「衆議院議員の被選挙権」の「命題論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　Ａ
１　　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ　　　　１含意の定義
　３　　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　　（５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　　４∨Ｉ
　　６　（６）　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ
　　６　（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　６∨Ｉ
１　　　（８）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　１３５６７∨Ｅ
１　　　（９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　　　３結合法則
　ア　　（ア）～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　ア　　（イ）～Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　ア∨Ｉ
　ア　　（ウ）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　イ含意の定義
　ア　　（エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　ウ∨Ｉ
　　　オ（オ）　　　　　（～Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　　　オ（カ）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　オ含意の定義
　　　オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　カ∨Ｉ
１　　　（ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１　　　（１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　Ａ
　２　　（２）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　Ａ
　２　　（４）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　Ｒ　　　　　　　　３４ＭＰＰ
　　　６（６）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　Ａ
　２　　（７）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　６（８）　　　　　　　　　Ｒ　　６７ＭＰＰ
１２　　（９）　　　Ｒ　　　　　　　　１３５６８∨Ｅ
１　　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　　２９ＣＰ
（02）
（ⅲ）
１　　　（１）　Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（２）（Ｐ＆Ｑ→Ｒ）＆（Ｒ→Ｐ＆Ｑ）　Ａ
１　　　（３）　　　　　　　　　Ｒ→Ｐ＆Ｑ　　１＆Ｅ
　４　　（４）　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ
　４　　（５）　　　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　４ド・モルガンの法則
１４　　（６）　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　３５ＭＰＰ
１　　　（７）　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ　　４６ＣＰ
　　８　（８）　　　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　８　（９）　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　８∨Ｉ
１　８　（ア）　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　７９ＭＰＰ
１　　　（イ）　　　　　　　　　～Ｐ→～Ｒ　　８アＣＰ
　　　ウ（ウ）　　　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　ウ（エ）　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　ウ∨Ｉ
１　　ウ（オ）　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　７エＭＰＰ
１　　　（カ）　　　　　　　　　～Ｑ→～Ｒ　　ウオＣＰ
１　　　（キ）（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）　イカ＆Ｉ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ ┤├ （　Ｐ→　Ｒ）∨（　Ｑ→　Ｒ）
② Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ　 ├ （～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
といふ「連式（Sequents）」は、２つとも「妥当（Valid）」である。
然るに、
（04）
①（　Ｐ→　Ｒ）∨（　Ｑ→　Ｒ）
②（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
に於いて、
　Ｐ＝偽
　Ｒ＝真
であるならば、
① は、「真」であるが、
② は、「偽」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ）
② Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ
といふ「論理式」に於いて、
①＝② ではない。
然るに、
（06）
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝２５歳以上である。
Ｒ＝衆議院議員の被選挙権がある。
として、
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ
② Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ
といふ「命題論理式」は、それぞれ、
① 日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。
② 日本人であって、２５歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。
といふ「日本語」に、相当する。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① 日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。
② 日本人であって、２５歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。
といふ「日本語」に於いて、
①＝② ではない。
然るに、
（08）
②（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝２５歳以上である。
Ｒ＝衆議院議員の被選挙権がある。
とすると、
②（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
③（日本人でないならば、衆議院議員の被選挙権はない。）そして（２５歳以上でないならば、衆議院議員の被選挙権はない。）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（03）～（08）により、
（09）
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ）
② Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ
③（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
に於いて、すなはち、
① 日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。
② 日本人であって、２５歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。
③（日本人でないならば、衆議院議員の被選挙権はない。）そして（２５歳以上でないならば、衆議院議員の被選挙権はない。）
に於いて、
① ならば、③ ではないが、
② ならば、③ である。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）「日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。」然るに、
（ⅱ）「日本人ではない。」従って、
（ⅲ）「衆議院議員の被選挙権はない。」
といふ「推論」は、「無効（Invalid）」であるが、
（ⅰ）「日本人であって、２５歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。」然るに、
（ⅱ）「日本人ではない。」従って、
（ⅲ）「衆議院議員の被選挙権はない。」
といふ「推論」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）「日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。」然るに、
（ⅱ）「日本人ではない。」従って、
（ⅲ）「衆議院議員の被選挙権はない。」
といふ「推論」を、「妥当」であると、思ふのであれば、その人は、
① 日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。
② 日本人であって、２５歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。
といふ「日本語」に於いて、
①と② を、『混同』してゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（03）（06）（11）により、
（12）
（ⅰ）「日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。」然るに、
（ⅱ）「日本人ではない。」従って、
（ⅲ）「衆議院議員の被選挙権はない。」
といふ「推論」を、「妥当」であると、思ふのであれば、その人は、
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ ┤├ （　Ｐ→　Ｒ）∨（　Ｑ→　Ｒ）
② Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ　 ├ （～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①と② を、『混同』してゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（12）により、
（13）
その人は、
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ ┤├ （　Ｐ→　Ｒ）∨（　Ｑ→　Ｒ）
といふ「連式」を、
② Ｐ＆Ｑ→Ｒ　 ├ （～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
といふ「連式」であると、「勘違ひ」をしてゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（13）により、
（14）
その人にとっては、
② Ｐ＆Ｑ→Ｒ　 ├ （～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
といふ「マチガイ」の方が、「正しい」が故に、
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ ┤├ （　Ｐ→　Ｒ）∨（　Ｑ→　Ｒ）
といふ「連式」は、「マチガイ（をかしい）」といふ、ことになる。
然るに、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、
大西拓郎先生（京都大学）は、
［厳密含意の論理(1) [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］に於いて、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。実質含意にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
大西拓郎先生（京都大学）は、
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ ┤├ （　Ｐ→　Ｒ）∨（　Ｑ→　Ｒ）
といふ「連式」を、
② Ｐ＆Ｑ→Ｒ　 ├ （～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
といふ「連式」であると、「勘違ひ」をしてゐる。
といふ、ことになる。
令和０３年０６月２８日、毛利太。

