論理和と排他的論理和の違いは何ですか？

（01）
　　　「論理和」と「排他的論理和」の違いは何ですか？
　　　「論理和」では、２つの条件の内の、「両方とも偽である場合には偽」となり、
「排他的論理和」では、２つの条件の内の、「両方とも偽である場合には偽」となり、「両方とも真である場合にも偽」となります。
然るに、
（02）
①（二郎は一郎の弟であって、）尚且つ（二郎は三郎の兄である）。
②（二郎は花子の弟であって、）尚且つ（二郎は花子の兄である）。
において、
① は、「真であることが、　可能」であるが、
② は、「真であることは、不可能」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
例えば、
①（二郎は一郎の弟であるか、）または（二郎は三郎の兄である）。
②（二郎は花子の弟であるか、）または（二郎は花子の兄である）。
において、
① は、「　　　論理和」であって、
② は、「排他的論理和」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① Ｐであって、その上、Ｑである。
② Ｐでないが、ただし、Ｑである。
③ Ｐであるが、ただし、Ｑではない。
④ Ｐでなくて、その上、Ｑでもない。
において、すなわち、
①　 Ｐ＆　Ｑ
② ～Ｐ＆　Ｑ
③ 　Ｐ＆～Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ
において、
　　④ だけが、偽であるのが「　　　論理和」であって、
①と④ の２つが偽であるのが「排他的論理和」である。
従って、
（04）により、
（05）
「排他的論理和」は、「①の否定と、④の否定の、連言」、すなわち、
⑤ ～（Ｐ＆Ｑ）＆～（～Ｐ＆～Ｑ）
という風に、書くことが出来る。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　　（１）～（Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆　Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　　～Ｑ　　　３ＲＡＡ
１　　（７）　　Ｐ→～Ｑ　　　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　（１）　　Ｐ→～Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　～Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆　Ｑ）　２６ＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　　Ｐ→～Ｑ
において、すなわち、
①（Ｐであって、Ｑである）ということは無い。
②　Ｐであるならば、Ｑでない。
において、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
① ～（～Ｐ＆～Ｑ）
② 　　～Ｐ→　Ｑ
において、すなわち、
①（Ｐでなくて、Ｑでない）ということは無い。
②　Ｐでないならば、Ｑである。
において、
①＝② である。
従って、
（05）（08）により、
（09）
「排他的論理和」として、
⑤ ～（Ｐ＆　Ｑ）＆～（～Ｐ＆～Ｑ）
⑥　 （Ｐ→～Ｑ）＆　（～Ｐ→　Ｑ）
において、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（10）
「交換法則」により、
①　 Ｐ＆　Ｑ
② ～Ｐ＆　Ｑ
③ 　Ｐ＆～Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ
⑤　 Ｑ＆　Ｐ
⑥ ～Ｑ＆　Ｐ
⑦ 　Ｑ＆～Ｐ
⑧ ～Ｑ＆～Ｐ
により、それぞれ、
①＝⑤ であって、
②＝⑥ であって、
③＝⑦ であって、
④＝⑧ である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
⑤ ～（Ｐ＆　Ｑ）＆～（～Ｐ＆～Ｑ）
⑥　 （Ｐ→～Ｑ）＆　（～Ｐ→　Ｑ）
という「排他的論理和」は、「交換法則」により、それぞれ、
⑤ ～（Ｑ＆　Ｐ）＆～（～Ｑ＆～Ｐ）
⑥　 （Ｑ→～Ｐ）＆　（～Ｑ→　Ｐ）
という「論理式」に、「等しい」。
従って、
（11）により、
（12）
⑤ ～（Ｐ＆　Ｑ）＆～（～Ｐ＆～Ｑ）
⑥　 （Ｐ→～Ｑ）＆　（～Ｐ→　Ｑ）
という「排他的論理和」は、
⑦　 （Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→～Ｐ）＆（～Ｑ→Ｐ）
という、「４つの仮言命題の、連言」に「等しい」。
然るに、
（13）
（ⅴ）
１　　　（１）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（　Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　　～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　７（８）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ
　２　７（９）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　　２８＆Ｉ
　２　　（ア）　　　　　　～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
　２　　（イ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　６ア＆Ｉ
１２　　（ウ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～～（　Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　エＤＮ
（ⅵ）
１　　　（１）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　～Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７∨Ｅ
従って、
（13）により、
（14）
⑤ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
⑥ 　　　Ｐ∨　Ｑ
において、
⑤＝⑥ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（12）（14）により、
（15）
「排他的論理和」として、
⑤ ～（Ｐ＆　Ｑ）＆（　Ｐ∨Ｑ）
⑦　 （Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→～Ｐ）＆（～Ｑ→Ｐ）
において、
⑤＝⑦ である。
従って、
（16）
「日本語」で言うと、「排他的論理和」として、
⑤（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ということはないが、（Ｐであるか、または、Ｑである）。
⑦（Ｐであるならば、Ｑではなく）、（Ｐでないならば、Ｑであり）、（Ｑであるならば、Ｐではなく）、（Ｑでないならば、Ｐである）。
において、
⑤＝⑦ である。