「排他的論理和（強選言）」の「定義」。

（01）
排他的論理和【eXclusive OR】
XORとは、論理演算の一つで、二つの命題のいずれか一方のみが真のときに真となり、両方真や両方偽のときは偽となるものを言う。
（ＩＴ用語辞典、ｅ-Ｗｏｒｄｓを参照）
（02）
論理学の「・・・あるいは・・・」は両立的選言に決めてある。それは論理学の体系がよりシンプルなものになるからである。
とりわけ、∨を両立的選言の方に決めておけば、排他的選言の方は∨と＆と～によって簡単に表現できる ―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―。
（昭和堂入門選書、論理学の基礎、1994年、１１頁）
然るに、
（01）（02）により、
（03）
両立的選言（∨） ではなく、
排他的選言（XOR）であれば、
① 二つの命題（ＰとＱ）のどちらか一方が「真」であるならば、そのときに限って「真」である。
然るに、
（04）
① 二つの命題（ＰとＱ）のどちらか一方が「真」であるならば、そのときに限って「真」である。
といふことは、
② 二つの命題（ＰとＱ）が、両方とも「真」であることはなく、両方とも「偽」であることもない。
といふことである。
然るに、
（05）
② 二つの命題（ＰとＱ）が、両方とも「真」であることはなく、両方とも「偽」であることもない。
といふことは、
③ Ｐの真理値とＱの真理値は、一致しない。
といふことである。
然るに、
（06）
③ Ｐの真理値とＱの真理値は、一致しない。
といふことは、「記号」で書くと、
④ ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふことである。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１　　　（１）　～（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
１　　　（２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆　（Ｑ→Ｐ）｝　１Ｄｆ.⇔
１　　　（３）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　２ド・モルガンの法則
　２　　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　２　　（５）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　４含意の定義
　２　　（６）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
　２　　（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　６∨Ｉ
　　８　（８）　　　　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　Ａ
　　８　（９）　　　　　　　～（～Ｑ∨Ｐ）　　８含意の定義
　　８　（ア）　　　　　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　９ド・モルガンの法則
　　８　（イ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　ア∨Ｉ
（ⅱ）
１　　　　（１）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　Ａ
　２　　　（２）（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（３）　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　（４）　Ｐ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　（５）　　　　Ｑ　　　　　　　　　　３４ＭＰＰ
　２　　　（６）　　　～Ｑ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　（７）　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　５６＆Ｉ
　２　　　（８）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　３７ＲＡＡ
　２　　　（９）～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　８∨Ｉ
　　　ア　（ア）　　　　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　Ａ
　　　　イ（イ）　　　　　　　　Ｑ→　Ｐ　　　Ａ
　　　ア　（ウ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　ア＆Ｅ
　　　アイ（エ）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　イウＭＰＰ
　　　ア　（オ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　ア＆Ｅ
　　　アイ（カ）　　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ
　　　ア　（キ）　　　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　イカＲＡＡ
　　　ア　（ク）～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　キ∨Ｉ

１　　　　（ケ）～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　１２９アク∨Ｅ
１　　　　（コ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）｝　ケ、ド・モルガンの法則
１　　　　（サ）～（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　　　コＤｆ.⇔
然るに、
（08）
（ⅲ）
１　　　　　　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　Ａ
　２　　　　　　（２）　（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　　３　　　　　（３）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　２　　　　　　（４）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　３　　　　　（５）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　３＆Ｅ
　２３　　　　　（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　３　　　　　（７）～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　　　２ＲＡＡ
　　　８　　　　（８）　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　Ａ
　　３　　　　　（９）　　　　　　　　　　　　Ｐ　　２＆Ｅ
　　　８　　　　（ア）　　　　　　　　　　　～Ｐ　　８＆Ｅ
　　３８　　　　（イ）　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　９ア＆Ｉ
　　　８　　　　（ウ）～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　　　３８ＲＡＡ
１　　　　　　　（エ）～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　　　１３７８ウ∨Ｅ
　　　　オ　　　（オ）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　カ　　（カ）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　　　　オカ　　（キ）　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　　　オカ＆Ｉ
１　　　オカ　　（ク）～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ）　　　エキ＆Ｉ
１　　　オ　　　（ケ）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　カクＲＡＡ
１　　　　　　　（コ）　　Ｐ→～Ｑ　　　　　　　　　オケＣＰ
　　　　　　サ　（サ）　　Ｑ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　シ（シ）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　サシ（ス）　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　　　シサ＆Ｉ
１　　　　　サシ（セ）～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ）　　　エス＆I
１　　　　　サ　（ソ）　　　　～Ｐ　　　　　　　　　シセＲＡＡ
１　　　　　　　（タ）　　Ｑ→～Ｐ　　　　　　　　　サソＣＰ
１　　　　　　　（チ）　（Ｐ→～Ｑ）＆（Ｑ→～Ｐ）　コタ＆Ｉ
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ～（Ｐ⇔　Ｑ）
②　 （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③　 （Ｐ→～Ｑ）＆（Ｑ→～Ｐ）
於いて、
①＝② であって、
②⇒③ である。
従って、
（09）により、
（10）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
②（ＰであってＱでない）か、または（ＱであってＰでない）。
③（Ｐならば、Ｑでなく）、その上、（Ｑならば、Ｐでない）。
於いて、
①＝② であって、
②⇒③ である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
（Ｐ＝真＆Ｑ＝真）であるならば、
②（真＆　偽）∨（真＆　偽）で、「偽」である。
（ⅱ）
（Ｐ＝真＆Ｑ＝偽）であるならば、
②（真＆　真）∨（偽＆　偽）で、「真」である。
（ⅲ）
（Ｐ＝偽＆Ｑ＝真）であるならば、
②（偽＆　偽）∨（真＆　真）で、「真」である。
（ⅳ）
（Ｐ＝偽＆Ｑ＝偽）であるならば、
②（偽＆　真）∨（偽＆　真）で、「偽」である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
すなはち、
②（ＰであってＱでない）か、または（ＱであってＰでない）。
であるならば、
② 二つの命題（ＰとＱ）のいずれか一方のみが真のときに真となり、両方真や両方偽のときは偽となる。
（01）（12）により、
（13）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
すなはち、
②（ＰであってＱでない）か、または（ＱであってＰでない）。
は、「排他的論理」は、そのものである。
然るに、
（01）により、
（14）
①（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
であれば、すなはち、
①（ＰあるいはＱ）であるが（ＰであってＱである）といふことはない。
であれば、この場合も、「排他的論理和」である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
①（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
すなはち、
①（ＰあるいはＱ）であるが（ＰであってＱである）といふことはない。
②（ＰであってＱでない）か、または（ＱであってＰでない）。
といふ「２つの言ひ方」は、両方とも、「排他的論理和」である。
然るに、
（01）（14）（15）により、
（16）
② 二つの命題（ＰとＱ）のいずれか一方のみが真のときに真となり、両方真や両方偽のときは偽となる。
といふのであれば、すなはち、「排他的選言」をいふのであれば、
①（ＰあるいはＱ）であるが（ＰであってＱである）といふことはない。
といふ「言ひ方」より、
②（ＰであってＱでない）か、または（ＱであってＰでない）。
といふ「言ひ方」の方が、すなはち、
①（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
といふ「論理式」よりも、
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
といふ「論理式」の方が、分かりやすい。
令和０４年０６月０１日、毛利太。