「焼酎割を飲むと酔ふ」の「命題論理」。

　―「昨日（令和０３年０６月２６日）の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１　　　（１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　Ａ
　２　　（２）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　Ａ
　２　　（４）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　Ｒ　　　　　　　　３４ＭＰＰ
　　　６（６）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　Ａ
　２　　（７）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　６（８）　　　　　　　　　Ｒ　　６７ＭＰＰ
１２　　（９）　　　Ｒ　　　　　　　　１３５６８∨Ｅ
１　　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　　２９ＣＰ
（ⅱ）
１　　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　Ａ
１　　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ　　　　１含意の定義
　３　　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　　（５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　　４∨Ｉ
　　６　（６）　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ
　　６　（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　６∨Ｉ
１　　　（８）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　１３５６７∨Ｅ
１　　　（９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　　　３結合法則
　ア　　（ア）～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　ア　　（イ）～Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　ア∨Ｉ
　ア　　（ウ）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　イ含意の定義
　ア　　（エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　ウ∨Ｉ
　　　オ（オ）　　　　　（～Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　　　オ（カ）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　オ含意の定義
　　　オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　カ∨Ｉ
１　　　（ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　２アエオキ∨Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
①（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「命題」、すなはち、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「命題」が「真（本当）」である。
といふことは、
②（Ｐ→Ｒ）
③　　　　　　（Ｑ→Ｒ）
④（Ｐ→Ｒ）＆（Ｑ→Ｒ）
といふ「３通り」が「真（本当）」であり得る。
といふことに、他ならない。
従って、
（03）により、
（04）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）
に於いて、
① である。従って、② である。
といふ「演繹推理」は、「不可」であるが、
① である。従って、② であると、思はれる。
といふ『蓋然的推理』は「不可」ではない。
例へば、
（05）
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お湯を飲む。
Ｒ＝酔ふ。
であるとして、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ　　）→Ｒ
といふ「命題」は、
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば酔ふ。
②（焼酎を飲む）ならば酔ふ。
といふ「命題」に相当し、尚且つ、
① は、「真（本当）」であり、
② も、「真（本当）」である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）
に於いて、すなはち、
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば酔ふ。
②（焼酎を飲む）ならば酔ふ。
に於いて、
① である。従って、② であると、思はれる。
といふ『蓋然的推理』は「不可」ではない。
然るに、
（07）
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば酔ふ。
②（焼酎を飲む）ならば酔ふ。
といふことは、
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば酔ふ。
②（焼酎を飲むが、お茶を飲まない）としても酔ふ。
といふことに、他ならない。
然るに、
（08）
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば酔ふ。
②（焼酎を飲むが、お茶を飲まない）としても酔ふ。
といふことは、
①（Ｐ＆　Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
といふことに、他ならない。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
①（Ｐ＆　Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
に於いて、
① である。従って、② であると、思はれる。
といふ『蓋然的推理』は「不可」ではない。
然るに、
（10）
（ⅲ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ　　　　Ａ
１　　（２）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆
　　　　　　　Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）　　　１Ｄｆ.⇔
１　　（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　２＆Ｅ
１　　（４）　Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）　　　２＆Ｅ
　５　（５）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　Ａ
　５　（６）　　～（Ｐ＆Ｑ）　　　５ド・モルガンの法則
１５　（７）～Ｒ　　　　　　　　　４６ＭＴＴ
１　　（８）（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ　５７ＣＰ
　　９（９）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　Ａ
　　９（ア）　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
　　９（イ）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　ア∨Ｉ
１　９（ウ）　　　　　　　　～Ｒ　８イＭＰＰ
１　　（エ）　（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ　９ウＣＰ
従って、
（10）により、
（11）
③（Ｐ＆　Ｑ）⇔　Ｒ。 従って、
④（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ。 である。
といふ「推論」、すなはち、
③「（Ｐであって、　Ｑである）ならば、そのときに限って、Ｒである。」従って、
④「（Ｐであっても、Ｑでない）ならば、Ｒではない。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
①（Ｐ＆　Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
に於いて、
① なので、② であるかも、知れない（演繹推理）。
であって、尚且つ、
③（Ｐ＆　Ｑ）⇔　Ｒ
④（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ
に於いて、
③ なので、④ である（演繹推理）。
従って、
（12）により、
（13）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→　Ｒ
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ
といふ「推論」は、
① であれば、『蓋然的推理』として、「正しく」、
② であれば、「演繹推理」　として、「正しい」。
然るに、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、
大西拓郎先生（京都大学）は、
［厳密含意の論理(1) [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］に於いて、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。 といふ風に、述べてゐる。
然るに、
（15）
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。
といふのは、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
といふ「推論」、すなはち、例へば、
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お湯を飲む。
Ｒ＝酔ふ。
であるとして、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば酔ふ。従って、（焼酎を飲んで、お湯を飲まない）としても酔ふであらう。
といふ『蓋然的推理』であるが、もちろん、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば酔ふ。従って、（焼酎を飲んで、お湯を飲まない）としても酔ふであらう。
といふ「推論」は、「をかしくはない。」
然るに、
（13）により、
（16）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ
といふ「演繹推理」は、「妥当」であり、それ故、
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→　Ｒ
に於いて、
③ は「妥当」であるが、
④ は「妥当」ではない。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
に於いて、
① ではなく、
④ であるならば、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。
といふ「推論」は、確かに、
まぁこれ、をかしい。
といふことに、なる。
従って、
（14）～（17）により、
（18）
例へば、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば酔ふ。従って、（焼酎を飲んで、お湯を飲まない）としても酔ふであらう。
といふ場合が、そうであるやうに、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
といふ『蓋然的推理』は、実際には、「をかしくはない」にもかかわらず、大西拓郎先生は、
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ
といふ「演繹推理」と、「混同」することにより、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば酔ふ。従って、（焼酎だけを飲んだ）としても酔ふであらう。
といふ『蓋然的推理』を称して、「まぁこれ、をかしい」。
といふ風に、述べてゐる。
令和０３年０６月２７日、毛利太。

