―「昨日（令和０３年０６月０３日）の記事」を補足します。―
（01）
（ⅰ）αとβが「矛盾」するならば、
（ⅱ） βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
α＝～β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
α＝～β
といふ「等式」を、「（定義による）ド・モルガンの法則」と呼ぶことにする。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３）Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ（矛盾）
１ （４）～（～Ｐ） ２ＲＡＡ（背理法）
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ） Ａ
１ （２） Ｐ １ＤＮ
∴ Ｐ┤├ ～（～Ｐ）
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
に於いて、
①＝② は、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
ｃｆ.
「Ｐの補集合」の「補集合」は、「Ｐ」に「等しい」。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２（５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ（矛盾）
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ（背理法）
（ⅳ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ（矛盾）
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ（背理法）
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→Ｑ ２７ＣＰ
∴ Ｐ→Ｑ┤├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
（05）
（ⅴ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ（矛盾）
２ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ３５ＲＡＡ（背理法）
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ（矛盾）
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ（背理法）
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １２６７ア∨Ｅ
（ⅵ）
１ （１） ～（ Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ（矛盾）
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ（背理法）
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８ＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（ Ｐ＆～Ｑ）＆
（ Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ（矛盾）
１ （オ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ（背理法）
１ （カ） ～Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
∴ ～Ｐ∨Ｑ┤├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
（06）
（ⅶ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ（矛盾）
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ（背理法）
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ（矛盾）
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ（背理法）
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ（矛盾）
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ（背理法）
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ケ＆Ｉ（矛盾）
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ（背理法）
（ⅷ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ（矛盾）
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ（背理法）
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆Ｉ（矛盾）
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ（背理法）
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ（矛盾）
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ（背理法）
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
∴ Ｐ＆Ｑ＆Ｒ ┤├ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
（07）
（ⅸ）
１ （１） （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ Ａ
２ （２） （～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ Ａ
１ （３） Ｐ∨ Ｑ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
４ （６） ～Ｐ ４＆Ｅ
４５ （７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆～Ｑ） ４７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
４ （ア） ～Ｑ ４＆Ｅ
４ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ４イＲＡＡ
１ （エ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） （～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
１ オ （カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） エオ＆Ｉ
オ （キ）～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ １カＲＡＡ
１ （ク） Ｒ １＆Ｅ
ケ（ケ） ～Ｒ Ａ
１ ケ（コ） Ｒ＆～Ｒ クケ＆Ｉ
ケ（サ）～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ １コＲＡＡ
２ （シ）～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ ２オキケサ∨Ｅ
１２ （ス） ｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝＆
～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ １シ＆Ｉ（矛盾）
１ （セ）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝ ２スＲＡＡ（背理法）
（ⅹ）
１ （１）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝ Ａ
２ （２） ～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ Ａ
３ （３） （Ｐ∨ Ｑ） Ａ
４ （４） Ｒ Ａ
３４ （５） （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ ３４＆Ｉ
