「ド・モルガンの法則」の「定義」について（重要！）。

（01）
① 　  Ｐ　≡　Ｐである。
② （～Ｐ）≡（Ｐでない）。
に於いて、
①＆② は、「矛盾」である。
従って、
（01）により、
（02）
① 　　  Ｐ　≡　Ｐである。
② ～（～Ｐ）≡（Ｐでない）ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
③ 　　Ｐ＆　Ｑ　≡　Ｐであって、その上、Ｑである。
④ （～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である）。
に於いて、
③＆④ は、「矛盾」である。
従って、
（03）により、
（04）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ　≡　Ｐであって、その上、Ｑである。
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である）ではない。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（05）
（ⅴ）
１　　　　　（１）　　Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　～Ｐ∨　～Ｑ∨～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）　　１９ＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　３４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２コＲＡＡ
（ⅵ）
１　　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　２　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　３∨Ｉ
１　２　　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１４＆Ｉ
１　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　２５ＲＡＡ
１　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８　（８）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　８∨Ｉ
１　　８　（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１ア＆Ｉ
１　　　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ
１　　　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
１　　　オ（ク）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１オ＆Ｉ
１　　　　（ケ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　オケＲＡＡ
１　　　　（コ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　ケＤＮ
１　　　　（サ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　コサ＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
⑤ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（07）
（ⅶ）
１　　　　　（１）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　Ａ
　２　　　　（２）　　　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　３　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　２　　　　（４）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ（代表的選言項）
　２　　　　（８）　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　２＆Ｅ
　　　７　　（９）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　７＆Ｅ
　　　　ア　（ア）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　　７ア　（イ）　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　９ア＆Ｉ
　　　　ア　（ウ）　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　７イＲＡＡ
　　　７　　（エ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　２＆Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ（代表的選言項）
　　　７　オ（カ）　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　オ（キ）　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　７カＲＡＡ
　２　　　　（ク）　　　　　　～（Ｑ＆　Ｒ）　　８アウオキ∨Ｅ
　２　７　　（ケ）（Ｑ＆Ｒ）＆～（Ｑ＆　Ｒ）　　７ク＆Ｉ
　　　７　　（コ）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　２ケＲＡＡ
１　　　　　（サ）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　１３６７コ∨Ｅ
（ⅷ）
１　　　　　（１）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　１３６７コ∨Ｅ
　２　　　　（２）　　～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　Ａ
　　３　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　（４）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　３∨Ｉ
　２３　　　（５）　　～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　２４＆Ｉ
　２　　　　（６）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　３ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　Ａ（for背理法）
　２　７　　（８）　　　～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）　　　６７＆Ｉ
１２　７　　（９）　～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝　　１８＆Ｉ
１２　　　　（ア）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）　　　７９ＲＡＡ
　　　　イ　（イ）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ（for背理法）
　　　　イ　（ウ）　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　　イ∨Ｉ
１２　　イ　（エ）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　アウ＆Ｉ
１２　　　　（オ）　　　　　　～～Ｑ　　　　　　　イエＲＡＡ
１２　　　　（カ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　オＤＮ
　　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　Ａ（for背理法）
　　　　　キ（ク）　　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　　キ∨Ｉ
１２　　　キ（ケ）　　　　　～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　　アク＆Ｉ
１２　　　　（コ）　　　　　　　　　～～Ｒ　　　　キケＲＡＡ
１２　　　　（サ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　コＤＮ
１２　　　　（シ）　　　　　　　　Ｑ＆　Ｒ　　　　カサ＆Ｉ
１２　　　　（ス）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　シ∨Ｉ
１２　　　　（セ）　　～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　２ス＆Ｉ
１　　　　　（ソ）　～～｛Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）｝　　２ＲＡＡ
１　　　　　（タ）　　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）　　　ソＤＮ
従って、
（07）により、
（08）
⑦ 　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於いて、
⑦＝⑧ である。
従って、
（02）（04）（06）（08）により、
（09）
① 　　　Ｐ　
② ～（～Ｐ）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ 　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
⑤＝⑥ であって、
⑦＝⑧ である。
然るに、
（10）
（ⅰ）αとβが「矛盾」するならば、
（ⅱ）βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
　α＝～β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
　α＝～β
といふ「等式」を、「（定義による）ド・モルガンの法則」と呼ぶことにする。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① 　　　Ｐ　
② ～（～Ｐ）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ 　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於ける、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（12）
⑦ 　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に加へて、（　）の位置が、
⑦ 　 　 （Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ
⑧ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
であったとしも、
⑦＆⑧ は、「矛盾」する。
従って、
（12）により、
（13）
⑦ 　　　Ｐ∨（　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
であれば、「矛盾」し、
⑦ 　　  （Ｐ∨　Ｑ）＆　Ｒ
⑧ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
であったとしも、「矛盾」するため、
⑦       Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ
⑧ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
は、いづれにせよ、「矛盾」する。
従って、
（10）（11）（12）（13）により、
（14）
① 　　　Ｐ　
② ～（～Ｐ）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ 　　　Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ
⑧ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（14）により、
（15）
① 　　  Ｐ　
② ～（～Ｐ）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ 　　　Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ
⑧ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
が故に、
① 　　　～Ｐ　
② ～～（～Ｐ）
③ 　  ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ ～～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ 　　～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
⑥ ～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ 　　～（Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
従って、
（15）により、
（16）
「二重否定律」により、
① 　～Ｐ　
② （～Ｐ）
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ （～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
⑥ （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ ～（Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ （～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
① 　～Ｐ
② 　～Ｐ
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
⑥ 　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ 　～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
に於ける、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（18）
① 　～Ｐ
② 　～Ｐ
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
⑥ 　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ 　～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
に於いて、例へば、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① 　～Ｐ
② 　～Ｐ
③ ～（Ｐ＆　～Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆　～Ｑ＆　Ｒ）
⑥ 　～Ｐ∨～～Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨　～Ｑ＆　Ｒ）
⑧ 　～Ｐ＆～～Ｑ∨～Ｒ
に於ける、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
従って、
（18）により、
（19）
「二重否定律」により、
① 　～Ｐ
② 　～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ 　～Ｐ∨　Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ）
⑥ 　～Ｐ∨　Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨～Ｑ＆　Ｒ）
⑧ 　～Ｐ＆　Ｑ∨～Ｒ
に於ける、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
従って、
（19）により、
（20）
⑦ ～（Ｐ∨～Ｑ＆　Ｒ）
⑧ 　～Ｐ＆　Ｑ∨～Ｒ
がそうであるやうに、
⑦　　 Ｐ∨～Ｑ＆　Ｒ
を「否定」すると、「（定義による）ド・モルガンの法則」により、
⑧ 　Ｐ は、～Ｐ となり、
⑧ 　∨ は、　＆ となり、
⑧ ～Ｑ は、　Ｑ となり、
⑧   ＆ は、　∨ となり、
⑧   Ｒ は、～Ｒ となる。
令和０３年０６月２２日、毛利太。