「象の牙が長い」の「否定」の「述語論理」。

（01）
１　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　Ａ
　２　　（２）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（３）　　∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝　１ＵＥ
　　４　（４）　　　　　（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） 　 Ａ
　　４　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ　　　４＆Ｅ
　２　　（６）　　∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　７（７）　　　　　兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　７（９）　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　４７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　５９ＭＰＰ
　　　７（イ）　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　４７（ウ）　　　　　兎ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８イ＆Ｉ
　　４７（エ）　　　　　兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　アウ＆Ｉ
　　４７（オ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　エＥＩ
　２４　（カ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　６７オＥＥ
１２　　（キ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　３４カＥＥ
１２　　（ク）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　キＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く）、（ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘとあるｙについて（　ｘは兎であって、象ではなく、ｙはｘの鼻である）。従って、
（ⅲ）すべてのｘとあるｙについて（　ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（04）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
であるならば、
① 象の鼻が長い。
① 兎の鼻は長くない。
① 馬の鼻は長くない。
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻が有る。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
であるならば、
① 象の鼻が長い。⇔
① 象の鼻は長く、象以外（兎、馬）の鼻は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く）、（ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１　　（１）～∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆牙ｙｘ→～長ｙ）｝　Ａ
１　　（２）∃ｘ～∃ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆牙ｙｘ→～長ｙ）｝　１量化子の関係
１　　（３）∃ｘ∀ｙ～｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆牙ｙｘ→～長ｙ）｝　２量化子の関係
　４　（４）　　∀ｙ～｛（象ａ＆牙ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆牙ｙａ→～長ｙ）｝　Ａ
　４　（５）　　　　～｛（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆牙ｂａ→～長ｂ）｝　４ＵＥ
　４　（６）　　　　～（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）∨～（～象ａ＆牙ｂａ→～長ｂ）　　５含意の定義
　４　（７）　　　　　（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）→～（～象ａ＆牙ｂａ→～長ｂ）　　６含意の定義
　　８（８）　　　　　（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　４８（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆牙ｂａ→～長ｂ）　　７８ＭＰＰ
　４８（ア）　　　　　　　　　　　　　　～｛～（～象ａ＆牙ｂａ）∨～長ｂ｝　　９含意の定義
　４８（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆牙ｂａ）＆　長ｂ　　　アド・モルガンの法則
　４　（ウ）　　　　　（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）→（～象ａ＆牙ｂａ）＆　長ｂ　　　８イＣＰ
　４　（エ）　　∀ｙ｛（象ａ＆牙ｙａ→長ｙ）→（～象ａ＆牙ｙａ）＆　長ｙ｝　　ウＵＩ
　４　（オ）∃ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆牙ｙｘ）＆　長ｙ｝　　エＥＩ
１　　（カ）∃ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆牙ｙｘ）＆　長ｙ｝　　１４オＥＥ
（ⅲ）
１　　（１）∃ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆牙ｙｘ）＆　長ｙ｝　　Ａ
　２　（２）　　∀ｙ｛（象ａ＆牙ｙａ→長ｙ）→（～象ａ＆牙ｙａ）＆　長ｙ｝　　Ａ
　２　（３）　　　　　（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）→（～象ａ＆牙ｂａ）＆　長ｂ　　　２ＵＥ
　　４（４）　　　　　（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２４（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆牙ｂａ）＆　長ｂ　　　３４ＭＰＰ