「十分条件（Ｐ＆Ｑ）」と「必要条件（Ｒ）」（Ⅱ）。

（01）
①（Ｐ→Ｒ）≡（ＰならばＲである）
②（Ｐ⇔Ｒ）≡（ＰならばＲである）＆（ＲならばＰである）
然るに、
（02）
（ⅱ）
１　　（１）　Ｐ⇔Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
１　　（２）（Ｐ→Ｒ）＆（Ｒ→Ｐ）　　　１Ｄｆ.⇔
１　　（３）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　（４）　　　　　　　Ｒ→Ｐ　　　　２＆Ｅ
　５　（５）　　　　　　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　６（６）　　　　　　　Ｒ　　　　　　Ａ
１　６（７）　　　　　　　　　Ｐ　　　　４６ＭＰＰ
１５６（８）　　　　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　５７＆Ｉ
１５　（９）　　　　　　～Ｒ　　　　　　６８ＲＡＡ
１　　（ア）　　　　　　　～Ｐ→～Ｒ　　５９ＣＰ
１　　（イ）（Ｐ→Ｒ）＆（～Ｐ→～Ｒ）　３ア＆Ｉ
（ⅲ）
１　　（１）（Ｐ→Ｒ）＆（～Ｐ→～Ｒ）　Ａ
１　　（２）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　　　　～Ｐ→～Ｒ　　１＆Ｅ
　４　（４）　　　　　　　　　　　Ｒ　　Ａ
　　５（５）　　　　　　　～Ｐ　　　　　Ａ
１　５（６）　　　　　　　　　　～Ｒ　　３５ＭＰＰ
１４５（７）　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　４６＆Ｉ
１４　（８）　　　　　　～～Ｐ　　　　　５７ＲＡＡ
１４　（９）　　　　　　　　Ｐ　　　　　８ＤＮ
１　　（ア）　　　　　　　　Ｒ→　Ｐ　　４９ＣＰ
１　　（イ）（Ｐ→Ｒ）＆（Ｒ→Ｐ）　　　２ア＆Ｉ
１　　（ウ）　Ｐ⇔Ｒ　　　　　　　　　　イＤｆ.⇔
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（Ｐ→Ｒ）≡（Ｐ→Ｒ）
②（Ｐ⇔Ｒ）≡（Ｐ→Ｒ）＆（　Ｒ→　Ｐ）
③（Ｐ⇔Ｒ）≡（Ｐ→Ｒ）＆（～Ｐ→～Ｒ）
に於いて、
①＝② ではなくて、
②＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
①（Ｐ→Ｒ）≡（Ｐ→Ｒ）
②（Ｐ⇔Ｒ）≡（Ｐ→Ｒ）＆（　Ｒ→　Ｐ）
③（Ｐ⇔Ｒ）≡（Ｐ→Ｒ）＆（～Ｐ→～Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）
といふ「代入（Substitution）」を行ふと
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝
②｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝
③｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛～（Ｐ＆Ｑ）→～Ｒ｝
然るに、
（05）
（ⅲ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＤＮ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅳ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　 　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　　　（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２イ＆Ｉ
１　　　（エ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（05）により、
（06）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝
②｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝
③｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛～（Ｐ＆　Ｑ）→～Ｒ｝
④｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
然るに、
（08）
④｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐであって、Ｑである）ならば、そのときに限って、Ｒである。｝
④｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝≡｛（Ｐでないか、Ｑでないか、または、ＰでもＱでない）ならば、Ｒではない。｝
然るに、
（09）
④（Ｐでないか、Ｑでないか、または、ＰでもＱでない）ならば、Ｒではない。
といふことは、
④（Ｐであったとしても、Ｑでない）ならば、Ｒではない。
といふ、ことである。
然るに、
（10）
④（Ｐであったとしても、Ｑでない）ならば、Ｒではない。
といふことは、
④（Ｐであることは、Ｒであることの、「十分条件」である）とは、言へない。
といふ、ことである。
従って、
（07）～（10）により、
（11）
④｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
④（Ｐであることが、Ｒであることの、「十分条件」であること）は無い。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１　　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　Ａ
１　　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ　　　　１含意の定義
　３　　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　　（５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　　４∨Ｉ
　　６　（６）　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ
　　６　（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　６∨Ｉ
１　　　（８）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　１３５６７∨Ｅ
１　　　（９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　　　３結合法則
　ア　　（ア）～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　ア　　（イ）～Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　ア∨Ｉ
　ア　　（ウ）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　イ含意の定義
　ア　　（エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　ウ∨Ｉ
　　　オ（オ）　　　　　（～Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　　　オ（カ）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　オ含意の定義
　　　オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　カ∨Ｉ
１　　　（ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１　　　（１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　Ａ
　２　　（２）（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　Ａ
　　　　（４）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　Ｒ　　　　　　　　３４ＭＰＰ
　　　６（６）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　Ａ
　２　　（７）　　　　　　　Ｑ　　　　２＆Ｅ
　２　６（８）　　　　　　　　　Ｒ　　６７ＭＰＰ
１２　　（９）　　　Ｒ　　　　　　　　１３５６８∨Ｅ
１　　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　　２９ＣＰ
従って、
（12）により、
（13）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ≡（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
である。といふことは、
（ⅰ）　Ｐ＆～Ｑ は、Ｒの「十分条件」である、かも知れないし、
（ⅱ）～Ｐ＆　Ｑ は、Ｒの「十分条件」である、かも知れないし、
（ⅲ）　Ｐ＆  Ｑ は、Ｒの「十分条件」である。
といふことに、他ならない。
従って、
（14）により、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ≡（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①（Ｐであることが、Ｒであることの、「十分条件」であること）は有る。
従って、
（11）（15）により、
（16）
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝≡（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
④｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
①（Ｐであることが、Ｒであることの、「十分条件」であること）は有る。
④（Ｐであることが、Ｒであることの、「十分条件」であること）は無い。
従って、
（16）により、
（17）
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝≡（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「論理式」に関して、
①（Ｐであることが、Ｒであることの、「十分条件」であること）は有る。
といふことは、「をかしい」とするならば、
その方が、「をかしい」といふ、ことになる。
然るに、
（18）
④（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
ではなく、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、
大西拓郎先生（京都大学）は、
［2020年度後期哲学演習I 厳密含意の論理(1) [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］に於いて、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
（17）（18）により、
（19）
大西拓郎先生（京都大学）の場合も、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
に於いて、
①と④ を、「混同」してゐると、言はざるを得ない。
（20）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ≡（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お湯を飲む。
Ｒ＝気分が良くなる。
であるとすると、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「命題」は、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば気分が良くなる。
といふ「命題」に、「等しい」。
然るに、
（21）
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば気分が良くなる。
といふのであれば、
②（お湯は飲まずに、焼酎だけを飲む）ならば気分が良くなる。
といふことは、「可能」である。
然るに、
（20）（21）により、
（22）
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お湯を飲む。
Ｒ＝気分が良くなる。
であるとすると、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば気分が良くなる。
②（お湯は飲まずに、焼酎だけを飲む）ならば気分が良くなる。
といふ「命題」は、それぞれ、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ　　）→Ｒ
といふ「論理式」に、相当する。
然るに、
（23）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ　　）→Ｒ
に於いて、
② は、まさに、
② ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。
の、「具体例」である。
従って、
（18）～（23）により、
（24）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ　　）→Ｒ
に於ける、
② に関して、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
といふのであれば、その方が、をかしい。
（25）
『焼酎の種類にも割り方の如何にもかかわらず、焼酎を日々堪能しつつ元気に暮らしています。』
といふ方であれば、『簡単』に、分かってもらえるやうに、
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お湯を飲む。
Ｒ＝気分が良くなる。
であるとして、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば気分が良くなる。
②（お湯は飲まずに、焼酎だけを飲む）ならば気分が良くなる。
といふ「命題」は、それぞれ、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ　　）→Ｒ
といふ「論理式」に、「相当」するため、
① が「真」であって、尚且つ、
② も「真」であることは、「矛盾」ではない。
従って、
（25）により、
（26）
『焼酎の種類にも割り方の如何にもかかわらず、焼酎を日々堪能しつつ元気に暮らしています。』
といふ方であれば、『簡単』に、分かってもらえるやうに、
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝≡（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「等式」は、明らかに、「正しい」。
令和０３年０６月２５日、毛利太。

