（01）
１ （１） ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
２ （２）∃ｚ∀ｘ（富岳ｚ＆日本の山ｘ＆最高峰ｚｘ） Ａ
１ （３） 日本の山ａ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ １ＵＥ
４ （４） ∀ｘ（富岳ｃ＆日本の山ｘ＆最高峰ｃｘ） Ａ
４ （５） 富岳ｃ＆日本の山ａ＆最高峰ｃａ ４ＵＥ
４ （６） 富岳ｃ ５＆Ｅ
４ （７） 日本の山ａ ５＆Ｅ
４ （８） 最高峰ｃａ ５＆Ｅ
１ ４ （９） ∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ３７ＭＰＰ
ア（ア） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） Ａ
ア（イ） 富士山ｂ ア＆Ｅ
ア（ウ） ∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） ア＆Ｅ
ア（エ） 最高峰ｃａ→ｃ＝ｂ ウＵＥ
４ア（オ） ｃ＝ｂ ８エＭＰＰ
４ア（カ） 富岳ｂ ６オ＝ＥＥ
４ア（キ） 富岳ｂ＆富士山ｂ イカ＆Ｉ
４ア（ク） ∃ｙ（富岳ｙ＆富士山ｙ） キＥＩ
１ ４ （ケ） ∃ｙ（富岳ｙ＆富士山ｙ） ９アクＥＥ
１２ （コ） ∃ｙ（富岳ｙ＆富士山ｙ） ２４ケＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ） ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ∀ｘ（富岳ｚ＆日本の山ｘ＆最高峰ｚｘ）。従って、
（ⅲ） ∃ｙ（富岳ｙ＆富士山ｙ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ） すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｙは［富士山であって、ｘの最高峰であって、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚとｙは「同一」である）］｝。
（ⅱ）あるｚとすべてのｘについて（ｚは富岳であって、ｘは日本の山であって、ｚはｘの最高峰）である。従って、
（ⅲ） あるｙは（富岳であって、富士山である）。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ）富岳は、日本の山の最高峰である。従って、
（ⅲ）富岳は、富士山（の別称）である。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（04）
「昨日（令和６年１月１５日）」に示したものの、
１ （１）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
１ （２） 日本の山ａ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ １ＵＥ
３ （３） 日本の山ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） Ａ
５ （６） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） ５＆Ｅ
５ （８） 最高峰ｃａ→ｃ＝ｂ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～富士山ｚ） Ａ
ア （ア） 高尾山ｃ＆～富士山ｃ Ａ
ア （イ） 高尾山ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～富士山ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｃ＝ｂ Ａ
アエ（オ） ～富士山ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 富士山ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～富士山ｂ＆富士山ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｃ≠ｂ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～最高峰ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 高尾山ｃ＆～最高峰ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） 日本の山ａ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ） 高尾山は、富士山ではない。従って、
（ⅲ）日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（06）
「漢字の意味」からしても、
「最高峰」は、「唯一」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｙは［富士山であって、ｘの最高峰であって、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚとｙは「同一」である）］｝。
といふ「命題」に於いて、
①＝②＝③ であると、せざるを得ない。
従って、
（07）により、
（08）
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② タゴール記念会は、 私が理事長である。
といふ「日本語」を「解釈」する際に、
① ∀ｘ｛ 日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
② ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
といふ「論理式（数学語）」を「無視」すべきではない。
令和６年１月１６日、毛利太。
2024年1月16日火曜日
2024年1月15日月曜日
「同一性」の「述語論理」の「研究」（Ⅲ）。
（01）
１ （１）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
１ （２） 日本の山ａ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ １ＵＥ
３ （３） 日本の山ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） Ａ
５ （６） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） ５＆Ｅ
５ （８） 最高峰ｃａ→ｃ＝ｂ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～富士山ｚ） Ａ
ア （ア） 高尾山ｃ＆～富士山ｃ Ａ
ア （イ） 高尾山ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～富士山ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｃ＝ｂ Ａ
アエ（オ） ～富士山ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 富士山ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～富士山ｂ＆富士山ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｃ≠ｂ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～最高峰ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 高尾山ｃ＆～最高峰ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） 日本の山ａ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（高尾山ｚ＆～富士山ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚｘ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｙは［富士山であって、ｘの最高峰であって、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚとｙは「同一」である）］｝。
（ⅱ）あるｚは（高尾山であって、富士山ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｚは（高尾山であって、ｘの最高峰ではない）｝。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ） 高尾山は、富士山ではない。従って、
（ⅲ）日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ） 高尾山は、富士山ではない。従って、
（ⅲ）日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
（ⅰ）タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
（ⅱ）渡辺は、私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、渡辺は理事長ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（05）により、
（06）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
② 私以外は理事長ではない。
といふのであれば、「必然的」に、
③ 理事長は私である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
③ タゴール記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（04）～（09）により、
（10）
① タゴール記念会は、私が理事長。
② ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
③ タゴール記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
①＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
換言すると、
① タゴール記念会は、私が理事長。
② タゴール記念会は、理事長は私です。
③ ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
①＝③ である。
令和６年１月１５日、毛利太。
１ （１）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
１ （２） 日本の山ａ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ １ＵＥ
３ （３） 日本の山ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） Ａ
５ （６） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） ５＆Ｅ
５ （８） 最高峰ｃａ→ｃ＝ｂ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～富士山ｚ） Ａ
ア （ア） 高尾山ｃ＆～富士山ｃ Ａ
ア （イ） 高尾山ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～富士山ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｃ＝ｂ Ａ
アエ（オ） ～富士山ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 富士山ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～富士山ｂ＆富士山ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｃ≠ｂ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～最高峰ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 高尾山ｃ＆～最高峰ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） 日本の山ａ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（高尾山ｚ＆～富士山ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚｘ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｙは［富士山であって、ｘの最高峰であって、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚとｙは「同一」である）］｝。
（ⅱ）あるｚは（高尾山であって、富士山ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｚは（高尾山であって、ｘの最高峰ではない）｝。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ） 高尾山は、富士山ではない。従って、
（ⅲ）日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ） 高尾山は、富士山ではない。従って、
（ⅲ）日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
（ⅰ）タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
（ⅱ）渡辺は、私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、渡辺は理事長ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（05）により、
（06）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
② 私以外は理事長ではない。
といふのであれば、「必然的」に、
③ 理事長は私である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
③ タゴール記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（04）～（09）により、
（10）
① タゴール記念会は、私が理事長。
② ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
③ タゴール記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
①＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
換言すると、
① タゴール記念会は、私が理事長。
② タゴール記念会は、理事長は私です。
③ ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
①＝③ である。
