ ～象ｂ Ａ
ケ（コ） 長ａ ケ＆Ｅ
３ ケ（サ） ～象ｂ→～鼻ａｂ クコＭＰＰ
ケ（シ） ～象ｂ ケ＆Ｅ
３ ケ（ス） ～鼻ａｂ サシＭＰＰ
３ （セ） 長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ ケスＣＰ
３ （ソ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ） ４セ＆Ｉ
３ （タ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ ソＥＩ
１ （チ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ ２３タＥＥ
１ （ツ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝ チＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） 長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
６ （６） 鼻ａｂ Ａ
６ （７） ～～鼻ａｂ ６ＤＮ
３６ （８） ～（長ａ＆～象ｂ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） ～長ａ∨ 象ｂ ８ド・モルガンの法則
３６ （ア） 象ａ∨～長ａ ９交換法則
イ （イ） 象ａ Ａ
イ （ウ） ～～象ａ イＤＮ
イ （エ） ～～象ａ∨～長ａ ウ∨Ｉ
オ （オ） ～長ａ Ａ
オ （カ） ～～象ａ∨～長ａ オ∨Ｉ
３６ （キ） ～～象ａ∨～長ａ アイエオカ∨Ｅ
３６ （ク） ～象ａ→～長ａ キ含意の定義
３ （ケ） 鼻ａｂ→（～象ａ→～長ａ） ６クＣＰ
コ（コ） ～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
コ（サ） 鼻ａｂ コ＆Ｅ
３ コ（シ） ～象ａ→～長ａ ケサＭＰＰ
コ（ス） ～象ｂ コ＆Ｅ
３ コ（セ） ～長ａ シスＭＰＰ
３ （ソ） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ コセＣＰ
３ （タ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ４ソ＆Ｉ
３ （チ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ タＥＩ
１ （ツ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ ２３チＥＥ
１ （テ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ ツＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙが象でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふことは、
① 鼻は象は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ「意味」である。
（04）
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝⇔
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙが象でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
といふことは、
② 鼻は象は長く、象以外の動物で、ある部分が長いならば、鼻以外の、例へば、耳が長い。
② 鼻は象は長く、象以外の動物で、ある部分が長いならば、鼻以外の、例へば、顔が長い。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
｛象、兎、馬｝を、｛変域（ドメイン）｝とすると、
① 鼻は象が長く、
② 耳は兎が長く、
③ 顔は馬が長い。
といふ「日本語」は、「正しい」。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は、象は長く、象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなくて、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
― 以前には書かなかったものの、―
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ ２量化子の関係
４ （４） ∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ Ａ
４ （５） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆ （～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）｝ ４ＵＥ
４ （６） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）→～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ６含意の定義
８ （８） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ） Ａ
４８ （９） ～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ４８ＭＰＰ
４８ （ア） ～｛～（～象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ｝ ９含意の定義
４８ （イ） （～象ｂ＆鼻ａｂ）＆ 長ａ アド・モルガンの法則
４８ （ウ） （～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） イ結合法則
４ （エ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）→（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ８ウＣＰ
４ （オ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） エ含意の定義
カ （カ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ） Ａ
カ （キ） ～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨長ａ） カ含意の定義
カ （ク） （鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ａ キ、ド・モルガンの法則
カ （ケ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ） ク結合法則
カ （コ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ケ∨Ｉ
サ（サ） （～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） Ａ
サ（シ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） サ∨Ｉ
４ （ス） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） オカコサシ∨Ｅ
４ （セ） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ａ）｝ スＵＩ
４ （ソ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ セＥＩ
１ （タ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ ３４ソＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ａ）｝ Ａ
２ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ｂ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ２ＵＥ
４ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ｂ） Ａ
４ （５） （鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ｂ ４結合法則
４ （６） ～～｛（鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ｂ｝ ５ＤＮ
４ （７） ～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨ 長ｂ｝ ６ド・モルガンの法則
４ （８） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ） ７含意の定義
４ （９） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ８∨Ｉ
ア （ア） （～象ｂ＆鼻ａｂ ＆長ａ） Ａ
ア （イ） （～象ｂ＆鼻ａｂ）＆長ａ ア結合法則
ア （ウ） ～～｛（～象ｂ＆鼻ａｂ）＆長ａ｝ イＤＮ
ア （エ） ～｛～（象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ｝ ウ、ド・モルガンの法則
ア （カ） ～（象ｂ＆鼻ａｂ →～長ａ） エ、含意の定義
ア （キ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） カ∨Ｉ
２ （ク） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ３４９アキ∨Ｅ
２ （ケ） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆ （～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）｝ ク、ド・モルガンの法則
２ （コ） ∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ ケＵＩ
２ （サ） ～∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ コ量化子の関係
２ （シ）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ サＵＩ
２ （ス）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ シ量化子の関係
１ （セ）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ｘ）｝ １２スＥＥ
従って、
（07）により、
（08）
① ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
② ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
に於いて、すなはち、
①「すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。」といふわけではない。
②「あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなく、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い。」
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
