（01）
―「含意の定義」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ＆Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（02）
―「ド・モルガンの法則」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６イ＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （エ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（03）
―「排中律」の「証明（Ⅰ）」―
１（１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
１（２） ～～Ｐ＆～Ｐ １ド・モルガンの法則
（３）～～（～Ｐ∨Ｐ） １２ＲＡＡ
（４） ～Ｐ∨Ｐ ３ＤＮ
（04）
―「排中律」の「証明（Ⅱ）」―
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ Ａ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
然るに、
（05）
（ⅰ）
１（１）～Ｐ∨Ｐ Ａ
１（２） Ｐ→Ｐ １含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ→Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １含意の定義
従って、
（05）により、
（06）
① ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
② Ｐ→Ｐ（同一律）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
１（１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３）～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
に於いて、
（１）の場合は、「Ｐなので、 Ｐである。」といふ「意味」であり、
（２）の場合は、「Ｐならば、 Ｐである。」といふ「意味」であり、
（３）の場合は、「Ｐでないか、Ｐである。」といふ「意味」である。
然るに、
（08）
（１）「Ｐなので、 Ｐである。」
（２）「Ｐならば、 Ｐである。」
（３）「Ｐでないか、Ｐである。」
に於いて、
（１）は、さうではないが、
（２）は、「恒に、真である。」
（３）も、「恒に、真である。」
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
② Ｐ→Ｐ（同一律）
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（07）により、
（10）
１（１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３）～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
であるため、
＃（１） Ｐ
＃（２） Ｐ→Ｐ
＃（３）～Ｐ∨Ｐ
に於いて、上から順に、
＃＝１
＃＝
＃＝
である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「恒真式（トートロジー）」とは、『それ証明する際に、「仮定（＃）の数」が「０個」となる所の、「論理式」である。』
然るに、
（12）
（ⅰ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） Ｐ∨Ｐ １∨Ｉ
（３） Ｐ→（Ｐ∨Ｐ） １２ＣＰ
（４） ～Ｐ∨（Ｐ∨Ｐ） ３含意の定義
（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｐ ４結合法則
（〃） （排中律）∨Ｐ ４結合法則
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
（３） （Ｐ＆Ｐ）→Ｐ １２ＣＰ
（４）～（Ｐ∨Ｐ）∨Ｐ ３含意の定義
５ （５）～（Ｐ∨Ｐ） Ａ
５ （６）～Ｐ∨～Ｐ ５ド・モルガンの法則
５ （７） ～Ｐ ６冪等律
５ （８） ～Ｐ∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９∨Ｉ
（イ） ～Ｐ∨Ｐ ＿５８９ア∨Ｅ
（〃） 排中律 ＿５８９ア∨Ｅ
（ⅲ）
１（１）～（～Ｐ＆Ｐ） Ａ
１（２） Ｐ∨～Ｐ ２ド・モルガンの法則
（３）～（～Ｐ＆Ｐ）→（Ｐ∨～Ｐ） １２ＣＰ
（４） （～Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ∨～Ｐ） ３含意の定義
（〃） （矛盾）∨（排中律） ３含意の定義
従って、
（11）（12）により、
（13）
例へば、
① Ｐ→（Ｐ∨Ｐ）
②（Ｐ＆Ｐ）→Ｐ
③（～Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ∨～Ｐ）
といふ「３つの論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １５ＣＰ
従って、
（09）（11）（14）により、
（15）
④（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④（Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（16）
［規則］
１ 代入の規則
一つの恒真式の命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（15）（16）により、
（17）
④ Ｐ→Ｐ（同一律）
に於いて、
Ｐ＝Ｐ→Ｑ
といふ「代入」行った「結果」である所の、
④（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（18）
① Ａが、「恒真式（トートロジー）」であって、
② Ａ＝Ｂ であるならば、当然、Ｂも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（18）により、
（19）
「ある恒真式（トートロジー）」と、「等しい論理式」は、「その論理式」も「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（20）
（ⅰ）
１ （１）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２（２）Ｐ＆Ｑ Ａ
２（３）Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ （７） Ｐ＆Ｑ→Ｒ ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆Ｑ→Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５） Ｒ １４ＭＰＰ
１２ （６） Ｑ→Ｒ ３５ＣＰ
１ （７）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ２６ＣＰ
従って、
（20）により、
（21）
④ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
⑤（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（22）
④ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
⑤（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
Ｐ＝（Ａ→Ｂ）
Ｑ＝ Ａ
Ｒ＝ Ｂ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
④ （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）
⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ
従って、
（21）（22）により、
（23）
④ （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）
⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（15）（17）（19）（23）により、
（24）
④ （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）
⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ
といふ「論理式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（25）
２ 推論の規則
論理式「Ａ」と「Ａ→Ｂ」が共に真ならば、論理式Ｂも真である。
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（24）（25）により、
（26）
⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ といふ「論理式」は「恒真式」であって、
⑤ 論理式「Ａ→Ｂ」と「Ａ」が共に真ならば、論理式Ｂも真である。
従って、
（25）（26）により、
（27）
２ 推論の規則
論理式「Ａ」と「Ａ→Ｂ」が共に真ならば、論理式Ｂも真である。
論理式「Ａ→Ｂ」と「Ａ」が共に真ならば、論理式Ｂも真である。
といふ「規則」は、
⑤（Ａ＆（Ａ→Ｂ））→Ｂ といふ「論理式」は「恒真式」である。
⑤（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ といふ「論理式」は「恒真式」である。
といふことと、「同じこと」である。
令和０２年０９月１０日、毛利太。
2020年9月10日木曜日
2020年9月9日水曜日
「（E.J.レモンの）自然演繹の規則」と「公理系ＰＬ」。
（01）
標準的な命題論理に対して健全で完全な公理系はいろいろなものが作れます。一つの具体例を示してみましょう。
公理系ＰＬ
公理１ （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
公理２ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
公理３ （Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）
公理４ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ））
推論規則 Ｐ→Ｑ と Ｐ から Ｑ を導いてもよい。
定義１ Ｐ＆Ｑ は ～（～Ｐ∨～Ｑ）の略記である。
定義２ Ｐ→Ｑ は ～Ｐ∨Ｑ の略記である。
（矢野茂樹、まったくゼロからの論理学、2020年、１６７頁改）
然るに、
（02）
１ （１） Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ （４） Ｐ １２２３３∨Ｅ
（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ １４ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「公理系ＰＬ（公理１）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、
「仮定の規則（Ａ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。
（04）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １２ＣＰ
従って、
（01）（04）により、
（05）
「公理系ＰＬ（公理２）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、
「仮定の規則（Ａ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。
（06）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
４（４） Ｑ Ａ
４（５） Ｑ∨Ｐ ４∨Ｉ
１ （６） Ｑ∨Ｐ １２３４５∨Ｅ
（７）（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ） １６ＣＰ
従って、
（01）（06）により、
（07）
「公理系ＰＬ（公理３）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、
「仮定の規則（Ａ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。
（08）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨Ｒ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
１ ３ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
１ ３ （５） Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６（６） Ｒ Ａ
６（７） Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｑ∨Ｒ ２３５６７∨Ｅ
１ （９）（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ） ２８ＣＰ
（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ）） １９ＣＰ
従って、
（01）（08）により、
（09）
「公理系ＰＬ（公理４）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、
「仮定の規則（Ａ）」と「肯定肯定式（ＭＰＰ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１ （１）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２（２）Ｐ＆Ｑ Ａ
２（３）Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ （７） Ｐ＆Ｑ→Ｒ ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆Ｑ→Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５） Ｒ １４ＭＰＰ
１２ （６） Ｑ→Ｒ ３５ＣＰ
１ （７）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ２６ＣＰ
従って、
（10）により、
（11）
① Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
① Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
Ｐ＝（Ａ→Ｂ）
Ｑ＝ Ａ
Ｒ＝ Ｂ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）
②（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ
然るに、
（13）
① Ａ→Ａ≡「ＡならばＡである。」
といふ「論理式」は、「同一律（トートロジー）」である。
従って、
（13）により、
（14）
① （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）≡「（ＡならばＢである）ならば（ＡならばＢである）。」
であっても、「同一律（トートロジー）」である。
然るに、
（15）
②（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ ≡「（（ＡならばＢである）であってＡ）であるならばＢである。」
は、「肯定肯定式（ＭＰＰ）」である。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
① （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）≡ 「（ＡならばＢである）ならば（ＡならばＢである）。」
②（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ ≡「（（ＡならばＢである）であってＡ）であるならばＢである。」
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② は「肯定肯定式（ＭＰＰ）」である。
従って、
（16）により、
（17）
「肯定肯定式（ＭＰＰ）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（01）（16）（17）により、
（18）
「公理系ＰＬ（推論規則）」は、「肯定肯定式（ＭＰＰ）」である。
従って、
（01）（18）により、
（19）
「公理系ＰＬ（推論規則）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、
「仮定の規則（Ａ）」と「＆‐除去（＆Ｅ）」と「肯定肯定式（ＭＰＰ）」と「条件的証明（ＣＰ）」と「＆‐導入（＆Ｉ）」で、「証明」出来る。
（20）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） Ｑ １＆Ｅ
８（８） ～Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
１ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
７ （７） ～Ｑ Ａ
７ （８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
１ ７ （９）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １８＆Ｉ
１ （ア） ～～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） Ｑ アＤＮ
１ （ウ） Ｐ＆ Ｑ ６イ＆Ｉ
従って、
（20）により、
（21）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（20）（21）により、
（22）
「公理系ＰＬ（定義１）」は、
仮定の規則（Ａ）」と「＆‐除去（＆Ｅ）」と「＆‐導入（＆Ｉ）」と「背理法（ＲＡＡ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「二重否定（ＤＮ）」で、「証明」出来る。
然るに、
（23）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｑ ７ＤＮ
１ （９） ～Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） ２３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エキＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（23）により、
（24）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（23）（24）により、
（25）
「公理系ＰＬ（定義２）」は、
「仮定の規則（Ａ）」と「＆‐除去（＆Ｅ）」と「肯定肯定式（ＭＰＰ）」と「＆‐導入（＆Ｉ）」と「背理法（ＲＡＡ）」と「二重否定（ＤＮ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。
従って、
（01）～（25）により、
（26）
公理系ＰＬ
公理１ （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
公理２ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
公理３ （Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）
公理４ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ））
推論規則 Ｐ→Ｑ と Ｐ から Ｑ を導いてもよい。
定義１ Ｐ＆Ｑ は ～（～Ｐ∨～Ｑ）の略記である。
定義２ Ｐ→Ｑ は ～Ｐ∨Ｑ の略記である。
の全ては、『（E.J.レモンの）自然演繹の規則』で、「証明」出来る。
然るに、
（16）（17）（18）により、
（27）
もう一度、確認すると、
① （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）≡ 「（ＡならばＢである）ならば（ＡならばＢである）。」
②（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ ≡「（（ＡならばＢである）であってＡ）であるならばＢである。」
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② は「肯定肯定式（ＭＰＰ）」 であって、
② は「公理系ＰＬ（推論規則）」である。
然るに、
（01）～（09）により、
（28）
公理１ （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
公理２ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
公理３ （Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）
公理４ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ））
は、全て、「恒真式（トートロジー）」であるし、
公理２ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
の場合は、『（E.J.レモンの）自然演繹の規則』でいふ所の、「∨‐導入の規則（∨Ｉ）」である。
従って、
（27）（28）により、
（29）
「公理（Axioms）」も、「規則（Rules）」も、結局は、「恒真式（tautology）」である。
然るに、
（30）
もし証明をやってみたいのであれば、もっと証明がやりやすい公理系として「自然演繹」と呼ばれる公理系がありますから、それをお薦めします。
（矢野茂樹、まったくゼロからの論理学、2020年、１７０頁）
然るに、
（31）
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌ は、証明の構文規則に関する「10個の基本的規則（Primitive rules）」だけを持つ。
（ウィキペディア改）
従って、
（29）（30）（31）
（32）