令和６年１月１５日、毛利太。
2024年1月14日日曜日
「同一性」の「述語論理」の「研究」（Ⅱ）。
―「先程の記事（令和６年１月１４日）」の記事を書き直します。―
（01）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとするならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとするならば、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（03）
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
に於いて、
① が「真」であれば、④ も「真」であり、
② が「真」であれば、④ も「真」であり、
③ が「真」であれば、④ も「真」である。
然るに、
（04）
「冪等律」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
は、それぞれ、
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
に「等しい」。
従って、
（03）（04）により、
（05）
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
といふ「３つ内の、１つが真」であれば、それだけで、
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
も「真」になるし、次の『説明』、
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
この連式の妥当性から、ひとつだけの対象がＦがもっているならば、 ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）が帰結する。言い換えると、相異なった変数、「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する相異なる対象が存在するということは帰結しないのである（E.J.レモン著 論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１０頁）。
といふ『説明』は、「そのこと」を述べてゐる。
然るに、
（06）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
ではなく、
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
であるとするならば、すなはち、
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
ではなく、
⑤（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）
であるとするならば、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
②（Ｆａ＆Ｆｃ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「３つの内の、少なくとも１つは、真」である。
然るに、
（07）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、例へば、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
であるならば、
①（ａはＦであり、ａではない、ｂもＦである）。
といふことになる。
従って、
（06）（07）により、
（08）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
とするならば、すなはち、
⑤（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）
とするならば、例へば、
①（ａはＦであり、ａではない、ｂもＦである）。
といふことになる。
従って、
（01）（06）（07）（08）により、
（09）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
とするならば、
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
の中の、「２個以上の個体が、Ｆである」。
然るに、
（10）
「２個以上の個体が、Ｆである」の「否定」は、
「１個以下の個体が、Ｆである」の「肯定」である。
然るに、
（11）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
に於いて、
⑤ の「否定」は、
⑥ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
ではなく、
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
であるならば、
⑥「１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（13）
（ⅵ）
１（１） ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） Ａ
１（２） ∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） １量化子の関係
１（３） ∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ３ＵＥ
１（５） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ） ４ＵＥ
１（６） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ５結合法則
１（７） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ６ド・モルガンの法則
１（８） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ７含意の定義
１（９） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ ８ＵＩ
１（ア）∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ ９ＵＩ
（ⅶ）
１（１）∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ １ＵＥ
１（３） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３含意の定義
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ） ５結合法則
１（７） ∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ６ＵＩ
１（８） ∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ８量化子の関係
１（ア） ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ９量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
⑦ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
⑥＝⑦ である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
が「そうである」やうに、
⑦ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
⑦「１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（16）
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）
であるならば、
⑧「１個以上の個体が、Ｆである」。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
⑧「１個以上で、１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（18）
⑧「１個以上で、１個以下の個体が、Ｆである」。
といふことは、
⑧「ちょうど１個（exactly one）の個体が、Ｆである」。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（19）
次に示す通り、
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
⑨ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑧＝⑨ である。
（20）
（ⅷ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
（ⅸ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
２ （イ）Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
⑨ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
⑨「ちょうど１個（exactly one）の個体が、Ｆである」。
といふことを、「示して」ゐる。
従って、
（21）により、
（22）
例へば、
⑨ 日本の山は富士山が最高峰である。
といふ「命題」は、
⑨ ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［（富士山ｙ＆最高峰ｙｘ）＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
といふ「命題」、すなはち、
⑨ すべてのｘについて｛ｘが日本の山であるならば、あるｙは［（富士山であって、ｘの最高峰であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚはｙと「同一」である）］｝。
といふ「命題」に「等しい」。
令和６年１月１４日、毛利太。
（01）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとするならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとするならば、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（03）
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
に於いて、
① が「真」であれば、④ も「真」であり、
② が「真」であれば、④ も「真」であり、
③ が「真」であれば、④ も「真」である。
然るに、
（04）
「冪等律」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
は、それぞれ、
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
に「等しい」。
従って、
（03）（04）により、
（05）
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
といふ「３つ内の、１つが真」であれば、それだけで、
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
も「真」になるし、次の『説明』、
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
この連式の妥当性から、ひとつだけの対象がＦがもっているならば、 ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）が帰結する。言い換えると、相異なった変数、「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する相異なる対象が存在するということは帰結しないのである（E.J.レモン著 論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１０頁）。
といふ『説明』は、「そのこと」を述べてゐる。
然るに、
（06）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
ではなく、
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
であるとするならば、すなはち、
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
ではなく、
⑤（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）
であるとするならば、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
②（Ｆａ＆Ｆｃ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「３つの内の、少なくとも１つは、真」である。
然るに、
（07）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、例へば、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
であるならば、
①（ａはＦであり、ａではない、ｂもＦである）。
といふことになる。
従って、
（06）（07）により、
（08）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
とするならば、すなはち、
⑤（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）
とするならば、例へば、
①（ａはＦであり、ａではない、ｂもＦである）。
といふことになる。
従って、
（01）（06）（07）（08）により、
（09）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
とするならば、
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
の中の、「２個以上の個体が、Ｆである」。
然るに、
（10）
「２個以上の個体が、Ｆである」の「否定」は、
「１個以下の個体が、Ｆである」の「肯定」である。
然るに、
（11）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
に於いて、
⑤ の「否定」は、
⑥ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
ではなく、
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
であるならば、
⑥「１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（13）
（ⅵ）
１（１） ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） Ａ
１（２） ∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） １量化子の関係
１（３） ∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ３ＵＥ