②「あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなくて、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い）。」
といふことは、
②（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
といふことである。
然るに、
（10）
① 鼻は、象が長い。
②（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
に於いて、
① と ② は「矛盾」する。
従って、
（10）により、
（11）
① 鼻は、象が長い。
②（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
に於いて、
① の「否定」は、② であって、
② の「否定」は、① である。
従って、
（06）（11）により、
（12）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は、象は長く、象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立し、
② 鼻は象が長い。といふわけでない。⇔
② 鼻は、象は長く、象以外は長くない。といふわけではない。⇔
② ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝⇔
② あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなくて、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い）。
といふ「等式」が、成立する。
令和０２年０４月１７日、毛利太。
― 以前にも、書いたものの、―
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ ３＆Ｅ
６ （６） 長ａ Ａ
６ （７） ～～長ａ ６ＤＮ
３６ （８） ～（～象ｂ＆鼻ａｂ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） 象ｂ∨～鼻ａｂ ８ド・モルガンの法則
ア （ア） 象ｂ Ａ
ア （イ） ～～象ａ アＤＮ
ア （ウ） ～～象ａ∨～鼻ａｂ イ∨Ｉ
エ （エ） ～鼻ａｂ Ａ
エ （オ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ エ∨Ｉ
３６ （カ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ ９アウエオ∨Ｅ
３６ （キ） ～象ｂ→～鼻ａｂ カ含意の定義
３ （ク） 長ａ→（～象ｂ→～鼻ａｂ） ６キＣＰ
ケ（ケ） 長ａ＆ ～象ｂ Ａ
ケ（コ） 長ａ ケ＆Ｅ
３ ケ（サ） ～象ｂ→～鼻ａｂ クコＭＰＰ
ケ（シ） ～象ｂ ケ＆Ｅ
３ ケ（ス） ～鼻ａｂ サシＭＰＰ
３ （セ） 長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ ケスＣＰ
３ （ソ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ） ４セ＆Ｉ
３ （タ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ ソＥＩ
１ （チ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ ２３タＥＥ
１ （ツ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝ チＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） 長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
６ （６） 鼻ａｂ Ａ
６ （７） ～～鼻ａｂ ６ＤＮ
３６ （８） ～（長ａ＆～象ｂ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） ～長ａ∨ 象ｂ ８ド・モルガンの法則
３６ （ア） 象ａ∨～長ａ ９交換法則
イ （イ） 象ａ Ａ
イ （ウ） ～～象ａ イＤＮ
イ （エ） ～～象ａ∨～長ａ ウ∨Ｉ
オ （オ） ～長ａ Ａ
オ （カ） ～～象ａ∨～長ａ オ∨Ｉ
３６ （キ） ～～象ａ∨～長ａ アイエオカ∨Ｅ
３６ （ク） ～象ａ→～長ａ キ含意の定義
３ （ケ） 鼻ａｂ→（～象ａ→～長ａ） ６クＣＰ
コ（コ） ～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
コ（サ） 鼻ａｂ コ＆Ｅ
３ コ（シ） ～象ａ→～長ａ ケサＭＰＰ
コ（ス） ～象ｂ コ＆Ｅ
３ コ（セ） ～長ａ シスＭＰＰ
３ （ソ） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ コセＣＰ
３ （タ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ４ソ＆Ｉ
３ （チ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ タＥＩ
１ （ツ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ ２３チＥＥ
１ （テ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ ツＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙが象でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふことは、
① 鼻は象は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ「意味」である。
（04）
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝⇔
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙが象でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
といふことは、
② 鼻は象は長く、象以外の動物で、ある部分が長いならば、鼻以外の、例へば、耳が長い。
② 鼻は象は長く、象以外の動物で、ある部分が長いならば、鼻以外の、例へば、顔が長い。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
｛象、兎、馬｝を、｛変域（ドメイン）｝とすると、
① 鼻は象が長く、
② 耳は兎が長く、
③ 顔は馬が長い。
といふ「日本語」は、「正しい」。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は、象は長く、象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなくて、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
― 以前には書かなかったものの、―
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ ２量化子の関係
４ （４） ∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ Ａ
４ （５） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆ （～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）｝ ４ＵＥ
４ （６） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）→～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ６含意の定義
８ （８） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ） Ａ
４８ （９） ～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ４８ＭＰＰ
４８ （ア） ～｛～（～象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ｝ ９含意の定義
４８ （イ） （～象ｂ＆鼻ａｂ）＆ 長ａ アド・モルガンの法則
４８ （ウ） （～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） イ結合法則
４ （エ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）→（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ８ウＣＰ
４ （オ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） エ含意の定義
カ （カ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ） Ａ
カ （キ） ～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨長ａ） カ含意の定義
カ （ク） （鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ａ キ、ド・モルガンの法則
カ （ケ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ） ク結合法則
カ （コ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ケ∨Ｉ
サ（サ） （～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） Ａ
サ（シ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） サ∨Ｉ
４ （ス） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） オカコサシ∨Ｅ
４ （セ） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ａ）｝ スＵＩ
４ （ソ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ セＥＩ
１ （タ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ ３４ソＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ａ）｝ Ａ
２ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ｂ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ２ＵＥ
４ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ｂ） Ａ
４ （５） （鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ｂ ４結合法則
４ （６） ～～｛（鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ｂ｝ ５ＤＮ
４ （７） ～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨ 長ｂ｝ ６ド・モルガンの法則
４ （８） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ） ７含意の定義