「自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。」とは、言ふものの、「規則（Rules）」も、「公理（Axioms）」の「一種」である。
令和０２年０９月０９日、毛利太。
標準的な命題論理に対して健全で完全な公理系はいろいろなものが作れます。一つの具体例を示してみましょう。
公理系ＰＬ
公理１ （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
公理２ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
公理３ （Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）
公理４ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ））
推論規則 Ｐ→Ｑ と Ｐ から Ｑ を導いてもよい。
定義１ Ｐ＆Ｑ は ～（～Ｐ∨～Ｑ）の略記である。
定義２ Ｐ→Ｑ は ～Ｐ∨Ｑ の略記である。
（矢野茂樹、まったくゼロからの論理学、2020年、１６７頁改）
然るに、
（02）
１ （１） Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ （４） Ｐ １２２３３∨Ｅ
（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ １４ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「公理系ＰＬ（公理１）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、
「仮定の規則（Ａ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。
（04）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １２ＣＰ
従って、
（01）（04）により、
（05）
「公理系ＰＬ（公理２）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、
「仮定の規則（Ａ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。
（06）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
４（４） Ｑ Ａ
４（５） Ｑ∨Ｐ ４∨Ｉ
１ （６） Ｑ∨Ｐ １２３４５∨Ｅ
（７）（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ） １６ＣＰ
従って、
（01）（06）により、
（07）
「公理系ＰＬ（公理３）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、
「仮定の規則（Ａ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。
（08）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨Ｒ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
１ ３ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
１ ３ （５） Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６（６） Ｒ Ａ
６（７） Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｑ∨Ｒ ２３５６７∨Ｅ
１ （９）（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ） ２８ＣＰ
（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ）） １９ＣＰ
従って、
（01）（08）により、
（09）
「公理系ＰＬ（公理４）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、
「仮定の規則（Ａ）」と「肯定肯定式（ＭＰＰ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１ （１）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２（２）Ｐ＆Ｑ Ａ
２（３）Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ （７） Ｐ＆Ｑ→Ｒ ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆Ｑ→Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５） Ｒ １４ＭＰＰ
１２ （６） Ｑ→Ｒ ３５ＣＰ
１ （７）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ２６ＣＰ
従って、
（10）により、
（11）
① Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
① Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
Ｐ＝（Ａ→Ｂ）
Ｑ＝ Ａ
Ｒ＝ Ｂ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）
②（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ
然るに、
（13）
① Ａ→Ａ≡「ＡならばＡである。」
といふ「論理式」は、「同一律（トートロジー）」である。
従って、
（13）により、
（14）
① （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）≡「（ＡならばＢである）ならば（ＡならばＢである）。」
であっても、「同一律（トートロジー）」である。
然るに、
（15）
②（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ ≡「（（ＡならばＢである）であってＡ）であるならばＢである。」
は、「肯定肯定式（ＭＰＰ）」である。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
① （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）≡ 「（ＡならばＢである）ならば（ＡならばＢである）。」
②（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ ≡「（（ＡならばＢである）であってＡ）であるならばＢである。」
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② は「肯定肯定式（ＭＰＰ）」である。
従って、
（16）により、
（17）
「肯定肯定式（ＭＰＰ）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（01）（16）（17）により、
（18）
「公理系ＰＬ（推論規則）」は、「肯定肯定式（ＭＰＰ）」である。
従って、
（01）（18）により、
（19）
「公理系ＰＬ（推論規則）」が「恒真式（トートロジー）」であることを、
「仮定の規則（Ａ）」と「＆‐除去（＆Ｅ）」と「肯定肯定式（ＭＰＰ）」と「条件的証明（ＣＰ）」と「＆‐導入（＆Ｉ）」で、「証明」出来る。
（20）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） Ｑ １＆Ｅ
８（８） ～Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
１ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
７ （７） ～Ｑ Ａ
７ （８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
１ ７ （９）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １８＆Ｉ
１ （ア） ～～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） Ｑ アＤＮ
１ （ウ） Ｐ＆ Ｑ ６イ＆Ｉ
従って、
（20）により、
（21）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（20）（21）により、
（22）
「公理系ＰＬ（定義１）」は、
仮定の規則（Ａ）」と「＆‐除去（＆Ｅ）」と「＆‐導入（＆Ｉ）」と「背理法（ＲＡＡ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「二重否定（ＤＮ）」で、「証明」出来る。
然るに、
（23）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｑ ７ＤＮ
１ （９） ～Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） ２３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エキＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（23）により、
（24）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（23）（24）により、
（25）
「公理系ＰＬ（定義２）」は、
「仮定の規則（Ａ）」と「＆‐除去（＆Ｅ）」と「肯定肯定式（ＭＰＰ）」と「＆‐導入（＆Ｉ）」と「背理法（ＲＡＡ）」と「二重否定（ＤＮ）」と「∨‐導入（∨Ｉ）」と「∨‐除去（∨Ｅ）」と「条件的証明（ＣＰ）」で、「証明」出来る。
従って、
（01）～（25）により、
（26）
公理系ＰＬ
公理１ （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
公理２ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
公理３ （Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）
公理４ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ））
推論規則 Ｐ→Ｑ と Ｐ から Ｑ を導いてもよい。
定義１ Ｐ＆Ｑ は ～（～Ｐ∨～Ｑ）の略記である。
定義２ Ｐ→Ｑ は ～Ｐ∨Ｑ の略記である。
の全ては、『（E.J.レモンの）自然演繹の規則』で、「証明」出来る。
然るに、
（16）（17）（18）により、
（27）
もう一度、確認すると、
① （Ａ→Ｂ）→（Ａ→Ｂ）≡ 「（ＡならばＢである）ならば（ＡならばＢである）。」
②（（Ａ→Ｂ）＆Ａ）→Ｂ ≡「（（ＡならばＢである）であってＡ）であるならばＢである。」
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② は「肯定肯定式（ＭＰＰ）」 であって、
② は「公理系ＰＬ（推論規則）」である。
然るに、
（01）～（09）により、
（28）
公理１ （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
公理２ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
公理３ （Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）
公理４ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ∨Ｒ）→（Ｑ∨Ｒ））
は、全て、「恒真式（トートロジー）」であるし、
公理２ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
の場合は、『（E.J.レモンの）自然演繹の規則』でいふ所の、「∨‐導入の規則（∨Ｉ）」である。
従って、
（27）（28）により、
（29）
「公理（Axioms）」も、「規則（Rules）」も、結局は、「恒真式（tautology）」である。
然るに、
（30）
もし証明をやってみたいのであれば、もっと証明がやりやすい公理系として「自然演繹」と呼ばれる公理系がありますから、それをお薦めします。
（矢野茂樹、まったくゼロからの論理学、2020年、１７０頁）
然るに、
（31）
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌ は、証明の構文規則に関する「10個の基本的規則（Primitive rules）」だけを持つ。
（ウィキペディア改）
従って、
（29）（30）（31）
（32）
「自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。」とは、言ふものの、「規則（Rules）」も、「公理（Axioms）」の「一種」である。
令和０２年０９月０９日、毛利太。
2020年9月8日火曜日
「パースの法則」と「含意の定義（Ⅰ＆Ⅱ）」と「ド・モルガンの法則」。
―「昨日（令和０２年０９月０７日）の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２（５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） ～（ Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（ Ｐ＆～Ｑ）＆
（ Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） （～Ｐ∨ Ｑ） オＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （４） ～Ｐ Ａ
２ （５） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
３ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８（８） Ｑ Ａ
２ （９） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ８（ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８（イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～（Ｐ＆～Ｑ １３７８イＲＡＡ
１２ （エ） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） ２ウ＆Ｉ
１ （オ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２エＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ であるものの、
①＝② を、「含意の定義（Ⅰ）」とし、
① ＝ ③ を、「含意の定義（Ⅱ）」とし、
②＝③ を、「ド・モルガンの法則」とする。
然るに、
（06）
―「パースの法則」の「証明」―
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
従って、
（06）により、
（07）
④（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式（パースの法則）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
（ⅳ）
１（１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１（２） （（～Ｐ∨ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
１（３）～（（～Ｐ∨ Ｑ）＆～Ｐ）→Ｐ １含意の定義（Ⅰ）
１（４）（～（～Ｐ∨ Ｑ）∨ Ｐ）→Ｐ ３ド・モルガンの法則
１（５） （（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ）→Ｐ ４ド・モルガンの法則
（ⅴ）
１（１） （（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ）→Ｐ Ａ１
１（２）（～（～Ｐ∨ Ｑ）∨ Ｐ）→Ｐ １ド・モルガンの法則
１（３）～（（～Ｐ∨ Ｑ）＆～Ｐ）→Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） （（～Ｐ∨ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ ３含意の定義（Ⅰ）
１（５） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ ４含意の定義（Ⅱ）
従って、
（08）により、
（09）
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（10）
（ⅳ）
１ （１） （ Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２）～（ Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
３ （３）～（ Ｐ→Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３含意の定義（Ⅱ）
３ （５） （Ｐ＆～Ｑ） ４ド・モルガンの法則
３ （６） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ５∨Ｉ
７（７） Ｐ Ａ
７（８） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
（ⅴ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４）～（ Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ａ
５（６）～（ Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ５∨Ｉ
１ （７）～（ Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １２４５６∨Ｅ
１ （８） （ Ｐ→Ｑ）→Ｐ ７含意の定義（Ⅱ）
従って、
（10）により、
（11）
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於ける、
④ （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）
⑤ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
従って、
（07）（11）により、
（12）
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
⑤ は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
（ⅴ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は、実際に、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）（11）（13）（14）により、
（15）
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は、「両方」とも、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
④＝⑤ である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ であるが故に、
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は、「両方」とも、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
④＝⑤ である。
従って、
（16）により、
（17）
「日本語」で言ふならば、
① Ｐであるならば、Ｑである。
②（Ｐであって、Ｑでない）といふことはない。
③ Ｐでないか、または、Ｑであるか、または、その両方である。
に於いて、
①＝②＝③ であるが故に、
④（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
⑤（（Ｐであって、Ｑでないか）、または、Ｐであるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、Ｐである。
といふ「日本語」は、「両方」とも、「恒に真である」。
然るに、
（18）
④（（日本人であるならば、女性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
⑤（（日本人であって、女性でないか）、または、日本人であるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
に於いて、
④ は、「明らかに、ヲカシク」、
⑤ は、「明らかに、正しい」。
然るに、
（19）
④（（日本人であるならば、女性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
⑤（（日本人であって、女性でないか）、または、日本人であるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
ではなく、
④（（日本人であるならば、男性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
⑤（（日本人であって、男性でないか）、または、日本人であるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
であったとしても、
④ は、「明らかに、ヲカシク」、
⑤ は、「明らかに、正しい」。
然るに、
（18）（19）により、
（20）
⑤（（日本人であって、女性でないか）、または、日本人であるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
⑤（（日本人であって、男性でないか）、または、日本人であるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
に於いて、「両方とも」、「明らかに、正しい」といふことは、
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於ける、
⑤ ～Ｑ
は、「真」であっても、「偽」であっても、「どちらでも良い」。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（17）～（20）により、
（21）
④（（日本人であるならば、女性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
