（ＭＴＴによる）パースの法則の「証明」。

（01）
パースの法則（パースのほうそく）は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における「排中律」であると考えることもできる。命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う（ウィキペディア）。
従って、
（01）により、
（02）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふこと、すなはち、
（（ＰであるならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
といふことを、「パースの法則」といふ。
然るに、
（03）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　１含意の定義
　３　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　２含意の定義
　３　（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　６（６）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　（７）　　Ｐ　　　　　　　　　１３５６６∨Ｅ
　　　（８）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１７ＣＰ
従って、
（02）（03）により、
（04）
『含意の定義・ド・モルガンの法則』を用ひれば、
（（ＰであるならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
といふことを、「パースの法則」が、「恒真式（トートロジー）」であることを、「簡単に証明」出来る。
然るに、
（05）
次（06）に示す通リ、
『含意の定義・ド・モルガンの法則』を用ひなくとも、
①  （Ｐ→Ｑ）→Ｐ 　　　　　であって、その上、
②　  Ｐでない。 　　　　　　とすると、
③    Ｐであって、Ｐでない。 といふ風に、「矛盾」が生じるため、
④    Ｐである。             とふことになり、それ故、
⑤（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　 である。
（06）
１　　　　（１）　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　Ａ
　２　　　（２）　　　　　　　　～Ｐ　　Ａ
１２　　　（３）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　１２ＭＴＴ
　　４　　（４）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　Ａ
　　　５　（５）　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
　　　　６（６）　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
　　　５６（７）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　５６＆Ｉ
　　４５６（８）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　４７＆Ｉ
　　４５　（９）　　　　～～Ｑ　　　　　６７ＲＡＡ
　　４５　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　９ＤＮ
　　４　　（イ）　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　５ＣＰ
１２４　　（ウ）　～（Ｐ→　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　　　３イ＆Ｉ
１２　　　（エ）～～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　４ウＲＡＡ
１２　　　（カ）　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　エＤＮ
１２　　　（キ）　　　Ｐ　　　　　　　　カＤＮ
１２　　　（ク）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　２キ＆Ｉ
１　　　　（ケ）　　　　～～Ｐ　　　　　２クＲＡＡ
１　　　　（コ）　　　　　　Ｐ　　　　　ケＤＮ
　　　　　（サ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１コＣＰ
然るに、
（07）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
（（ＰであるならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
といふ「パースの法則」を、初めて見たとき、
「ずいぶんと、変はった恒真式」であると、思ったことは、事実である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　１含意の定義
　３　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　２含意の定義
　３　（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　６（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　６∨I
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　Ａ
　２　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　Ａ
　２　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　２ド・モルガンの法則
　２　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　５（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　５∨Ｉ
１　　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　１２４５６∨Ｅ
１　　（８）～（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　７含意の定義
１　　（９）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　８含意の定義
従って、
（08）により、
（09）
①（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、すなはち、
①（ＰであるならばＱである）ならばＰ）
②（ＰであってＱでない）か、またはＰである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（10）
②（ＰであってＱでない）か、またはＰである。
といふのであれば、いづれにせよ、
③ Ｐである。
といふことは、「当然」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①　（ＰであるならばＱである）ならばＰ）
②　（ＰであってＱでない）か、またはＰである。
③ 　 Ｐである。
に於いて、
①＝② であって、その上、
②⇒③ であるため、
①⇒③ であって、それ故、
①（（ＰであるならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
①（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
といふ「論理式」に対して、
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
といふ「論理式」は、すなはち、ラッセルとホワイトヘッドの「公理１」は、
それ自体は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
②（Ｐ→（Ｑ→Ｐ））→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
（13）
１（１）　Ｐ→（　Ｑ→Ｐ）　Ａ
１（２）～Ｐ∨（　Ｑ→Ｐ）　１含意の定義
１（３）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ）　２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（Ｐ∨～Ｑ）　３交換法則
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　４結合法則
１（〃）（ 排中律 ）∨～Ｑ　４結合法則
（14）
②（Ｐでないか、Ｐである）か、または、Ｑでない。
といふのであれば、
②（Ｐでないか、Ｐである）
といふことが、「真（本当）」であるとしても、
②  Ｐである。
とは、限らない。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ→（Ｑ→Ｐ））→Ｐ
に於いて、すなはち、
①（（ＰであるならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
②（Ｐであるならば（ＱであるならばＰである））ならばＰである。
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
② は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
然るに、
（15）
今まで、生きて来て、
①（（雨であるならば、家にゐる）ならば雨である）ならば雨である。
②（雨であるならば（家にゐるならば、雨である））ならば雨である。
といふ風に、誰かに対して、発言した人物は、思ふに、殆ど、ゐないはずであるし、バカボンのパパも、
①（（雨であるならば、家にゐる）ならば雨である）ならば雨である。
のやうな「恒真命題（トートロジー）」を、言ってはゐない。
然るに、
（16）
①（（雨であるならば、家にゐる）ならば雨である）ならば雨である。
②（雨であるならば（家にゐるならば、雨である））ならば雨である。
から、「括弧」除くと、
① 雨であるならば、家にゐるならば、雨であるならば雨である。
② 雨であるならば、家にゐるならば、雨であるならば雨である。
は、「区別」が付かない。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
「当然」ではあるものの、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ→（Ｑ→Ｐ））→Ｐ
に於ける「括弧」は、「無視」出来ない。
令和０４年０６月１６日、毛利太。