４ （９） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ８∨Ｉ
ア （ア） （～象ｂ＆鼻ａｂ ＆長ａ） Ａ
ア （イ） （～象ｂ＆鼻ａｂ）＆長ａ ア結合法則
ア （ウ） ～～｛（～象ｂ＆鼻ａｂ）＆長ａ｝ イＤＮ
ア （エ） ～｛～（象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ｝ ウ、ド・モルガンの法則
ア （カ） ～（象ｂ＆鼻ａｂ →～長ａ） エ、含意の定義
ア （キ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） カ∨Ｉ
２ （ク） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ３４９アキ∨Ｅ
２ （ケ） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆ （～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）｝ ク、ド・モルガンの法則
２ （コ） ∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ ケＵＩ
２ （サ） ～∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ コ量化子の関係
２ （シ）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ サＵＩ
２ （ス）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ シ量化子の関係
１ （セ）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ｘ）｝ １２スＥＥ
従って、
（07）により、
（08）
① ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
② ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
に於いて、すなはち、
①「すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。」といふわけではない。
②「あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなく、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い。」
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
②「あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなくて、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い）。」
といふことは、
②（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
といふことである。
然るに、
（10）
① 鼻は、象が長い。
②（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
に於いて、
① と ② は「矛盾」する。
従って、
（10）により、
（11）
① 鼻は、象が長い。
②（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
に於いて、
① の「否定」は、② であって、
② の「否定」は、① である。
従って、
（06）（11）により、
（12）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は、象は長く、象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立し、
② 鼻は象が長い。といふわけでない。⇔
② 鼻は、象は長く、象以外は長くない。といふわけではない。⇔
② ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝⇔
② あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなくて、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い）。
といふ「等式」が、成立する。
令和０２年０４月１７日、毛利太。
2020年4月16日木曜日
「象は鼻が長い」の「述語論理」の「説明」（Ⅱ）。
（01）
「昨日（令和０２年０４月１５日）の記事」に於ける、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふことは、
① 象は耳は長く、鼻以外は長くない。
といふ、「意味」である。
となっていたのは、もちろん、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
は、「マチガイ」です。
（02）
① ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
② ∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
①＝②＝③ であるため、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝②＝③ であるものの、
① と「等値（同じ）」である「論理式」は、他にも有ります。
（03）
① ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
② ∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」であるので、
①＝② は、「当然」です。
（04）
② ∀ｚ（長ｚ→ 鼻ｚｘ）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
②＝③ であることも、この時点で既に、「当然」ではあるものの、「証明」は、次のやうになります。
（05）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｚ（長ｚ→ 鼻ｚｘ） Ａ
１ （２） 長ａ→ 鼻ａｘ １ＵＥ
３ （３） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） Ａ
４（４） ～鼻ａｘ＆長ａ Ａ
４（５） 長ａ ４＆Ｅ
１ ４（６） 鼻ａｘ ２５ＭＰＰ
４（７） ～鼻ａｘ ４＆Ｅ
１ ４（８） 鼻ａｘ＆～鼻ａｘ ６７＆Ｉ
１３ （９） 鼻ａｘ＆～鼻ａｘ ３４８ＥＥ
１ （ア）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） ３９ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） Ａ
１ （２）∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ） １量化子の関係
１ （３） ～（～鼻ａｘ＆長ａ） １ＵＥ
４ （４） 長ａ Ａ
５（５） ～鼻ａｘ Ａ
４５（６） ～鼻ａｘ＆長ａ ４５＆Ｉ
１４５（７） ～（～鼻ａｘ＆長ａ）＆
（～鼻ａｘ＆長ａ） ３６＆Ｉ
１４ （８） ～～鼻ａｘ ５７ＲＡＡ
１４ （９） 鼻ａｘ ８ＤＮ
１ （ア） 長ａ→ 鼻ａｘ ４９ＣＰ
１ （イ） ∀ｚ（長ｚ→ 鼻ｚｘ） アＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
② ∀ｚ（長ｚ→ 鼻ｚｘ）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
② ならば、③ であり、
③ ならば、② である。
従って、
（06）により、
（07）
② ∀ｚ（長ｘ→ 鼻ｚｘ）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（07）により、
（08）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（09）
（05）に於いて、
（ⅱ）
１ （１）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） Ａ
１ （２）∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ） １量化子の関係
である。といふことは、
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
④ ∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１ （１）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） Ａ
２（２） ～鼻ａｘ＆長ａ Ａ
２（３） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） ２ＥＩ
１２（４）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆
∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） １３＆Ｉ
１ （５） ～（～鼻ａｘ＆長ａ） ２４ＲＡＡ
１ （６）∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ） ５ＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ） Ａ
１ （２） ～（～鼻ａｘ＆長ａ） １ＵＥ
３ （３） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） Ａ
４（４） ～鼻ａｘ＆長ａ Ａ
１ ４（５） ～（～鼻ａｘ＆長ａ）＆
（～鼻ａｘ＆長ａ） ２４＆Ｉ
１３ （６） ～（～鼻ａｘ＆長ａ）＆
（～鼻ａｘ＆長ａ） ３４５ＥＥ
１ （７）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） ３６ＲＡＡ
従って、
（10）により、
（11）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
④ ∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
③ ならば、④ であり、
④ ならば、③ である。
従って、
（11）により、
（12）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
④ ∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）～（12）により、
（13）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、ｘの鼻ではなくて、長いｚは、存在しない｝。
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（14）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、ｘの鼻ではなくて、長いｚは、存在しない｝。
といふことは、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことである。
然るに、
（15）
① 鼻以外は長くない。
といふのであれば、
② 長いならば、鼻以外ではない。
然るに、
（16）
① 長いならば、鼻以外ではない。
といふことは、
② 長いならば、鼻である。
といふことである。
従って、
（15）（16）により、
（17）
① 鼻以外は長くない。
の「対偶（Contraposition）」は、
② 長いならば鼻である。
でなければ、ならない。
ｃｆ.