　２４（６）　　　　　　　　　　　　　　～｛～（～象ａ＆牙ｂａ）∨～長ｂ｝　　５ド・モルガンの法則
　２４（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆牙ｂａ→～長ｂ）　　６含意の定義
　２　（８）　　　　　（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）→～（～象ａ＆牙ｂａ→～長ｂ）　　４７ＣＰ
　２　（９）　　　　～（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）∨～（～象ａ＆牙ｂａ→～長ｂ）　　８含意の定義
　２　（ア）　　　　～｛（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆牙ｂａ→～長ｂ）｝　９ド・モルガンの法則
　２　（イ）　　∀ｙ～｛（象ａ＆牙ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆牙ｙａ→～長ｙ）｝　アＵＩ
　２　（ウ）∃ｘ∀ｙ～｛（象ａ＆牙ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆牙ｙａ→～長ｙ）｝　イＥＩ
１　　（エ）∃ｘ∀ｙ～｛（象ａ＆牙ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆牙ｙａ→～長ｙ）｝　１２ウＥＥ
１　　（オ）∃ｘ～∃ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆牙ｙｘ→～長ｙ）｝　エ量化子の関係
１　　（カ）～∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆牙ｙｘ→～長ｙ）｝　オ量化子の関係
従って、
（07）により、
（08）
② ～∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆牙ｙｘ→～長ｙ）｝
③ ∃ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆牙ｙｘ）＆長ｙ｝
に於いて、すなはち、
② すべてのｘとあるｙについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの牙であるならば、ｙは長く）、（ｘが象ではなく、ｙがｘの牙であるならば、ｙは長くない）｝といふことはない。
③ あるｘとすべてのｙについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの牙であるならば、ｙは長い）ならば、（ｘは象以外であって、ｙはｘの牙であって、ｙは長い｝。
に於いて
②＝③ である。
然るに、
（09）
③ あるｘとすべてのｙについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの牙であるならば、ｙは長い）ならば、（ｘは象以外であって、ｙはｘの牙であって、ｙは長い｝。
といふことは、例へば、
③ ある象の牙が長いならば、ある象以外の動物（剣歯虎）の牙も長い。
といふことに、他ならない。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
②｛象の牙、剣歯虎の牙｝
であるならば、
② 象の牙が長い。といふわけではない。⇔
② 象の牙は長く、象以外（剣歯虎）の牙も長い。⇔
② ∃ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆牙ｙｘ）＆長ｙ｝⇔
② あるｘとすべてのｙについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの牙であるならば、ｙは長い）ならば、（ｘは象以外であって、ｙはｘの牙であって、ｙは長い｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（06）（10）により、
（11）
① 象の鼻が長い　　　　　≡∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
② 象の牙が長い、ではない≡∃ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆牙ｙｘ）＆長ｙ｝
といふ「等式」が、成立する。
因みに、
（12）
１　　（１）～∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆牙ｙｘ→～長ｙ）｝　Ａ
１　　（２）∃ｘ～∃ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆牙ｙｘ→～長ｙ）｝　１量化子の関係
１　　（３）∃ｘ∀ｙ～｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆牙ｙｘ→～長ｙ）｝　２量化子の関係
　４　（４）　　∀ｙ～｛（象ａ＆牙ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆牙ｙａ→～長ｙ）｝　Ａ
　４　（５）　　　　～｛（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆牙ｂａ→～長ｂ）｝　４ＵＥ
　４　（６）　　　　～（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）∨～（～象ａ＆牙ｂａ→～長ｂ）　　５含意の定義
　４　（７）　　　　　（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）→～（～象ａ＆牙ｂａ→～長ｂ）　　６含意の定義
　　８（８）　　　　　（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　４８（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆牙ｂａ→～長ｂ）　　７８ＭＰＰ
　４８（ア）　　　　　　　　　　　　　　～｛～（～象ａ＆牙ｂａ）∨～長ｂ｝　　９含意の定義
　４８（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆牙ｂａ）＆　長ｂ　　　アド・モルガンの法則
　４　（ウ）　　　　　（象ａ＆牙ｂａ→長ｂ）→（～象ａ＆牙ｂａ）＆　長ｂ　　　８イＣＰ
　４　（エ）　　∀ｙ｛（象ａ＆牙ｙａ→長ｙ）→（～象ａ＆牙ｙａ）＆　長ｙ｝　　ウＵＩ
　４　（オ）∃ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆牙ｙｘ）＆　長ｙ｝　　エＥＩ
１　　（カ）∃ｘ∀ｙ｛（象ｘ＆牙ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆牙ｙｘ）＆　長ｙ｝　　１４オＥＥ
といふ「計算」は、「ムズカシイ」のか。と言へば、「理解をする」ことは、「それなりに、ムズカシイ」と、言へるのかも知れない。
令和０３年０６月０５日、毛利太。