「両立的選言」と「排他的論理和」と「実質含意のパラドクス」。

（01）
① 真＆真＝真
② 真＆偽＝偽
③ 偽＆真＝偽
④ 偽＆偽＝偽
に於いて、
真＝１
偽＝０
＆＝×
とすると、
① １×１＝１
② １×０＝０
③ ０×１＝０
④ ０×０＝０
といふ「掛け算」になる。
従って、
（01）により、
（02）
① 真＆真＝真
② 真＆偽＝偽
③ 偽＆真＝偽
④ 偽＆偽＝偽
といふ「結果」は、
① １×１＝１
② １×０＝０
③ ０×１＝０
④ ０×０＝０
といふ「掛け算」に喩へることが出来るため、
「Ｐ＆Ｑ（連言）」を、「論理積」といふ。
然るに、
（03）
① 真∨真＝真
② 真∨偽＝偽
③ 偽∨真＝真
④ 偽∨偽＝真
に於いて、
真＝１
偽＝０
∨＝＋
とすると、
① １＋１＝２
② １＋０＝１
③ ０＋１＝１
④ ０＋０＝０
といふ「足し算」になるものの、
① １＋１＝２
に関しては、
① １＋１＝１
とする。
従って、
（03）により、
（04）
① 真∨真＝真
② 真∨偽＝真
③ 偽∨真＝真
④ 偽∨偽＝偽
といふ「結果」も、「足し算」に喩へることによって、
「Ｐ∨Ｑ（選言）」を、「両立的論理和（弱選言）」といふ。
といふ。
然るに、
（05）
① １＋１＝１
② １＋０＝１
③ ０＋１＝１
④ ０＋０＝０
ではなく、
① １＋１＝０
② １＋０＝１
③ ０＋１＝１
④ ０＋０＝０
といふ「結果」になるものとして、
この場合は、「排他的論理和（強選言）」といふ。
然るに、
（06）
「太郎かあるいは次郎が辞書をもっている」と言われるとき、「太郎が辞書をもっている」と「次郎が辞書をもっている」の二つの命題は同時に真になることが可能である。
このような選言は「両立的選言と」呼ばれる。
「太郎は３階か５階にいる」と言われるとき、「太郎は３階にいる」と「太郎は５階にいる」の二つの命題が同時に真になることはありえない。
このような選言は「排他的選言」である。
論理学の「・・・あるいは・・・」は両立的選言に決めてある。それは論理学の体系がよりシンプルなものになるからである。
とりわけ、∨を両立的選言の方に決めておけば、排他的選言の方は∨と＆と～によって簡単に表現できる ―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―。
（昭和堂入門選書、論理学の基礎、1994年、１１頁）
然るに、
（07）
（ⅰ）
１　　　　（１）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
１　　　　（２）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　　（３）　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　　１＆Ｅ
　４　　　（４）　　　　　　　　Ｐ　　　　　Ａ
　　５　　（５）　　　　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　４５　　（６）　　　　　　　　Ｐ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
１４５　　（７）～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ）　　２６＆Ｉ
１４　　　（８）　　　　　　　　　～Ｑ　　　５７ＲＡＡ
１　　　　（９）　　　　　　　Ｐ→～Ｑ　　　４８ＣＰ
　　　ア　（ア）　Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　ア　（イ）　　　　　　　　　～Ｑ　　　９アＭＰＰ
１　　ア　（ウ）　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　アイ＆Ｉ
１　　ア　（エ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　ウ∨Ｉ
　　　　オ（オ）　　　　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　～～Ｑ　　　　　　　　　オＤＮ
１　　　オ（キ）～Ｐ　　　　　　　　　　　　９カＭＴＴ
１　　　オ（ク）　Ｑ＆～Ｐ　　　　　　　　　オキ＆Ｉ
１　　　オ（ケ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　ク∨Ｉ
１　　　　（コ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　２アエオケ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　Ａ
　２　（２）（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）　　　～Ｑ　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（６）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　　５∨Ｉ
　２　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　　６ド・モルガンの法則
　２　（８）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　　４７＆Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　Ａ
　　９（ア）　　　　　　　　Ｑ　　　　　９＆Ｅ
　　９（イ）　　　　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　ア∨Ｉ
　　９（ウ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　９＆Ｅ
　　９（エ）　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　ウ∨Ｉ
　　９（オ）　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　　エ、ド・モルガンの法則
　　９（カ）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　（キ）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　　１２８９カ∨Ｅ
従って、
（07）により、
（08）
①（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、すなはち、
①（Ｐまたは、　Ｑである）が、（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）（08）により、
（09）
「排他的選言」といふ「選言」は、
①（Ｐまたは、　Ｑである）が、（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
といふ「選言（disjunction）」を言ふ。
然るに、
（04）により、
（10）
① 真∨真＝真
② 真∨偽＝真
③ 偽∨真＝真
④ 偽∨偽＝偽
といふことは、
① 真∨真＝真
② 真∨偽＝真
である。
然るに、
（10）により、
（11）
① 真∨真＝真
② 真∨偽＝真
といふことは、
③ 真
であれば、それだけで、
③ 真∨□
は、そのまま、
③ 真∨□＝真
である。
然るに、
（12）
１（１）Ｐ　Ａ
であれば、それだけで、
１（１）真　Ａ
である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
１（１）Ｐ　Ａ
であれば、それだけで、
１（１）真　Ａ
であるが故に、
　（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
は、Ｑの「真・偽」に拘はらず、「恒に真」である。
然るに、
（14）