（ⅰ）
１ （１）∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） Ａ
１ （２） ～鼻ａｘ→～長ａ １ＵＥ
３（３） 長ａ Ａ
３（４） ～～長ａ ３ＤＮ
１３（５） ～～鼻ａｘ ２４ＭＴＴ
１３（６） 鼻ａｘ ５ＤＮ
１ （７） 長ａ→ 鼻ａｘ ３６ＣＰ
１ （８）∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ） ７ＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｚ（ 長ｘ→ 鼻ｚｘ） Ａ
１ （２） 長ａ→ 鼻ａｘ １ＵＥ
３（３） ～鼻ａｘ Ａ
１３（４） ～長ａ ２３ＭＴＴ
１ （５） ～鼻ａｘ→～長ａ ３４ＣＰ
１ （６）∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ５ＵＩ
従って、
（14）～（17）により、
（18）
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は鼻は長く、長いならば鼻である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（18）により、
（19）
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は鼻は長く、長いのは鼻である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（19）により、
（20）
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は鼻は長く、長いのは鼻である。
に於いて、
象＝タゴール記念会
鼻＝私
長いの＝理事長
といふ「代入（Substituition）」を行ふと、
① タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私です。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（21）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（20）（21）により、
（22）
「番号」を付け直すと、
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私です。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、長いのは鼻である。
③ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（15）～（23）により、
（24）
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
かどうかは、別にして、
② 理事長は私です。
の「対偶（Contraposition）」が、
③ 私以外は理事長ではない。
である。といふことに、気付いてゐれば、その時点で、三上章先生は、
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私です。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことに、気付くことが、出来たことになる。
従って、
（23）（24）により、
（25）
② 理事長は私です。
の「対偶（Contraposition）」が、
③ 私以外は理事長ではない。
である。といふことに、気付いてゐなかったが故に、三上章先生は、
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、長いのは鼻である。
③ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことに、気付けなかった。
然るに、
（26）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
然るに、
（27）
「象は鼻が長い」といふ「日本語」が、
「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」
といふ「意味」であるならば、
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長い｝。
であって、
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
ではない。
然るに、
（28）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
キ（キ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （ク） ∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） ～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ケ＆Ｅ
キ（サ） 耳ｂａ キ＆Ｅ
２ ６ キ（シ） ～鼻ｂａ コサＭＰＰ
１２ ６ キ（ス） ～長ｂ オシＭＰＰ
ウ （セ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ウ （タ） 長ｂ＆～長ｂ カキソＥＥ
１２ ６ （チ） 長ｂ＆～長ｂ イウタＥＥ
１２３ （ツ） 長ｂ＆～長ｂ ３６チＥＥ
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
１２ （ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） テ量化子の関係
１２ （ナ） ～（象ａ＆兎ａ） トＵＥ
１２ （ニ） ～象ａ∨～兎ａ ナ、ド・モルガンの法則
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ交換法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 ネＵＩ
といふ「証明」に於いて、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
ではなく、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
であるとすると、
（29）
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ キ（シ） ～鼻ｂａ コサＭＰＰ
１２ ６ キ（ス） ～長ｂ オシＭＰＰ
といふ「計算」が出来なくなり、それ故、
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ウ （タ） 長ｂ＆～長ｂ カキソＥＥ
１２ ６ （チ） 長ｂ＆～長ｂ イウタＥＥ
１２３ （ツ） 長ｂ＆～長ｂ ３６チＥＥ
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
といふ「計算」も出来なくなり、それ故、
１２ （ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） テ量化子の関係
１２ （ナ） ～（象ａ＆兎ａ） トＵＥ
１２ （ニ） ～象ａ∨～兎ａ ナ、ド・モルガンの法則
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ交換法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 ネＵＩ
といふ「計算」も出来ない。
従って、
（26）～（29）により、
（30）
「象は鼻が長い」といふ「日本語」は、
「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」
といふ「意味」ではない。
従って、
（26）（30）により、
（31）
「沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説」は、「象は鼻が長い」といふ「日本語」に対しては、「正しい解説」には、なってゐない。
然るに、
（32）