⑤（（日本人であって、女性でないか）、または、日本人であるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
に於いて、
④ は、「明らかに、ヲカシク」、
⑤ は、「明らかに、正しい」。
といふことは、
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於ける、
④ ～Ｑ
⑤ ～Ｑ
は、「真」であっても、「偽」であっても、「どちらでも良い」。
といふことが、
④ からは、「分かり難く」、
⑤ からは、「分かり易い」。
といふことを、「意味」してゐる。
令和０２年０９月０８日、毛利太。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２（５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） ～（ Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（ Ｐ＆～Ｑ）＆
（ Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） （～Ｐ∨ Ｑ） オＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （４） ～Ｐ Ａ
２ （５） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
３ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８（８） Ｑ Ａ
２ （９） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ８（ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８（イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～（Ｐ＆～Ｑ １３７８イＲＡＡ
１２ （エ） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） ２ウ＆Ｉ
１ （オ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２エＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ であるものの、
①＝② を、「含意の定義（Ⅰ）」とし、
① ＝ ③ を、「含意の定義（Ⅱ）」とし、
②＝③ を、「ド・モルガンの法則」とする。
然るに、
（06）
―「パースの法則」の「証明」―
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
従って、
（06）により、
（07）
④（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式（パースの法則）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
（ⅳ）
１（１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１（２） （（～Ｐ∨ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
１（３）～（（～Ｐ∨ Ｑ）＆～Ｐ）→Ｐ １含意の定義（Ⅰ）
１（４）（～（～Ｐ∨ Ｑ）∨ Ｐ）→Ｐ ３ド・モルガンの法則
１（５） （（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ）→Ｐ ４ド・モルガンの法則
（ⅴ）
１（１） （（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ）→Ｐ Ａ１
１（２）（～（～Ｐ∨ Ｑ）∨ Ｐ）→Ｐ １ド・モルガンの法則
１（３）～（（～Ｐ∨ Ｑ）＆～Ｐ）→Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） （（～Ｐ∨ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ ３含意の定義（Ⅰ）
１（５） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ ４含意の定義（Ⅱ）
従って、
（08）により、
（09）
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（10）
（ⅳ）
１ （１） （ Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２）～（ Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
３ （３）～（ Ｐ→Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３含意の定義（Ⅱ）
３ （５） （Ｐ＆～Ｑ） ４ド・モルガンの法則
３ （６） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ５∨Ｉ
７（７） Ｐ Ａ
７（８） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
（ⅴ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４）～（ Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ａ
５（６）～（ Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ５∨Ｉ
１ （７）～（ Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １２４５６∨Ｅ
１ （８） （ Ｐ→Ｑ）→Ｐ ７含意の定義（Ⅱ）
従って、
（10）により、
（11）
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於ける、
④ （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）
⑤ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
従って、
（07）（11）により、
（12）
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
⑤ は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
（ⅴ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は、実際に、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）（11）（13）（14）により、
（15）
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は、「両方」とも、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
④＝⑤ である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ であるが故に、
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は、「両方」とも、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
④＝⑤ である。
従って、
（16）により、
（17）
「日本語」で言ふならば、
① Ｐであるならば、Ｑである。
②（Ｐであって、Ｑでない）といふことはない。
③ Ｐでないか、または、Ｑであるか、または、その両方である。
に於いて、
①＝②＝③ であるが故に、
④（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
⑤（（Ｐであって、Ｑでないか）、または、Ｐであるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、Ｐである。
といふ「日本語」は、「両方」とも、「恒に真である」。
然るに、
（18）
④（（日本人であるならば、女性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
⑤（（日本人であって、女性でないか）、または、日本人であるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
に於いて、
④ は、「明らかに、ヲカシク」、
⑤ は、「明らかに、正しい」。
然るに、
（19）
④（（日本人であるならば、女性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
⑤（（日本人であって、女性でないか）、または、日本人であるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
ではなく、
④（（日本人であるならば、男性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
⑤（（日本人であって、男性でないか）、または、日本人であるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
であったとしても、
④ は、「明らかに、ヲカシク」、
⑤ は、「明らかに、正しい」。
然るに、
（18）（19）により、
（20）
⑤（（日本人であって、女性でないか）、または、日本人であるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
⑤（（日本人であって、男性でないか）、または、日本人であるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
に於いて、「両方とも」、「明らかに、正しい」といふことは、
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於ける、
⑤ ～Ｑ
は、「真」であっても、「偽」であっても、「どちらでも良い」。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（17）～（20）により、
（21）
④（（日本人であるならば、女性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
⑤（（日本人であって、女性でないか）、または、日本人であるか、または、その両方である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
に於いて、
④ は、「明らかに、ヲカシク」、
⑤ は、「明らかに、正しい」。
といふことは、
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於ける、
④ ～Ｑ
⑤ ～Ｑ
は、「真」であっても、「偽」であっても、「どちらでも良い」。
といふことが、
④ からは、「分かり難く」、
⑤ からは、「分かり易い」。
といふことを、「意味」してゐる。
令和０２年０９月０８日、毛利太。
2020年9月6日日曜日
「弱選言」と「含意の定義」と「（偽物の）強選言」と「（本物の）強選言」。
（01）
「日本人か、男性。」のやうな「ＡかＢ」を、「弱選言（Weak disjunction）」といふ。
然るに、
（02）
① 日本人の男性。
② 日本人の女性。
③ 外国人の男性。
であれば、「その人は、日本人か、男性である。」
従って、
（02）により、
（03）
Ｎ＝日本人
Ｄ＝男性
とするならば、
① Ｎ＆ Ｄ
② Ｎ＆～Ｄ
③ ～Ｎ＆ Ｄ
④ ～Ｎ＆～Ｄ
に於いて、
④ 以外は、「日本人か、男性。」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
「日本人か、男性。」≡『「外国人の女性」以外。』
といふ「等式」が成立する。
然るに、
（05）
―「ド・モルガンの法則」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） Ｎ∨ Ｄ Ａ
２ （２） ～Ｎ＆～Ｄ Ａ
３ （３） Ｎ Ａ
２ （４） ～Ｎ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｎ＆～Ｎ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｎ＆～Ｄ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｄ Ａ
２ （８） ～Ｄ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｄ＆～Ｄ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｎ＆～Ｄ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｎ＆～Ｄ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｎ＆～Ｄ） Ａ
２ （２） ～（ Ｎ∨ Ｄ） Ａ
３ （３） Ｎ Ａ
３ （４） Ｎ∨ Ｄ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（ Ｎ∨ Ｄ）＆
（ Ｎ∨ Ｄ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｎ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｄ Ａ
７（８） Ｎ∨ Ｄ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（ Ｎ∨ Ｄ）＆
（ Ｎ∨ Ｄ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｄ ７ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｎ＆～Ｄ ６イ＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｎ＆～Ｄ）＆
（～Ｎ＆～Ｄ） １ウ＆Ｉ
１ （エ）～～（ Ｎ∨ Ｄ） ２エＲＡＡ
１ （オ） Ｎ∨ Ｄ オＤＮ
従って、
（05）により、
（06）
① Ｎ∨ Ｄ ≡ 「日本人か、男性。」
② ～（～Ｎ＆～Ｄ）≡「（外国人の、女性）以外。」
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
「弱選言」に対する、「ド・モルガンの法則」は、「日本語」としても、「命題計算」としても、「正しい」。
然るに、
（08）
「日本人か、外人。」のやうな「ＡかＢ」を、「強選言（Strong disjunction）」といふ。
然るに、
（09）
―「対偶」の「証明」―
（ⅲ）
１ （１） Ｎ→～Ｇ Ａ
２ （２） Ｇ Ａ
３（３） Ｎ Ａ
１ ３（４） ～Ｇ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｇ＆～Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｎ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｇ→～Ｎ ２６ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ｇ→～Ｎ Ａ
２ （２） Ｎ Ａ
３（３） Ｇ Ａ
１ ３（４） ～Ｎ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｎ＆～Ｎ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｇ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｎ→～Ｇ ２６ＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
③ Ｎ→～Ｇ≡日本人であるならば、外国人ではない。
④ Ｇ→～Ｎ≡外国人であるならば、日本人ではない。
に於いて、
③＝④ である（対偶）。
従って、
（10）により、
（11）
③ Ｎ→～Ｇ≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
であるため、（08）により、
③ Ｎ→～Ｇ≡「強選言（Strong disjunction）」
であるやうに、思へないでも、ない。
然るに、
（12）
―「含意の定義」の「証明」―
（ⅲ）
１ （１） Ｎ→～Ｇ Ａ
２ （２） Ｎ＆ Ｇ Ａ
２ （３） Ｎ ２＆Ｅ
１２ （４） ～Ｇ １３ＭＰＰ
２ （５） Ｇ ２＆Ｅ
１２ （６） ～Ｇ＆ Ｇ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｎ＆ Ｇ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｎ∨～Ｇ） Ａ
９ （９） ～Ｎ Ａ
９ （ア） ～Ｎ∨～Ｇ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｎ∨～Ｇ）＆
（～Ｎ∨～Ｇ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） Ｎ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｎ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｇ Ａ
オ（カ） ～Ｎ∨～Ｇ オ＆Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｎ∨～Ｇ）＆
（～Ｎ∨～Ｇ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） Ｇ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｎ＆ Ｇ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｎ＆ Ｇ）＆
（Ｎ＆ Ｇ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ） （～Ｎ∨～Ｇ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｎ∨～Ｇ サＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｎ∨～Ｇ Ａ
２ （２） Ｎ＆ Ｇ Ａ
３ （３） ～Ｎ Ａ
２ （４） Ｎ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｎ＆Ｎ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｎ＆ Ｇ） ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｇ Ａ
２ （８） Ｇ ２＆Ｅ
２ ７ （９） ～Ｇ＆ Ｇ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｎ＆ Ｇ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｎ＆ Ｇ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｎ Ａ
エ（エ） Ｇ Ａ
ウエ（オ） Ｎ＆ Ｇ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｎ＆ Ｇ）＆
（Ｎ＆ Ｇ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～Ｇ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） ～Ｇ キＤＮ
１ （ケ） Ｎ→～Ｇ ウクＣＮ
従って、
（12）により、
（13）
③ Ｎ→～Ｇ≡「日本人であるならば、外国人でない。」
④ ～Ｎ∨～Ｇ≡「日本人でないか、 外国人でない。」
に於いて、
③＝④ である（含意の定義）。
然るに、
（14）
④ ～Ｎ∨～Ｇ
に於いて、
Ｎ＝～Ｎ
Ｇ＝～Ｄ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
④ ～～Ｎ∨～～Ｄ
であるため、「二重否定（ＤＮ）」により、
④ Ｎ∨Ｄ
である。
然るに、
（06）（07）（08）により、
（15）
④ Ｎ∨Ｄ
は、「弱選言」であって、「強選言」ではない。
従って、
（11）（15）により、
（16）
③ Ｎ→～Ｇ≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
であるため、（08）により、
③ Ｎ→～Ｇ≡「強選言（Strong disjunction）」
であるやうに、思へないでも、ないものの、その一方で、
③ Ｎ→～Ｇ
④ ～Ｎ∨～Ｇ
に於いて、
③＝④ であるため、
③ Ｎ→～Ｇ≡「強選言（Strong disjunction）」
ではない。
然るに、
（17）
―「（本物の）強選言」の「証明」―
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｎ⇔Ｇ） Ａ
１ （２）～｛（Ｎ→Ｇ）＆ （Ｇ→Ｎ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｎ→Ｇ）∨～（Ｇ→Ｎ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｎ→Ｇ） Ａ
４ （５）～（～Ｎ∨Ｇ） ４含意の定義
４ （６） Ｎ＆～Ｇ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｇ→Ｎ） Ａ
８（９） ～（～Ｇ∨Ｎ） ８含意の定義
８（ア） Ｇ∨～Ｎ ８ド・モルガンの法則
８（イ） （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ） １４７８イ∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ） Ａ
２ （２） （Ｎ＆～Ｇ） Ａ
２ （３）～（～Ｎ∨Ｇ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｎ→Ｇ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｎ→Ｇ）∨～（Ｇ→Ｎ） ４∨Ｉ
６（６） （Ｇ＆～Ｎ） Ａ
６（７） ～（～Ｇ∨Ｎ） ７ド・モルガンの法則
６（８） ～（Ｇ→Ｎ） ７含意の定義
６（９） ～（Ｎ→Ｇ）∨～（Ｇ→Ｎ） ８∨Ｉ
１ （ア） ～（Ｎ→Ｇ）∨～（Ｇ→Ｎ） １２５６９∨Ｅ
１ （イ）～｛（Ｎ→Ｇ）＆ （Ｇ→Ｎ）｝ ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ） ～（Ｎ⇔Ｇ） イＤｆ.⇔
従って、
（17）により、
（18）
③ ～（Ｎ⇔Ｇ）