１（５） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ） ４ＵＥ
１（６） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ５結合法則
１（７） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ６ド・モルガンの法則
１（８） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ７含意の定義
１（９） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ ８ＵＩ
１（ア）∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ ９ＵＩ
（ⅶ）
１（１）∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ １ＵＥ
１（３） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３含意の定義
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ） ５結合法則
１（７） ∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ６ＵＩ
１（８） ∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ８量化子の関係
１（ア） ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ９量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
⑦ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
⑥＝⑦ である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
が「そうである」やうに、
⑦ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
⑦「１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（16）
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）
であるならば、
⑧「１個以上の個体が、Ｆである」。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
⑧「１個以上で、１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（18）
⑧「１個以上で、１個以下の個体が、Ｆである」。
といふことは、
⑧「ちょうど１個（exactly one）の個体が、Ｆである」。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（19）
次に示す通り、
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
⑨ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑧＝⑨ である。
（20）
（ⅷ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
（ⅸ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
２ （イ）Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
⑨ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
⑨「ちょうど１個（exactly one）の個体が、Ｆである」。
といふことを、「示して」ゐる。
従って、
（21）により、
（22）
例へば、
⑨ 日本の山は富士山が最高峰である。
といふ「命題」は、
⑨ ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［（富士山ｙ＆最高峰ｙｘ）＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
といふ「命題」、すなはち、
⑨ すべてのｘについて｛ｘが日本の山であるならば、あるｙは［（富士山であって、ｘの最高峰であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚはｙと「同一」である）］｝。
といふ「命題」に「等しい」。
令和６年１月１４日、毛利太。
2024年1月13日土曜日
「鼻は象が長い」の「述語論理」の「解説」。
（01）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の顏、兎の顏、馬の顏｝
であるならば、
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（02）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふことは、要するに、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ ３＆Ｅ
５ （５） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
５ （６） （兎ｂ→～象ｂ）＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ５ＵＥ
５ （７） 兎ｂ→～象ｂ ６＆Ｅ
８ （８） 兎ｂ Ａ
５８ （９） ～象ｂ ７８ＭＰＰ
５ （ア） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ６＆Ｅ
イ （イ） 鼻ａｂ Ａ
５８イ （ウ） ～象ｂ＆鼻ａｂ ９イ＆Ｉ
３５８イ （エ） ～長ａ ４ウＭＰＰ
３５８イ （オ） 鼻ａｂ＆～長ａ イエ＆Ｉ
３５８イ （カ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） オＥＩ
３５８ （キ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） アイカＥＥ
３５ （ク） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ８キＣＰ
１ ５ （ケ） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ２３クＥＥ
コ （コ） ∃ｙ｛兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→ 長ｘ）｝ Ａ
サ （サ） 兎ｂ＆∀ｘ（鼻ｘｂ→ 長ｘ） Ａ
サ （シ） 兎ｂ シ＆Ｅ
１ ５ サ （ス） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ケシＭＰＰ
サ （セ） ∀ｘ（鼻ｘｂ→ 長ｘ） サ＆Ｅ
ソ（ソ） 鼻ａｂ＆～長ａ Ａ
サ （タ） 鼻ａｂ→ 長ａ セＵＥ
ソ（チ） 鼻ａｂ ソ＆Ｅ
サソ（ツ） 長ａ タチＭＰＰ
ソ（テ） ～長ａ ソ＆Ｅ
サソ（ト） 長ａ＆～長ａ ツテ＆Ｉ
１ ５ サ （ナ） 長ａ＆～長ａ サソトＥＥ
１ ５ コ （ニ） 長ａ＆～長ａ コサナＥＥ
１ ５ （ヌ） ～∃ｙ｛兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→ 長ｘ）｝ コニＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ） ～∃ｙ｛ 兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→ 長ｘ）｝。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｙについて｛（ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく）、あるｘは（ｙの鼻である）｝。従って、
（ⅲ） すべてのｙについて｛ ｙが兎であるならば、あるｘは（ｙの鼻であって、長くない）｝。
（ⅲ） あるｙは｛ 兎であって、（ｘがｙの鼻ならば、ｘは長い）｝といふそのやうなｙは存在しない。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。 従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はゐない。
といふ『推論』は「妥当」である。
然るに、
（01）（05）により、
（06）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
といふことからすれば、
（ⅰ）鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。
（ⅲ）鼻の長い兎はゐない。
といふ「命題」は「真」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外の鼻は長くはない。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲（スコープ）は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁改）
然るに、
（07）（08）により、
（09）
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
に於いて、
③ ∀ｘと、 鼻ｘ の「作用範囲（スコープ」は、
③ ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
であるものの、このことは、
① 鼻は（象が長い）。
に於ける、
① 鼻は の「作用範囲（スコープ」が、
① （象が長い）
であるといふことを、「示してゐる」。
然るに、
（10）
これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）〔三上文法！ : wrong, rogue and log〕。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する。
といふ「説明」は、「必ずしも、マチガイ」ではない。
然るに、
（12）
三上章は、おそらく、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外の鼻は長くはない。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
といふことに、「気付いてゐない」し、「主語であること」と、「主題であることは」は、「必ずしも、矛盾」しない。
（13）
「象であること」と「動物であること」は、もちろん、「矛盾」しないものの、私には、「三上章の説明」は、
「象ではなくて、動物である（動物であるから、象ではない）」。
といふ「論法」と「ほとんど同じ」であるように、思へて、ならない。
令和６年１月１３日、毛利太。
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の顏、兎の顏、馬の顏｝
であるならば、
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（02）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふことは、要するに、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ ３＆Ｅ
５ （５） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
５ （６） （兎ｂ→～象ｂ）＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ５ＵＥ
５ （７） 兎ｂ→～象ｂ ６＆Ｅ
８ （８） 兎ｂ Ａ
５８ （９） ～象ｂ ７８ＭＰＰ
５ （ア） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ６＆Ｅ
イ （イ） 鼻ａｂ Ａ
５８イ （ウ） ～象ｂ＆鼻ａｂ ９イ＆Ｉ
３５８イ （エ） ～長ａ ４ウＭＰＰ
３５８イ （オ） 鼻ａｂ＆～長ａ イエ＆Ｉ
３５８イ （カ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） オＥＩ
３５８ （キ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） アイカＥＥ
３５ （ク） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ８キＣＰ
１ ５ （ケ） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ２３クＥＥ
コ （コ） ∃ｙ｛兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→ 長ｘ）｝ Ａ
サ （サ） 兎ｂ＆∀ｘ（鼻ｘｂ→ 長ｘ） Ａ
サ （シ） 兎ｂ シ＆Ｅ
１ ５ サ （ス） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ケシＭＰＰ
サ （セ） ∀ｘ（鼻ｘｂ→ 長ｘ） サ＆Ｅ
ソ（ソ） 鼻ａｂ＆～長ａ Ａ
サ （タ） 鼻ａｂ→ 長ａ セＵＥ
ソ（チ） 鼻ａｂ ソ＆Ｅ
サソ（ツ） 長ａ タチＭＰＰ
ソ（テ） ～長ａ ソ＆Ｅ
サソ（ト） 長ａ＆～長ａ ツテ＆Ｉ
１ ５ サ （ナ） 長ａ＆～長ａ サソトＥＥ
１ ５ コ （ニ） 長ａ＆～長ａ コサナＥＥ
１ ５ （ヌ） ～∃ｙ｛兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→ 長ｘ）｝ コニＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ） ～∃ｙ｛ 兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→ 長ｘ）｝。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｙについて｛（ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく）、あるｘは（ｙの鼻である）｝。従って、
（ⅲ） すべてのｙについて｛ ｙが兎であるならば、あるｘは（ｙの鼻であって、長くない）｝。
（ⅲ） あるｙは｛ 兎であって、（ｘがｙの鼻ならば、ｘは長い）｝といふそのやうなｙは存在しない。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。 従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はゐない。
といふ『推論』は「妥当」である。
然るに、
（01）（05）により、
（06）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
といふことからすれば、
（ⅰ）鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。
（ⅲ）鼻の長い兎はゐない。
といふ「命題」は「真」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外の鼻は長くはない。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲（スコープ）は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁改）