いづれにせよ、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。従って、
③ 象は兎でない。
といふ「推論（証明）」は、「明らかに、妥当」である。
従って、
（02）～（32）により、
（33）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。従って、
③ 象は兎でない。
といふ「推論（証明）」を、「妥当」である。
とする一方で、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」を、「否定」すること、出来ない。
（34）
本書第二章は、『象は鼻が長い』の一章と二章を要約して掲載してあります（山崎紀美子、日本語基礎講座 三上文法入門、2003年、１２頁）。
とあるものの、私は、それを読むと、「大変、イライラする」。
令和０２年０４月１６日、毛利太。
「昨日（令和０２年０４月１５日）の記事」に於ける、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふことは、
① 象は耳は長く、鼻以外は長くない。
といふ、「意味」である。
となっていたのは、もちろん、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
は、「マチガイ」です。
（02）
① ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
② ∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
①＝②＝③ であるため、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝②＝③ であるものの、
① と「等値（同じ）」である「論理式」は、他にも有ります。
（03）
① ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
② ∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」であるので、
①＝② は、「当然」です。
（04）
② ∀ｚ（長ｚ→ 鼻ｚｘ）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
②＝③ であることも、この時点で既に、「当然」ではあるものの、「証明」は、次のやうになります。
（05）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｚ（長ｚ→ 鼻ｚｘ） Ａ
１ （２） 長ａ→ 鼻ａｘ １ＵＥ
３ （３） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） Ａ
４（４） ～鼻ａｘ＆長ａ Ａ
４（５） 長ａ ４＆Ｅ
１ ４（６） 鼻ａｘ ２５ＭＰＰ
４（７） ～鼻ａｘ ４＆Ｅ
１ ４（８） 鼻ａｘ＆～鼻ａｘ ６７＆Ｉ
１３ （９） 鼻ａｘ＆～鼻ａｘ ３４８ＥＥ
１ （ア）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） ３９ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） Ａ
１ （２）∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ） １量化子の関係
１ （３） ～（～鼻ａｘ＆長ａ） １ＵＥ
４ （４） 長ａ Ａ
５（５） ～鼻ａｘ Ａ
４５（６） ～鼻ａｘ＆長ａ ４５＆Ｉ
１４５（７） ～（～鼻ａｘ＆長ａ）＆
（～鼻ａｘ＆長ａ） ３６＆Ｉ
１４ （８） ～～鼻ａｘ ５７ＲＡＡ
１４ （９） 鼻ａｘ ８ＤＮ
１ （ア） 長ａ→ 鼻ａｘ ４９ＣＰ
１ （イ） ∀ｚ（長ｚ→ 鼻ｚｘ） アＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
② ∀ｚ（長ｚ→ 鼻ｚｘ）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
② ならば、③ であり、
③ ならば、② である。
従って、
（06）により、
（07）
② ∀ｚ（長ｘ→ 鼻ｚｘ）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（07）により、
（08）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（09）
（05）に於いて、
（ⅱ）
１ （１）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） Ａ
１ （２）∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ） １量化子の関係
である。といふことは、
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
④ ∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１ （１）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） Ａ
２（２） ～鼻ａｘ＆長ａ Ａ
２（３） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） ２ＥＩ
１２（４）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆
∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） １３＆Ｉ
１ （５） ～（～鼻ａｘ＆長ａ） ２４ＲＡＡ
１ （６）∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ） ５ＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ） Ａ
１ （２） ～（～鼻ａｘ＆長ａ） １ＵＥ
３ （３） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） Ａ
４（４） ～鼻ａｘ＆長ａ Ａ
１ ４（５） ～（～鼻ａｘ＆長ａ）＆
（～鼻ａｘ＆長ａ） ２４＆Ｉ
１３ （６） ～（～鼻ａｘ＆長ａ）＆
（～鼻ａｘ＆長ａ） ３４５ＥＥ
１ （７）～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） ３６ＲＡＡ
従って、
（10）により、
（11）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
④ ∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
③ ならば、④ であり、
④ ならば、③ である。
従って、
（11）により、
（12）
③ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
④ ∀ｚ～（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）～（12）により、
（13）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、ｘの鼻ではなくて、長いｚは、存在しない｝。
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（14）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、ｘの鼻ではなくて、長いｚは、存在しない｝。
といふことは、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことである。
然るに、
（15）
① 鼻以外は長くない。
といふのであれば、
② 長いならば、鼻以外ではない。
然るに、
（16）
① 長いならば、鼻以外ではない。
といふことは、
② 長いならば、鼻である。
といふことである。
従って、
（15）（16）により、
（17）
① 鼻以外は長くない。
の「対偶（Contraposition）」は、
② 長いならば鼻である。
でなければ、ならない。
ｃｆ.
