「ラッセルの確定記述」と「定冠詞（the）」の「一意性」（Ⅱ）。

（01）
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、「個体（individuals）」であるとして、
　ａ≠ｂ
　ａ≠ｃ
　ｂ≠ｃ
であるならば、
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、「３個の個体からなる、集合」である。
然るに、
（02）
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、「個体（individuals）」であるとして、
　ａ＝ａ
　ｂ＝ａ
　ｃ＝ａ
であるならば、
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、
｛ａ、ａ、ａ｝に、「等しい」。
然るに、
（03）
「冪等律（Idempotent）」により、
｛ａ、ａ、ａ｝は、
　　｛ａ｝　　に、「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、「個体（individuals）」であるとして、
　ａ＝ａ
　ｂ＝ａ
　ｃ＝ａ
であるならば、
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、すなはち、
　　｛ａ｝　　といふ「１個の個体からなる、集合」である。
従って、
（04）により、
（05）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝⇔
① あるｘについて｛ｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘ＝ｙである）｝。
といふのであれば、この場合は、
①「１個の個体だけが、性質Ｆを持ってゐる。」
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　（１）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　２（２）　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　Ａ
　２（３）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　２＆Ｅ
　２（５）　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　４ＵＥ
　２（６）　　　　　　　　　～Ｆｂ∨ａ＝ｂ　　　５含意の定義
　２（７）　　　　　　　　　ａ＝ｂ＆～Ｆｂ　　　６交換法則
　２（８）　　　　　　　　～（ａ≠ｂ＆Ｆｂ）　　７ド・モルガンの法則
　２（９）　　　　　　∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆｙ）　　８ＵＩ
　２（ア）　　　　　　～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ）　　９量化子の関係
　２（イ）　　　Ｆａ＆～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ）　　３ア＆Ｉ
　２（ウ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝　イＥＩ
１　（エ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝　１２ウＥＥ
（ⅱ）
１　（１）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ＆～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ）　　Ａ
　２（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　　　～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ）　　２＆Ｅ
　２（５）　　　　　　∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆｙ）　　４量化子の関係
　２（６）　　　　　　　　～（ａ≠ｂ＆Ｆｂ）　　５ＵＥ
　２（７）　　　　　　　　　ａ＝ｂ∨～Ｆｂ　　　６ド・モルガンの法則
　２（８）　　　　　　　　　～Ｆｂ∨ａ＝ｂ　　　７交換法則
　２（９）　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　８含意の定義
　２（ア）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　９ＵＩ
　２（イ）　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　３ア＆Ｉ
　２（ウ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　イＥＩ
１　（エ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　１２ウＥＥ
従って、
（06）により、
（07）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆  ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
② 　　∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝⇔
② あるｘは｛Ｆであり、（ｘ以外に、Ｆであるｙ）は存在しない｝。
といふのであれば、この場合も、
②「１個の個体だけが、性質Ｆを持ってゐる。」
従って、
（05）（08）により、
（09）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆  ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
といふ「述語論理式」は、
①「１個の個体だけが、性質Ｆを持ってゐる。」
②「１個の個体だけが、性質Ｆを持ってゐる。」
といふ「意味」である。
従って、
（10）
① ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆  ∀ｙ（我が闘争ｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆我が闘争ｙ）｝
といふ「述語論理式」は、
①「性質（ヒトラーといふ名である）を持ってゐる１個の個体だけが、性質（我が闘争の著者である）を持ってゐる。」
①「性質（ヒトラーといふ名である）を持ってゐる１個の個体だけが、性質（我が闘争の著者である）を持ってゐる。」
といふ「意味」である。
然るに、
（11）
問題５.
「ラッセルの確定記述の理論」を用いて、つぎの論証の健全性を確立せよ。
（ａ）マイン・カンプの著者は１９４５年に死んだ。ヒトラーはマイン・カンプを書いた。故にヒトラーは１９４５年に死んだ。
（ａ）The author of Mine Kamp died in 1945. Hitler wrote Mine Kamp. Hitler therefore died in 1945.
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１５頁改）
〔私による解答〕
１　　　（１）∃ｘ（我が闘争ｘ＆４５年死ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　我が闘争ａ＆４５年死ａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）∃ｙ｛ヒトラーｙ＆我が闘争ｙ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　　　４（４）　　　ヒトラーｂ＆我が闘争ｂ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ）　　Ａ
　　　４（５）　　　　　　　　　　　　　　　∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ）　　４＆Ｅ
　　　４（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　我が闘争ａ→ａ＝ｂ　　　５ＵＥ
　２　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　我が闘争ａ　　　　　　　２＆Ｅ
　２　４（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　６７ＭＰＰ
　　　４（９）　　　ヒトラーｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　２　４（ア）　　　ヒトラーａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８９＝Ｅ
　２　　（イ）　　　　　　　　　４５年死ａ　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　４（ウ）　　　ヒトラーａ＆４５年死ａ　　　　　　　　　　　　　　　　アイ＆Ｉ
　２　４（エ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　ウＥＩ
　２３　（オ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　３４エＥＥ
１　３　（カ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　１２オＥＥ
１　３　（〃）あるｘはヒトラーであって１９４５年に死んだ。　　　　　　　　１２オＥＥ
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
①「性質（ヒトラーといふ名である）を持ってゐる１個の個体だけが、性質（我が闘争の著者である）を持ってゐる。」
①「性質（ヒトラーといふ名である）を持ってゐる１個の個体だけが、性質（我が闘争の著者である）を持ってゐる。」
といふ「意味」であるところ、
① ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆ ∀ｙ（我が闘争ｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆我が闘争ｙ）｝
といふ「論理式」は、「ラッセルの確定記述の理論」に基づくところの、「論理式」である。
然るに、
（13）
仮に、「我が闘争（Mine Kamp）」が、「ヒトラーと、他の誰かによる、共著」であったとしたら、
（ａ）The author  of Mine Kamp　ではなく、
（ａ）The authors of Mine Kamp　となると「同時」に、
① ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆  ∀ｙ（我が闘争ｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆我が闘争ｙ）｝
でなければ、ならない。
然るに、
（14）
定冠詞（the）は、それが厳密に用いられるときには、一意性を内含している。確かに、しかじかのひと（So-and-so）がいく人かの息子をもっている場合でさえ、the son of So-and-so という表現を使用するが、本当はその場合には、a son of So-and-so という方がより正しいといえよう。それゆえわれわれの目的のためには、the は一意性を内含しているものと考えていく（頸草書房、現代哲学基本論文集Ⅰ、バートランド・ラッセル、指示について、1986年、５３頁）。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
（ａ）The author of Mine Kamp
がそうであるやうに、
（ａ）The（定冠詞）＋名詞（単数）
でなければ、
① ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆  ∀ｙ（我が闘争ｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆我が闘争ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、「ラッセルの確定記述の理論」に基づくところの、「論理式」は、成立しない。
令和０３年０６月１７日、毛利太。