「逆や裏が、必ずしも真でない」のは「何故か？」。

（01）
① Ｐであるならば、Ｑである（順）。
② Ｐでないならば、Ｑでない（裏）。
③ Ｑであるならば、Ｐである（逆）。
④ Ｑでないならば、Ｐでない（対偶）。
において、
① に対して、② を　「裏」と言い、
① に対して、③ を　「逆」と言い、
① に対いて、④ を「対偶」と言う。
従って、
（01）により、
（02）
「記号」で書くと、
① 　Ｐ→　Ｑ
② ～Ｐ→～Ｑ
③ 　Ｑ→　Ｐ
④ ～Ｑ→～Ｐ
において、
① を　「順」と言い、
② を　「裏」と言い、
③ を　「逆」と言い、
④ を「対偶」と言う。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　　　（１）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　（４）　　　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　　　（５）　　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　　　（６）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　　　（７）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
　　８　　（８）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　９∨Ｉ
　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　８ア＆Ｉ
　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　　９イＲＡＡ
　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オ∨Ｉ
　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　８カ＆Ｉ
　　８　　（ク）　　　　　　～Ｑ　　　オキＲＡＡ
　　８　　（ケ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　８　　（コ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　７ケ＆Ｉ
１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　８コＲＡＡ
１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　サＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　　　Ｐ　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
において、すなわち、
① Ｐであるならば、　　Ｑである。
② Ｐでないか、または、Ｑである。
において、
①＝② である。
然るに、
（05）
「古典論理」における「または」は、「非排他的論理和」ですか？
はい、**古典論理における「または」（∨）は「非排他的論理和（包含的論理和）」**を指します。これは「ＰまたはＱ」が、「ＰとＱの少なくとも一方が真」であれば真となり、「両方真」の場合も真（含む）になることを意味します。一方、「排他的論理和（ⅩＯＲ）」は「どちらか一方のみが真」のときに真となるもので、古典論理の標準的な「または」とは区別されます（生成ＡＩ）。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）「非排他的」にしても、
（ⅱ）「　排他的」にしても、「両方とも」、
（ⅲ）一方が「偽」ならば、一方は「真」であるが、
（ⅳ）「非排他的」の場合は、
（ⅴ）一方が「真」ならば、一方の「真偽」は「不明」であり、
（ⅵ）「　排他的」の場合は、
（ⅶ）一方が「真」ならば、一方は「偽」である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
② ～Ｐ∨Ｑ　は、すなわち、
② 　Ｐでないか、または、Ｑである。
は、「非排他的論理和」であるため、
② 　Ｐでない、でない、ならば、　Ｑであるが、
② 　Ｐでない、である、としても、Ｑであるとは、限らないし、
② 　Ｑである、である、としても、Ｐでないとは、限らないが、

② 　Ｑである、でない、ならば、　Ｐでない。
従って、
（07）により、
（08）
② ～Ｐ∨Ｑ　は、すなわち、
② 　Ｐでないか、または、Ｑである。
は、「非排他的論理和」であるため、
② 　Ｐである、ならば、　Ｑであるが、
② 　Ｐでない、としても、Ｑでないかは、不明であり、
② 　Ｑである、としても、Ｐであるかは、不明であり、

② 　Ｑでない、ならば、　Ｐでない。
従って、
（01）（02）（04）（08）により、
（09）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
において、すなわち、
① Ｐであるならば、　　Ｑである。
② Ｐでないか、または、Ｑである。
において、
①＝② であって、尚且つ、この場合の、
②「または」は、「非排他的論理和」であるが故に、
① Ｐであるならば、Ｑである（順）。
② Ｐでないならば、Ｑでない（裏）。
③ Ｑであるならば、Ｐである（逆）。
④ Ｑでないならば、Ｐでない（対偶）。
において、
① が「真」であるならば、④ も「真」であるが、
① が「真」であっても、　② は「真」であるとは、限らず、
① が「真」であっても、　③ は「真」であるとは、限らない。
然るに、
（10）
例えば、
① 徳島であるならば、四国である（順）。
② 徳島でないならば、四国でない（裏）。
③ 四国であるならば、徳島である（逆）。
④ 四国でないならば、徳島でない（対偶）。
において、
② 香川は、徳島ではないが、四国であるし、
③ 高知は、四国であるが、　徳島でない。
従って、
（10）により、
（11）
① 徳島であるならば、　四国であるが、
② 徳島でないとしても、四国でないとは、限らないし、
③ 四国であるとしても、徳島であるとは、限らないが、
④ 四国でないならば、　徳島でない。
ｃｆ.

従って、
（04）（06）（11）により、
（12）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
において、すなわち、
① Ｐであるならば、　　Ｑである。
② Ｐでないか、または、Ｑである。
において、
①＝② である。
とするならば、「または」は、「非排他的論理和」でなければ、ならない。