④ （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（19）
④（Ｎ＆～Ｇ）≡「日本人であって、外国人ではない。」
⑤（Ｇ＆～Ｎ）≡「外国人であって、日本人ではない。」
であるならば、
④＆⑤ は、「矛盾（Contradiction）」であるため、
④と⑤ は、「同時には、真になれない。」
従って、 （19）により、
（20）
④（Ｎ＆～Ｇ）≡「日本人であって、外国人ではない。」
⑤（Ｇ＆～Ｎ）≡「外国人であって、日本人ではない。」
に於いて、
④ ならば、⑤ ではなく、
⑤ ならば、④ ではない。
従って、
（08）（18）（19）（20）により、
（21）
③ ～（Ｎ⇔Ｇ）
④ （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ）
に於いて、
③＝④ であって、尚且つ、
③ ～（Ｎ⇔Ｇ）≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
である。
従って、
（16）（21）により、
（22）
③ （Ｎ→～Ｇ）≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
③ ～（Ｎ⇔Ｇ）≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
に於いて、
「前者」は、「（偽物の）強選言」であって、
「後者」が、「（本物の）強選言」である。
令和０２年０９月０６日、毛利太。
「日本人か、男性。」のやうな「ＡかＢ」を、「弱選言（Weak disjunction）」といふ。
然るに、
（02）
① 日本人の男性。
② 日本人の女性。
③ 外国人の男性。
であれば、「その人は、日本人か、男性である。」
従って、
（02）により、
（03）
Ｎ＝日本人
Ｄ＝男性
とするならば、
① Ｎ＆ Ｄ
② Ｎ＆～Ｄ
③ ～Ｎ＆ Ｄ
④ ～Ｎ＆～Ｄ
に於いて、
④ 以外は、「日本人か、男性。」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
「日本人か、男性。」≡『「外国人の女性」以外。』
といふ「等式」が成立する。
然るに、
（05）
―「ド・モルガンの法則」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） Ｎ∨ Ｄ Ａ
２ （２） ～Ｎ＆～Ｄ Ａ
３ （３） Ｎ Ａ
２ （４） ～Ｎ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｎ＆～Ｎ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｎ＆～Ｄ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｄ Ａ
２ （８） ～Ｄ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｄ＆～Ｄ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｎ＆～Ｄ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｎ＆～Ｄ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｎ＆～Ｄ） Ａ
２ （２） ～（ Ｎ∨ Ｄ） Ａ
３ （３） Ｎ Ａ
３ （４） Ｎ∨ Ｄ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（ Ｎ∨ Ｄ）＆
（ Ｎ∨ Ｄ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｎ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｄ Ａ
７（８） Ｎ∨ Ｄ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（ Ｎ∨ Ｄ）＆
（ Ｎ∨ Ｄ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｄ ７ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｎ＆～Ｄ ６イ＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｎ＆～Ｄ）＆
（～Ｎ＆～Ｄ） １ウ＆Ｉ
１ （エ）～～（ Ｎ∨ Ｄ） ２エＲＡＡ
１ （オ） Ｎ∨ Ｄ オＤＮ
従って、
（05）により、
（06）
① Ｎ∨ Ｄ ≡ 「日本人か、男性。」
② ～（～Ｎ＆～Ｄ）≡「（外国人の、女性）以外。」
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
「弱選言」に対する、「ド・モルガンの法則」は、「日本語」としても、「命題計算」としても、「正しい」。
然るに、
（08）
「日本人か、外人。」のやうな「ＡかＢ」を、「強選言（Strong disjunction）」といふ。
然るに、
（09）
―「対偶」の「証明」―
（ⅲ）
１ （１） Ｎ→～Ｇ Ａ
２ （２） Ｇ Ａ
３（３） Ｎ Ａ
１ ３（４） ～Ｇ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｇ＆～Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｎ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｇ→～Ｎ ２６ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ｇ→～Ｎ Ａ
２ （２） Ｎ Ａ
３（３） Ｇ Ａ
１ ３（４） ～Ｎ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｎ＆～Ｎ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｇ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｎ→～Ｇ ２６ＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
③ Ｎ→～Ｇ≡日本人であるならば、外国人ではない。
④ Ｇ→～Ｎ≡外国人であるならば、日本人ではない。
に於いて、
③＝④ である（対偶）。
従って、
（10）により、
（11）
③ Ｎ→～Ｇ≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
であるため、（08）により、
③ Ｎ→～Ｇ≡「強選言（Strong disjunction）」
であるやうに、思へないでも、ない。
然るに、
（12）
―「含意の定義」の「証明」―
（ⅲ）
１ （１） Ｎ→～Ｇ Ａ
２ （２） Ｎ＆ Ｇ Ａ
２ （３） Ｎ ２＆Ｅ
１２ （４） ～Ｇ １３ＭＰＰ
２ （５） Ｇ ２＆Ｅ
１２ （６） ～Ｇ＆ Ｇ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｎ＆ Ｇ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｎ∨～Ｇ） Ａ
９ （９） ～Ｎ Ａ
９ （ア） ～Ｎ∨～Ｇ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｎ∨～Ｇ）＆
（～Ｎ∨～Ｇ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） Ｎ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｎ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｇ Ａ
オ（カ） ～Ｎ∨～Ｇ オ＆Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｎ∨～Ｇ）＆
（～Ｎ∨～Ｇ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） Ｇ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｎ＆ Ｇ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｎ＆ Ｇ）＆
（Ｎ＆ Ｇ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ） （～Ｎ∨～Ｇ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｎ∨～Ｇ サＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｎ∨～Ｇ Ａ
２ （２） Ｎ＆ Ｇ Ａ
３ （３） ～Ｎ Ａ
２ （４） Ｎ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｎ＆Ｎ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｎ＆ Ｇ） ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｇ Ａ
２ （８） Ｇ ２＆Ｅ
２ ７ （９） ～Ｇ＆ Ｇ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｎ＆ Ｇ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｎ＆ Ｇ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｎ Ａ
エ（エ） Ｇ Ａ
ウエ（オ） Ｎ＆ Ｇ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｎ＆ Ｇ）＆
（Ｎ＆ Ｇ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～Ｇ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） ～Ｇ キＤＮ
１ （ケ） Ｎ→～Ｇ ウクＣＮ
従って、
（12）により、
（13）
③ Ｎ→～Ｇ≡「日本人であるならば、外国人でない。」
④ ～Ｎ∨～Ｇ≡「日本人でないか、 外国人でない。」
に於いて、
③＝④ である（含意の定義）。
然るに、
（14）
④ ～Ｎ∨～Ｇ
に於いて、
Ｎ＝～Ｎ
Ｇ＝～Ｄ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
④ ～～Ｎ∨～～Ｄ
であるため、「二重否定（ＤＮ）」により、
④ Ｎ∨Ｄ
である。
然るに、
（06）（07）（08）により、
（15）
④ Ｎ∨Ｄ
は、「弱選言」であって、「強選言」ではない。
従って、
（11）（15）により、
（16）
③ Ｎ→～Ｇ≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
であるため、（08）により、
③ Ｎ→～Ｇ≡「強選言（Strong disjunction）」
であるやうに、思へないでも、ないものの、その一方で、
③ Ｎ→～Ｇ
④ ～Ｎ∨～Ｇ
に於いて、
③＝④ であるため、
③ Ｎ→～Ｇ≡「強選言（Strong disjunction）」
ではない。
然るに、
（17）
―「（本物の）強選言」の「証明」―
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｎ⇔Ｇ） Ａ
１ （２）～｛（Ｎ→Ｇ）＆ （Ｇ→Ｎ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｎ→Ｇ）∨～（Ｇ→Ｎ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｎ→Ｇ） Ａ
４ （５）～（～Ｎ∨Ｇ） ４含意の定義
４ （６） Ｎ＆～Ｇ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｇ→Ｎ） Ａ
８（９） ～（～Ｇ∨Ｎ） ８含意の定義
８（ア） Ｇ∨～Ｎ ８ド・モルガンの法則
８（イ） （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ） １４７８イ∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ） Ａ
２ （２） （Ｎ＆～Ｇ） Ａ
２ （３）～（～Ｎ∨Ｇ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｎ→Ｇ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｎ→Ｇ）∨～（Ｇ→Ｎ） ４∨Ｉ
６（６） （Ｇ＆～Ｎ） Ａ
６（７） ～（～Ｇ∨Ｎ） ７ド・モルガンの法則
６（８） ～（Ｇ→Ｎ） ７含意の定義
６（９） ～（Ｎ→Ｇ）∨～（Ｇ→Ｎ） ８∨Ｉ
１ （ア） ～（Ｎ→Ｇ）∨～（Ｇ→Ｎ） １２５６９∨Ｅ
１ （イ）～｛（Ｎ→Ｇ）＆ （Ｇ→Ｎ）｝ ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ） ～（Ｎ⇔Ｇ） イＤｆ.⇔
従って、
（17）により、
（18）
③ ～（Ｎ⇔Ｇ）
④ （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（19）
④（Ｎ＆～Ｇ）≡「日本人であって、外国人ではない。」
⑤（Ｇ＆～Ｎ）≡「外国人であって、日本人ではない。」
であるならば、
④＆⑤ は、「矛盾（Contradiction）」であるため、
④と⑤ は、「同時には、真になれない。」
従って、 （19）により、
（20）
④（Ｎ＆～Ｇ）≡「日本人であって、外国人ではない。」
⑤（Ｇ＆～Ｎ）≡「外国人であって、日本人ではない。」
に於いて、
④ ならば、⑤ ではなく、
⑤ ならば、④ ではない。
従って、
（08）（18）（19）（20）により、
（21）
③ ～（Ｎ⇔Ｇ）
④ （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ）
に於いて、
③＝④ であって、尚且つ、
③ ～（Ｎ⇔Ｇ）≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
である。
従って、
（16）（21）により、
（22）
③ （Ｎ→～Ｇ）≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
③ ～（Ｎ⇔Ｇ）≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
に於いて、
「前者」は、「（偽物の）強選言」であって、
「後者」が、「（本物の）強選言」である。
令和０２年０９月０６日、毛利太。
2020年9月5日土曜日
「前件否定の誤謬」と「漢文法基礎（二畳庵主人）、Ｐ３２５」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１ ３（４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｑ＆～Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｐ ３ＲＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｑ→ Ｐ ２７ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｑ→ Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
１ ３（４） Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｐ＆Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｑ→ Ｐ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ→～Ｑ≡Ｐでないならば、Ｑでない。
② Ｑ→ Ｐ≡Ｑであるならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② である（対偶）。
然るに、
（03）
② Ｑ→ Ｐ≡Ｑであるならば、Ｐである。
③ Ｐ→ Ｑ≡Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
②＝③ ではない。
ｃｆ.
「順が真であるとして、その逆も真であるとは、限らない。」
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～Ｐ→～Ｑ≡Ｐでないならば、Ｑでない。
② Ｑ→ Ｐ≡Ｑであるならば、Ｐである。
③ Ｐ→ Ｑ≡Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①＝② であるが、
①＝③ ではない。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）Ｐでないならば、Ｑでない。然るに、Ｐでない。故に、Ｑでない。
（ⅱ）Ｐであるならば、Ｑである。然るに、Ｐでない。故に、Ｑでない。
に於いて、
（ⅰ）は、「推論」として「正しい」ものの、
（ⅱ）は、「推論」として「間違ひ」であって、このとき、
（〃）を、「前件否定の誤謬」といふ。
従って、
（05）により、
（06）
「記号」で書くと、
（ⅰ）～Ｐ→～Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ
に於いて、
（ⅱ）は、「前件否定の誤謬」である。
然るに、
（07）
（ⅰ）～Ｐ→～Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝ Ｒ
といふ「代入」を行ふと、
（ⅰ）～～Ｐ→～Ｒ，～～Ｐ├ ～Ｒ
（ⅱ） ～Ｐ→ Ｒ，～～Ｐ├ ～Ｒ
然るに、
（08）
「二重否定律」により、
～～Ｐ＝Ｐ
従って、
（07）（08）により、
（09）
（ⅰ）～～Ｐ→～Ｒ，～～Ｐ├ ～Ｒ
（ⅱ） ～Ｐ→ Ｒ，～～Ｐ├ ～Ｒ
といふ「連式」は、
（ⅰ） Ｐ→～Ｒ，Ｐ├ ～Ｒ
（ⅱ）～Ｐ→ Ｒ，Ｐ├ ～Ｒ
といふ「連式」に、「等しい」。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
（ⅰ） Ｐ→～Ｒ，Ｐ├ ～Ｒ
（ⅱ）～Ｐ→ Ｒ，Ｐ├ ～Ｒ
に於いて、
（ⅱ）は、「前件否定の誤謬」である。
然るに、
（11）
Ｐ＝弁舌がある （祝鮀のやうな弁舌が有る）。
Ｑ＝ハンサムである（宋朝のやうな美貌が有る）。
Ｒ＝やっていけない（今の時世を無事に送ることは、難しい）。
～Ｒ＝やっていける （今の時世を無事に送ることは、易しい）。
とするならば、
① ～Ｐ＆Ｑ→Ｒ
といふ「論理式（命題）」は、
① 不有祝鮀之佞、而有宋朝之美、難乎、免於今之世矣＝
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣⇒
① 〔（祝鮀之佞）有〕不、而（宋朝之美）有、難乎、（於今之世）免矣＝
① 〔（祝鮀の佞）有ら〕ずして、而も（宋朝の美）有らば、難いかな、（今に世に）免るること＝
① 〔（祝鮀のやうな弁舌が）有る〕のではなく、而も（宋朝のやうな美貌が）有るだけならば、難しいことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
といふ「漢文訓読」に、相当する。
然るに、
（11）により、
（12）
（ⅰ）（Ｑ＆～Ｐ→Ｒ），（Ｑ＆Ｐ）├ ～Ｒ
といふ「連式」は、
（ⅰ）（ハンサムではあっても、弁舌がなければ、やってゆけない。）然るに、（ハンサムであって、弁舌がある。）従って、やっていける。
といふ「意味」である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
（ⅰ）（ハンサムではあっても、弁舌がなければ、やってゆけない。）然るに、（ハンサムであって、弁舌がある。）従って、やっていける。
といふ「推論」は、「前件否定の誤謬」である。
然るに、
（14）
（ⅰ）弁舌がなければ、やってゆけない。
といふことは、
（ⅰ）弁舌があることは、「やってゆく」ための「必要条件」である。
といふことである。
然るに、
（ⅱ）弁舌を兼ね備えてこそ、はじめてやってゆける。
といふのであれば、この場合も、
（ⅱ）弁舌があることは、「やってゆく」ための「必要条件」である。
といふことである。
従って、
（13）（14）により、
（15）
（ⅰ）（ハンサムではあっても、弁舌がなければ、やってゆけない。） 然るに、（ハンサムであって、弁舌がある。）従って、やっていける。
（ⅱ）（ハンサムの上に弁舌を兼ねそなえてこそ、はじめてやってゆける。）然るに、（ハンサムであって、弁舌がある。）従って、やっていける。
といふ「言ひ方」は、両方とも、「前件否定の誤謬」である。
然るに、
（16）
そこで話をもとにもどしてみる。 ① の場合、－ａ＋ｂであると訳すと「弁舌はなくて、ハンサムというのは、あぶない（ハンサムの上に弁舌を兼ねそなえてこそ、はじめてやってゆける）」ということになる。 （二畳庵主人、漢文法基礎、1984年10月、３２５頁）。
従って、
（01）～（16）により、
（17）
（16）で引用した、 「漢文法基礎（二畳庵主人）、Ｐ３２５」は、
（ⅰ）（ハンサムであるとしても）弁舌がなければ、やってゆけない。然るに、弁舌がない。故に。やってゆけない。
（ⅱ）（ハンサムであるとしても）弁舌がなければ、やってゆけない。然るに、弁舌がある。故に。やってゆける。
に於ける、
（ⅰ）ではなく、
（ⅱ）であるが故に、「前件否定の誤謬」である。
令和０２年０９月０５日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１ ３（４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｑ＆～Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｐ ３ＲＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｑ→ Ｐ ２７ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｑ→ Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
１ ３（４） Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｐ＆Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｑ→ Ｐ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ→～Ｑ≡Ｐでないならば、Ｑでない。
② Ｑ→ Ｐ≡Ｑであるならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② である（対偶）。
然るに、
（03）
② Ｑ→ Ｐ≡Ｑであるならば、Ｐである。
③ Ｐ→ Ｑ≡Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
②＝③ ではない。
ｃｆ.