然るに、
（07）（08）により、
（09）
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
に於いて、
③ ∀ｘと、 鼻ｘ の「作用範囲（スコープ」は、
③ ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
であるものの、このことは、
① 鼻は（象が長い）。
に於ける、
① 鼻は の「作用範囲（スコープ」が、
① （象が長い）
であるといふことを、「示してゐる」。
然るに、
（10）
これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）〔三上文法！ : wrong, rogue and log〕。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する。
といふ「説明」は、「必ずしも、マチガイ」ではない。
然るに、
（12）
三上章は、おそらく、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外の鼻は長くはない。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
といふことに、「気付いてゐない」し、「主語であること」と、「主題であることは」は、「必ずしも、矛盾」しない。
（13）
「象であること」と「動物であること」は、もちろん、「矛盾」しないものの、私には、「三上章の説明」は、
「象ではなくて、動物である（動物であるから、象ではない）」。
といふ「論法」と「ほとんど同じ」であるように、思へて、ならない。
令和６年１月１３日、毛利太。
2024年1月12日金曜日
「象は鼻が長い」の「述語論理」の「解説」。
（01）
「象は鼻が長い。」という文の主語に関する話題です。皆様はいかがお考えでしょうか、この文の主語は「象」だと思われますか、「鼻」だと思われますか。非常に簡単な文ではあるのですが、実はこの文は大正時代から文法的な論争が繰り返されていて、現時点でも明確な結論が出ていない問題なのです。歴史で邪馬台国のあった場所が「畿内説」「九州説」に分かれて議論が繰り返されているのと同じような印象を持っています（象は鼻が長い - 早稲田アカデミー）。
然るに、
（02）
― 何年もの間、繰り返し書いてゐるものの、―
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
（３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）
といふ「論理式（Well formed formulae）」は、「日本語」に「翻訳」すると、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
（２）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、ｘの鼻ではなくて、ｚは長い）｝。
（３） あるｘについて（ｘは象であって、ｘは兎である）。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
次の「計算（Predicate calculus）」は、「妥当」である。
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） Ａ
２ （２） 象ａ＆ 兎ａ Ａ
２ （３） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ２ＥＩ
１２ （４）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）＆
∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） １３＆Ｉ
１ （５） ～（象ａ＆ 兎ａ） ２４ＲＡＡ
６ （６） 象ａ Ａ
７ （７） 兎ａ Ａ
６７ （８） 象ａ＆ 兎ａ ６７＆Ｉ
１ ６７ （９） ～（象ａ＆ 兎ａ）＆
（象ａ＆ 兎ａ） ５８＆Ｉ
１ ６ （ア） ～兎ａ ７９ＲＡＡ
１ （イ） 象ａ→～兎ａ ６アＣＰ
１ （ウ） ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） １ＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） Ａ
１ （３） 兎ａ→～象ａ １ＵＥ
４ （４） 象ａ＆ 兎ａ Ａ
４ （５） 兎ａ ４＆Ｅ
１ ４ （６） ～象ａ ３５ＭＰＰ
４ （７） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４ （８） 象ａ＆～象ａ ６７＆Ｉ
４ （９）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） １８ＲＡＡ
２ （ア）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ２４９ＥＥ
１２ （イ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）＆
～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） １ア＆Ｉ
１ （ウ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ２イＲＡＡ
従って、
（05）により、
（06）
① ～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）
に於いて、すなはち、
① （象であって、兎であるといふ、そのやうなｘ）は存在しない。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（象ａ＆兎ａ） サＵＥ
ス （ス） 象ａ Ａ
セ（セ） 兎ａ Ａ
スセ（ソ） 象ａ＆兎ａ スセ＆Ｉ
１２ スセ（タ） ～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ） シソ＆Ｉ
１２ ス （チ） ～兎ａ セタＲＡＡ
１２ （ツ） 象ａ→～兎ａ スチＣＰ
１２ （テ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ツＵＩ
といふ『計算（Predicate calculus）』は、「妥当」であるものの、この『計算』を、『計算（07）』とする。
従って、
（07）により、
（08）
（１）象は鼻が長い。
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。
（３）象は兎ではない。
といふ「日本語」が、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
（３）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）
といふ「意味」、すなはち、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
（２）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。
（３）すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「意味」であるならば、そのときに限って、
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（09）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
然るに、
（09）により、
（10）
（１）すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い。
といふことは、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
といふことであり、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
といふことは、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ「論理式」に相当し、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「論理式」には、相当しない。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
沢田先生による、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』は、
（１）が「誤訳」であるが故に、「妥当」ではなく、
私による、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』こそが、「妥当」である。
従って、
（07）（11）により、
（12）
沢田先生が、
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』を「妥当」とするのであれば、沢田先生は、
（１）象は鼻が長い。
といふ「日本語」を、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ風に、「翻訳」せざるを得ない。
然るに、
（07）（12）により、
（13）
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』が「妥当」でないはずが無いし、『計算（07）』も「妥当」でないはずが無い。
従って、
（02）～（13）により、
（14）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
④ 象は兎ではない。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
に於いて、
④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い。
④ 象は兎ではない。
に於ける、
① 象は
④ 象は
は、両方とも、
② ∀ｘ｛象ｘ→
⑤ ∀ｘ（象ｘ→
といふ「意味」、すなはち、
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、
といふ「意味」になる。
然るに、
（16）
② ∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝
⑤ ∀ｘ（象ｘ→Ｑ｝
といふ「論理式」は、「形式として、正しい」。
然るに、
（17）
② ∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝
⑤ ∀ｘ（象ｘ→Ｑ｝
に於いて、
② Ｐ＝∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
⑤ Ｑ＝～兎ｘ
といふ「代入（substitution）」を行った「結果」が、それぞれ、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
である、といふ風に、「解すること」が出来る。
然るに、
（18）
これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）〔三上文法！ : wrong, rogue and log〕。
（19）
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、
といふ「言ひ方」は、
③ これから象についてのことを述べますよ。
⑥ これから象についてのことを述べますよ。
といふ「言ひ方」に、「ほとんど、等しい」。
然るに、
（20）
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。この他にペアノ算術のように単独で形式化する理論もある（ウィキペディア）。
従って、
（14）～（20）により、
（21）
「英語」ではなく、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ『数学語（普遍語）』を「基準」にするならば、
① 象は鼻が長い。
④ 象は兎ではない。
に於ける、
① 象は
④ 象は
に、「区別」は無い。
従って、
（01）（21）により、
（22）
「常識（習慣）」として、
④ 象は兎ではない。
に於ける「象は」が、「主語」であるならば、
① 象は鼻が長い。
に於ける「象は」も、「主語」である。
令和６年１月１２日、毛利太。
「象は鼻が長い。」という文の主語に関する話題です。皆様はいかがお考えでしょうか、この文の主語は「象」だと思われますか、「鼻」だと思われますか。非常に簡単な文ではあるのですが、実はこの文は大正時代から文法的な論争が繰り返されていて、現時点でも明確な結論が出ていない問題なのです。歴史で邪馬台国のあった場所が「畿内説」「九州説」に分かれて議論が繰り返されているのと同じような印象を持っています（象は鼻が長い - 早稲田アカデミー）。
然るに、
（02）
― 何年もの間、繰り返し書いてゐるものの、―
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
（３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）
といふ「論理式（Well formed formulae）」は、「日本語」に「翻訳」すると、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
（２）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、ｘの鼻ではなくて、ｚは長い）｝。
（３） あるｘについて（ｘは象であって、ｘは兎である）。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
次の「計算（Predicate calculus）」は、「妥当」である。
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） Ａ
２ （２） 象ａ＆ 兎ａ Ａ
２ （３） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ２ＥＩ
１２ （４）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）＆
∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） １３＆Ｉ
１ （５） ～（象ａ＆ 兎ａ） ２４ＲＡＡ
６ （６） 象ａ Ａ
７ （７） 兎ａ Ａ
６７ （８） 象ａ＆ 兎ａ ６７＆Ｉ
１ ６７ （９） ～（象ａ＆ 兎ａ）＆
（象ａ＆ 兎ａ） ５８＆Ｉ
１ ６ （ア） ～兎ａ ７９ＲＡＡ
１ （イ） 象ａ→～兎ａ ６アＣＰ
１ （ウ） ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） １ＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） Ａ
１ （３） 兎ａ→～象ａ １ＵＥ
４ （４） 象ａ＆ 兎ａ Ａ
４ （５） 兎ａ ４＆Ｅ
１ ４ （６） ～象ａ ３５ＭＰＰ
４ （７） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４ （８） 象ａ＆～象ａ ６７＆Ｉ
４ （９）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） １８ＲＡＡ
