「命題論理」としての「述語論理」。

（01）
 ―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７肯定肯定式
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウク条件去
 ―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅲ）
１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２ウＲＡＡ
（ⅳ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２エＲＡＡ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
①　　 Ｐ→　Ｑ　≡　Ｐであるならば、Ｑである。
②　 ～Ｐ∨　Ｑ　≡　Ｐでないか、または、Ｑである。
③ 　～Ｐ∨　Ｑ　≡　Ｐでないか、または、Ｑである。
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）により、
（03）
「二重否定律」により、
①　　 Ｐ→～Ｑ　≡　Ｐであるならば、Ｑでない。
②　 ～Ｐ∨～Ｑ　≡　Ｐでないか、または、Ｑでない。
③ 　～Ｐ∨～Ｑ　≡　Ｐでないか、または、Ｑでない。
④ ～（Ｐ＆　Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（04）
 ―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅴ）
１　　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　２　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　３∨Ｉ
１　２　　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１４＆Ｉ
１　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　２５ＲＡＡ
１　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８　（８）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　８∨Ｉ
１　　８　（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１ア＆Ｉ
１　　　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ
１　　　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
１　　　オ（ク）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１オ＆Ｉ
１　　　　（ケ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　オケＲＡＡ
１　　　　（コ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　ケＤＮ
１　　　　（サ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　コサ＆Ｉ
（ⅵ）
１　　　　　（１）　　Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　～Ｐ∨　～Ｑ∨～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）　　１９ＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　３４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２コＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
⑤ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑥       Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（05）により、
（06）
「二重否定律」により、
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑥ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）（03）（06）により、
（07）
①　　 Ｐ→　Ｑ　　　　≡　Ｐであるならば、Ｑである。
②　 ～Ｐ∨　Ｑ　　　　≡　Ｐでないか、または、Ｑである。
③ 　～Ｐ∨～Ｑ　　　　≡　Ｐでないか、または、Ｑでない。
④ ～（Ｐ＆　Ｑ）　　　≡（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　≡　Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、Ｒでない。
⑥ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）≡（Ｐであって、Ｑであって、Ｒである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（08）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
① 象は動物である。
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
③（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ）
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
① 象は動物である。ではない。
② ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
③ ～｛（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ）｝
④｛すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。｝といふわけではない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（10）
１（１）～｛（象ａ→動物ａ）＆　　（象ｂ→動物ｂ）＆　　（象ｃ→動物ｃ）｝　Ａ
１（２）　～（象ａ→動物ａ）∨　～（象ｂ→動物ｂ）∨　～（象ｃ→動物ｃ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）～（～象ａ∨動物ａ）∨～（～象ｂ∨動物ｂ）∨～（～象ｃ∨動物ｃ）　　２含意の定義
１（４）　（象ａ＆～動物ａ）∨　（象ｂ＆～動物ｂ）∨　（象ｃ＆～動物ｃ）　　３ド・モルガンの法則
（10）により、
（11）
③ ～｛（象ａ→  動物ａ）＆（象ｂ→  動物ｂ）＆（象ｃ→  動物ｃ）｝
⑤     （象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）
に於いて、
③＝⑤ である。
然るに、
（12）
⑤（象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）
といふことは、
（ⅰ）（象ａ＆～動物ａ）
（ⅱ）（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅲ）（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅳ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅴ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅵ）（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅶ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
といふ「７通りの、どれか１つが、真である」といふことに、「等しい」。
然るに、
（13）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
（ⅰ）（象ａ＆～動物ａ）
（ⅱ）（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅲ）（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅳ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅴ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅵ）（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅶ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
といふ「７通りの、どれか１つが、真である」といふことに、「等しい」。
といふことは、
｛ａ、ｂ、ｃ｝の中に、
⑥ 動物ではない、象がゐる。
といふことに、「等しい」。
然るに、
（14）
⑥ 動物ではない、象がゐる。
⑦ ∃ｘ（象ｘ＆～動物）
⑧ ある（ｘは象であるが、動物ではない）。
に於いて、
⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（09）（11）（14）により、
（15）
「番号」を付け直すと、
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
① 象は動物である。ではない。
② 動物ではない、象がゐる。
③ ～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）
④ 　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
⑤ ～｛（象ａ→  動物ａ）＆（象ｂ→  動物ｂ）＆（象ｃ→  動物ｃ）｝
⑥　　 （象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）
⑦｛すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。｝といふわけではない。
⑧ ある（ｘは象であるが、動物ではない）。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（15）により、
（16）
「番号」を付け替へると、
① ～∀ｘ（象ｘ→  動物ｘ）
②   ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（16）により、
（17）
「二重否定律」により、
① 　∀ｘ（象ｘ→  動物ｘ）≡すべての象は、動物である。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡動物でない象は、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（18）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　Ａ
１　　（３）　　　　象ａ→　動物ａ　　　１ＵＥ
　　４（４）　　　　象ａ＆～動物ａ　　　Ａ
　　４（５）　　　　象ａ　　　　　　　　４＆Ｅ
１　４（６）　　　　　　　　動物ａ　　　３５ＭＰＰ
　　４（７）　　　　　　　～動物ａ　　　４＆Ｅ
１　４（８）　　　動物ａ＆～動物ａ　　　６７＆Ｉ
　　４（９）～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　　１８ＲＡＡ
　２　（ア）～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　　２４９ＥＥ
１２　（イ）  ∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）＆
　　　　　　～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　　１ア＆Ｉ
１　　（ウ）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　２イＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　Ａ
１　　（２）∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ）　　１量化子の関係
１　　（３）　　～（象ａ＆～動物ａ）　　２ＵＥ
　４　（４）　　　　象ａ　　　　　　　　Ａ
　　５（５）　　　　　　　～動物ａ　　　Ａ
　４５（６）　　　　象ａ＆～動部ａ　　　４５＆Ｉ
１４５（７）　　～（象ａ＆～動物ａ）＆
　　　　　　　　　（象ａ＆～動物ａ）　　３６＆Ｉ
１４　（８）　　　　　　～～動物ａ　　　５７ＲＡＡ
１４　（９）　　　　　　　　動物ａ　　　８ＤＮ
１　　（ア）　　　　象ａ→　動物ａ　　　４９ＣＰ
１　　（イ）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　　アＵＩ
従って、
（18）により、
（19）
「述語計算（Predicate calculus）」自体として、
① 　∀ｘ（象ｘ→  動物ｘ）≡すべての象は、動物である。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡動物でない象は、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
①　　 Ｐ→　Ｑ　　　　≡　Ｐであるならば、Ｑである。
②　 ～Ｐ∨　Ｑ　　　　≡　Ｐでないか、または、Ｑである。
③ 　～Ｐ∨～Ｑ　　　　≡　Ｐでないか、または、Ｑでない。
④ ～（Ｐ＆　Ｑ）　　　≡（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　≡　Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、Ｒでない。
⑥ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）≡（Ｐであって、Ｑであって、Ｒでる。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
といふ「等式(命題論理）」が、成り立つが故に、
① 　∀ｘ（象ｘ→  動物ｘ）≡すべての象は、動物である。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡動物でない象は、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
といふ「等式（述語論理）」が、成立する。
令和０３年０６月２０日、毛利太。