「ド・モルガンの法則」についての「補足と訂正」。

―「今日（令和０３年０６月０７日）の記事」を「補足・訂正」します。―
（01）
（ⅰ）
１　　　（１）～（Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ
　　２　（３）　　Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１　２　（４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　　（５）　～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
　　　６（６）　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　６（７）　　Ｐ∨Ｑ　　　７∨Ｉ
１　　６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１７＆Ｉ
１　　　（９）　　　～Ｑ　　　６８ＲＡＡ
１　　　（ア）～Ｐ＆～Ｑ　　　６９＆Ｉ
（ⅱ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　（４）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１　３　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１３ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　　（８）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
１　　７（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２３６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）　～（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ∨ Ｑ）
② ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（03）
① ～（Ｐ∨ Ｑ）
② ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「論理式」は、
①（Ｐであるか、または、Ｑである。）といふことはない。
②（Ｐではなく、尚且つ、Ｑでもない。）
といふ「意味」である。
然るに、
（04）
例へば、
①（タカシが外国人であるか、または、タカシが女性である。）といふことはない。
②（タカシは日本人であって、尚且つ、タカシは男性である。）
に於いて、明らかに、
①＝② である。
（05）
（ⅲ）
１　　（１）～（Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆　Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆　Ｑ）＆　
１２　（６）　　　　～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）　　Ｐ→～Ｑ　　　２６ＣＰ
（ⅳ）
１　　（１）　　Ｐ→～Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　～Ｑ　　　１２ＭＰＰ
　２　（５）　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆　Ｑ）　　２６ＲＡＡ
従って、
（05）により、
（06）
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ 　　Ｐ→～Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
「交換法則」と「対偶」と「二重否定律」により、
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）≡～（Ｑ＆　Ｐ）
④ 　　Ｐ→～Ｑ　≡　　Ｑ→～Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１　　　（１）　　～（Ｑ＆　Ｐ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｑ∨～Ｐ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｑ∨～Ｐ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｑ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　　　（～Ｑ∨～Ｐ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｑ　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｑ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｑ∨～Ｐ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｑ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　　　（～Ｑ∨～Ｐ）　　２８＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｐ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｐ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｑ＆　Ｐ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　　～（Ｑ＆　Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（Ｑ＆　Ｐ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｑ∨～Ｐ）　　２オＤＮ
１　　　（キ）　　　～Ｑ∨～Ｐ　　　カＤＮ
（ⅳ）
１　　　（１）　　　～Ｑ∨～Ｐ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｑ＆　Ｐ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｑ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　　～（Ｑ＆　Ｐ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｐ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｐ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｐ＆Ｐ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　　～（Ｑ＆　Ｐ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　～（Ｑ＆　Ｐ）　　１３６７ア∨Ｅ
従って、
（08）により、
（09）
③ ～（Ｑ＆　Ｐ）
④ 　～Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（09）により、
（10）
「交換法則」により、
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）～（10）により、
（11）
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）≡～（Ｑ＆　Ｐ）≡～Ｑ∨～Ｐ
④ 　　Ｐ→～Ｑ　≡　　Ｑ→～Ｐ　≡～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（11）により、
（12）
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
といふことは、
③ Ｐ→～Ｑ≡Ｐならば、Ｑでない。
④ Ｑ→～Ｐ≡Ｑならば、Ｐでない。
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）
といふことに、他ならない。
従って、
（12）により、
（13）
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）
④ 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
といふ「ド・モルガンの法則」は、
③（Ｑでないこと）を「否定」せず、『同時』に、
④（Ｐでないこと）も「否定」しない。
従って、
（13）により、
（14）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ Ｐでないか、Ｑでないか、または、Ｐでも、Ｑでもない。
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（14）により、
（15）
③（サトコが外国人であって、尚且つ、サトコが日本人である。）といふことはない。
④（サトコは日本人であるか、または、サトコは外国人である。）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
とするならば、
④（サトコは日本人であるか、サトコは外国人であるか、サトコは、日本人であって外国人である。）
といふ、ことになる。
従って、
（11）（15）
（16）
③ ～（Ｐ＆　Ｑ）≡～（Ｑ＆　Ｐ）≡～Ｑ∨～Ｐ
④ 　　Ｐ→～Ｑ　≡　　Ｑ→～Ｐ　≡～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
といふことからすると、
③（サトコが外国人であって、尚且つ、サトコが日本人である。）といふことはない。
④（サトコは日本人であるか、または、サトコは外国人である。）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
とすることは、「例文」として、「適当」ではない。
（17）
④（サトコは日本人であるか、または、サトコは外国人である。）
といふ「言ひ方」を、「強選言（Strong disjunction）」といひ、
④（サトコは日本人であるか、または、サトコは女性である。）
といふ「言ひ方」は、「弱選言（Weak disjunction）」といふ。
令和０３年０６月０７日、毛利太。