２ （ア）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ２４９ＥＥ
１２ （イ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）＆
～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） １ア＆Ｉ
１ （ウ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ２イＲＡＡ
従って、
（05）により、
（06）
① ～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）
に於いて、すなはち、
① （象であって、兎であるといふ、そのやうなｘ）は存在しない。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（象ａ＆兎ａ） サＵＥ
ス （ス） 象ａ Ａ
セ（セ） 兎ａ Ａ
スセ（ソ） 象ａ＆兎ａ スセ＆Ｉ
１２ スセ（タ） ～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ） シソ＆Ｉ
１２ ス （チ） ～兎ａ セタＲＡＡ
１２ （ツ） 象ａ→～兎ａ スチＣＰ
１２ （テ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ツＵＩ
といふ『計算（Predicate calculus）』は、「妥当」であるものの、この『計算』を、『計算（07）』とする。
従って、
（07）により、
（08）
（１）象は鼻が長い。
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。
（３）象は兎ではない。
といふ「日本語」が、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
（３）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）
といふ「意味」、すなはち、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
（２）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。
（３）すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「意味」であるならば、そのときに限って、
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（09）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
然るに、
（09）により、
（10）
（１）すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い。
といふことは、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
といふことであり、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
といふことは、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ「論理式」に相当し、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「論理式」には、相当しない。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
沢田先生による、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』は、
（１）が「誤訳」であるが故に、「妥当」ではなく、
私による、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』こそが、「妥当」である。
従って、
（07）（11）により、
（12）
沢田先生が、
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』を「妥当」とするのであれば、沢田先生は、
（１）象は鼻が長い。
といふ「日本語」を、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ風に、「翻訳」せざるを得ない。
然るに、
（07）（12）により、
（13）
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』が「妥当」でないはずが無いし、『計算（07）』も「妥当」でないはずが無い。
従って、
（02）～（13）により、
（14）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
④ 象は兎ではない。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
に於いて、
④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い。
④ 象は兎ではない。
に於ける、
① 象は
④ 象は
は、両方とも、
② ∀ｘ｛象ｘ→
⑤ ∀ｘ（象ｘ→
といふ「意味」、すなはち、
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、
といふ「意味」になる。
然るに、
（16）
② ∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝
⑤ ∀ｘ（象ｘ→Ｑ｝
といふ「論理式」は、「形式として、正しい」。
然るに、
（17）
② ∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝
⑤ ∀ｘ（象ｘ→Ｑ｝
に於いて、
② Ｐ＝∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
⑤ Ｑ＝～兎ｘ
といふ「代入（substitution）」を行った「結果」が、それぞれ、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
である、といふ風に、「解すること」が出来る。
然るに、
（18）
これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）〔三上文法！ : wrong, rogue and log〕。
（19）
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、
といふ「言ひ方」は、
③ これから象についてのことを述べますよ。
⑥ これから象についてのことを述べますよ。
といふ「言ひ方」に、「ほとんど、等しい」。
然るに、
（20）
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。この他にペアノ算術のように単独で形式化する理論もある（ウィキペディア）。
従って、
（14）～（20）により、
（21）
「英語」ではなく、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ『数学語（普遍語）』を「基準」にするならば、
① 象は鼻が長い。
④ 象は兎ではない。
に於ける、
① 象は
④ 象は
に、「区別」は無い。
従って、
（01）（21）により、
（22）
「常識（習慣）」として、
④ 象は兎ではない。
に於ける「象は」が、「主語」であるならば、
① 象は鼻が長い。
に於ける「象は」も、「主語」である。
令和６年１月１２日、毛利太。
2024年1月11日木曜日
「述語論理」と「のみが（only）」について（Ⅲ）。
（01）
１ （１） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ） Ａ
２ （２）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ） Ａ
１ （４） Ｋａ→ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ １ＵＥ
２ （５）∀ｘ～（～Ｋｘ＆Ｓｘ） ２量化子の関係
２ （６） ～（～Ｋａ＆Ｓａ） １ＵＥ
７ （７） ～Ｋａ Ａ
８ （８） Ｓａ Ａ
７８ （９） ～Ｋａ＆Ｓａ ７８＆Ｉ
２ ７８ （ア） ～（～Ｋａ＆Ｓａ）＆
（～Ｋａ＆Ｓａ） ６９＆Ｉ
２ ７ （イ） ～Ｓａ ８アＲＡＡ
２ （ウ） ～Ｋａ→～Ｓａ ７イＣＰ
エ （エ） ａ＝ｊ＆ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ Ａ
エ （オ） ａ＝ｊ エ＆Ｅ
エ （カ） ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ エ＆Ｅ
キ （キ） ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ Ａ
ク （ク） ａ＝ｓ Ａ
エ （ケ） ａ≠ｓ カ＆Ｅ
エ ク （コ） ａ＝ｓ＆ａ≠ｓ クケ＆Ｉ
ク （サ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） エコＲＡＡ
シ（シ） ａ＝ｇ Ａ
エ （ス） ａ≠ｇ カ＆Ｅ
エ シ（セ） ａ＝ｇ＆ａ≠ｇ シス＆Ｉ
シ（ソ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） エシＲＡＡ
キ （タ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） キクサシソ∨Ｅ
エキ （チ） （ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ）＆
～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） カタ＆I
エ （ツ） ～（ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ） キチＲＡＡ
３ （テ） ～（ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ） ３エツＥＥ
１ ３ （ト） ～Ｋａ ４テＭＴＴ
１２３ （ナ） ～Ｓａ ウトＭＰＰ
１２３エ （ニ） ａ＝ｊ＆～Ｓａ オナ＆Ｉ
１２３エ （ヌ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ） ニＥＩ
１２３ （ネ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ） ３エヌＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘがＫをするならば、ｘはｓであるか、または、ｘはｇである）。然るに、
（ⅱ）あるｘが（Ｋをせずに、Ｓをする）といふことは無い。然るに、
（ⅲ）あるｘは（ｊであって、ｓではないし、ｇでもない）。従って、
（ⅳ）あるｘは（ｊであって、ｘはＳをしない）。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）
Ｋ＝合言葉を知ってゐた。
Ｓ＝銃を盗んだ。
ｊ＝ジャック。
ｓ＝スミス。
ｇ＝門衛。
であるとする。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが合言葉を知ってゐたならば、ｘはスミスであるか、または、ｘは門衛である）。然るに、
（ⅱ）あるｘが（合言葉を知らずに、銃を盗んだ）といふことは有り得無い。然るに、
（ⅲ）あるｘは（ジャックであって、スミスではないし、門衛でもない）。 従って、
（ⅳ）あるｘは（ジャックであって、ｘは銃を盗んでゐない）。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知っていた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知っていた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論」は「妥当」であるといふことは、
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「述語論理式」によって、「証明」出来る。
然るに、
（07）
「述語論理」は「命題論理」の「拡大（enlargement）」であって、それ故、
「命題論理」の「記号」だけを使って、
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「論理式（Well formed formulae）」を書くことは出来ない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
「命題論理」によって、
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知っていた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論の妥当性」を「証明」することは、「出来ない」。
因みに、
（09）
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。然るに、
（ⅱ）花子は象である。従って、
（ⅲ）花子は動物である。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）象は動物である。然るに、
（ⅱ）花子は象である。従って、
（ⅲ）花子は動物である。
といふ「推論の妥当性」も、「命題論理」では、「証明出来ない」。
然るに、
（10）
その一方で、「述語論理（の表現力）」に関しては、
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた術語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号―しかももたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）。
Flexibility of mind is generally required for translating from ordinary speech into sentences of the predicate calculus. No firm rules can be given, and practice is needed before full familiarity with quantifiers is reached. The activity involved is one of translation; but the formal language into which translation is being made has a rather different from that of a natural language，and has only a narrow terminology―logical connectives, variables, proper names, predicate-letters, and two quantifiers. The chief merit of the language is that, despite its notational limitations, it has a very wide expressive power（E.J.Lemmon, Beginning Logic, First published in Great Britain 1965）.