２３４ （６） ～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝＆
｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ ２５＆Ｉ
２３ （７） ～Ｒ ４ＲＡＡ
２ （８） （Ｐ∨ Ｑ）→～Ｒ ３７ＣＰ
９ （９） Ｒ Ａ
９ （ア） ～～Ｒ ９ＤＮ
２ ９ （イ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ８アＭＴＴ
ウ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
エ （エ） Ｐ Ａ
エ （オ） Ｐ∨ Ｑ エ∨Ｉ
２ ９ エ （カ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） イオ＆Ｉ
２ ９ （キ） ～Ｐ エカＲＡＡ
ク （ク） Ｑ Ａ
ク （ケ） Ｐ∨ Ｑ クカ∨Ｉ
２ ９ ク （コ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） イケ＆Ｉ
２ ９ （サ） ～Ｑ クコＲＡＡ
２ ９ （シ） ～Ｐ＆～Ｑ キサ＆Ｉ
２ ９ウ （セ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ウシ＆Ｉ
２ ９ （ソ）～～（～Ｐ＆～Ｑ） ウセＲＡＡ
２ ９ （タ） ～Ｐ＆～Ｑ ソＤＮ
２ （チ） Ｒ→（～Ｐ＆～Ｑ） ９タＣＰ
ツ（ツ） ～Ｒ Ａ
ツ（テ） （～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ ツ∨Ｉ
１ ツ（ト）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝＆
｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝ １テ＆Ｉ
１ （ナ） ～～Ｒ ツトＲＡＡ
１ （ニ） Ｒ ナＤＮ
１２ （ヌ） （～Ｐ＆～Ｑ） チニＭＰＰ
１２ （ネ） （～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ ヌ∨Ｉ
１２ （ノ）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝＆
｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝ １ネ＆Ｉ（矛盾）
１ （ハ）～～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ ２ノＲＡＡ（背理法）
１ （ヒ） （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ ハＤＮ
∴ （Ｐ∨Ｑ）＆Ｒ ┤├ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
（08）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （８） ～Ｑ∨～Ｒ ２＆Ｅ
７ （９） Ｑ ７＆Ｅ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
７ア （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
ア （ウ） ～（Ｑ＆ Ｒ） ７イＲＡＡ
７ （エ） Ｒ ２＆Ｅ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
７ オ（カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
オ（キ） ～（Ｑ＆ Ｒ） ７カＲＡＡ
２ （ク） ～（Ｑ＆ Ｒ） ８アウオキ∨Ｅ
２ ７ （ケ）（Ｑ＆Ｒ）＆～（Ｑ＆ Ｒ） ７ク＆Ｉ（矛盾）
７ （コ） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ ２ケＲＡＡ（背理法）
１ （サ） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １３６７コ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １３６７コ∨Ｅ
２ （２） ～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝＆
｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３ＲＡＡ
７ （７） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ ７ （８） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） ６７＆Ｉ
１２ ７ （９） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝＆
｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １８＆Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｑ∨～Ｒ） ７９ＲＡＡ
イ （イ） ～Ｑ Ａ
イ （ウ） ～Ｑ∨～Ｒ イ∨Ｉ
１２ イ （エ） ～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｑ∨～Ｒ） アウ＆Ｉ
１２ （オ） ～～Ｑ イエＲＡＡ
１２ （カ） Ｑ オＤＮ
キ（キ） ～Ｒ Ａ
キ（ク） ～Ｑ∨～Ｒ キ∨Ｉ
１２ キ（ケ） ～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｑ∨～Ｒ） アク＆Ｉ
１２ （コ） ～～Ｒ キケＲＡＡ
１２ （サ） Ｒ コＤＮ
１２ （シ） Ｑ＆ Ｒ カサ＆Ｉ
１２ （ス） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） シ∨Ｉ
１２ （セ） ～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝＆
｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ２ス＆Ｉ（矛盾）
１ （ソ） ～～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ２ＲＡＡ（背理法）
１ （タ） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） ソＤＮ
∴ Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）┤├ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
従って、
（01）～（08）により、
（09）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
③ Ｐ→Ｑ
④ ～Ｐ∨ Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆～Ｑ）
⑥ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑦ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑧ （Ｐ∨ Ｑ）＆Ｒ
⑨～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
⑩ Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑪ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於いて、
①＝②
③＝⑤
④＝⑤
⑥＝⑦
⑧＝⑨
⑩＝⑪
は、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（10）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於ける、
④＝⑤ に関しては、「（普通の、）ド・モルガンの法則」である。
従って、
（01）（09）（10）により、
（11）
（ⅰ）αとβが「矛盾」するならば、
（ⅱ） βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
α＝～β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
α＝～β
といふ「等式」を、
「（定義による）ド・モルガンの法則」と呼ぶならば、
「（普通の、） ド・モルガンの法則」は、
「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
令和０３年０６月２４日、毛利太。
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