「順が真であるとして、その逆も真であるとは、限らない。」
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～Ｐ→～Ｑ≡Ｐでないならば、Ｑでない。
② Ｑ→ Ｐ≡Ｑであるならば、Ｐである。
③ Ｐ→ Ｑ≡Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①＝② であるが、
①＝③ ではない。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）Ｐでないならば、Ｑでない。然るに、Ｐでない。故に、Ｑでない。
（ⅱ）Ｐであるならば、Ｑである。然るに、Ｐでない。故に、Ｑでない。
に於いて、
（ⅰ）は、「推論」として「正しい」ものの、
（ⅱ）は、「推論」として「間違ひ」であって、このとき、
（〃）を、「前件否定の誤謬」といふ。
従って、
（05）により、
（06）
「記号」で書くと、
（ⅰ）～Ｐ→～Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ
に於いて、
（ⅱ）は、「前件否定の誤謬」である。
然るに、
（07）
（ⅰ）～Ｐ→～Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝ Ｒ
といふ「代入」を行ふと、
（ⅰ）～～Ｐ→～Ｒ，～～Ｐ├ ～Ｒ
（ⅱ） ～Ｐ→ Ｒ，～～Ｐ├ ～Ｒ
然るに、
（08）
「二重否定律」により、
～～Ｐ＝Ｐ
従って、
（07）（08）により、
（09）
（ⅰ）～～Ｐ→～Ｒ，～～Ｐ├ ～Ｒ
（ⅱ） ～Ｐ→ Ｒ，～～Ｐ├ ～Ｒ
といふ「連式」は、
（ⅰ） Ｐ→～Ｒ，Ｐ├ ～Ｒ
（ⅱ）～Ｐ→ Ｒ，Ｐ├ ～Ｒ
といふ「連式」に、「等しい」。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
（ⅰ） Ｐ→～Ｒ，Ｐ├ ～Ｒ
（ⅱ）～Ｐ→ Ｒ，Ｐ├ ～Ｒ
に於いて、
（ⅱ）は、「前件否定の誤謬」である。
然るに、
（11）
Ｐ＝弁舌がある （祝鮀のやうな弁舌が有る）。
Ｑ＝ハンサムである（宋朝のやうな美貌が有る）。
Ｒ＝やっていけない（今の時世を無事に送ることは、難しい）。
～Ｒ＝やっていける （今の時世を無事に送ることは、易しい）。
とするならば、
① ～Ｐ＆Ｑ→Ｒ
といふ「論理式（命題）」は、
① 不有祝鮀之佞、而有宋朝之美、難乎、免於今之世矣＝
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣⇒
① 〔（祝鮀之佞）有〕不、而（宋朝之美）有、難乎、（於今之世）免矣＝
① 〔（祝鮀の佞）有ら〕ずして、而も（宋朝の美）有らば、難いかな、（今に世に）免るること＝
① 〔（祝鮀のやうな弁舌が）有る〕のではなく、而も（宋朝のやうな美貌が）有るだけならば、難しいことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
といふ「漢文訓読」に、相当する。
然るに、
（11）により、
（12）
（ⅰ）（Ｑ＆～Ｐ→Ｒ），（Ｑ＆Ｐ）├ ～Ｒ
といふ「連式」は、
（ⅰ）（ハンサムではあっても、弁舌がなければ、やってゆけない。）然るに、（ハンサムであって、弁舌がある。）従って、やっていける。
といふ「意味」である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
（ⅰ）（ハンサムではあっても、弁舌がなければ、やってゆけない。）然るに、（ハンサムであって、弁舌がある。）従って、やっていける。
といふ「推論」は、「前件否定の誤謬」である。
然るに、
（14）
（ⅰ）弁舌がなければ、やってゆけない。
といふことは、
（ⅰ）弁舌があることは、「やってゆく」ための「必要条件」である。
といふことである。
然るに、
（ⅱ）弁舌を兼ね備えてこそ、はじめてやってゆける。
といふのであれば、この場合も、
（ⅱ）弁舌があることは、「やってゆく」ための「必要条件」である。
といふことである。
従って、
（13）（14）により、
（15）
（ⅰ）（ハンサムではあっても、弁舌がなければ、やってゆけない。） 然るに、（ハンサムであって、弁舌がある。）従って、やっていける。
（ⅱ）（ハンサムの上に弁舌を兼ねそなえてこそ、はじめてやってゆける。）然るに、（ハンサムであって、弁舌がある。）従って、やっていける。
といふ「言ひ方」は、両方とも、「前件否定の誤謬」である。
然るに、
（16）
そこで話をもとにもどしてみる。 ① の場合、－ａ＋ｂであると訳すと「弁舌はなくて、ハンサムというのは、あぶない（ハンサムの上に弁舌を兼ねそなえてこそ、はじめてやってゆける）」ということになる。 （二畳庵主人、漢文法基礎、1984年10月、３２５頁）。
従って、
（01）～（16）により、
（17）
（16）で引用した、 「漢文法基礎（二畳庵主人）、Ｐ３２５」は、
（ⅰ）（ハンサムであるとしても）弁舌がなければ、やってゆけない。然るに、弁舌がない。故に。やってゆけない。
（ⅱ）（ハンサムであるとしても）弁舌がなければ、やってゆけない。然るに、弁舌がある。故に。やってゆける。
に於ける、
（ⅰ）ではなく、
（ⅱ）であるが故に、「前件否定の誤謬」である。
令和０２年０９月０５日、毛利太。
2020年9月4日金曜日
「選言」と「仮言命題」と「論語・雍也 一六」と「漢文法基礎（加地伸行）のマチガイ」。
（01）
（α）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
（β）
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｉ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
（γ）
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
（α）「Ｐである」ならば「～（～Ｐ＆～Ｑ）」であり、尚且つ、
（β）「Ｑである」ならば「～（～Ｐ＆～Ｑ）」である。が故に、
（γ）いづれにせよ、 「～（～Ｐ＆～Ｑ）」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「命題論理」に於ける、
（α）Ｐ∨Ｑ≡「Ｐであるか、または、Ｑである。」
といふ「論理式（弱選言）」は、
（α）Ｐ∨Ｑ≡「Ｐであるか、または、Ｑであるか（、または、ＰであってＱである）。」
といふ「意味」である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）Ｐであるか、または、Ｑである。 然るに、
（ⅱ）Ｐである。 故に、
（ⅲ）Ｑでない。
といふ「推論（三段論法）」は、「命題論理」に於いては、「妥当」ではない。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｉ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （イ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ６オ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） Ｐ Ａ
９ （ア） Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～Ｐ ９イＲＡＡ
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） Ｐ∨ Ｑ エ
８ エ （カ） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ８オ＆Ｉ
８ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
８ （ク） ～Ｐ＆～Ｑ ウキ＆Ｉ
１ ８ （ケ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ７ク＆Ｉ
１ （コ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ８ケＲＡＡ
１ （サ） （ Ｐ∨ Ｑ） コＤＮ
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ∨Ｑ≡「Ｐであるか、または、Ｑであるか（、または、ＰであってＱである）。」
② ～Ｐ→Ｑ≡「Ｐでないならば、Ｑである。」
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）Ｐであるか、または、Ｑであるか（、または、ＰであってＱである）。 然るに、
（ⅱ）Ｐでない。 故に、
（ⅲ）Ｑである。
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
「記号」で書くとして、
（ａ）Ｐ∨Ｑ， Ｐ├ ～Ｑ
（ｂ）Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
に於いて、
（ａ）は、「推論」として、「妥当」ではなく、
（ｂ）は、「推論」として、「妥当」である。
然るに、
（06）により、
（09）
① Ｐ∨Ｑ
② ～Ｐ→Ｑ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
① ～Ｐ∨Ｑ
② ～～Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）により、
（10）
「二重否定律」により、
① ～Ｐ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（11）
―「ド・モルガンの法則」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６イ＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （エ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（10）（11）により、
（12）
「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」と「二重否定律」により、
① ～Ｐ＆Ｑ →Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」は、
① ～（～Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ
② ～～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ
といふ「論理式」に、更には、
① （Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
② （Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ
といふ「論理式」に、「等しい」。
従って、
（12）により、
（13）
① ｛～Ｐ＆Ｑ →Ｒ｝⇔｛（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝
②｛～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝⇔｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ｝
といふ「２つの等式」が、成立する。
従って、
（08）（13）により、
（14）
①｛（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝，～（Ｐ∨～Ｑ）├ Ｒ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ｝，～（Ｐ＆ Ｑ）├ Ｒ
といふ「推論」、すなはち、
① ｛～Ｐ＆Ｑ →Ｒ｝，～（Ｐ∨～Ｑ）├ Ｒ
②｛～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝，～（Ｐ＆ Ｑ）├ Ｒ
といふ「推論」は「妥当」であるが、
①｛（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝， （Ｐ∨～Ｑ）├ ～Ｒ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ｝， （Ｐ＆ Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」、すなはち、
① ｛～Ｐ＆Ｑ →Ｒ｝， （Ｐ∨～Ｑ）├ ～Ｒ
②｛～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝， （Ｐ＆ Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」は「妥当」ではない。
然るに、
（15）
（ⅰ）
① 不有祝鮀之佞、而有宋朝之美、難乎、免於今之世矣＝
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣⇒
① 〔（祝鮀之佞）有〕不、而（宋朝之美）有、難乎、（於今之世）免矣＝
① 〔（祝鮀の佞）有ら〕ずして、而も（宋朝の美）有らば、難いかな、（今に世に）免るること＝
① 〔（祝鮀のやうな弁舌が）有る〕のではなく、而も（宋朝のやうな美貌が）有るだけならば、難しいことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
（ⅱ）
② 不有祝鮀之佞、而有宋朝之美、難乎、免於今之世矣＝
② 不〔有（祝鮀之佞）、而有（宋朝之美）〕、難乎、免（於今之世）矣⇒
② 〔（祝鮀之佞）有、而（宋朝之美）有〕不、難乎、（於今之世）免矣＝
② 〔（祝鮀の佞）有りて、而も（宋朝の美）有ら〕ずんば、難いかな、（今の世矣）免るること＝
② 〔（祝鮀のやうな弁舌が）有って、而も（宋朝のやうな美貌が）有る〕といふ、ことではないならば、難しいことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
然るに、
（16）
実はどちらも意味が通じるのである。
① のほうは、古注といって、伝統的な解釈であるが、
② のほうは、新注といって、朱熹（朱子）の解釈なのである。
（二畳庵主人、漢文法基礎、1984年10月、３２５・３２６頁）
然るに、
（17）
Ｐ＝祝鮀のやうな弁舌が有る。
Ｑ＝宋朝のやうな美貌が有る。
Ｒ＝今の時世を無事に送ることは、難しい。
とするならば、
① ～Ｐ＆Ｑ →Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」は、
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣。
② 不〔有（祝鮀之佞）、而有（宋朝之美）〕、難乎、免（於今之世）矣。
といふ「漢文」に「等しい」。
従って、
（14）（17）により、
（18）
① ～Ｐ＆Ｑ→Ｒ
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣。
に関して言へば、
① ｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，～（Ｐ∨～Ｑ）├ Ｒ
といふ「推論」は、「正しい」。
然るに、
（19）
「ド・モルガンの法則」により、
① ～（Ｐ∨～Ｑ） は、
① ～Ｐ＆ Ｑ に「等しい」。
従って、
（18）（19）により、
（20）
① ｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，～（Ｐ∨～Ｑ）├ Ｒ
といふ「推論」、すなはち、
① ｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，～Ｐ＆Ｑ├ Ｒ
といふ「推論（ＭＰＰ）」は、当然、「正しい」。
然るに、
（14）（17）により、
（21）
①｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝， （Ｐ∨～Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」、すなはち、
①｛（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝，（Ｐ∨～Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」は、「正しくない」。
然るに、
（22）
「連言除去（＆Ｅ）」と「選言導入（∨Ｉ）」により、
（ⅰ） Ｐ＆ Ｑ
（ⅱ） Ｐ＆～Ｑ
（ⅲ）～Ｐ＆ Ｑ
（ⅳ）～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
（ⅰ）ならば、（Ｐ∨～Ｑ）である。
（ⅱ）ならば、（Ｐ∨～Ｑ）である。
（ⅲ）ならば、（Ｐ∨～Ｑ）でない。
（ⅳ）ならば、（Ｐ∨～Ｑ）である。
従って、
（21）（22）により、
（23）
（１）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（Ｐ∨～Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」は、「正しくない」が故に、
（ⅰ）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（ Ｐ＆ Ｑ）├ ～Ｒ
（ⅱ）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（ Ｐ＆～Ｑ）├ ～Ｒ
（ⅲ）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（～Ｐ＆ Ｑ）├ ～Ｒ
（ⅳ）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（ Ｐ＆～Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「３つの推論」は、「正しくない」。
従って、
（23）により、
（24）
（ⅰ）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（ Ｐ＆ Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」は、「正しくない」。
然るに、
（25）
「交換法則」により、
① ～Ｐ＆Ｑ
① Ｐ＆Ｑ
といふ「連言」は、それぞれ、
① Ｑ＆～Ｐ
① Ｑ＆ Ｐ
といふ「連言」に「等しい」。
従って、
（24）（25）により、
（26）
（ⅰ）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（Ｐ＆Ｑ）├ ～Ｒ
（〃）｛Ｑ＆～Ｐ→Ｒ｝，（Ｑ＆Ｐ）├ ～Ｒ
といふ「推論」は、「正しくない」。
然るに、
（17）により、
（27）
Ｐ＝弁舌がある （祝鮀のやうな弁舌が有る）。
Ｑ＝ハンサムである（宋朝のやうな美貌が有る）。
Ｒ＝やっていけない（今の時世を無事に送ることは、難しい）。
～Ｒ＝やっていける （今の時世を無事に送ることは、易しい）。
とするならば、
① ～Ｐ＆Ｑ→Ｒ
といふ「論理式（命題）」は、
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣。
といふ「漢文」に「等しい」。
（25）（26）（27）により、
（28）
① ～Ｐ＆Ｑ→Ｒ
① Ｑ＆～Ｐ→Ｒ
といふ「論理式（命題）」は、
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣。
といふ「漢文」に「等しい」。
従って、
（21）～（28）により、
（29）
①｛（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝，（Ｐ∨～Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」、すなはち、
① ｛Ｑ＆～Ｐ→Ｒ｝，（Ｑ＆ Ｐ）├ ～Ｒ
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）｛ハンサムではあっても、弁舌がなければ、やってゆけない｝。 （ハンサムであって、弁舌がある）。従って、やっていける。
（〃）｛ハンサムの上に弁舌を兼ね備えてこそ、はじめてやってゆける｝。（ハンサムであって、弁舌がある）。従って、やっていける。
といふ「推論（前件否定の誤謬）」は、「正しくない」。
ｃｆ.