との、ことである。
令和６年１月１１日、毛利太。
１ （１） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ） Ａ
２ （２）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ） Ａ
１ （４） Ｋａ→ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ １ＵＥ
２ （５）∀ｘ～（～Ｋｘ＆Ｓｘ） ２量化子の関係
２ （６） ～（～Ｋａ＆Ｓａ） １ＵＥ
７ （７） ～Ｋａ Ａ
８ （８） Ｓａ Ａ
７８ （９） ～Ｋａ＆Ｓａ ７８＆Ｉ
２ ７８ （ア） ～（～Ｋａ＆Ｓａ）＆
（～Ｋａ＆Ｓａ） ６９＆Ｉ
２ ７ （イ） ～Ｓａ ８アＲＡＡ
２ （ウ） ～Ｋａ→～Ｓａ ７イＣＰ
エ （エ） ａ＝ｊ＆ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ Ａ
エ （オ） ａ＝ｊ エ＆Ｅ
エ （カ） ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ エ＆Ｅ
キ （キ） ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ Ａ
ク （ク） ａ＝ｓ Ａ
エ （ケ） ａ≠ｓ カ＆Ｅ
エ ク （コ） ａ＝ｓ＆ａ≠ｓ クケ＆Ｉ
ク （サ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） エコＲＡＡ
シ（シ） ａ＝ｇ Ａ
エ （ス） ａ≠ｇ カ＆Ｅ
エ シ（セ） ａ＝ｇ＆ａ≠ｇ シス＆Ｉ
シ（ソ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） エシＲＡＡ
キ （タ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） キクサシソ∨Ｅ
エキ （チ） （ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ）＆
～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） カタ＆I
エ （ツ） ～（ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ） キチＲＡＡ
３ （テ） ～（ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ） ３エツＥＥ
１ ３ （ト） ～Ｋａ ４テＭＴＴ
１２３ （ナ） ～Ｓａ ウトＭＰＰ
１２３エ （ニ） ａ＝ｊ＆～Ｓａ オナ＆Ｉ
１２３エ （ヌ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ） ニＥＩ
１２３ （ネ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ） ３エヌＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘがＫをするならば、ｘはｓであるか、または、ｘはｇである）。然るに、
（ⅱ）あるｘが（Ｋをせずに、Ｓをする）といふことは無い。然るに、
（ⅲ）あるｘは（ｊであって、ｓではないし、ｇでもない）。従って、
（ⅳ）あるｘは（ｊであって、ｘはＳをしない）。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）
Ｋ＝合言葉を知ってゐた。
Ｓ＝銃を盗んだ。
ｊ＝ジャック。
ｓ＝スミス。
ｇ＝門衛。
であるとする。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが合言葉を知ってゐたならば、ｘはスミスであるか、または、ｘは門衛である）。然るに、
（ⅱ）あるｘが（合言葉を知らずに、銃を盗んだ）といふことは有り得無い。然るに、
（ⅲ）あるｘは（ジャックであって、スミスではないし、門衛でもない）。 従って、
（ⅳ）あるｘは（ジャックであって、ｘは銃を盗んでゐない）。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知っていた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知っていた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論」は「妥当」であるといふことは、
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「述語論理式」によって、「証明」出来る。
然るに、
（07）
「述語論理」は「命題論理」の「拡大（enlargement）」であって、それ故、
「命題論理」の「記号」だけを使って、
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「論理式（Well formed formulae）」を書くことは出来ない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
「命題論理」によって、
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知っていた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論の妥当性」を「証明」することは、「出来ない」。
因みに、
（09）
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。然るに、
（ⅱ）花子は象である。従って、
（ⅲ）花子は動物である。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）象は動物である。然るに、
（ⅱ）花子は象である。従って、
（ⅲ）花子は動物である。
といふ「推論の妥当性」も、「命題論理」では、「証明出来ない」。
然るに、
（10）
その一方で、「述語論理（の表現力）」に関しては、
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた術語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号―しかももたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）。
Flexibility of mind is generally required for translating from ordinary speech into sentences of the predicate calculus. No firm rules can be given, and practice is needed before full familiarity with quantifiers is reached. The activity involved is one of translation; but the formal language into which translation is being made has a rather different from that of a natural language，and has only a narrow terminology―logical connectives, variables, proper names, predicate-letters, and two quantifiers. The chief merit of the language is that, despite its notational limitations, it has a very wide expressive power（E.J.Lemmon, Beginning Logic, First published in Great Britain 1965）.
との、ことである。
令和６年１月１１日、毛利太。
2024年1月10日水曜日
「述語論理」と「のみが（only）」について（Ⅱ）。
（01）
さて次の論証を考えてみよう（これはQuine〔17〕の翻案である）。
（ⅰ）スミスと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
これは明らかに健全である。
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁改）
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」も、明らかに、健全である。
然るに、
（03）
Ｋ＝合言葉を知ってゐた。
Ｓ＝銃を盗んだ。
ｓ＝スミス。
ｊ＝ジョンソン。
ｇ＝門衛。
とする。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） ～Ｓｓ＆～Ｓｊ Ａ
４ （４） Ｋａ＆Ｓａ Ａ
４ （５） Ｋａ ４＆Ｅ
４ （６） Ｓａ ４＆Ｅ
１ （７） Ｋａ→ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ ∨ａ＝ｇ １ＵＥ
１ ４ （８） ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ ∨ａ＝ｇ ５７ＭＰＰ
１ ４ （９） （ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ）∨ａ＝ｇ ８結合法則
ア （ア） （ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ） Ａ
イ （イ） ａ＝ｓ Ａ
４ イ （ウ） Ｓｓ ６イ＝Ｅ
４ イ （エ） Ｓｓ∨Ｓｊ ウ∨Ｉ
４ イ （オ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ エ∨Ｉ