「十分条件（Ｐ＆Ｑ）」と「必要条件（Ｒ）」。

―「昨日（令和０３年０６月２４日）の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　Ａ
１　　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ　　　　１含意の定義
　３　　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　　（５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　　４∨Ｉ
　　６　（６）　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ
　　６　（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　６∨Ｉ
１　　　（８）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　１３５６７∨Ｅ
１　　　（９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　　　３結合法則
　ア　　（ア）～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　ア　　（イ）～Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　ア∨Ｉ
　ア　　（ウ）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　イ含意の定義
　ア　　（エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　ウ∨Ｉ
　　　オ（オ）　　　　　（～Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　　　オ（カ）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　オ含意の定義
　　　オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　カ∨Ｉ
１　　　（ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１　　　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　（２）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ）＆Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）　１Ｄｆ.⇔
１　　　　（３）　　　　　　　　　　Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）　２＆Ｅ
　４　　　（４）　　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ
　４　　　（５）　　　　　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　４ド・モルガンの法則
１４　　　（６）　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　３５ＭＴＴ
１　　　　（７）　　　～Ｐ∨～Ｑ→～Ｒ　　　　　　　４６ＣＰ
　　８　　（８）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　８　　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　　　８∨Ｉ
１　８　　（ア）　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　７９ＭＰＰ
１　　　　（イ）　　　～Ｐ→～Ｒ　　　　　　　　　　８アＣＰ
　　　ウ　（ウ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　　　ウ　（エ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　　　ウ∨Ｉ
１　　ウ　（オ）　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　７エＭＰＰ
１　　　　（カ）　　　　　　　　　～Ｑ→～Ｒ　　　　ウオＣＰ
１　　　　（キ）（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）　　　イカ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
に於いて、
① ならば、② であり、
③ ならば、④ である。
然るに、
（03）
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふことは、
（ⅰ）　Ｐ＆～Ｑ は、Ｒの「十分条件」である、かも知れないし、
（ⅱ）～Ｐ＆　Ｑ は、Ｒの「十分条件」である、かも知れないし、
（ⅲ）　Ｐ＆  Ｑ は、Ｒの「十分条件」である。
といふことに、他ならない。
（04）
④（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
といふことは、
（ⅰ）Ｐ 　　は、Ｒの「必要条件」であって、
（ⅱ）　　Ｑ も、Ｒの「必要条件」であって、
（ⅱ）Ｐ＆Ｑ も、Ｒの「必要条件」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
に於いて、
Ｐ＝２５歳以上である。
Ｑ＝日本人である。
Ｒ＝衆議院議員の被選挙権を有す。
であるとして、
① であるならば、
（α）２５歳以上であるならば、　日本人でなくとも、　衆議院議員であることは、「不可能」ではなく、
② であるならば、
（β）２５歳以上であるとしても、日本人でないならば、衆議院議員であるおとは、「不可能」である。
といふ、ことになる。
従って、
（05）により、
（06）
①（２５歳以上であって、日本人である）ならば、　　　　　　　　　衆議院議員の被選挙権を有す。
②（２５歳以上であって、日本人である）ならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権を有す。
に於いて、
① であるならば、
（α）２５歳以上であるならば、　日本人でなくとも、　衆議院議員であることは、「不可能」ではなく、
② であるならば、
（β）２５歳以上であるとしても、日本人でないならば、衆議院議員であることは、「不可能」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（07）
①（２５歳以上であって、日本人である）ならば、衆議院議員の被選挙権を有す。
といふのであれば、
（β）２５歳以上であるとしても、日本人でないならば、衆議院議員であることは、「不可能」である。
といふ風に、解する方が、「普通」である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
我々、日本人は、
①（２５歳以上であって、日本人である）ならば、衆議院議員の被選挙権を有す。
といふ「日本語」を、
②（２５歳以上であって、日本人である）ならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権を有す。
といふ「意味」で、用ひてゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（05）～（08）により、
（09）
我々、日本人は、
Ｐ＝２５歳以上である。
Ｑ＝日本人である。
Ｒ＝衆議院議員の被選挙権を有す。
であるとして、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」を、
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
といふ「論理式」として、用ひてゐる。
といふ、ことになる。
然るに、
（10）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
ではなく、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、
大西拓郎先生（京都大学）曰く、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
実質含意にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです［2020年度後期哲学演習I 厳密含意の論理(1) [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］。
然るに、
（11）
改めて、「確認」すると、
（ⅰ）
１　　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　Ａ
１　　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ　　　　１含意の定義
　３　　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　　（５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　　４∨Ｉ
　　６　（６）　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ
　　６　（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　６∨Ｉ
１　　　（８）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　１３５６７∨Ｅ
１　　　（９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　　　３結合法則
　ア　　（ア）～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　ア　　（イ）～Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　ア∨Ｉ
　ア　　（ウ）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　イ含意の定義
　ア　　（エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　ウ∨Ｉ
　　　オ（オ）　　　　　（～Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　　　オ（カ）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　オ含意の定義
　　　オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　カ∨Ｉ
１　　　（ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１　　　（１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　Ａ
　２　　（２）（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　Ａ
　　　　（４）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　Ｒ　　　　　　　　３４ＭＰＰ
　　　６（６）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　Ａ
　２　　（７）　　　　　　　Ｑ　　　　２＆Ｅ
　２　６（８）　　　　　　　　　Ｒ　　６７ＭＰＰ
１２　　（９）　　　Ｒ　　　　　　　　１３５６８∨Ｅ
１　　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　　２９ＣＰ
従って、
（11）により、
（12）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② であり、
② であれば、 ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。
とは、言ふものの、
まぁこれ、をかしい。
といふことには、ならない。
従って、
（09）～（12）により、
（13）
大西拓郎先生（京都大学）の場合は、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
に於いて、
①と③ を、「混同」してゐると、言はざるを得ない。
令和０３年０６月２５日、毛利太。

