「質料的含意のパラドックス（Paradoxes of material implication）」について。

―「昨日（令和０３年０６月１３日）の記事」を書き直します。―
（01）
古典論理の含意（質料的含意）は次の２つを満たす。
（１）　～Ｐ├ Ｐ→Ｑ　　偽なる命題は任意の命題を含意する。
（２）　　Ｑ├ Ｐ→Ｑ　　真なる命題は任意の命題から含意される。
ルイスは、これは「含意」という言葉の日常的な意味に反しているとして、「質料的含意」とは異なる「厳密含意」という含意をもつ理論を提案した（2020年度後期哲学演習I 厳密含意の論理(1) [修正版]、京都大学、大西拓郎：ユーチューブ、３分５０秒頃）。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　　　　　（１）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　　　　（２）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　１∨Ｉ
　３　　　　　（３）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　４　　　　（４）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　３　　　　　（５）　　　Ｐ　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　　（６）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　　（７）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　　（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　３　　　　　（９）　　　　　～Ｑ　　　３＆Ｅ
　３　８　　　（ア）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　　（イ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　　（ウ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　　（エ）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　オ　（オ）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ　（カ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ　（キ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　２カ＆Ｉ
１　　　エ　　（ク）　　　　～～Ｑ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　　（ケ）　　　　　　Ｑ　　　クＲＡＡ
１　　　　　　（コ）　　　　Ｐ→Ｑ　　　エケＣＰ
　　　　　　　（サ）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　　１コＣＰ
　　　　　　シ（シ）～Ｐ＆　Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　　シ（ス）～Ｐ　　　　　　　　シ＆Ｅ
　　　　　　シ（セ）　　　　Ｐ→Ｑ　　　サスＭＰＰ
　　　　　　　（ソ）～Ｐ＆Ｐ→　Ｑ　　　シセＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
② ├ ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ
といふ「連式（Sequents）」は「妥当（Valid）」である。
従って、
（03）により、
（04）
例へば、
①　バカボンのパパは天才ではない。　が故に、バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
②（バカボンのパパは天才ではないが、その上）バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「連式（Sequents）」は「妥当（Valid）」である。
然るに、
（05）
②（バカボンのパパは天才ではないが）その上、バカボンのパパが天才である。
といふことは、「矛盾」であるため、「偽」である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
②（バカボンのパパは天才ではないが、その上）バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題」からは、
② 太陽は西から昇る。
といふ「命題」は、「導出」されない。
然るに、
（07）
１　（１）バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。　Ａ
　２（２）　　　　　　　　　　　　　　　　　太陽は東から昇る。　Ａ
１２（３）バカボンのパパは天才ではない。　　　　　　　　　　　　１２ＭＴＴ
従って、
（06）（07）により、
（08）
②（バカボンのパパは天才ではないが、その上）バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題」は、
② バカボンのパパは天才ではない。
といふことを、言っているに、過ぎない。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
古典論理の含意（実質含意）が、
（１）　～Ｐ├ Ｐ→Ｑ　　偽なる命題は任意の命題を含意する。
としても、「問題は生じない（No problem）」。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１　　 　　（１）　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　 　　（２）　～Ｑ∨　Ｐ　　　１∨Ｉ
　３　　 　（３）　　Ｑ＆～Ｐ　　　Ａ
　　４　　　（４）　～Ｑ　　　　　　Ａ
　３　　 　（５）　　Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
　３４　 　（６）　～Ｑ＆Ｑ　　　　４５＆Ｉ
　　４　 　（７）～（Ｑ＆～Ｐ）　　３６ＲＡＡ
　　　８ 　（８）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　３　　 　（９）　　　　～Ｐ　　　３＆Ｅ
　３　８ 　（ア）　　Ｐ＆～Ｐ　　　８９＆Ｉ
　　　８ 　（イ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　８アＲＡＡ
１　　　 　（ウ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　Ｑ＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　（ク）　　　～～Ｐ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　（ケ）　　　　　Ｐ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　Ｑ→　Ｐ　　　エケＣＰ
（ⅱ）
１　　 　　（１）　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　 　　（２）　　　Ｑ∨　Ｐ　　　１∨Ｉ
　３　　　　（３）　　～Ｑ＆～Ｐ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　～Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｑ＆～Ｐ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　　　　～Ｐ　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（～Ｑ＆～Ｐ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（～Ｑ＆～Ｐ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　～Ｑ＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（～Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｑ＆～Ｐ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　（ク）　　　　～～Ｐ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　（ケ）　　　　　　Ｐ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　～Ｑ→　Ｐ　　　エケＣＰ
従って、
（10）により、
（11）
① Ｐ├ 　Ｑ→Ｐ
② Ｐ├ ～Ｑ→Ｐ
といふ「連式（Sequents）」は、両方とも、「妥当（Valid）」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
Ｐ＝ナポレオンである。
Ｑ＝フランス人である。
として、
① ナポレオンはフランス人である。故に、月が青いならば、　　ナポレオンはフランス人である。
② ナポレオンはフランス人である。故に、月が青くないならば、ナポレオンはフランス人である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（13）
① 月が青いならば、　　ナポレオンはフランス人である。
② 月が青くないならば、ナポレオンはフランス人である。
といふことは、
① 月が青かろうが、青くなかろうが、ナポレオンはフランス人である。
② 月が青かろうが、青くなかろうが、ナポレオンはフランス人である。
といふ、ことである。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① Ｐ├ 　Ｑ→Ｐ
② Ｐ├ ～Ｑ→Ｐ
といふ「連式」は、両方とも、
① ナポレオンはフランス人である。故に、月が青かろうが、青くなかろうが、ナポレオンはフランス人である。
② ナポレオンはフランス人である。故に、月が青かろうが、青くなかろうが、ナポレオンはフランス人である。
といふ、「意味」になる。
然るに、
（15）
② Ｐ├ Ｑ→Ｐ
② ナポレオンはフランス人である。故に、月が青かろうが、青くなかろうが、ナポレオンはフランス人である。
といふ「推論」は、当然、「妥当」である。
従って、
（11）～（15）により、
（16）
② ナポレオンはフランス人である。故に、月が青かろうが、青くなかろうが、ナポレオンはフランス人である。
といふ「意味」に解する限り、
② Ｐ├ Ｑ→Ｐ
といふ「質料的含意のパラドックス」は、実際には、「パラドックス」であるとは、言へないことになる。
従って、
（01）（16）により、
（17）
古典論理の含意（実質含意）が、
（２）　　Ｑ├ Ｐ→Ｑ　　真なる命題は任意の命題から含意される。
としても、「問題は生じない（No problem）」。
従って、
（01）（09）（17）により、
（18）
古典論理の含意（実質含意）が、
（１）　～Ｐ├ Ｐ→Ｑ　　偽なる命題は任意の命題を含意する。
（２）　　Ｑ├ Ｐ→Ｑ　　真なる命題は任意の命題から含意される。
としても、「問題は生じない（No problem）」。
令和０３年０６月１３日、毛利太。