カ （カ） ａ＝ｊ Ａ
４ カ （キ） Ｓｊ ６カ＝Ｅ
４ カ （ク） Ｓｓ∨Ｓｊ キ∨Ｉ
４ カ （ケ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ク∨I
４ （コ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ アイオカケ∨Ｅ
４ サ（サ） ａ＝ｇ Ａ
４ サ（シ） Ｓｇ ６サ＝Ｅ
４ サ（ス） Ｓｊ∨Ｓｇ シ∨Ｉ
４ サ（セ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ス∨Ｉ
１ ４ （ソ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ９アコサセ∨Ｅ
１２ （タ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ２４ソＥＥ
１２ （チ） （Ｓｓ∨Ｓｊ）∨Ｓｇ タ結合法則
１２ （ツ） ～～（Ｓｓ∨Ｓｊ）∨Ｓｇ チＤＮ
１２ （テ） ～（Ｓｓ∨Ｓｊ）→Ｓｇ ツ含意の定義
３ （ト） ～（Ｓｓ∨Ｓｊ） ３ド・モルガンの法則
１２３ （ナ） Ｓｇ テトＭＰＰ
従って、
（04）により、
（05）
∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ），～Ｓｓ＆～Ｓｊ├ Ｓｇ
といふ「連式」は「妥当」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（ⅰ）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ）～Ｓｓ＆～Ｓｊ
（ⅳ） Ｓｇ
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが合言葉を知ってゐたならば、ｘはスミスか、ジョンソンか、門衛である）。然るに、
（ⅱ）あるｘは（合言葉を知ってゐたし、銃を盗んだ）。然るに、
（ⅲ）スミスは銃を盗んでゐないし、ジョンソンも銃を盗んでいない。従って、
（ⅳ）銃を盗んだのは門衛である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（02）（06）により、
（07）
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」は、『述語論理』としても、「妥当」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
Ｐ＝スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
Ｑ＝合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
Ｒ＝スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
Ｓ＝門衛が銃を盗んだ。
とするならば、
Ｐ，Ｑ，Ｒ├ Ｓ
であるものの、
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ），～Ｓｓ＆～Ｓｊ├ Ｓｇ
② Ｐ，Ｑ，Ｒ├ Ｓ
に於いて、
① は、『述語論理』として 「妥当（ｖａｌｉｄ）」 であるが、
② は、『命題論理』として「不妥当（ｉｎｖａｌｉｄ）」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
例へば、
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」の「妥当性」は、『命題論理』では「証明」出来ない。
令和６年１月１０日、毛利太。
さて次の論証を考えてみよう（これはQuine〔17〕の翻案である）。
（ⅰ）スミスと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
これは明らかに健全である。
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁改）
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」も、明らかに、健全である。
然るに、
（03）
Ｋ＝合言葉を知ってゐた。
Ｓ＝銃を盗んだ。
ｓ＝スミス。
ｊ＝ジョンソン。
ｇ＝門衛。
とする。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） ～Ｓｓ＆～Ｓｊ Ａ
４ （４） Ｋａ＆Ｓａ Ａ
４ （５） Ｋａ ４＆Ｅ
４ （６） Ｓａ ４＆Ｅ
１ （７） Ｋａ→ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ ∨ａ＝ｇ １ＵＥ
１ ４ （８） ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ ∨ａ＝ｇ ５７ＭＰＰ
１ ４ （９） （ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ）∨ａ＝ｇ ８結合法則
ア （ア） （ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ） Ａ
イ （イ） ａ＝ｓ Ａ
４ イ （ウ） Ｓｓ ６イ＝Ｅ
４ イ （エ） Ｓｓ∨Ｓｊ ウ∨Ｉ
４ イ （オ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ エ∨Ｉ
カ （カ） ａ＝ｊ Ａ
４ カ （キ） Ｓｊ ６カ＝Ｅ
４ カ （ク） Ｓｓ∨Ｓｊ キ∨Ｉ
４ カ （ケ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ク∨I
４ （コ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ アイオカケ∨Ｅ
４ サ（サ） ａ＝ｇ Ａ
４ サ（シ） Ｓｇ ６サ＝Ｅ
４ サ（ス） Ｓｊ∨Ｓｇ シ∨Ｉ
４ サ（セ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ス∨Ｉ
１ ４ （ソ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ９アコサセ∨Ｅ
１２ （タ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ２４ソＥＥ
１２ （チ） （Ｓｓ∨Ｓｊ）∨Ｓｇ タ結合法則
１２ （ツ） ～～（Ｓｓ∨Ｓｊ）∨Ｓｇ チＤＮ
１２ （テ） ～（Ｓｓ∨Ｓｊ）→Ｓｇ ツ含意の定義
３ （ト） ～（Ｓｓ∨Ｓｊ） ３ド・モルガンの法則
１２３ （ナ） Ｓｇ テトＭＰＰ
従って、
（04）により、
（05）
∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ），～Ｓｓ＆～Ｓｊ├ Ｓｇ
といふ「連式」は「妥当」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（ⅰ）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ）～Ｓｓ＆～Ｓｊ
（ⅳ） Ｓｇ
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが合言葉を知ってゐたならば、ｘはスミスか、ジョンソンか、門衛である）。然るに、
（ⅱ）あるｘは（合言葉を知ってゐたし、銃を盗んだ）。然るに、
（ⅲ）スミスは銃を盗んでゐないし、ジョンソンも銃を盗んでいない。従って、
（ⅳ）銃を盗んだのは門衛である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（02）（06）により、
（07）
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」は、『述語論理』としても、「妥当」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
Ｐ＝スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
Ｑ＝合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
Ｒ＝スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
Ｓ＝門衛が銃を盗んだ。
とするならば、
Ｐ，Ｑ，Ｒ├ Ｓ
であるものの、
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ），～Ｓｓ＆～Ｓｊ├ Ｓｇ
② Ｐ，Ｑ，Ｒ├ Ｓ
に於いて、
① は、『述語論理』として 「妥当（ｖａｌｉｄ）」 であるが、
② は、『命題論理』として「不妥当（ｉｎｖａｌｉｄ）」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
例へば、
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」の「妥当性」は、『命題論理』では「証明」出来ない。
令和６年１月１０日、毛利太。
2024年1月6日土曜日
「述語論理」と「のみが（only）」について。
（01）
さて次の論証を考えてみよう（これはQuine〔17〕の翻案である）。
（１２）スミスとその門衛のみが合言葉を知っていた。合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
Only Smith and the guard at the gate knew the password; Someone who knew the password stole the gun. Therefore, either Smith or the guard at the gate stole the gun.