「ド・モルガンの法則」の「定義」について（Ⅱ）。

　―「昨日（令和０３年０６月０３日）の記事」を補足します。―
（01）
（ⅰ）αとβが「矛盾」するならば、
（ⅱ）　　βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
　α＝～β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
　α＝～β
といふ「等式」を、「（定義による）ド・モルガンの法則」と呼ぶことにする。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　（１）　　　Ｐ　　Ａ
　２（２）　　～Ｐ　　Ａ
１２（３）Ｐ＆～Ｐ　　１２＆Ｉ（矛盾）
１　（４）～（～Ｐ）　２ＲＡＡ（背理法）
（ⅱ）
１　（１）～（～Ｐ）　Ａ
１　（２）　　　Ｐ　　１ＤＮ
∴　Ｐ┤├ ～（～Ｐ）
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 　　　Ｐ
② ～（～Ｐ）
に於いて、
①＝② は、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
ｃｆ.
「Ｐの補集合」の「補集合」は、「Ｐ」に「等しい」。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ（矛盾）
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ（背理法）
（ⅳ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ（矛盾）
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ（背理法）
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　　Ｐ→Ｑ　　　２７ＣＰ
∴　Ｐ→Ｑ┤├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
（05）
（ⅴ）
１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　３４＆Ｉ（矛盾）
　２　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　３５ＲＡＡ（背理法）
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ（矛盾）
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ（背理法）
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１２６７ア∨Ｅ
（ⅵ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ（矛盾）
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ（背理法）
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　８ＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　～（　Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ（矛盾）
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２エＲＡＡ（背理法）
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オＤＮ
∴　～Ｐ∨Ｑ┤├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
（06）
（ⅶ）
１　　　　　（１）　　Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　～Ｐ∨　～Ｑ∨～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　４５＆Ｉ（矛盾）
　　４　　　（７）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１６ＲＡＡ（背理法）
　　　８　　（８）　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　９ア＆Ｉ（矛盾）
　　　　９　（ウ）～（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）　　１９ＲＡＡ（背理法）
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　エオ＆Ｉ（矛盾）
　　　　　エ（キ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１カＲＡＡ（背理法）
　　　８　　（ク）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　３４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ケ＆Ｉ（矛盾）
１　　　　　（サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２コＲＡＡ（背理法）
（ⅷ）
１　　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　２　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　３∨Ｉ
１　２　　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１４＆Ｉ（矛盾）
１　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　２５ＲＡＡ（背理法）
１　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８　（８）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　８∨Ｉ
１　　８　（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１ア＆Ｉ（矛盾）
１　　　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ（背理法）
１　　　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
１　　　オ（ク）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１オ＆Ｉ（矛盾）
１　　　　（ケ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　オケＲＡＡ（背理法）
１　　　　（コ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　ケＤＮ
１　　　　（サ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　コサ＆Ｉ
∴　Ｐ＆Ｑ＆Ｒ ┤├ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
（07）
（ⅸ）
１　　　　　　（１）　　（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ　　Ａ
　２　　　　　（２）　（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ　　Ａ
１　　　　　　（３）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　　　　（４）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　５　　　（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　４　　　　（６）　　～Ｐ　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　４５　　　（７）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　５６＆Ｉ
　　　５　　　（８）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　４７ＲＡＡ
　　　　９　　（９）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　４　　　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　　　　４＆Ｅ
　　４　９　　（イ）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　４イＲＡＡ
１　　　　　　（エ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　３５８９ウ∨Ｅ
　　　　　オ　（オ）　（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　Ａ
１　　　　オ　（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　エオ＆Ｉ
　　　　　オ　（キ）～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　１カＲＡＡ
１　　　　　　（ク）　　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
　　　　　　ケ（ケ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　ケ（コ）　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　クケ＆Ｉ
　　　　　　ケ（サ）～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　１コＲＡＡ
　２　　　　　（シ）～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　２オキケサ∨Ｅ
１２　　　　　（ス）　｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝＆
　　　　　　　　　　～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　１シ＆Ｉ（矛盾）
１　　　　　　（セ）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝　２スＲＡＡ（背理法）
（ⅹ）
１　　　　　　　　（１）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝　　Ａ
　２　　　　　　　（２）　～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　Ａ
　　３　　　　　　（３）　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　Ａ
　　　４　　　　　（４）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　３４　　　　　（５）　　　（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ　　　３４＆Ｉ
　２３４　　　　　（６）　～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝＆
　　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ　　　２５＆Ｉ
　２３　　　　　　（７）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　４ＲＡＡ
　２　　　　　　　（８）　　　（Ｐ∨　Ｑ）→～Ｒ　　　３７ＣＰ
　　　　９　　　　（９）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　　９　　　　（ア）　　　　　　　　　～～Ｒ　　　９ＤＮ
　２　　９　　　　（イ）　　～（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　８アＭＴＴ
　　　　　ウ　　　（ウ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　Ａ
　　　　　　エ　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　エ　　（オ）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　エ∨Ｉ
　２　　９　エ　　（カ）　　～（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　イオ＆Ｉ
　２　　９　　　　（キ）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　エカＲＡＡ
　　　　　　　ク　（ク）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　　　　　ク　（ケ）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　クカ∨Ｉ
　２　　９　　ク　（コ）　　～（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　イケ＆Ｉ
　２　　９　　　　（サ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　クコＲＡＡ
　２　　９　　　　（シ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　キサ＆Ｉ
　２　　９ウ　　　（セ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　ウシ＆Ｉ
　２　　９　　　　（ソ）～～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　ウセＲＡＡ
　２　　９　　　　（タ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　ソＤＮ
　２　　　　　　　（チ）　　　Ｒ→（～Ｐ＆～Ｑ）　　　９タＣＰ
　　　　　　　　ツ（ツ）　　～Ｒ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　　ツ（テ）　　（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ　　　ツ∨Ｉ
１　　　　　　　ツ（ト）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝　　１テ＆Ｉ
１　　　　　　　　（ナ）　～～Ｒ　　　　　　　　　　　ツトＲＡＡ
１　　　　　　　　（ニ）　　　Ｒ　　　　　　　　　　　ナＤＮ
１２　　　　　　　（ヌ）　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　　チニＭＰＰ
１２　　　　　　　（ネ）　　（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ　　　ヌ∨Ｉ
１２　　　　　　　（ノ）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝　　１ネ＆Ｉ（矛盾）
１　　　　　　　　（ハ）～～｛（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ｝　　２ノＲＡＡ（背理法）
１　　　　　　　　（ヒ）　　　（Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ　　　ハＤＮ
∴　（Ｐ∨Ｑ）＆Ｒ ┤├ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
（08）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　Ａ
　２　　　　（２）　　　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　３　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　２＆Ｅ
　　　７　　（９）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　７＆Ｅ
　　　　ア　（ア）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　７ア　（イ）　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　９ア＆Ｉ
　　　　ア　（ウ）　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　７イＲＡＡ
　　　７　　（エ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　２＆Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　７　オ（カ）　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　オ（キ）　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　７カＲＡＡ
　２　　　　（ク）　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　８アウオキ∨Ｅ
　２　７　　（ケ）（Ｑ＆Ｒ）＆～（Ｑ＆　Ｒ）　　７ク＆Ｉ（矛盾）
　　　７　　（コ）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　２ケＲＡＡ（背理法）
１　　　　　（サ）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　１３６７コ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　１３６７コ∨Ｅ
　２　　　　（２）　　～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　Ａ
　　３　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　（４）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　３∨Ｉ
　２３　　　（５）　　～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　２４＆Ｉ
　２　　　　（６）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　３ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　Ａ
　２　７　　（８）　　　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　　６７＆Ｉ
１２　７　　（９）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　１８＆Ｉ
１２　　　　（ア）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）　　　７９ＲＡＡ
　　　　イ　（イ）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　　イ　（ウ）　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　　イ∨Ｉ
１２　　イ　（エ）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　アウ＆Ｉ
１２　　　　（オ）　　　　　　～～Ｑ　　　　　　　イエＲＡＡ
１２　　　　（カ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　オＤＮ
　　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　Ａ
　　　　　キ（ク）　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　　キ∨Ｉ
１２　　　キ（ケ）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　アク＆Ｉ
１２　　　　（コ）　　　　　　　　　～～Ｒ　　　　キケＲＡＡ
１２　　　　（サ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　コＤＮ
１２　　　　（シ）　　　　　　　　Ｑ＆　Ｒ　　　　カサ＆Ｉ
１２　　　　（ス）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　シ∨Ｉ
１２　　　　（セ）　　～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　２ス＆Ｉ（矛盾）
１　　　　　（ソ）　～～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　２ＲＡＡ（背理法）
１　　　　　（タ）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　ソＤＮ
∴　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）┤├ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
従って、
（01）～（08）により、
（09）
① 　 　 Ｐ
② ～（～Ｐ）
③　　   Ｐ→Ｑ
④   ～Ｐ∨　Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆～Ｑ）
⑥　　　 Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑦ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑧     （Ｐ∨  Ｑ）＆Ｒ
⑨～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
⑩        Ｐ∨（  Ｑ＆  Ｒ）
⑪  ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於いて、
①＝②
③＝⑤
④＝⑤
⑥＝⑦
⑧＝⑨
⑩＝⑪
は、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（10）
④ ～Ｐ∨　Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於ける、
④＝⑤ に関しては、「（普通の、）ド・モルガンの法則」である。
従って、
（01）（09）（10）により、
（11）
（ⅰ）αとβが「矛盾」するならば、
（ⅱ）　　βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
　α＝～β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
　α＝～β
といふ「等式」を、 「（定義による）ド・モルガンの法則」と呼ぶならば、
「（普通の、）　ド・モルガンの法則」は、
「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
令和０３年０６月２４日、毛利太。