（ⅰ）
１ （１）∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） Ａ
１ （２） ～鼻ａｘ→～長ａ １ＵＥ
３（３） 長ａ Ａ
３（４） ～～長ａ ３ＤＮ
１３（５） ～～鼻ａｘ ２４ＭＴＴ
１３（６） 鼻ａｘ ５ＤＮ
１ （７） 長ａ→ 鼻ａｘ ３６ＣＰ
１ （８）∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ） ７ＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｚ（ 長ｘ→ 鼻ｚｘ） Ａ
１ （２） 長ａ→ 鼻ａｘ １ＵＥ
３（３） ～鼻ａｘ Ａ
１３（４） ～長ａ ２３ＭＴＴ
１ （５） ～鼻ａｘ→～長ａ ３４ＣＰ
１ （６）∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ５ＵＩ
従って、
（14）～（17）により、
（18）
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は鼻は長く、長いならば鼻である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（18）により、
（19）
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は鼻は長く、長いのは鼻である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（19）により、
（20）
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は鼻は長く、長いのは鼻である。
に於いて、
象＝タゴール記念会
鼻＝私
長いの＝理事長
といふ「代入（Substituition）」を行ふと、
① タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私です。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（21）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（20）（21）により、
（22）
「番号」を付け直すと、
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私です。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、長いのは鼻である。
③ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（15）～（23）により、
（24）
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
かどうかは、別にして、
② 理事長は私です。
の「対偶（Contraposition）」が、
③ 私以外は理事長ではない。
である。といふことに、気付いてゐれば、その時点で、三上章先生は、
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私です。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことに、気付くことが、出来たことになる。
従って、
（23）（24）により、
（25）
② 理事長は私です。
の「対偶（Contraposition）」が、
③ 私以外は理事長ではない。
である。といふことに、気付いてゐなかったが故に、三上章先生は、
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、長いのは鼻である。
③ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことに、気付けなかった。
然るに、
（26）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
然るに、
（27）
「象は鼻が長い」といふ「日本語」が、
「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」
といふ「意味」であるならば、
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長い｝。
であって、
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
ではない。
然るに、
（28）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
キ（キ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （ク） ∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） ～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ケ＆Ｅ
キ（サ） 耳ｂａ キ＆Ｅ
２ ６ キ（シ） ～鼻ｂａ コサＭＰＰ
１２ ６ キ（ス） ～長ｂ オシＭＰＰ
ウ （セ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ウ （タ） 長ｂ＆～長ｂ カキソＥＥ
１２ ６ （チ） 長ｂ＆～長ｂ イウタＥＥ
１２３ （ツ） 長ｂ＆～長ｂ ３６チＥＥ
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
１２ （ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） テ量化子の関係
１２ （ナ） ～（象ａ＆兎ａ） トＵＥ
１２ （ニ） ～象ａ∨～兎ａ ナ、ド・モルガンの法則
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ交換法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 ネＵＩ
といふ「証明」に於いて、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
ではなく、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
であるとすると、
（29）
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ キ（シ） ～鼻ｂａ コサＭＰＰ
１２ ６ キ（ス） ～長ｂ オシＭＰＰ
といふ「計算」が出来なくなり、それ故、
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ウ （タ） 長ｂ＆～長ｂ カキソＥＥ
１２ ６ （チ） 長ｂ＆～長ｂ イウタＥＥ
１２３ （ツ） 長ｂ＆～長ｂ ３６チＥＥ
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
といふ「計算」も出来なくなり、それ故、
１２ （ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） テ量化子の関係
１２ （ナ） ～（象ａ＆兎ａ） トＵＥ
１２ （ニ） ～象ａ∨～兎ａ ナ、ド・モルガンの法則
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ交換法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 ネＵＩ
といふ「計算」も出来ない。
従って、
（26）～（29）により、
（30）
「象は鼻が長い」といふ「日本語」は、
「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」
といふ「意味」ではない。
従って、
（26）（30）により、
（31）
「沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説」は、「象は鼻が長い」といふ「日本語」に対しては、「正しい解説」には、なってゐない。
然るに、
（32）
いづれにせよ、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。従って、
③ 象は兎でない。
といふ「推論（証明）」は、「明らかに、妥当」である。
従って、
（02）～（32）により、
（33）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。従って、
③ 象は兎でない。
といふ「推論（証明）」を、「妥当」である。
とする一方で、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」を、「否定」すること、出来ない。
（34）
本書第二章は、『象は鼻が長い』の一章と二章を要約して掲載してあります（山崎紀美子、日本語基礎講座 三上文法入門、2003年、１２頁）。
とあるものの、私は、それを読むと、「大変、イライラする」。
令和０２年０４月１６日、毛利太。
2020年4月15日水曜日
「象は鼻が長い」の「述語論理」の「説明」。
（01）
既に、何度も示してゐる、以下の「証明」を、「証明（１）」とする。
