（01）
―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） 仮定
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） 仮定
３ （３） ～Ｐ 仮定
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３選言導入
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２４連言導入
２ （６） ～～Ｐ ３５背理法
２ （７） Ｐ ６二重否定
８（８） Ｑ 仮定
８（９） ～Ｐ∨ Ｑ ８選言導入
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２９連言導入
２ （イ） ～Ｑ ８ア背理法
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ連言導入
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ連言導入
１ （オ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２エ背理法
１ （カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ二重否定
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ 仮定
２ （２） Ｐ＆～Ｑ 仮定
３ （３） ～Ｐ 仮定
２ （４） Ｐ ２連言除去
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４連言導入
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５背理法
７（７） Ｑ 仮定
２ （８） ～Ｑ ２連言除去
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８連言導入
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９背理法
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア選言除去
１２ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） １イ連言導入
１ （エ）～（Ｐ＆～Ｑ） ２ウ背理法
―「含意の定義」の証明。―
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ 仮定
２ （２） Ｐ＆～Ｑ 仮定
３ （３） ～Ｐ 仮定
２ （４） Ｐ ２連言除去
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４連言導入
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５背理法
７ （７） Ｑ 仮定
２ （８） ～Ｑ ２連言除去
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８連言導入
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９背理法
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア選言除去
ウ （ウ） Ｐ 仮定
エ（エ） ～Ｑ 仮定
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ連言導入
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ連言導入
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカ背理法
１ ウ （ク） Ｑ キ二重否定
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウク条件去
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→Ｑ 仮定
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） 仮定
３（３） ～Ｐ 仮定
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３選言導入
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４連言導入
２ （６） ～～Ｐ ３５背理法
２ （７） Ｐ ６二重否定
１２ （８） Ｑ １７肯定肯定式
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８選言導入
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９連言導入
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２ア背理法
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イ二重否定
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
② ～Ｐ∨ Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑである。
③ ～Ｐ∨ Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑである。
④ Ｐ→ Ｑ ≡ Ｐであるならば、 Ｑである。
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則Ⅰ）。
③＝④ である（含意の定義Ⅰ）。
従って、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
④ Ｐ→ Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①＝④ である（含意の定義Ⅱ）。
然るに、
（04）
（ⅴ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ ２Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義（Ⅰ）
４ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
８（９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義（Ⅰ）
８（ア） Ｑ＆～Ｐ ９ド・モルガンの法則
８（イ） ～Ｐ＆Ｑ ア交換法則
８（ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） イ∨Ｉ
１ （エ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） １４７８ウ∨Ｅ
（ⅵ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義（Ⅰ）
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ４∨Ｉ
６（６） （～Ｐ＆Ｑ） Ａ
６（７） ～（Ｐ∨～Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６（８） ～（～Ｑ∨Ｐ） ７交換法則
６（９） ～（Ｑ→Ｐ） ８含意の定義
６（ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ９∨Ｉ
１ （イ） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） １２５６ア∨Ｅ
１ （ウ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ イ、ド・モルガンの法則
１ （エ） ～（Ｐ⇔Ｑ） ウ含意の定義
従って、
（04）により、
（05）
⑤ ～（Ｐ⇔ Ｑ）
⑥ （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
に於いて、すなはち、
⑤（ＰとＱの「真理値」が等しい。）といふことはない。
⑥（ＰであってＱでないか、）または（ＰでなくてＱである。）
⑤＝⑥ である。
然るに、
（06）
⑥（ＰであってＱでないか、）または（ＰでなくてＱである。）
に対して、
⑦（ＰであってＱでないか、）尚且つ（ＰでなくてＱである。）
の場合は、「矛盾」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
⑤ ～（Ｐ⇔ Ｑ）
⑥ （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
に於いて、すなはち、
⑤（ＰとＱの「真理値」が等しい。）といふことはない。
⑥（ＰであってＱでないか、）または（ＰでなくてＱである。）
に於いて、
⑤＝⑥ である。
といふことは、
⑦（ＰであってＱでないか、）または（ＰでなくてＱである。）であるかの、どちらか「一方」である。
といふ、「意味」になる。
従って、
（07）により、
（08）
「番号」を付けなおすと、
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② Ｐであるか、または、Ｑであるか、どちら一方だけが、「真（本当）」である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
② Ｐであるか、Ｑであるか、どちら一方だけが、「真（本当）」である。
といふ場合を、「強選言（Strong disjunction）」といふ。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）≡Ｐであるか、または、Ｑである。
といふ「論理式」は、「強選言（Strong disjunction）」である。
従って、
（10）により、
（11）
① ～（ Ｐ⇔ Ｑ）≡Ｐであるか、または、Ｑである。どちらか一方である。
② ～（～Ｐ⇔～Ｑ）≡Ｐでないか、または、Ｑでない。どちらか一方である。
といふ「論理式」は、両方とも、「強選言（Strong disjunction）」である。
ｃｆ.