「ド・モルガンの法則」の「定義」について（重要！）。

（01）
① 　  Ｐ　≡　Ｐである。
② （～Ｐ）≡（Ｐでない）。
に於いて、
①＆② は、「矛盾」である。
従って、
（01）により、
（02）
① 　　  Ｐ　≡　Ｐである。
② ～（～Ｐ）≡（Ｐでない）ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
③ 　　Ｐ＆　Ｑ　≡　Ｐであって、その上、Ｑである。
④ （～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である）。
に於いて、
③＆④ は、「矛盾」である。
従って、
（03）により、
（04）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ　≡　Ｐであって、その上、Ｑである。
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である）ではない。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（05）
（ⅴ）
１　　　　　（１）　　Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　～Ｐ∨　～Ｑ∨～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）　　１９ＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　３４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２コＲＡＡ
（ⅵ）
１　　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　２　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　３∨Ｉ
１　２　　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１４＆Ｉ
１　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　２５ＲＡＡ
１　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８　（８）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　８∨Ｉ
１　　８　（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１ア＆Ｉ
１　　　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ
１　　　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
１　　　オ（ク）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１オ＆Ｉ
１　　　　（ケ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　オケＲＡＡ
１　　　　（コ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　ケＤＮ
１　　　　（サ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　コサ＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
⑤ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（07）
（ⅶ）
１　　　　　（１）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　Ａ
　２　　　　（２）　　　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　３　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　２　　　　（４）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ（代表的選言項）
　２　　　　（８）　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　２＆Ｅ
　　　７　　（９）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　７＆Ｅ
　　　　ア　（ア）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　　７ア　（イ）　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　９ア＆Ｉ
　　　　ア　（ウ）　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　７イＲＡＡ
　　　７　　（エ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　２＆Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ（代表的選言項）
　　　７　オ（カ）　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　オ（キ）　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　７カＲＡＡ
　２　　　　（ク）　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　８アウオキ∨Ｅ
　２　７　　（ケ）（Ｑ＆Ｒ）＆～（Ｑ＆　Ｒ）　　７ク＆Ｉ
　　　７　　（コ）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　２ケＲＡＡ
１　　　　　（サ）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　１３６７コ∨Ｅ
（ⅷ）
１　　　　　（１）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　１３６７コ∨Ｅ
　２　　　　（２）　　～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　Ａ
　　３　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　（４）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　３∨Ｉ
　２３　　　（５）　　～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　２４＆Ｉ
　２　　　　（６）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　３ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　Ａ（for背理法）
　２　７　　（８）　　　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　　６７＆Ｉ
１２　７　　（９）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　１８＆Ｉ
１２　　　　（ア）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）　　　７９ＲＡＡ
　　　　イ　（イ）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ（for背理法）
　　　　イ　（ウ）　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　　イ∨Ｉ
１２　　イ　（エ）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　アウ＆Ｉ
１２　　　　（オ）　　　　　　～～Ｑ　　　　　　　イエＲＡＡ
１２　　　　（カ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　オＤＮ
　　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　Ａ（for背理法）
　　　　　キ（ク）　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　　キ∨Ｉ
１２　　　キ（ケ）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　アク＆Ｉ
１２　　　　（コ）　　　　　　　　　～～Ｒ　　　　キケＲＡＡ
１２　　　　（サ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　コＤＮ
１２　　　　（シ）　　　　　　　　Ｑ＆　Ｒ　　　　カサ＆Ｉ
１２　　　　（ス）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　シ∨Ｉ
１２　　　　（セ）　　～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　２ス＆Ｉ
１　　　　　（ソ）　～～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　２ＲＡＡ
１　　　　　（タ）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　ソＤＮ
従って、
（07）により、
（08）
⑦ 　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於いて、
⑦＝⑧ である。
従って、
（02）（04）（06）（08）により、
（09）
① 　　　Ｐ　
② ～（～Ｐ）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ 　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
⑤＝⑥ であって、
⑦＝⑧ である。
然るに、
（10）
（ⅰ）αとβが「矛盾」するならば、
（ⅱ）βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
　α＝～β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
　α＝～β
といふ「等式」を、「（定義による）ド・モルガンの法則」と呼ぶことにする。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① 　　　Ｐ　
② ～（～Ｐ）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ 　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於ける、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（12）
⑦ 　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に加へて、（　）の位置が、
⑦ 　 　 （Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ
⑧ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
であったとしも、
⑦＆⑧ は、「矛盾」する。
従って、
（12）により、
（13）
⑦ 　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
であれば、「矛盾」し、
⑦ 　　  （Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ
⑧ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
であったとしも、「矛盾」するため、
⑦       Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ
⑧ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
は、いづれにせよ、「矛盾」する。
従って、
（10）（11）（12）（13）により、
（14）
① 　　　Ｐ　
② ～（～Ｐ）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ 　　　Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ
⑧ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（14）により、
（15）
① 　　  Ｐ　
② ～（～Ｐ）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ 　　　Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ
⑧ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
が故に、
① 　　　～Ｐ　
② ～～（～Ｐ）
③ 　  ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ ～～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ 　　～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
⑥ ～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ 　　～（Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
従って、
（15）により、
（16）
「二重否定律」により、
① 　～Ｐ　
② （～Ｐ）
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ （～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
⑥ （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ ～（Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ （～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
① 　～Ｐ
② 　～Ｐ
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
⑥ 　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ 　～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
に於ける、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（18）
① 　～Ｐ
② 　～Ｐ
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
⑥ 　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ 　～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
に於いて、例へば、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① 　～Ｐ
② 　～Ｐ
③ ～（Ｐ＆　～Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆　～Ｑ＆　Ｒ）
⑥ 　～Ｐ∨～～Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨　～Ｑ＆　Ｒ）
⑧ 　～Ｐ＆～～Ｑ∨～Ｒ
に於ける、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
従って、
（18）により、
（19）
「二重否定律」により、
① 　～Ｐ
② 　～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ 　～Ｐ∨　Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ）
⑥ 　～Ｐ∨　Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨～Ｑ＆　Ｒ）
⑧ 　～Ｐ＆　Ｑ∨～Ｒ
に於ける、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
従って、
（19）により、
（20）
⑦ ～（Ｐ∨～Ｑ＆　Ｒ）
⑧ 　～Ｐ＆　Ｑ∨～Ｒ
がそうであるやうに、
⑦　　 Ｐ∨～Ｑ＆　Ｒ
を「否定」すると、「（定義による）ド・モルガンの法則」により、
⑧ 　Ｐ は、～Ｐ となり、
⑧ 　∨ は、　＆ となり、
⑧ ～Ｑ は、　Ｑ となり、
⑧   ＆ は、　∨ となり、
⑧   Ｒ は、～Ｒ となる。
令和０３年０６月２２日、毛利太。