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
キ（キ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （ク） ∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） ～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ケ＆Ｅ
キ（サ） 耳ｂａ キ＆Ｅ
２ ６ キ（シ） ～鼻ｂａ コサＭＰＰ
１２ ６ キ（ス） ～長ｂ オシＭＰＰ
ウ （セ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ウ （タ） 長ｂ＆～長ｂ カキソＥＥ
１２ ６ （チ） 長ｂ＆～長ｂ イウタＥＥ
１２３ （ツ） 長ｂ＆～長ｂ ３６チＥＥ
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
１２ （ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） テ量化子の関係
１２ （ナ） ～（象ａ＆兎ａ） トＵＥ
１２ （ニ） ～象ａ∨～兎ａ ナ、ド・モルガンの法則
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ交換法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 ネＵＩ
（02）
「証明（１）」の「要点」は、
（Ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
といふ「３つの命題」を、「３つ」とも「真」であると「仮定」すると、
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
といふ「矛盾」が「生じる」ため、
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
といふ「命題」は、「背理法（ＲＡＡ）」によって、「偽」であるとされ、「仮定」から「除かれる」。
従って、
（Ⅰ）により、
（Ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
といふ「２つ」を、「真」であるとする限り、
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
といふ「命題」に関しては、「その否定」である、
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
が「真」になる。
然るに、
（Ⅲ）
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
は、「量化子の関係」により、
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
に「等しい」。
従って、
（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）により、
（Ⅳ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
といふ「２つの命題」から、
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
といふ「１つの命題」が、「演繹」される。
然るに、
（Ⅴ）
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
といふ「命題」は、
１２ （ノ）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 ネＵＩ
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
③ 兎は象ではない。
といふ「当り前」のことが、「真（本当）」であるためには、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「命題」も、「真（本当）」でなければ、ならない。
然るに、
（04）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふことは、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、「意味」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。従って、
③ 象は兎でない。
といふ「三段論法」が「妥当」であるためには、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」を、「必要」とする。
然るに、
（06）
「普通」は、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。従って、
③ 象は兎でない。
と言ふのであって、
① 象は鼻は長い。然るに、
② 兎は耳は長い。従って、
③ 象は兎でない。
とは、言はない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（06）（07）により、
（08）
６ 象は鼻が長い（「Ⅹの」代行）
「象の鼻」「京都の秋」「Ａ君の近所」などのように、「Ⅹのｘ」という形の語句を含むコトが、「Ⅹ」（象、京都、Ａ君）の性質や消息を表す場合には、その「Ⅹ」を題として取り立てることができます。
（山崎紀美子、日本語基礎講座 三上文法入門、2003年、８８頁）
といふことが、「本当であらうと、ウソであらうと」、
「普通」は、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。従って、
③ 象は兎でない。
と言ふのであって、
① 象は鼻は長い。然るに、
② 兎は耳は長い。従って、
③ 象は兎でない。
とは、言はない。
といふことを、「認める」のであれば、その人は、それと「同時」に、
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」も、認めざるを得ないのであって、さうでなければ、その人は、「述語論理」を、「学ぶ」ことは出来ても、「述語論理」を、「理解」することが出来ない人である。
といふことになる。
然るに、
（09）
その一方で、私自身は、
６ 象は鼻が長い（「Ⅹの」代行）
「象の鼻」「京都の秋」「Ａ君の近所」などのように、「Ⅹのｘ」という形の語句を含むコトが、「Ⅹ」（象、京都、Ａ君）の性質や消息を表す場合には、その「Ⅹ」を題として取り立てることができます。
「Ⅹのｘ」から無条件に「Ⅹは」が作られるものではありませんが、それでも「Ⅹの」を代行する「Ⅹは」はずいぶんとたくさんあります。
象の鼻が長くあるコト
象は、鼻が長いなあ！
（山崎紀美子、日本語基礎講座 三上文法入門、2003年、８８頁）
といふ「説明」を、何度読んでも、「全く、理解」出来ない。
（10）
① 象は動物である。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
といふ「命題」の、
① 動物ｘ
に対して、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
を、「代入（Substitute）」した「形」が、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「命題」である。
従って、
（10）により、
（11）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「観点」からすれば、
① 象は動物である。⇔ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② 象は鼻が長い。 ⇔ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於ける、
①「象は」と、
②「象は」は、「完全に、同じ」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
①「象は」といふ「日本語」は、
①「すべてのｘについて、ｘが象であるならば、」
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
「Ⅹは」は、すでに言ったように、「Ⅹについて言へば」というほどの切り出しであって、「Ⅹ」を題として提示しているのです。
然るに、
（14）
①「すべてのｘについて、が象であるならば、」といふことは、
①「すべてのｘが象であるとして、ｘについて言へば、」といふことである。
従って、
（10）（13）（14）により、
（15）
① 象は動物である。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
といふ「命題」であっても、
「Ⅹは」は「Ⅹについて言へば」といふ「意味」を含んでゐる。
しかしながら、
（16）
だからと言って、
「主語」といふ「分り易い言葉」を、
「Ⅹの」を代行する「Ⅹは」は「題」である。
といふ「分りにくい言ひ方」に「置き換へ」る「必要」があるのか、そのことが、私には、分からない。
令和０２年０４月１５日、毛利太。
既に、何度も示してゐる、以下の「証明」を、「証明（１）」とする。