①｛Ｑ＆～Ｐ→Ｒ｝，（Ｑ＆Ｐ）├ ～Ｒ
であれば、
①｛Ｑ＆～Ｐ→Ｒ｝，（Ｑ＆～～Ｐ）├ ～Ｒ
であって、
①｛Ｑ＆～Ｐ→Ｒ｝，（Ｑ＆～～Ｐ）├ ～Ｒ
から、Ｑ を「除く」と、
①｛～Ｐ→Ｒ｝，（～～Ｐ）├ ～Ｒ
は、「前件否定の誤謬」である。
然るに、
（30）
「次（31）」に示す通り、「二畳庵主人（加地伸行 先生）」は、
（ⅰ）｛ハンサムではあっても、弁舌がなければ、やってゆけない｝。 （ハンサムであって、弁舌がある）。従って、やっていける。
（〃）｛ハンサムの上に弁舌を兼ね備えてこそ、はじめてやってゆける｝。（ハンサムであって、弁舌がある）。従って、やっていける。
といふ「推論（前件否定の誤謬）」は、「正しい」と、されてゐる。
（31）
そこで話をもとにもどしてみる。
① の場合、－ａ＋ｂであると訳すと「弁舌はなくて、ハンサムというのは、あぶない（ハンサムの上に弁舌を兼ねそなえてこそ、はじめてやってゆける）」ということになる。
（二畳庵主人、漢文法基礎、1984年10月、３２５・３２６頁）
然るに、
（32）
①｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝≡｛Ｐでなくて、Ｑであるならば、Ｒである。｝
ではなく、
①｛～Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ｝≡｛Ｐでなくて、Ｑであるならば、そのときに限って、Ｒである。｝
であるならば、「前件否定の誤謬」には、ならない。
然るに、
（17）により、
（33）
① 自非無祝鮀之佞而有宋朝之美者、難乎、免於今之世矣＝
① 自［非〔無（祝鮀之佞）而有（宋朝之美）者〕］、易乎、免（於今之世）矣⇒
① ［〔（祝鮀之佞）無而（宋朝之美）有者〕非］自、易乎、（於今之世）免矣＝
① ［〔（祝鮀の佞）無くして（宋朝の美）有る者に〕非ざる］自りは、易きかな、（今の世に）免るること。
であるならば、
①｛～Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ｝≡｛Ｐでなくて、Ｑであるならば、そのときに限って、Ｒである。｝
であり得る、はずであるが、（15）により、「原文（論語・雍也 一六）」は、そのやうには、なってゐない。
令和０２年０９月０４日、毛利太。
（α）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
（β）
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｉ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
（γ）
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
（α）「Ｐである」ならば「～（～Ｐ＆～Ｑ）」であり、尚且つ、
（β）「Ｑである」ならば「～（～Ｐ＆～Ｑ）」である。が故に、
（γ）いづれにせよ、 「～（～Ｐ＆～Ｑ）」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「命題論理」に於ける、
（α）Ｐ∨Ｑ≡「Ｐであるか、または、Ｑである。」
といふ「論理式（弱選言）」は、
（α）Ｐ∨Ｑ≡「Ｐであるか、または、Ｑであるか（、または、ＰであってＱである）。」
といふ「意味」である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）Ｐであるか、または、Ｑである。 然るに、
（ⅱ）Ｐである。 故に、
（ⅲ）Ｑでない。
といふ「推論（三段論法）」は、「命題論理」に於いては、「妥当」ではない。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｉ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （イ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ６オ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） Ｐ Ａ
９ （ア） Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～Ｐ ９イＲＡＡ
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） Ｐ∨ Ｑ エ
８ エ （カ） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ８オ＆Ｉ
８ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
８ （ク） ～Ｐ＆～Ｑ ウキ＆Ｉ
１ ８ （ケ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ７ク＆Ｉ
１ （コ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ８ケＲＡＡ
１ （サ） （ Ｐ∨ Ｑ） コＤＮ
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ∨Ｑ≡「Ｐであるか、または、Ｑであるか（、または、ＰであってＱである）。」
② ～Ｐ→Ｑ≡「Ｐでないならば、Ｑである。」
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）Ｐであるか、または、Ｑであるか（、または、ＰであってＱである）。 然るに、
（ⅱ）Ｐでない。 故に、
（ⅲ）Ｑである。
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
「記号」で書くとして、
（ａ）Ｐ∨Ｑ， Ｐ├ ～Ｑ
（ｂ）Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
に於いて、
（ａ）は、「推論」として、「妥当」ではなく、
（ｂ）は、「推論」として、「妥当」である。
然るに、
（06）により、
（09）
① Ｐ∨Ｑ
② ～Ｐ→Ｑ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
① ～Ｐ∨Ｑ
② ～～Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）により、
（10）
「二重否定律」により、
① ～Ｐ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（11）
―「ド・モルガンの法則」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６イ＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （エ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（10）（11）により、
（12）
「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」と「二重否定律」により、
① ～Ｐ＆Ｑ →Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」は、
① ～（～Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ
② ～～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ
といふ「論理式」に、更には、
① （Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
② （Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ
といふ「論理式」に、「等しい」。
従って、
（12）により、
（13）
① ｛～Ｐ＆Ｑ →Ｒ｝⇔｛（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝
②｛～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝⇔｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ｝
といふ「２つの等式」が、成立する。
従って、
（08）（13）により、
（14）
①｛（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝，～（Ｐ∨～Ｑ）├ Ｒ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ｝，～（Ｐ＆ Ｑ）├ Ｒ
といふ「推論」、すなはち、
① ｛～Ｐ＆Ｑ →Ｒ｝，～（Ｐ∨～Ｑ）├ Ｒ
②｛～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝，～（Ｐ＆ Ｑ）├ Ｒ
といふ「推論」は「妥当」であるが、
①｛（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝， （Ｐ∨～Ｑ）├ ～Ｒ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ｝， （Ｐ＆ Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」、すなはち、
① ｛～Ｐ＆Ｑ →Ｒ｝， （Ｐ∨～Ｑ）├ ～Ｒ
②｛～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝， （Ｐ＆ Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」は「妥当」ではない。
然るに、
（15）
（ⅰ）
① 不有祝鮀之佞、而有宋朝之美、難乎、免於今之世矣＝
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣⇒
① 〔（祝鮀之佞）有〕不、而（宋朝之美）有、難乎、（於今之世）免矣＝
① 〔（祝鮀の佞）有ら〕ずして、而も（宋朝の美）有らば、難いかな、（今に世に）免るること＝
① 〔（祝鮀のやうな弁舌が）有る〕のではなく、而も（宋朝のやうな美貌が）有るだけならば、難しいことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
（ⅱ）
② 不有祝鮀之佞、而有宋朝之美、難乎、免於今之世矣＝
② 不〔有（祝鮀之佞）、而有（宋朝之美）〕、難乎、免（於今之世）矣⇒
② 〔（祝鮀之佞）有、而（宋朝之美）有〕不、難乎、（於今之世）免矣＝
② 〔（祝鮀の佞）有りて、而も（宋朝の美）有ら〕ずんば、難いかな、（今の世矣）免るること＝
② 〔（祝鮀のやうな弁舌が）有って、而も（宋朝のやうな美貌が）有る〕といふ、ことではないならば、難しいことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
然るに、
（16）
実はどちらも意味が通じるのである。
① のほうは、古注といって、伝統的な解釈であるが、
② のほうは、新注といって、朱熹（朱子）の解釈なのである。
（二畳庵主人、漢文法基礎、1984年10月、３２５・３２６頁）
然るに、
（17）
Ｐ＝祝鮀のやうな弁舌が有る。
Ｑ＝宋朝のやうな美貌が有る。
Ｒ＝今の時世を無事に送ることは、難しい。
とするならば、
① ～Ｐ＆Ｑ →Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」は、
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣。
② 不〔有（祝鮀之佞）、而有（宋朝之美）〕、難乎、免（於今之世）矣。
といふ「漢文」に「等しい」。
従って、
（14）（17）により、
（18）
① ～Ｐ＆Ｑ→Ｒ
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣。
に関して言へば、
① ｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，～（Ｐ∨～Ｑ）├ Ｒ
といふ「推論」は、「正しい」。
然るに、
（19）
「ド・モルガンの法則」により、
① ～（Ｐ∨～Ｑ） は、
① ～Ｐ＆ Ｑ に「等しい」。
従って、
（18）（19）により、
（20）
① ｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，～（Ｐ∨～Ｑ）├ Ｒ
といふ「推論」、すなはち、
① ｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，～Ｐ＆Ｑ├ Ｒ
といふ「推論（ＭＰＰ）」は、当然、「正しい」。
然るに、
（14）（17）により、
（21）
①｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝， （Ｐ∨～Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」、すなはち、
①｛（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝，（Ｐ∨～Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」は、「正しくない」。
然るに、
（22）
「連言除去（＆Ｅ）」と「選言導入（∨Ｉ）」により、
（ⅰ） Ｐ＆ Ｑ
（ⅱ） Ｐ＆～Ｑ
（ⅲ）～Ｐ＆ Ｑ
（ⅳ）～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
（ⅰ）ならば、（Ｐ∨～Ｑ）である。
（ⅱ）ならば、（Ｐ∨～Ｑ）である。
（ⅲ）ならば、（Ｐ∨～Ｑ）でない。
（ⅳ）ならば、（Ｐ∨～Ｑ）である。
従って、
（21）（22）により、
（23）
（１）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（Ｐ∨～Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」は、「正しくない」が故に、
（ⅰ）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（ Ｐ＆ Ｑ）├ ～Ｒ
（ⅱ）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（ Ｐ＆～Ｑ）├ ～Ｒ
（ⅳ）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（ Ｐ＆～Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「３つの推論」は、「正しくない」。
従って、
（23）により、
（24）
（ⅰ）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（ Ｐ＆ Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」は、「正しくない」。
然るに、
（25）
「交換法則」により、
① ～Ｐ＆Ｑ
① Ｐ＆Ｑ
といふ「連言」は、それぞれ、
① Ｑ＆～Ｐ
① Ｑ＆ Ｐ
といふ「連言」に「等しい」。
従って、
（24）（25）により、
（26）
（ⅰ）｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝，（Ｐ＆Ｑ）├ ～Ｒ
（〃）｛Ｑ＆～Ｐ→Ｒ｝，（Ｑ＆Ｐ）├ ～Ｒ
といふ「推論」は、「正しくない」。
然るに、
（17）により、
（27）
Ｐ＝弁舌がある （祝鮀のやうな弁舌が有る）。
Ｑ＝ハンサムである（宋朝のやうな美貌が有る）。
Ｒ＝やっていけない（今の時世を無事に送ることは、難しい）。
～Ｒ＝やっていける （今の時世を無事に送ることは、易しい）。
とするならば、
① ～Ｐ＆Ｑ→Ｒ
といふ「論理式（命題）」は、
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣。
といふ「漢文」に「等しい」。
（25）（26）（27）により、
（28）
① ～Ｐ＆Ｑ→Ｒ
① Ｑ＆～Ｐ→Ｒ
といふ「論理式（命題）」は、
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣。
といふ「漢文」に「等しい」。
従って、
（21）～（28）により、
（29）
①｛（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ｝，（Ｐ∨～Ｑ）├ ～Ｒ
といふ「推論」、すなはち、
① ｛Ｑ＆～Ｐ→Ｒ｝，（Ｑ＆ Ｐ）├ ～Ｒ
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）｛ハンサムではあっても、弁舌がなければ、やってゆけない｝。 （ハンサムであって、弁舌がある）。従って、やっていける。
（〃）｛ハンサムの上に弁舌を兼ね備えてこそ、はじめてやってゆける｝。（ハンサムであって、弁舌がある）。従って、やっていける。
といふ「推論（前件否定の誤謬）」は、「正しくない」。
ｃｆ.
