「前件否定の誤謬」と「質料含意のパラドックス」。

―「含意の定義」の証明。―
（01）
（ａ）
１　　　　　（１）　～Ｐ　　　　　　仮定
１　　　　　（２）　～Ｐ∨　Ｑ　　　１選言導入
　３　　　　（３）　　Ｐ＆～Ｑ　　　仮定
　　４　　　（４）　～Ｐ　　　　　　仮定
　３　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　３
　３４　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　４５連言導入
　　４　　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　３６背理法
　　　８　　（８）　　　　　Ｑ　　　仮定
　３　　　　（９）　　　　～Ｑ　　　３
　３　８　　（ア）　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９連言導入
　　　８　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　３ア背理法
１　　　　　（ウ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１４７８イ選言除去
　　　　エ　（エ）　　Ｐ　　　　　　仮定
　　　　　オ（オ）　　　　～Ｑ　　　仮定
　　　　エオ（カ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ連言導入
１　　　エオ（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　ウカ連言導入
１　　　エ　（ク）　　　～～Ｑ　　　オキ背理法
１　　　エ　（ケ）　　　　　Ｑ　　　ク二重否定
１　　　　　（コ）　　Ｐ→　Ｑ　　　エケ条件去
（ｂ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　仮定
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　仮定
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　仮定
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３選言導入
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４連言導入
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５背理法
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６二重否定
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７肯定肯定式
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８選言導入
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２９連言導入
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２ア背理法
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　イ二重否定
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ  ├ ～Ｐ∨Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③ Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
② ～Ｐ∨Ｑ├ 　Ｐ→Ｑ
③ 　Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
である。
従って、
（03）により、
（04）
「番号」を付け直すと、
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（05）
① Ｐ＝天気が良い。
① Ｑ＝釣りに行く。
であるとして、
①（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ 　Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行く。）
②（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行かない。）
③（Ｐ→Ｑ，　Ｐ├ 　Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行く。）
④（Ｐ→Ｑ，　Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行かない。）
といふ「推論」は、
①（～Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ 　Ｑ）
②（～Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）
③（～Ｐ∨Ｑ，　Ｐ├ 　Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｑ，　Ｐ├ ～Ｑ）
といふ「推論」に「等しい」。
然るに、
（06）
「二重否定律」により、
③ Ｐ≡～～Ｐ
④ Ｐ≡～～Ｐ
であるため、
①（～Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ 　Ｑ）
②（～Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）
③（～Ｐ∨Ｑ，　Ｐ├ 　Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｑ，　Ｐ├ ～Ｑ）
といふ「推論」は、
①（～Ｐ∨Ｑ，　～Ｐ├ 　Ｑ）
②（～Ｐ∨Ｑ，　～Ｐ├ ～Ｑ）
③（～Ｐ∨Ｑ，～～Ｐ├ 　Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｑ，～～Ｐ├ ～Ｑ）
といふ「推論」に「等しい」。
然るに、
（06）により、
（07）
① ～Ｐ≡Ｒ
② ～Ｐ≡Ｒ
③ ～Ｐ≡Ｒ
④ ～Ｐ≡Ｒ
であるとして、
①（～Ｐ∨Ｑ，　～Ｐ├ 　Ｑ）
②（～Ｐ∨Ｑ，　～Ｐ├ ～Ｑ）
③（～Ｐ∨Ｑ，～～Ｐ├ 　Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｑ，～～Ｐ├ ～Ｑ）
といふ「推論」は、
①（Ｒ∨Ｑ，　Ｒ├ 　Ｑ）
②（Ｒ∨Ｑ，　Ｒ├ ～Ｑ）
③（Ｒ∨Ｑ，～Ｒ├ 　Ｑ）
④（Ｒ∨Ｑ，～Ｒ├ ～Ｑ）
といふ「推論」に、「等しい」。
然るに、
（08）
①（Ｒ∨Ｑ）
といふ「弱選言」は、
①（Ｒであるか、または、Ｑであるか、いづれか一方である。）
といふ「意味」ではなく、
①（Ｒであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。）
といふ「意味」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
①（Ｒ∨Ｑ，　Ｒ├ 　Ｑ）
②（Ｒ∨Ｑ，　Ｒ├ ～Ｑ）
③（Ｒ∨Ｑ，～Ｒ├ 　Ｑ）
④（Ｒ∨Ｑ，～Ｒ├ ～Ｑ）
といふ「推論」は、それぞれ、
①（Ｒであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。然るに、Ｒである。故に、Ｑである。）
②（Ｒであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。然るに、Ｒである。故に、Ｑでない。）
③（Ｒであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。然るに、Ｒでない。故に、Ｑである。）
④（Ｒであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。然るに、Ｒでない。故に、Ｑでない。）
といふ「推論」に、「等しい」。
然るに、
（10）
Ｒ＝日本人である。
Ｑ＝男性である。
として、
①（Ｒ∨Ｑ，　Ｒ├ 　Ｑ）
②（Ｒ∨Ｑ，　Ｒ├ ～Ｑ）
③（Ｒ∨Ｑ，～Ｒ├ 　Ｑ）
④（Ｒ∨Ｑ，～Ｒ├ ～Ｑ）
といふ「推論」は、それぞれ、
①（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人である。故に、男性である。）
