「強選選言」と「弱選言」と「選言三段論法」。

（01）
「太郎かあるいは次郎が辞書をもっている」と言われるとき、「太郎が辞書をもっている」と「次郎が辞書をもっている」の二つの命題は同時に真になることが可能である。このような選言は両立的選言（弱選言）と呼ばれる。
「太郎は３階か５階にいる」と言われるとき、「太郎は３階にいる」と「太郎は５階にいる」の命題が同時に真になることはありえない。このような選言は排他的選言（強選言）である。
論理学の「・・・あるいは・・・」は両立的選言に取り決めてある。それは論理学の体系がシンプルなものになるからである。とりわけ、∨を両立的選言の方に決めておけば、排他的選言の方は∨と＆と～とによって簡単に表現できる ―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―（飯田賢一・中才敏郎・中谷隆雄、論理学の基礎、1994年、１１頁改）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　（１）　（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　Ａ
１　　（２）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　２ＤＮ
１　　（４）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　３含意の定義
１　　（５）　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　１＆Ｅ
１　　（６）　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　５ド・モルガンの法則
１　　（７）　　　　　　　　Ｐ→～Ｑ　　６含意の定義
　　　（８）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　　ＴＩ（排中律）
　９　（９）　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
１９　（ア）　　　　Ｑ　　　　　　　　　４９ＭＰＰ
１９　（イ）　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　　９ア＆Ｉ
１９　（ウ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）　イ∨Ｉ
　　エ（エ）　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
１　エ（オ）　　　　　　　　　　～Ｑ　　７エＭＰＰ
１　オ（カ）　　　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　エオ＆Ｉ
１　オ（キ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）　カ∨Ｉ
１　　（ク）（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）　８９ウオキ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（６）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　　５∨Ｉ
　２　（７）～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　　　６ド・モルガンの法則
　２　（８）　（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　４７＆Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　　～Ｐ＆Ｑ　　Ａ
　　９（ア）　　　　　　　　　～Ｐ　　　　９＆Ｉ
　　９（イ）　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　ア∨Ｉ
　　９（ウ）　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　イ、ド・モルガンの法則
　　９（エ）　　　　　　　　　　　　Ｑ　　９＆Ｅ
　　９（オ）　　　　　　　　　Ｐ∨　Ｑ　　エ∨Ｉ
　　９（カ）　（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　ウオ＆Ｉ
１　　（キ）　（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　１２８９カ∨Ｅ
従って、
（02）により、
（03）
①（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１　　（１）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　（～Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　（Ｑ＆～Ｐ）　　２∨Ｉ
　　４（４）　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
　　４（５）　　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　４交換法則
　　４（６）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　（Ｑ＆～Ｐ）　　５∨Ｉ
１　　（７）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　（Ｑ＆～Ｐ）　　１２３４６∨Ｅ
１　　（８）～｛～（Ｐ＆～Ｑ）＆～（Ｑ＆～Ｐ）｝　７ド・モルガンの法則
１　　（９）　～｛（Ｐ→　Ｑ）＆　（Ｑ→　Ｐ）｝　８含意の定義（Ⅱ）
１　　（ア）　　～（Ｐ⇔　Ｑ）　　　　　　　　　　９Ｄｆ．⇔
（ⅲ）
１　　（１）　　～（Ｐ⇔　Ｑ）　　　　　　　　　　Ａ
１　　（２）　～｛（Ｐ→　Ｑ）＆　（Ｑ→　Ｐ）｝　１Ｄｆ.⇔
１　　（３）～｛～（Ｐ＆～Ｑ）＆～（Ｑ＆～Ｐ）｝　２含意の定義（Ⅱ）
１　　（４）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　（Ｑ＆～Ｐ）　　３ド・モルガンの法則
　５　（５）　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　　Ａ
　５　（６）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　（～Ｐ＆Ｑ）　　５∨I
　　７（７）　　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　Ａ
　　７（８）　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆Ｑ）　　７交換法則
　　７（９）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　（～Ｐ＆Ｑ）　　８∨Ｉ
１　　（ア）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　（～Ｐ＆Ｑ）　　１５９７９∨Ｅ
従って、
（04）により、
（05）
② 　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔　Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
ｃｆ.
実を言ふと、この「計算」は、かなり、難しかった。
従って、
（03）（05）により、
（06）
①　 （Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
② 　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔　Ｑ）
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
「日本語」で言ふと、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、ただし（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
②（Ｐであって、Ｑでないか）、または（Ｐでなくて、Ｑである）。
③（ＰとＱの「真理値」が一致する）といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
（08）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
③　 （ＰとＱの「真理値」が一致する）といふことはない。
といふことは、
（ⅰ）ＰとＱ の、両方とも「真」であることは、無く、
（ⅱ）ＰとＱ の、両方とも「偽」であることも、無い。
といふことである。
然るに、
（09）
（ⅰ）ＰとＱ の、両方とも「真」であることは、無く、
（ⅱ）ＰとＱ の、両方とも「偽」であることも、無い。
といふことは、
（ⅲ）Ｐが「真」であって、Ｑが「偽」であるか、
（ⅳ）Ｑが「真」であって、Ｐが「偽」であるかの、いづれか、一方である。
従って、
（01）（07）（08）（09）により、
（10）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）≡Ｐであるか、または、Ｑである。
といふ「強選言（排他的選言）」であるならば、
（α）Ｐであるか、または、Ｑである。然るに、
（β）Ｐでない。　従って、Ｑである。
といふ「推論」は、「妥当」であり、
（γ）Ｐであるか、または、Ｑである。然るに、
（δ）Ｐである。　従って、Ｑでない。
といふ「推論」も、「妥当」である。
然るに、
（01）により、
（11）
④ Ｐ∨Ｑ≡Ｐであるか、または、Ｑである。
といふ「弱選言（両立的選言）」であるならば、
（α）Ｐであるか、または、Ｑである。然るに、
（β）Ｐでない。　従って、Ｑである。
といふ「推論」は、「妥当」であるが、
（γ）Ｐであるか、または、Ｑである。然るに、
（δ）Ｐである。　従って、Ｑでない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（12）
（α）Ｐであるか、または、Ｑである。然るに、
（β）Ｐでない。　従って、Ｑである。
といふ「推論（選言三段論法）」であれば、
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）≡Ｐであるか、または、Ｑである。
といふ「強選言（排他的選言）」であっても、
④ Ｐ∨Ｑ≡Ｐであるか、または、Ｑである。
といふ「弱選言（両立的選言）」であっても、
両方とも、「妥当」である。
令和０３年０６月０９日、毛利太。