最後は「ＰＫ戦」で「決着」を付けるとするならば、
①「新潟」が勝利するか、「京都」が勝利する。
②「京都」が敗退するか、「新潟」は敗退する。
に於いて、
①＝② である（強選言）。
ｃｆ.
（12）
（ⅲ）
１（１）～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
１（２） Ｐ→～Ｑ １含意の定義（Ⅱ）
１（３） （Ｐ→～Ｑ）∨（Ｑ→～Ｐ） ２∨Ｉ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）∨（Ｑ→～Ｐ） Ａ
２ （２） （Ｐ→～Ｑ） Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２含意の定義（Ⅰ）
２ （４）～（Ｐ＆ Ｑ） ３ド・モルガンの法則
５（５） （Ｑ→～Ｐ） Ａ
５（６） ～Ｑ∨～Ｐ ５含意の定義
５（７） ～Ｐ∨～Ｑ ６交換法則
５（８） ～（Ｐ＆ Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１ （９）～（Ｐ＆ Ｑ） １２４５８∨Ｅ
従って、
（12）により、
（13）
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ （Ｐ→～Ｑ）∨（Ｑ→～Ｐ）
に於いて、すなはち、
③（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
④（Ｐであるならば、Ｑでないか、）または（Ｑであるならば、Ｐでない。）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（14）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
③（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
といふことは、
③（ＰとＱが、「同時」に「真」になる。）といふことに関しては、「それ」は無い。
といふ「意味」である。
従って、
（14）により、
（15）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
③（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
といふことは、
③（ＰとＱが、「同時」に「偽」になる。）といふことを、「否定」しない。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ （Ｐ→～Ｑ）∨（Ｑ→～Ｐ）
に於いて、すなはち、
③（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
④（Ｐであるならば、Ｑでないか、）または（Ｑであるならば、Ｐでない。）
に於いて、
③＝④ である。
といふことは、
④（Ｐであって、Ｑでないか、）または（Ｑであって、Ｐでないか、）または（Ｐではなく、Ｑでもない。）
といふことに、他ならない。 従って、
（16）により、
（17）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④（Ｐであって、Ｑでないか、）または（Ｑであって、Ｐでないか、）または（Ｐではなく、Ｑでもない。）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（18）
④（Ｐであって、Ｑでないか、）または（Ｑであって、Ｐでないか、）または（Ｐではなく、Ｑでもない。）
といふ場合を、「弱選言（Weak disjunction）」といふ。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ （Ｐ→～Ｑ）∨（Ｑ→～Ｐ）
といふ「論理式」、すなはち、
③（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
④（Ｐであって、Ｑでないか、）または（Ｑであって、Ｐでないか、）または（Ｐではなく、Ｑでもない。）
といふ「それ」は、「弱選言（Weak disjunction）」である。
ｃｆ.
「ＰＫ戦」が無い場合、
③「新潟」が勝利するか、「京都」が勝利する。
④「新潟」が勝利するか、「京都」が勝利するか、または、「引き分け」である。
に於いて、
③＝④ である（弱選言）。
従って、
（11）（19）により、
（20）
「番号」を付け直すと、
① ～（～Ｐ⇔～Ｑ）≡（Ｐでないか、または、Ｑでないか、）どちらか、一方である。
② ～（ Ｐ＆ Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑでないか、）または（Ｑであって、Ｐでないか、）または（Ｐではなく、Ｑでもない。）
に於いて、
① は「強選言」であって、
② は「弱選言」である。
然るに、
（21）
（ⅲ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１ ２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １７＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ６９＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
１ （４） ～Ｐ １＆Ｅ
１ ３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
１ （８） ～Ｑ １＆Ｅ
１ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２３６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（21）により、
（22）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）≡（Ｐであるか、または、Ｑである。）といふことは無い。
④ ～Ｐ＆～Ｑ ≡（Ｐではなく、Ｑでもない。）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則Ⅱ）。
然るに、
（23）
例へば、
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
Ｐ＝カオルは外国人である。
Ｑ＝カオルは 女性 である。
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③（カオルが外国人であるか、または、カオルが女性である。）といふことはない。
④（カオルは日本人であって、尚且つ、は男性である。）
に於いて、明らかに、
③＝④ である。
然るに、
（24）
③（外国人の、カオルといふ女性）は、存在し得るし、
③（日本人の、カオルといふ女性）は、存在し得るし、
④（日本人の、カオルといふ男性）も、存在し得る。
ｃｆ.