これは明らかに健全である。しかしその健全性を、等号を含まない述語計算の中で示すことはできないのである。
「のみ（only）」という語の通常の意味を念頭におくならば、（１２）の第１の前提は次のことを意味する。
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいはその門衛であった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
（１３）において、２つの「であった（was）」は同一性の「であった（was）」である。従って、
「Ｋ」が「合言葉を知っていたこと」を、「ｍ」がスミス、「ｎ」がその門衛を表すとするならば、（１３）はつぎのように記号化される。
（１４）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁）
然るに、
（02）
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ） Ａ
１ （２） Ｋａ→ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ １ＵＥ
３ （３）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ） Ａ
４ （４） ａ＝ｏ＆ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ Ａ
４ （５） ａ＝ｏ ４＆Ｅ
４ （６） ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ ４＆Ｅ
７ （７） ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ Ａ
４ （８） ａ≠ｍ ６＆Ｅ
９ （９） ａ＝ｍ Ａ
４ ９ （ア） ａ≠ｍ＆ａ＝ｍ ８９＆Ｉ
９ （イ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ４アＲＡＡ
４ （ウ） ａ≠ｎ ６＆Ｅ
エ（エ） ａ＝ｎ Ａ
４ エ（オ） ａ≠ｎ＆ａ＝ｎ ウエ＆Ｉ
エ（カ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ４オＲＡＡ
７ （キ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ７９イエカ∨Ｅ
４７ （ク） （ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ）＆
～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ６キ＆Ｉ
４ （ケ） ～（ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ） ７クＲＡＡ
３ （コ） ～（ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ） ３４ケＥＥ
１３ （サ） ～Ｋａ ２コＭＴＴ
１ ４ （シ） ａ＝ｏ＆～Ｋａ ４サ＆Ｉ
１ ４ （ス）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） シＥＩ
１３ （セ）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） ３４スＥＥ
１ （ソ）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→
∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） ３セＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）├ ∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて、（ｘが合言葉を知っていたならば、ｘはスミスであるか、あるいは、門衛であった）。従って、
あるｘがｏであって、そのｘが、スミスではなく、門衛でもないならば、ｏといふｘで、合言葉を知らなかったｘが存在する。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）により、
（04）
① あるｘがｏであって、そのｘが、スミスではなく、門衛でもないならば、ｏといふｘで、合言葉を知らなかったｘが存在する。
といふことは、
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふことに、「他ならない」。
従って、
（01）（04）により、
（05）
E.J.レモンによる、
「のみ（only）」という語の通常の意味を念頭におくならば、（１２）の第１の前提は次のことを意味する。
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふ「説明」は、「正しい」。
従って、
（05）により、
（06）
「Ｓ」を、「銃を盗んだこと」を表すものとして用いるならば、われわれが証明しなくてはならないものはつぎの連式である。
１４１ ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）├ Ｓｍ∨Ｓｎ
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） Ｋａ＆Ｓａ Ａ
３ （４） Ｋａ ３＆Ｅ
３ （５） Ｓａ ３＆Ｅ
１ （６） Ｋａ→ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ １ＵＥ
１ ３ （７） ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ ４６ＭＰＰ
８ （８） ａ＝ｍ Ａ
３８ （９） Ｓｍ ５８＝Ｅ
３８ （ア） Ｓｍ∨Ｓｎ ９∨Ｉ
イ（イ） ａ＝ｎ Ａ
３ イ（ウ） Ｓｎ ５イ＝Ｅ
３ イ（エ） Ｓｍ∨Ｓｎ ウ∨I
１ ３ （オ） Ｓｍ∨Ｓｎ ７８アイエ∨Ｅ
１２ （カ） Ｓｍ∨Ｓｎ ２３オＥＥ
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁）
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
（07）
「数学」が得意な学生は、世間では、「論理的な思考」が「得意」であるとされてゐるが、
「論理学」が得意な学生が、「論理的な思考」が「不得手」であるはずが無い。
然るに、
（08）
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）├ ∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）
② ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）├ Ｓｍ∨Ｓｎ
といふ「述語論理式」は、「数学（mathematics）」ではなく、『語学（language）』である。
従って、
（09）
「（文法を基礎とした）外国語としての英語の学習」が得意な「学生」は、あるいは、
「数学の学習」が得意な「学生」よりも、「論理的な思考」が得意なのかも、知れない（？！）。
令和６年１月６日、毛利太。
さて次の論証を考えてみよう（これはQuine〔17〕の翻案である）。
（１２）スミスとその門衛のみが合言葉を知っていた。合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
Only Smith and the guard at the gate knew the password; Someone who knew the password stole the gun. Therefore, either Smith or the guard at the gate stole the gun.
これは明らかに健全である。しかしその健全性を、等号を含まない述語計算の中で示すことはできないのである。
「のみ（only）」という語の通常の意味を念頭におくならば、（１２）の第１の前提は次のことを意味する。
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいはその門衛であった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
（１３）において、２つの「であった（was）」は同一性の「であった（was）」である。従って、
「Ｋ」が「合言葉を知っていたこと」を、「ｍ」がスミス、「ｎ」がその門衛を表すとするならば、（１３）はつぎのように記号化される。
（１４）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁）
然るに、
（02）
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ） Ａ
１ （２） Ｋａ→ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ １ＵＥ
３ （３）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ） Ａ
４ （４） ａ＝ｏ＆ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ Ａ
４ （５） ａ＝ｏ ４＆Ｅ
４ （６） ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ ４＆Ｅ
７ （７） ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ Ａ
４ （８） ａ≠ｍ ６＆Ｅ
９ （９） ａ＝ｍ Ａ
４ ９ （ア） ａ≠ｍ＆ａ＝ｍ ８９＆Ｉ
９ （イ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ４アＲＡＡ
４ （ウ） ａ≠ｎ ６＆Ｅ
エ（エ） ａ＝ｎ Ａ
４ エ（オ） ａ≠ｎ＆ａ＝ｎ ウエ＆Ｉ
エ（カ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ４オＲＡＡ
７ （キ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ７９イエカ∨Ｅ
４７ （ク） （ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ）＆
～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ６キ＆Ｉ
４ （ケ） ～（ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ） ７クＲＡＡ
３ （コ） ～（ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ） ３４ケＥＥ
１３ （サ） ～Ｋａ ２コＭＴＴ
１ ４ （シ） ａ＝ｏ＆～Ｋａ ４サ＆Ｉ
１ ４ （ス）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） シＥＩ
１３ （セ）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） ３４スＥＥ
１ （ソ）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→
∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） ３セＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）├ ∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて、（ｘが合言葉を知っていたならば、ｘはスミスであるか、あるいは、門衛であった）。従って、
あるｘがｏであって、そのｘが、スミスではなく、門衛でもないならば、ｏといふｘで、合言葉を知らなかったｘが存在する。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）により、
（04）
① あるｘがｏであって、そのｘが、スミスではなく、門衛でもないならば、ｏといふｘで、合言葉を知らなかったｘが存在する。
といふことは、
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふことに、「他ならない」。
従って、
（01）（04）により、
（05）
E.J.レモンによる、
「のみ（only）」という語の通常の意味を念頭におくならば、（１２）の第１の前提は次のことを意味する。
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふ「説明」は、「正しい」。
従って、
（05）により、
（06）
「Ｓ」を、「銃を盗んだこと」を表すものとして用いるならば、われわれが証明しなくてはならないものはつぎの連式である。
１４１ ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）├ Ｓｍ∨Ｓｎ
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） Ｋａ＆Ｓａ Ａ
３ （４） Ｋａ ３＆Ｅ
３ （５） Ｓａ ３＆Ｅ
１ （６） Ｋａ→ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ １ＵＥ
１ ３ （７） ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ ４６ＭＰＰ
８ （８） ａ＝ｍ Ａ
３８ （９） Ｓｍ ５８＝Ｅ
３８ （ア） Ｓｍ∨Ｓｎ ９∨Ｉ
イ（イ） ａ＝ｎ Ａ
３ イ（ウ） Ｓｎ ５イ＝Ｅ
３ イ（エ） Ｓｍ∨Ｓｎ ウ∨I
１ ３ （オ） Ｓｍ∨Ｓｎ ７８アイエ∨Ｅ
１２ （カ） Ｓｍ∨Ｓｎ ２３オＥＥ
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁）
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
（07）
「数学」が得意な学生は、世間では、「論理的な思考」が「得意」であるとされてゐるが、
「論理学」が得意な学生が、「論理的な思考」が「不得手」であるはずが無い。
然るに、
（08）
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）├ ∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）
② ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）├ Ｓｍ∨Ｓｎ
といふ「述語論理式」は、「数学（mathematics）」ではなく、『語学（language）』である。
従って、
（09）
「（文法を基礎とした）外国語としての英語の学習」が得意な「学生」は、あるいは、
「数学の学習」が得意な「学生」よりも、「論理的な思考」が得意なのかも、知れない（？！）。
令和６年１月６日、毛利太。
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