②（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人である。故に、男性でない。）
③（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人でない。故に、男性である。）
④（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人でない。故に、男性でない。）
といふ「推論」に、「等しい」。
然るに、
（10）により、
（11）
③（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人でない。故に、男性である。）
といふ「推論」は、明らかに、「妥当（Valid）」であるが、
①（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人である。故に、男性である。）
②（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人である。故に、男性でない。）
④（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人でない。故に、男性でない。）
といふ「推論」は、明らかに、「無効（Invalid）」である。
従って、
（05）～（11）により、
（12）
①（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ 　Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行く。）
②（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行かない。）
③（Ｐ→Ｑ，　Ｐ├ 　Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行く。）
④（Ｐ→Ｑ，　Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行かない。）
といふ「推論」に於いても、
③（Ｐ→Ｑ，　Ｐ├ 　Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行く。）
といふ「推論」は、明らかに、「妥当（Valid）」であるが、
①（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ 　Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行く。）
②（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行かない。）
④（Ｐ→Ｑ，　Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行かない。）
といふ「推論」は、「無効（Invalid）」である。
然るに、
（13）
②（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行かない。）
の場合は、あるいは、「妥当（Valid）」であると、思へないでもない。
然るに、
（14）
②（Ｐ⇔Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、そのとき限って、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行く。）
といふ「推論」であるならば、「妥当（Valid）」であるが、そうではないため、
②（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行かない。）
の場合は、「前件否定の誤謬（the fallacy of denying the antecedent）」といひ、「誤謬」であるため、「妥当（Valid）」ではない。
然るに、

（01）により、
（15）
もう一度、確認すると、
（ａ）
１　　　　　（１）　～Ｐ　　　　　　仮定
１　　　　　（２）　～Ｐ∨　Ｑ　　　１選言導入
　３　　　　（３）　　Ｐ＆～Ｑ　　　仮定
　　４　　　（４）　～Ｐ　　　　　　仮定
　３　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　３
　３４　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　４５連言導入
　　４　　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　３６背理法
　　　８　　（８）　　　　　Ｑ　　　仮定
　３　　　　（９）　　　　～Ｑ　　　３
　３　８　　（ア）　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９連言導入
　　　８　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　３ア背理法
１　　　　　（ウ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１４７８イ選言除去
　　　　エ　（エ）　　Ｐ　　　　　　仮定
　　　　　オ（オ）　　　　～Ｑ　　　仮定
　　　　エオ（カ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ連言導入
１　　　エオ（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　ウカ連言導入
１　　　エ　（ク）　　　～～Ｑ　　　オキ背理法
１　　　エ　（ケ）　　　　　Ｑ　　　ク二重否定
１　　　　　（コ）　　Ｐ→　Ｑ　　　エケ条件去
であって、それ故、
① ～Ｐ├ ～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当（Valid）」である。
然るに、
（16）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
といふことは、
① Ｐが、「偽」であるならば、
① Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである。）
といふ「仮言命題」は、「真」である。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（16）により、
（17）
例へば、
① バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」が「偽」である。といふ「世界」に於いて、
① バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題」は、「真」である。
従って、
（01）～（17）により、
（18）
③（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行く。）
③（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人でない。故に、男性である。）
といふ「推論」が、「妥当（Valid）」であるためには、例へば、
① バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題」が、「真」であることが、「必要」となり、こうした「事情」を、「質料含意のパラドック（The paradox of material implication）」といふ。
然るに、
（19）
① バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題」が、「真」であったとしても、
① バカボンのパパは天才ではない（？）が故に、
① バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」は「真」ではなく、「偽」である。
従って、
（19）により、
（20）
（ⅰ）バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。然るに、
（ⅱ）バカボンのパパは天才である。従って、
（ⅲ）太陽は西から昇る。
といふ「推論」は、「マチガイ」であって、
（ⅰ）バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。然るに、
（ⅱ）バカボンのパパは天才ではない。従って、
（ⅲ）太陽は、西からは昇らない。
といふ「推論」は、「前件否定の誤謬（the fallacy of denying the antecedent）」である。
令和０３年０６月１０日、毛利太。