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
キ（キ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （ク） ∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） ～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ケ＆Ｅ
キ（サ） 耳ｂａ キ＆Ｅ
２ ６ キ（シ） ～鼻ｂａ コサＭＰＰ
１２ ６ キ（ス） ～長ｂ オシＭＰＰ
ウ （セ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ウ （タ） 長ｂ＆～長ｂ カキソＥＥ
１２ ６ （チ） 長ｂ＆～長ｂ イウタＥＥ
１２３ （ツ） 長ｂ＆～長ｂ ３６チＥＥ
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
１２ （ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） テ量化子の関係
１２ （ナ） ～（象ａ＆兎ａ） トＵＥ
１２ （ニ） ～象ａ∨～兎ａ ナ、ド・モルガンの法則
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ交換法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 ネＵＩ
（02）
「証明（１）」の「要点」は、
（Ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
といふ「３つの命題」を、「３つ」とも「真」であると「仮定」すると、
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
といふ「矛盾」が「生じる」ため、
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
といふ「命題」は、「背理法（ＲＡＡ）」によって、「偽」であるとされ、「仮定」から「除かれる」。
従って、
（Ⅰ）により、
（Ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
といふ「２つ」を、「真」であるとする限り、
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
といふ「命題」に関しては、「その否定」である、
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
が「真」になる。
然るに、
（Ⅲ）
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
は、「量化子の関係」により、
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
に「等しい」。
従って、
（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）により、
（Ⅳ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
といふ「２つの命題」から、
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
といふ「１つの命題」が、「演繹」される。
然るに、
（Ⅴ）
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
といふ「命題」は、
１２ （ノ）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 ネＵＩ
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
③ 兎は象ではない。
といふ「当り前」のことが、「真（本当）」であるためには、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「命題」も、「真（本当）」でなければ、ならない。
然るに、
（04）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふことは、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、「意味」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。従って、
③ 象は兎でない。
といふ「三段論法」が「妥当」であるためには、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」を、「必要」とする。
然るに、
（06）
「普通」は、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。従って、
③ 象は兎でない。
と言ふのであって、
① 象は鼻は長い。然るに、
② 兎は耳は長い。従って、
③ 象は兎でない。
とは、言はない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（06）（07）により、
（08）
６ 象は鼻が長い（「Ⅹの」代行）
「象の鼻」「京都の秋」「Ａ君の近所」などのように、「Ⅹのｘ」という形の語句を含むコトが、「Ⅹ」（象、京都、Ａ君）の性質や消息を表す場合には、その「Ⅹ」を題として取り立てることができます。
（山崎紀美子、日本語基礎講座 三上文法入門、2003年、８８頁）
といふことが、「本当であらうと、ウソであらうと」、
「普通」は、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。従って、
③ 象は兎でない。
と言ふのであって、
① 象は鼻は長い。然るに、
② 兎は耳は長い。従って、
③ 象は兎でない。
とは、言はない。
といふことを、「認める」のであれば、その人は、それと「同時」に、
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」も、認めざるを得ないのであって、さうでなければ、その人は、「述語論理」を、「学ぶ」ことは出来ても、「述語論理」を、「理解」することが出来ない人である。
といふことになる。
然るに、
（09）
その一方で、私自身は、
６ 象は鼻が長い（「Ⅹの」代行）
「象の鼻」「京都の秋」「Ａ君の近所」などのように、「Ⅹのｘ」という形の語句を含むコトが、「Ⅹ」（象、京都、Ａ君）の性質や消息を表す場合には、その「Ⅹ」を題として取り立てることができます。
「Ⅹのｘ」から無条件に「Ⅹは」が作られるものではありませんが、それでも「Ⅹの」を代行する「Ⅹは」はずいぶんとたくさんあります。
象の鼻が長くあるコト
象は、鼻が長いなあ！
（山崎紀美子、日本語基礎講座 三上文法入門、2003年、８８頁）
といふ「説明」を、何度読んでも、「全く、理解」出来ない。
（10）
① 象は動物である。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
といふ「命題」の、
① 動物ｘ
に対して、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
を、「代入（Substitute）」した「形」が、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「命題」である。
従って、
（10）により、
（11）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「観点」からすれば、
① 象は動物である。⇔ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② 象は鼻が長い。 ⇔ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於ける、
①「象は」と、
②「象は」は、「完全に、同じ」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
①「象は」といふ「日本語」は、
①「すべてのｘについて、ｘが象であるならば、」
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
「Ⅹは」は、すでに言ったように、「Ⅹについて言へば」というほどの切り出しであって、「Ⅹ」を題として提示しているのです。
然るに、
（14）
①「すべてのｘについて、が象であるならば、」といふことは、
①「すべてのｘが象であるとして、ｘについて言へば、」といふことである。
従って、
（10）（13）（14）により、
（15）
① 象は動物である。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
といふ「命題」であっても、
「Ⅹは」は「Ⅹについて言へば」といふ「意味」を含んでゐる。
しかしながら、
（16）
だからと言って、
「主語」といふ「分り易い言葉」を、
「Ⅹの」を代行する「Ⅹは」は「題」である。
といふ「分りにくい言ひ方」に「置き換へ」る「必要」があるのか、そのことが、私には、分からない。
令和０２年０４月１５日、毛利太。
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