① Ｐ∨Ｑ
② Ｐ▽Ｑ
に於いて、
① が「（ＰとＱによる）両立的選言」であるに対して、
② は「（ＰとＱによる）排他的選言」であるとする。
従って、
（06）（08）（13）（14）により、
（15）
① 真∨真＝真
② 真∨偽＝真
ではなく、
① 真▽真＝偽
② 真▽偽＝真
であるならば、
１（２）Ｐ▽Ｑ　１∨Ｉ
の「偽・真」は、「Ｑの真・偽」に従って、「偽」にも、「真」にもなる。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ（両立的選言導入）
といふ「推論」は「妥当（valid）」であるが、
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ▽Ｑ　１∨Ｉ（排他的選言導入）
といふ「推論」は「非妥当（invalid）」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　～Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　７（８）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ
　２　７（９）　～（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　２８＆Ｉ
　２　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
　２　　（イ）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　６ア＆Ｉ
１２　　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～～（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　エＤＮ
従って、
（17）により、
（18）
①       Ｐ∨　Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
① ＰかＱの、すくなくとも、一方は、本当である。
② ＰとＱの、両方が、同時にウソである。といふことはない。
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（16）（17）により、
（19）
（ⅱ）
１　　　（１）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（Ｐ▽　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　Ｐ▽　Ｑ　　　３▽Ｉ
　２３　（５）　～（Ｐ▽　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ▽　Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　７（８）　　　Ｐ▽　Ｑ　　　７▽Ｉ
　２　７（９）　～（Ｐ▽　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ▽　Ｑ）　　２８＆Ｉ
　２　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
　２　　（イ）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　６ア＆Ｉ
１２　　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～～（Ｐ▽　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　　Ｐ▽　Ｑ　　　エＤＮ
に於ける、
　　３　（４）　　　Ｐ▽　Ｑ　　　３▽Ｉ
　　　７（８）　　　Ｐ▽　Ｑ　　　７▽Ｉ
に関しては、「非妥当（invalid）」である。
従って、
（19）により、
（20）
①       Ｐ▽　Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
① ＰかＱの、どちらか、一方だけが、本当である。
② ＰとＱの、両方が、同時にウソである。といふことはない。
に於いて、
①⇒② であったとしても、
①＝② ではない。
従って、
（14）（18）（20）により、
（21）
「ド・モルガンの法則」といふのは、
「両立的選言（∨）」と、「連言（＆）」の間で成り立つ「法則」であって、
「排他的選言（▽）」と、「連言（＆）」の間で成り立つ「法則」ではない。
然るに、
（22）

従って、
（22）により、
（23）
① ￢Ａ├ Ａ→Ｂ
②   Ｂ├ Ａ→Ｂ
すなはち、
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
②   Ｑ├ Ｐ→Ｑ
は、「実質含意のパラドクス」である。
然るに、
（24）
（ⅰ）
１　　（１）　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨　Ｑ　　　１∨Ｉ
１　　（３）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２ド・モルガンの法則
　４　（４）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　５（５）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　４５（６）　　Ｐ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１４５（７）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　３６＆Ｉ
１４　（８）　　　～～Ｑ　　　５７ＲＡＡ
１４　（９）　　　　　Ｑ　　　８ＤＮ
１　　（ア）　　Ｐ→　Ｑ　　　４９ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨　Ｑ　　　１∨Ｉ
１　　（３）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２ド・モルガンの法則
　４　（４）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　５（５）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　４５（６）　　Ｐ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１４５（７）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　３６＆Ｉ
１４　（８）　　　～～Ｑ　　　５７ＲＡＡ
１４　（９）　　　　　Ｑ　　　８ＤＮ
１　　（ア）　　Ｐ→　Ｑ　　　４９ＣＰ
従って、
（16）（21）～（24）により、
（25）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
②   Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式」は、「同じ計算」によって、「妥当（Valid）」であるが、「この計算」には、「排他的選言」では、「不可」である所の、
１　　（２）　～Ｐ∨　Ｑ　　　１∨Ｉ
１　　（３）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２ド・モルガンの法則
といふ「計算」がなされてゐる。
従って、
（25）により、
（26）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
②   Ｑ├ Ｐ→Ｑ
である所の「実質含意のパラドクス」は、
「排他的選言（∨）のパラドクス」ではなく、
「両立的選言（∨）のパラドクス」である。
令和０４年０６月０８日、毛利太。