①｛Ｑ＆～Ｐ→Ｒ｝，（Ｑ＆Ｐ）├ ～Ｒ
であれば、
①｛Ｑ＆～Ｐ→Ｒ｝，（Ｑ＆～～Ｐ）├ ～Ｒ
であって、
①｛Ｑ＆～Ｐ→Ｒ｝，（Ｑ＆～～Ｐ）├ ～Ｒ
から、Ｑ を「除く」と、
①｛～Ｐ→Ｒ｝，（～～Ｐ）├ ～Ｒ
は、「前件否定の誤謬」である。
然るに、
（30）
「次（31）」に示す通り、「二畳庵主人（加地伸行 先生）」は、
（ⅰ）｛ハンサムではあっても、弁舌がなければ、やってゆけない｝。 （ハンサムであって、弁舌がある）。従って、やっていける。
（〃）｛ハンサムの上に弁舌を兼ね備えてこそ、はじめてやってゆける｝。（ハンサムであって、弁舌がある）。従って、やっていける。
といふ「推論（前件否定の誤謬）」は、「正しい」と、されてゐる。
（31）
そこで話をもとにもどしてみる。
① の場合、－ａ＋ｂであると訳すと「弁舌はなくて、ハンサムというのは、あぶない（ハンサムの上に弁舌を兼ねそなえてこそ、はじめてやってゆける）」ということになる。
（二畳庵主人、漢文法基礎、1984年10月、３２５・３２６頁）
然るに、
（32）
①｛～Ｐ＆Ｑ→Ｒ｝≡｛Ｐでなくて、Ｑであるならば、Ｒである。｝
ではなく、
①｛～Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ｝≡｛Ｐでなくて、Ｑであるならば、そのときに限って、Ｒである。｝
であるならば、「前件否定の誤謬」には、ならない。
然るに、
（17）により、
（33）
① 自非無祝鮀之佞而有宋朝之美者、難乎、免於今之世矣＝
① 自［非〔無（祝鮀之佞）而有（宋朝之美）者〕］、易乎、免（於今之世）矣⇒
① ［〔（祝鮀之佞）無而（宋朝之美）有者〕非］自、易乎、（於今之世）免矣＝
① ［〔（祝鮀の佞）無くして（宋朝の美）有る者に〕非ざる］自りは、易きかな、（今の世に）免るること。
であるならば、
①｛～Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ｝≡｛Ｐでなくて、Ｑであるならば、そのときに限って、Ｒである。｝
であり得る、はずであるが、（15）により、「原文（論語・雍也 一六）」は、そのやうには、なってゐない。
令和０２年０９月０４日、毛利太。
2020年9月3日木曜日
「弱選言」と「強選言」と「選言三段論法」。
―「昨日（令和０２年０９月０２日）の記事」は削除をした上で、「明日以降」に、書き直します。―
（01）
（ⅰ）～（否定）
（ⅱ）＆（連言）
（ⅲ）∨（選言）
（ⅳ）→（ 条件法）
（ⅴ）⇔（双条件法）
といふ「５つの記号」は、「命題論理」に於ける、「論理結合子」である。
然るに、
（02）
① Ｐ⇔Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
① は、② に対する、「略号（abbreviation）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② ～｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）｝
に於いて、
① は、② に対する、「略号（abbreviation）」である。
然るに、
（04）
―「ド・モルガンの法則」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６イ＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （エ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（05）
―「含意の定義」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ＆Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
８（９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
８（ア） Ｑ∨～Ｐ ８ド・モルガンの法則
８（イ） ～Ｐ∨Ｑ ア交換法則
８（ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） イ∨Ｉ
１ （エ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） １４７８ウ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ４∨Ｉ
６（６） （～Ｐ＆Ｑ） Ａ
６（７） （Ｑ＆～Ｐ） ６交換法則
６（８） ～（～Ｑ∨Ｐ） ７ド・モルガンの法則
６（９） ～（Ｑ→Ｐ） ８含意の定義
６（ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ９∨Ｉ
１ （イ） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） １２５６ア∨Ｅ
１ （ウ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ イ、ド・モルガンの法則
１ （エ） ～（Ｐ⇔Ｑ） ウＤｆ.⇔
従って、
（06）により、
（07）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
§４ 選言命題は不十分である。選言に２種類あることが看過されているからである。
（ａ）弱選言（Week disjunction）
両立的（inclusive）選言ともいう。―中略―、
（ｂ）強選言（Strong disjunction）
不両立（imcompatible）選言とか相反的（exclusive）選言といい、伝統的論理学のいう選言はこの種のものである。
（岩波全書、論理学入門、1979年、３０・３１頁改）
然るに、
（09）
（ａ）弱選言（Week disjunction） といふのは、
（〃）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
といふ「場合」を、言ふ。
（10）
（ｂ）強選言（Strong disjunction） といふのは、
（〃）（Ｐであるか）、または、（Ｑである）。
といふ「場合」を、言ふ。
然るに、
（01）（02）（07）（08）により、
（11）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）か、または、（Ｐであって、Ｑでなく、Ｐでなくて、Ｑである）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（12）
③（Ｐであって、Ｑでなく、Ｐでなくて、Ｑである）。
といふことは「矛盾」であるため、
②（Ｐであって、Ｑでなく、Ｐでなくて、Ｑである）。
といふことは「有り得ない」。
従って、
（11）（12）により、
（13）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（14）
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）。
といふことは、
④（Ｐであるか）、または、（Ｑである）。
といふ、ことである。
従って、
（07）（10）（13）（14）により、
（15）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③ （Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、それ故、
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、
（ｂ）強選言（Strong disjunction） である。
従って、
（01）（09）（10）（15）により、
（16）
（ⅰ） ～Ｐ
（ⅱ） Ｐ＆Ｑ
（ⅲ） Ｐ∨Ｑ
（ⅳ） Ｐ→Ｑ
（ⅴ） Ｐ⇔Ｑ
（ⅵ）～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、上から順に、
（ⅰ）否定
（ⅱ）連言
（ⅲ）弱選言
（ⅳ）条件法
（ⅴ）双条件法
（ⅵ）強選言
である。
従って、
（09）（10）（16）により、
（17）
（ⅲ） Ｐ∨Ｑ ≡（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
（ⅵ）～（Ｐ⇔Ｑ）≡（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、どちらか、一方である。
に於いて、
（ⅲ）は「弱選言」であって、
（ⅵ）は「強選言」である。
然るに、
（18）
（ⅲ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
（ⅵ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、どちらか、一方である。
に於いて、尚且つ、
（ⅲ） Ｐでない。
（ⅵ） Ｐでない。
とするならば、それぞれ、
（ⅲ） Ｑである。
（ⅵ） Ｑである。
従って、
（17）（18）により、
（19）
③ Ｐ∨Ｑ ，～Ｐ├ Ｑ
⑥ ～（Ｐ⇔Ｑ），～Ｐ├ Ｑ
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（20）
（ⅲ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
（ⅵ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、どちらか、一方である。
に於いて、尚且つ、
（ⅲ） Ｐである。
（ⅵ） Ｐである。
とするならば、
（ⅲ）には、（Ｐであって、Ｑである。）といふことが「真」である「可能性」と、
（〃）には、（Ｐであって、Ｑである。）といふことが「偽」である「可能性」が有る。
ものの。その一方で、
（ⅵ）には、（Ｐであって、Ｑである。）といふことが「偽」である「可能性」しかない。
従って、
（17）（20）により、
（21）
③ Ｐ∨Ｑ ，Ｐ├ ～Ｑ
⑥ ～（Ｐ⇔Ｑ），Ｐ├ ～Ｑ
といふ「推論（三段論法）」に於いて、
③ は、「妥当」ではないが、
⑥ は、「妥当」である。
従って、
（19）（21）により、
（22）
⑦（Ｐであるか、または、Ｑである。）然るに、Ｐでない。故に、Ｑである。
⑧（Ｐであるか、または、Ｑである。）然るに、Ｐである。故に、Ｑでない。
に於いて、
⑦ であれば、
⑦（Ｐであるか、または、Ｑである。）が、「弱選言」であっても、「強選言」であっても、いづれにせよ、「推論」は「妥当」であるが、
⑧ であれば、
⑧（Ｐであるか、または、Ｑである。）が、「弱選言」であっても、「強選言」であっても、いづれにせよ、「推論」は「妥当」である。
といふことには、ならない。
従って、
（18）～（22）により、
（23）
通常、「選言」という名称で呼ばれているものは、「弱選言」と呼ぶものである。
これは「ＰまたはＱ」としたときに、「Ｐが真」であっても、「必ずしも、Ｑが偽にならない」ような「選言」のことである（数学Ｗｉｋｉ改）。
といふ、ことになる。
令和０２年０９月０３日、毛利太。
（01）
（ⅰ）～（否定）
（ⅱ）＆（連言）
（ⅲ）∨（選言）
（ⅳ）→（ 条件法）
（ⅴ）⇔（双条件法）
といふ「５つの記号」は、「命題論理」に於ける、「論理結合子」である。
然るに、
（02）
① Ｐ⇔Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
① は、② に対する、「略号（abbreviation）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② ～｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）｝
に於いて、
① は、② に対する、「略号（abbreviation）」である。
然るに、
（04）
―「ド・モルガンの法則」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６イ＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （エ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（05）
―「含意の定義」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ＆Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
８（９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
８（ア） Ｑ∨～Ｐ ８ド・モルガンの法則
８（イ） ～Ｐ∨Ｑ ア交換法則
８（ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） イ∨Ｉ
１ （エ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） １４７８ウ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ４∨Ｉ
６（６） （～Ｐ＆Ｑ） Ａ
６（７） （Ｑ＆～Ｐ） ６交換法則
６（８） ～（～Ｑ∨Ｐ） ７ド・モルガンの法則
６（９） ～（Ｑ→Ｐ） ８含意の定義
６（ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ９∨Ｉ
１ （イ） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） １２５６ア∨Ｅ
１ （ウ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ イ、ド・モルガンの法則
１ （エ） ～（Ｐ⇔Ｑ） ウＤｆ.⇔
従って、
（06）により、
（07）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
§４ 選言命題は不十分である。選言に２種類あることが看過されているからである。
（ａ）弱選言（Week disjunction）
両立的（inclusive）選言ともいう。―中略―、
（ｂ）強選言（Strong disjunction）
不両立（imcompatible）選言とか相反的（exclusive）選言といい、伝統的論理学のいう選言はこの種のものである。
（岩波全書、論理学入門、1979年、３０・３１頁改）
然るに、
（09）
（ａ）弱選言（Week disjunction） といふのは、
（〃）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
といふ「場合」を、言ふ。
（10）
（ｂ）強選言（Strong disjunction） といふのは、
（〃）（Ｐであるか）、または、（Ｑである）。
といふ「場合」を、言ふ。
然るに、
（01）（02）（07）（08）により、
（11）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）か、または、（Ｐであって、Ｑでなく、Ｐでなくて、Ｑである）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（12）
③（Ｐであって、Ｑでなく、Ｐでなくて、Ｑである）。
といふことは「矛盾」であるため、
②（Ｐであって、Ｑでなく、Ｐでなくて、Ｑである）。
といふことは「有り得ない」。
従って、
（11）（12）により、
（13）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（14）
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）。
といふことは、
④（Ｐであるか）、または、（Ｑである）。
といふ、ことである。
従って、
（07）（10）（13）（14）により、
（15）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③ （Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、それ故、
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、
（ｂ）強選言（Strong disjunction） である。
従って、
（01）（09）（10）（15）により、
（16）
（ⅰ） ～Ｐ
（ⅱ） Ｐ＆Ｑ
（ⅲ） Ｐ∨Ｑ
（ⅳ） Ｐ→Ｑ
（ⅴ） Ｐ⇔Ｑ
（ⅵ）～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、上から順に、
（ⅰ）否定
（ⅱ）連言
（ⅲ）弱選言
（ⅳ）条件法
（ⅴ）双条件法
（ⅵ）強選言
である。
従って、
（09）（10）（16）により、
（17）
（ⅲ） Ｐ∨Ｑ ≡（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
（ⅵ）～（Ｐ⇔Ｑ）≡（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、どちらか、一方である。
に於いて、
（ⅲ）は「弱選言」であって、
（ⅵ）は「強選言」である。
然るに、
（18）
（ⅲ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
（ⅵ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、どちらか、一方である。
に於いて、尚且つ、
（ⅲ） Ｐでない。
（ⅵ） Ｐでない。
とするならば、それぞれ、
（ⅲ） Ｑである。
（ⅵ） Ｑである。
従って、
（17）（18）により、
（19）
③ Ｐ∨Ｑ ，～Ｐ├ Ｑ
⑥ ～（Ｐ⇔Ｑ），～Ｐ├ Ｑ
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（20）
（ⅲ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