かおる、カオルは、日本語圏における人名である。男性名にも女性名にも用いられるユニセックスな名前。
（ウィキペディア）
従って、
（18）～（24）により、
（25）
③（カオルが外国人であるか、または、カオルが女性である。）といふことはない。
④（カオルは日本人であって、尚且つ、は男性である。）
に於いて、明らかに、
③＝④ である。
といふ場合に於ける、
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）≡（Ｐであるか、または、Ｑである。）といふことは無い。
③（カオルが外国人であるか、または、カオルが女性である。）といふことはない。
の場合は、
③「強選言」の「否定」はなく、
④「弱選言」の「否定」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（26）
（ⅴ）
１（１）～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
１（２） ～Ｐ∨～Ｑ １ド・モルガンの法則
（ⅵ）
１（１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
１（２）～（Ｐ＆ Ｑ） １ド・モルガンの法則
従って、
（26）により、
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ）
⑥ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（19）（26）により、
（27）
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ）
⑥ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
⑤＝⑥ であるが、この場合、
⑤ は、「弱選言」であって、「強選言」ではない。
従って、
（27）により、
（28）
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ）
⑥ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
Ｐ＝サトコが外国人である。
Ｑ＝サトコが日本人である。
とすると、
⑤（サトコが外国人であって、尚且つ、サトコが日本人である。）といふことはない。
⑥（サトコは日本人であるか、または、サトコは外国人である。）
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
とするならば、
⑥（サトコは日本人であるか、サトコは外国人であるか、サトコは、日本人であって外国人である。）
といふ「弱選言」に、ならざるを得ない。
然るに、
（29）
⑥（サトコは、日本人であって外国人である。）
といふことは、無い。
従って、
（28）（29）により、
（30）
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ）
⑥ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
Ｐ＝サトコは外国人である。
Ｑ＝サトコは日本人である。
といふ「代入（Substitution）」を行ふことは、出来ない。
従って、
（23）～（30）により、
（31）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
Ｐ＝カオルは外国人である。
Ｑ＝カオルは 女性 である。
といふ「代入（Substitution）」を行ふことは、「妥当」であるが、
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ）
⑥ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
Ｐ＝サトコが外国人である。
Ｑ＝サトコが日本人である。
といふ「代入（Substitution）」を行ふことは、「妥当」ではない。
従って、
（31）により、
（32）
「昨日（令和０３年０６月０７日）」の「最初の記事」は、その「部分」が、「妥当」ではない。
然るに、
（04）（11）により、
（33）
もう一度、確認すると、
① ～（ Ｐ⇔ Ｑ）≡～｛（ Ｐ→ Ｑ）＆（ Ｑ→ Ｐ）｝≡Ｐであるか、または、Ｑである。どちらか一方である。
② ～（～Ｐ⇔～Ｑ）≡～｛（～Ｑ→～Ｐ）＆（～Ｐ→～Ｑ）｝≡Ｐでないか、または、Ｑでない。どちらか一方である。
といふ「論理式」は、両方とも、「強選言（Strong disjunction）」である。
従って、
（34）
「古典命題論理」の「体系」に於いて、「強選言（Strong disjunction）」は「複合命題」である。
といふことになるものの、「強選言（Strong disjunction）」は、「排他的選言（Exclusive disjunction）」ともいふ。
然るに、
（35）
排他的選言の方は∨と＆と～とによって簡単に表現できる ―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―
（昭和堂、論理学の基礎、1994年、１１頁）
従って、
（33）（34）（35）により、
（36）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（37）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
① であれば、
①（ＰとＱの「真理値」が等しい。）といふことはない。
といふことが、「明瞭」であるが、
② であれば、そうではないし、
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
の方が、
② （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
よりも、「表記」が、「簡単」である。
（38）
私の友人曰く、
（本日午後、古田徹也氏著 ウィトゲンシュタイン本が到着予定で、楽しみにしているところです。）
然るに、
（39）
（ウィトゲンシュタインの哲学の）前期というのは、濃厚に、「当時の記号論理学の成果」を前提にしていて、それをもとに、展開されといるので、それ自体がこう「非常に、参入障壁」というか、「その最初の、高すぎる壁」になってしまうわけですね（ユーチューブ：はじめてのウィトゲンシュタイン - 一生役立つ哲学入門）。
との、ことである。
然るに、
（40）
図書館にあった、「ウィトゲンシュタインの類似書」を見た限りでは、「その最初の、高すぎる壁」というのは、「極めて（低い）、初歩的な、古典論理学」に過ぎない。
令和０３年０６月０８日、毛利太。
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