「ド・モルガンの法則」は「無限に続く」。

（01）
①（Ｐであって、その上、Ｑである）。
②（Ｐでないか、Ｑでないか、または、その両方である）といふことはない。
といふ「日本語」に於いて、明らかに、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　８（８）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
１　　８（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　８（ア）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　　（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　（１）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　　（４）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　　（５）　～～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ
１　　　（６）　　　Ｐ　　　　　　５ＤＮ
　　７　（７）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　７　（８）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　７∨Ｉ
１　７　（９）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　１８＆Ｉ
１　　　（ア）　　　　～～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　　　　　Ｑ　　　アＤＮ
１　　　（ウ）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　６イ＆Ｉ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 　　　Ｐ＆　Ｑ　≡（Ｐであって、その上、Ｑである）。
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、Ｑでないか、または、その両方である）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑである）といふことはない。
② （～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、Ｑでないか、または、その両方である）。
といふ「論理式・日本語」に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑである）といふことはない。
② （～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、Ｑでないか、または、その両方である）。
に於いて、
Ｑ＝Ｑ＆Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～（Ｐ＆　　Ｑ＆Ｒ））≡（Ｐであって、その上、Ｑ＆Ｒである）といふことはない。
② （～Ｐ∨～（Ｑ＆Ｒ））≡（Ｐでないか、Ｑ＆Ｒでないか、または、その両方である）。

に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）により、
（06）
① ～（Ｑ＆　Ｒ）≡（Ｑであって、その上、Ｒである）といふことはない。
② （～Ｑ∨～Ｒ）≡（Ｑでないか、Ｒでないか、または、その両方である）。
といふ「論理式・日本語」に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）～（07）により、
（08）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② （～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
Ｑ＝Ｑ＆Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　　Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　～Ｐ∨　～Ｑ∨～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）　　１９ＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　３４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２コＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　２　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　３∨Ｉ
１　２　　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１４＆Ｉ
１　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　２５ＲＡＡ
１　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８　（８）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　８∨Ｉ
１　　８　（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１ア＆Ｉ
１　　　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ
１　　　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
１　　　オ（ク）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１オ＆Ｉ
１　　　　（ケ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　オケＲＡＡ
１　　　　（コ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　ケＤＮ
１　　　　（サ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　コサ＆Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
① 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（10）により、
（11）
① 　　～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
② ～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（11）により、
（12）
「二重否定律」により、
① ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（08）（12）により、
（13）
「代入（Substitution）」の「結果」も、
「命題計算（propositional calsulus）」の「結果」も、
① 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（08）により、 （14）
① 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
Ｒ＝Ｒ＆Ｓ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ＆　Ｓ　
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
「代入」を「繰り返す」ことによって、
「ド・モルガンの法則」は、「無限個の、要素命題」に於いて、成立する。
令和０３年０６月２１日、毛利太。