（ⅵ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、どちらか、一方である。
に於いて、尚且つ、
（ⅲ） Ｐである。
（ⅵ） Ｐである。
とするならば、
（ⅲ）には、（Ｐであって、Ｑである。）といふことが「真」である「可能性」と、
（〃）には、（Ｐであって、Ｑである。）といふことが「偽」である「可能性」が有る。
ものの。その一方で、
（ⅵ）には、（Ｐであって、Ｑである。）といふことが「偽」である「可能性」しかない。
従って、
（17）（20）により、
（21）
③ Ｐ∨Ｑ ，Ｐ├ ～Ｑ
⑥ ～（Ｐ⇔Ｑ），Ｐ├ ～Ｑ
といふ「推論（三段論法）」に於いて、
③ は、「妥当」ではないが、
⑥ は、「妥当」である。
従って、
（19）（21）により、
（22）
⑦（Ｐであるか、または、Ｑである。）然るに、Ｐでない。故に、Ｑである。
⑧（Ｐであるか、または、Ｑである。）然るに、Ｐである。故に、Ｑでない。
に於いて、
⑦ であれば、
⑦（Ｐであるか、または、Ｑである。）が、「弱選言」であっても、「強選言」であっても、いづれにせよ、「推論」は「妥当」であるが、
⑧ であれば、
⑧（Ｐであるか、または、Ｑである。）が、「弱選言」であっても、「強選言」であっても、いづれにせよ、「推論」は「妥当」である。
といふことには、ならない。
従って、
（18）～（22）により、
（23）
通常、「選言」という名称で呼ばれているものは、「弱選言」と呼ぶものである。
これは「ＰまたはＱ」としたときに、「Ｐが真」であっても、「必ずしも、Ｑが偽にならない」ような「選言」のことである（数学Ｗｉｋｉ改）。
といふ、ことになる。
令和０２年０９月０３日、毛利太。
2020年9月1日火曜日
「論語・雍也 一六」と「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」。
（01）
（ⅰ）
① 不有祝鮀之佞、而有宋朝之美、難乎、免於今之世矣＝
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣⇒
① 〔（祝鮀之佞）有〕不、而（宋朝之美）有、難乎、（於今之世）免矣＝
① 〔（祝鮀の佞）有ら〕ずして、而も（宋朝の美）有らば、難いかな、（今に世に）免るること＝
① 〔（祝鮀のやうな弁舌が）有る〕のではなく、而も（宋朝のやうな美貌が）有るだけならば、難しいことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
（ⅱ）
② 不有祝鮀之佞、而有宋朝之美、難乎、免於今之世矣＝
② 不〔有（祝鮀之佞）、而有（宋朝之美）〕、難乎、免（於今之世）矣⇒
② 〔（祝鮀之佞）有、而（宋朝之美）有〕不、難乎、（於今之世）免矣＝
② 〔（祝鮀の佞）有りて、而も（宋朝の美）有ら〕ずんば、難いかな、（今の世矣）免るること＝
② 〔（祝鮀のやうな弁舌が）有って、而も（宋朝のやうな美貌が）有る〕といふ、ことではないならば、難しいことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
然るに、
（02）
実はどちらも意味が通じるのである。
① のほうは、古注といって、伝統的な解釈であるが、
② のほうは、新注といって、朱熹（朱子）の解釈なのである。
（二畳庵主人、漢文法基礎、1984年10月、３２５・３２６頁）
従って、
（01）（02）により、
（03）
Ｐ＝祝鮀のやうな弁舌が有る。
Ｑ＝宋朝のやうな美貌が有る。
Ｒ＝今の時世を無事に送ることは、難しい。
とするならば、
① ～Ｐ＆Ｑ →Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」は、
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣。
② 不〔有（祝鮀之佞）、而有（宋朝之美）〕、難乎、免（於今之世）矣。
といふ「漢文」に「等しい」。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ＆Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
③ Ｐ→Ｑ
④ ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
③＝④ である（含意の定義）。
然るに、
（06）
（ⅴ）
１ （１） ～（～Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（Ｐ∨～Ｑ）＆
（Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（Ｐ∨～Ｑ）＆
（Ｐ∨～Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～～Ｑ ７ＲＡＡ
２ （イ） Ｑ アＤＮ
２ （ウ） ～Ｐ＆Ｑ ６イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（～Ｐ＆Ｑ）＆
（～Ｐ＆Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（Ｐ∨～Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） Ｐ∨～Ｑ オＤＮ
（ⅵ）
１ （１） Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆ Ｑ） １３６７アＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
⑤ ～（～Ｐ＆Ｑ）
⑥ Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）（05）（07）により、
（08）
「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」と「二重否定律」により、
① ～Ｐ＆Ｑ →Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」は、
① ～（～Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ
② ～～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ
といふ「論理式」に、更には、
① （Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
② （Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ
といふ「論理式」に、「等しい」。
然るに、
（09）
①（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
②（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
① Ｒ が「必ず、真である」場合。
② Ｒ が「必ず、真である」場合。
とは、それぞれ、
①（Ｐ∨～Ｑ）が「偽」である場合。
②（Ｐ＆ Ｑ）が「偽」である場合。
である。
然るに、
（10）
①（Ｐ∨～Ｑ）が「偽」である場合。
とは、
①（～Ｐ＆Ｑ）≡（祝鮀之佞が無くて、宋朝之美が有る）場合。
といふ「１通り」である。
である。
（11）
②（Ｐ＆ Ｑ）が「偽」である場合。
とは、
②（～Ｐ＆ Ｑ）≡（祝鮀之佞が無くて、宋朝之美が有る）場合。
②（ Ｐ＆～Ｑ）≡（祝鮀之佞が有って、宋朝之美が無い）場合。
②（～Ｐ＆～Ｑ）≡（祝鮀之佞が無くて、宋朝之美も無い）場合。
といふ「３通り」である。
従って、
（03）（08）～（11）により、
（12）
① ～Ｐ＆Ｑ →Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、すなはち、
①（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
②（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
① の場合は、
①（祝鮀之佞が無くて、宋朝之美が有る）ならば、そのときに限って、今の時世を無事に送ることは、難しい。
といふことになり、
② の場合は、
②（祝鮀之佞が有って、宋朝之美が有る）ならば、そのときに限って、今の時世を無事に送ることは、難しくはない（のかも知れない）。
といふことになる。
（13）
② ～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」からは、「分かり難い」が、これと「同値」である所の、
② （Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ
といふ「論理式」からは、
②（祝鮀之佞が有って、宋朝之美が有る）ならば、その場合は、
② 今の時世を無事に送ることは、難しくとも、難しくなくとも、「どちらでも良い」。
といふことが、「明確」である。
従って、
（01）（13）により、
（14）
② 不有祝鮀之佞、而有宋朝之美、難乎、免於今之世矣＝
② 不〔有（祝鮀之佞）、而有（宋朝之美）〕、難乎、免（於今之世）矣⇒
② 〔（祝鮀之佞）有、而（宋朝之美）有〕不、難乎、（於今之世）免矣＝
② 〔（祝鮀の佞）有りて、而も（宋朝の美）有ら〕ずんば、難いかな、（今の世矣）免るること＝
② 〔（祝鮀のやうな弁舌が）有って、而も（宋朝のやうな美貌が）有る〕といふ、ことではないならば、難しいことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
といふ「漢文訓読」からは、
② 〔（祝鮀の佞）が有って、しかも（宋朝の美）有る〕ならば、容易なことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
といふことには、ならない。
令和０２年０９月０１日、毛利太。
（ⅰ）
① 不有祝鮀之佞、而有宋朝之美、難乎、免於今之世矣＝
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣⇒
① 〔（祝鮀之佞）有〕不、而（宋朝之美）有、難乎、（於今之世）免矣＝
① 〔（祝鮀の佞）有ら〕ずして、而も（宋朝の美）有らば、難いかな、（今に世に）免るること＝
① 〔（祝鮀のやうな弁舌が）有る〕のではなく、而も（宋朝のやうな美貌が）有るだけならば、難しいことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
（ⅱ）
② 不有祝鮀之佞、而有宋朝之美、難乎、免於今之世矣＝
② 不〔有（祝鮀之佞）、而有（宋朝之美）〕、難乎、免（於今之世）矣⇒
② 〔（祝鮀之佞）有、而（宋朝之美）有〕不、難乎、（於今之世）免矣＝
② 〔（祝鮀の佞）有りて、而も（宋朝の美）有ら〕ずんば、難いかな、（今の世矣）免るること＝
② 〔（祝鮀のやうな弁舌が）有って、而も（宋朝のやうな美貌が）有る〕といふ、ことではないならば、難しいことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
然るに、
（02）
実はどちらも意味が通じるのである。
① のほうは、古注といって、伝統的な解釈であるが、
② のほうは、新注といって、朱熹（朱子）の解釈なのである。
（二畳庵主人、漢文法基礎、1984年10月、３２５・３２６頁）
従って、
（01）（02）により、
（03）
Ｐ＝祝鮀のやうな弁舌が有る。
Ｑ＝宋朝のやうな美貌が有る。
Ｒ＝今の時世を無事に送ることは、難しい。
とするならば、
① ～Ｐ＆Ｑ →Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」は、
① 不〔有（祝鮀之佞）〕、而有（宋朝之美）、難乎、免（於今之世）矣。
② 不〔有（祝鮀之佞）、而有（宋朝之美）〕、難乎、免（於今之世）矣。
といふ「漢文」に「等しい」。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ＆Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
③ Ｐ→Ｑ
④ ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
③＝④ である（含意の定義）。
然るに、
（06）
（ⅴ）
１ （１） ～（～Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（Ｐ∨～Ｑ）＆
（Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（Ｐ∨～Ｑ）＆
（Ｐ∨～Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～～Ｑ ７ＲＡＡ
２ （イ） Ｑ アＤＮ
２ （ウ） ～Ｐ＆Ｑ ６イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（～Ｐ＆Ｑ）＆
（～Ｐ＆Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（Ｐ∨～Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） Ｐ∨～Ｑ オＤＮ
（ⅵ）
１ （１） Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆ Ｑ） １３６７アＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
⑤ ～（～Ｐ＆Ｑ）
⑥ Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）（05）（07）により、
（08）
「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」と「二重否定律」により、
① ～Ｐ＆Ｑ →Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」は、
① ～（～Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ
② ～～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ
といふ「論理式」に、更には、
① （Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
② （Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ
といふ「論理式」に、「等しい」。
然るに、
（09）
①（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
②（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
① Ｒ が「必ず、真である」場合。
② Ｒ が「必ず、真である」場合。
とは、それぞれ、
①（Ｐ∨～Ｑ）が「偽」である場合。
②（Ｐ＆ Ｑ）が「偽」である場合。
である。
然るに、
（10）
①（Ｐ∨～Ｑ）が「偽」である場合。
とは、
①（～Ｐ＆Ｑ）≡（祝鮀之佞が無くて、宋朝之美が有る）場合。
といふ「１通り」である。
である。
（11）
②（Ｐ＆ Ｑ）が「偽」である場合。
とは、
②（～Ｐ＆ Ｑ）≡（祝鮀之佞が無くて、宋朝之美が有る）場合。
②（ Ｐ＆～Ｑ）≡（祝鮀之佞が有って、宋朝之美が無い）場合。
②（～Ｐ＆～Ｑ）≡（祝鮀之佞が無くて、宋朝之美も無い）場合。
といふ「３通り」である。
従って、
（03）（08）～（11）により、
（12）
① ～Ｐ＆Ｑ →Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、すなはち、
①（Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
②（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
① の場合は、
①（祝鮀之佞が無くて、宋朝之美が有る）ならば、そのときに限って、今の時世を無事に送ることは、難しい。
といふことになり、
② の場合は、
②（祝鮀之佞が有って、宋朝之美が有る）ならば、そのときに限って、今の時世を無事に送ることは、難しくはない（のかも知れない）。
といふことになる。
（13）
② ～（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」からは、「分かり難い」が、これと「同値」である所の、
② （Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ
といふ「論理式」からは、
②（祝鮀之佞が有って、宋朝之美が有る）ならば、その場合は、
② 今の時世を無事に送ることは、難しくとも、難しくなくとも、「どちらでも良い」。
といふことが、「明確」である。
従って、
（01）（13）により、
（14）
② 不有祝鮀之佞、而有宋朝之美、難乎、免於今之世矣＝
② 不〔有（祝鮀之佞）、而有（宋朝之美）〕、難乎、免（於今之世）矣⇒
② 〔（祝鮀之佞）有、而（宋朝之美）有〕不、難乎、（於今之世）免矣＝
② 〔（祝鮀の佞）有りて、而も（宋朝の美）有ら〕ずんば、難いかな、（今の世矣）免るること＝
② 〔（祝鮀のやうな弁舌が）有って、而も（宋朝のやうな美貌が）有る〕といふ、ことではないならば、難しいことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
といふ「漢文訓読」からは、
② 〔（祝鮀の佞）が有って、しかも（宋朝の美）有る〕ならば、容易なことだよ、（今の時世を）無事に送ることは。
といふことには、ならない。
令和０２年０９月０１日、毛利太。
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