「命題論理」としての「述語論理」。

（01）
 ―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７肯定肯定式
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウク条件去
 ―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅲ）
１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２ウＲＡＡ
（ⅳ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２エＲＡＡ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
①　　 Ｐ→　Ｑ　≡　Ｐであるならば、Ｑである。
②　 ～Ｐ∨　Ｑ　≡　Ｐでないか、または、Ｑである。
③ 　～Ｐ∨　Ｑ　≡　Ｐでないか、または、Ｑである。
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）により、
（03）
「二重否定律」により、
①　　 Ｐ→～Ｑ　≡　Ｐであるならば、Ｑでない。
②　 ～Ｐ∨～Ｑ　≡　Ｐでないか、または、Ｑでない。
③ 　～Ｐ∨～Ｑ　≡　Ｐでないか、または、Ｑでない。
④ ～（Ｐ＆　Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（04）
 ―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅴ）
１　　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　２　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　３∨Ｉ
１　２　　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１４＆Ｉ
１　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　２５ＲＡＡ
１　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８　（８）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　８∨Ｉ
１　　８　（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１ア＆Ｉ
１　　　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ
１　　　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
１　　　オ（ク）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１オ＆Ｉ
１　　　　（ケ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　オケＲＡＡ
１　　　　（コ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　ケＤＮ
１　　　　（サ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　コサ＆Ｉ
（ⅵ）
１　　　　　（１）　　Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　～Ｐ∨　～Ｑ∨～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）　　１９ＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　３４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２コＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
⑤ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑥       Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（05）により、
（06）
「二重否定律」により、
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑥ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）（03）（06）により、
（07）
①　　 Ｐ→　Ｑ　　　　≡　Ｐであるならば、Ｑである。
②　 ～Ｐ∨　Ｑ　　　　≡　Ｐでないか、または、Ｑである。
③ 　～Ｐ∨～Ｑ　　　　≡　Ｐでないか、または、Ｑでない。
④ ～（Ｐ＆　Ｑ）　　　≡（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　≡　Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、Ｒでない。
⑥ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）≡（Ｐであって、Ｑであって、Ｒである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（08）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
① 象は動物である。
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
③（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ）
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
① 象は動物である。ではない。
② ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
③ ～｛（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ）｝
④｛すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。｝といふわけではない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（10）
１（１）～｛（象ａ→動物ａ）＆　　（象ｂ→動物ｂ）＆　　（象ｃ→動物ｃ）｝　Ａ
１（２）　～（象ａ→動物ａ）∨　～（象ｂ→動物ｂ）∨　～（象ｃ→動物ｃ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）～（～象ａ∨動物ａ）∨～（～象ｂ∨動物ｂ）∨～（～象ｃ∨動物ｃ）　　２含意の定義
１（４）　（象ａ＆～動物ａ）∨　（象ｂ＆～動物ｂ）∨　（象ｃ＆～動物ｃ）　　３ド・モルガンの法則
（10）により、
（11）
③ ～｛（象ａ→  動物ａ）＆（象ｂ→  動物ｂ）＆（象ｃ→  動物ｃ）｝
⑤     （象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）
に於いて、
③＝⑤ である。
然るに、
（12）
⑤（象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）
といふことは、
（ⅰ）（象ａ＆～動物ａ）
（ⅱ）（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅲ）（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅳ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅴ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅵ）（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅶ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
といふ「７通りの、どれか１つが、真である」といふことに、「等しい」。
然るに、
（13）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
（ⅰ）（象ａ＆～動物ａ）
（ⅱ）（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅲ）（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅳ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅴ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅵ）（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅶ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
といふ「７通りの、どれか１つが、真である」といふことに、「等しい」。
といふことは、
｛ａ、ｂ、ｃ｝の中に、
⑥ 動物ではない、象がゐる。
といふことに、「等しい」。
然るに、
（14）
⑥ 動物ではない、象がゐる。
⑦ ∃ｘ（象ｘ＆～動物）
⑧ ある（ｘは象であるが、動物ではない）。
に於いて、
⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（09）（11）（14）により、
（15）
「番号」を付け直すと、
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
① 象は動物である。ではない。
② 動物ではない、象がゐる。
③ ～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）
④ 　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
⑤ ～｛（象ａ→  動物ａ）＆（象ｂ→  動物ｂ）＆（象ｃ→  動物ｃ）｝
⑥　　 （象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）
⑦｛すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。｝といふわけではない。
⑧ ある（ｘは象であるが、動物ではない）。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（15）により、
（16）
「番号」を付け替へると、
① ～∀ｘ（象ｘ→  動物ｘ）
②   ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（16）により、
（17）
「二重否定律」により、
① 　∀ｘ（象ｘ→  動物ｘ）≡すべての象は、動物である。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡動物でない象は、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（18）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　Ａ
１　　（３）　　　　象ａ→　動物ａ　　　１ＵＥ
　　４（４）　　　　象ａ＆～動物ａ　　　Ａ
　　４（５）　　　　象ａ　　　　　　　　４＆Ｅ
１　４（６）　　　　　　　　動物ａ　　　３５ＭＰＰ
　　４（７）　　　　　　　～動物ａ　　　４＆Ｅ
１　４（８）　　　動物ａ＆～動物ａ　　　６７＆Ｉ
　　４（９）～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　　１８ＲＡＡ
　２　（ア）～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　　２４９ＥＥ
１２　（イ）  ∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）＆
　　　　　　～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　　１ア＆Ｉ
１　　（ウ）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　２イＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　Ａ
１　　（２）∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ）　　１量化子の関係
１　　（３）　　～（象ａ＆～動物ａ）　　２ＵＥ
　４　（４）　　　　象ａ　　　　　　　　Ａ
　　５（５）　　　　　　　～動物ａ　　　Ａ
　４５（６）　　　　象ａ＆～動部ａ　　　４５＆Ｉ
１４５（７）　　～（象ａ＆～動物ａ）＆
　　　　　　　　　（象ａ＆～動物ａ）　　３６＆Ｉ
１４　（８）　　　　　　～～動物ａ　　　５７ＲＡＡ
１４　（９）　　　　　　　　動物ａ　　　８ＤＮ
１　　（ア）　　　　象ａ→　動物ａ　　　４９ＣＰ
１　　（イ）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　　アＵＩ
従って、
（18）により、
（19）
「述語計算（Predicate calculus）」自体として、
① 　∀ｘ（象ｘ→  動物ｘ）≡すべての象は、動物である。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡動物でない象は、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
①　　 Ｐ→　Ｑ　　　　≡　Ｐであるならば、Ｑである。
②　 ～Ｐ∨　Ｑ　　　　≡　Ｐでないか、または、Ｑである。
③ 　～Ｐ∨～Ｑ　　　　≡　Ｐでないか、または、Ｑでない。
④ ～（Ｐ＆　Ｑ）　　　≡（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　≡　Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、Ｒでない。
⑥ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）≡（Ｐであって、Ｑであって、Ｒでる。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
といふ「等式(命題論理）」が、成り立つが故に、
① 　∀ｘ（象ｘ→  動物ｘ）≡すべての象は、動物である。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡動物でない象は、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
といふ「等式（述語論理）」が、成立する。
令和０３年０６月２０日、毛利太。