１ （１） Ｐ＆Ｑ→Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｒ Ａ
１２ （３）～（Ｐ＆Ｑ） １２ＭＴＴ
１２ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１２ （５）～Ｑ∨～Ｐ ４交換法則
１２ （６） Ｑ→～Ｐ ５含意の定義
１ （７）～Ｒ→（Ｑ→～Ｐ） ２６ＣＰ
８（８）～Ｒ＆Ｑ ７交換法則
８（９）Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ ８（ア） ～Ｒ ９＆Ｅ
１ ８（イ） Ｑ→～Ｐ ７アＭＰＰ
８（ウ）Ｑ ９＆Ｅ
１ ８（エ） ～Ｐ イウＭＰＰ
１ （オ）Ｑ＆～Ｒ→ ～Ｐ ８エＣＰ
従って、
（181）により、
.PNG)
2023年3月16日木曜日
「予見も可能、回避も可能」ならば「医師には責任が有る」。
（181）
１ （１） Ｐ＆Ｑ→Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｒ Ａ
１２ （３）～（Ｐ＆Ｑ） １２ＭＴＴ
１２ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１２ （５）～Ｑ∨～Ｐ ４交換法則
１２ （６） Ｑ→～Ｐ ５含意の定義
１ （７）～Ｒ→（Ｑ→～Ｐ） ２６ＣＰ
８（８）～Ｒ＆Ｑ ７交換法則
８（９）Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ ８（ア） ～Ｒ ９＆Ｅ
１ ８（イ） Ｑ→～Ｐ ７アＭＰＰ
８（ウ）Ｑ ９＆Ｅ
１ ８（エ） ～Ｐ イウＭＰＰ
１ （オ）Ｑ＆～Ｒ→ ～Ｐ ８エＣＰ
従って、
（181）により、.PNG)
令和５年３月１６日、毛利太。
１ （１） Ｐ＆Ｑ→Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｒ Ａ
１２ （３）～（Ｐ＆Ｑ） １２ＭＴＴ
１２ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１２ （５）～Ｑ∨～Ｐ ４交換法則
１２ （６） Ｑ→～Ｐ ５含意の定義
１ （７）～Ｒ→（Ｑ→～Ｐ） ２６ＣＰ
８（８）～Ｒ＆Ｑ ７交換法則
８（９）Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ ８（ア） ～Ｒ ９＆Ｅ
１ ８（イ） Ｑ→～Ｐ ７アＭＰＰ
８（ウ）Ｑ ９＆Ｅ
１ ８（エ） ～Ｐ イウＭＰＰ
１ （オ）Ｑ＆～Ｒ→ ～Ｐ ８エＣＰ
従って、
（181）により、
2023年3月5日日曜日
「医学の証明」は「数学的」には「証明」ではない。
（01）
という「命題」は、
という「意味」である。
然るに、
（02）
ということは、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」により、
という「意味」である（E.J.レモン）。
然るに、
（03）
然るに、
（04）
然るに、
（05）
従って、
（01）～（05）により、
（06）
という「３つ」を「是認」するならば、
ということに、「ならざるを得ない」し、
実際に、我々は、「そのよう」に思っている。
然るに、
（07）
ということは、
ということに、「他ならない」。
然るに、
（08）
ということは、
ということに、「相当する」。
然るに、
（09）
従って、
（08）（09）により、
（10）
従って、
（11）により、
（12）
2023年2月21日火曜日
「ワクチンの副作用による死亡」を「（数学的に）証明」することは、『原理的に不可能』である。
（01）
【高校数学Ａ】で習う通り、
「男子３人、女子２人の、５人の生徒」が、「くじ引き」で、
「一列に並ぶ際」に、「女子２人」が「最後の２人」になる「確率Ｐ」は、
「（３！×２！）÷５！＝１２÷１２０＝０.１（１０％）」である。
然るに、
（02）
男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
女子＝｛Ｄ，Ｅ｝
であるとして、
「５人（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ）」の並び方」の「構成（construction）」は、
ＡＢＣＤＥ ＡＢＤＣＥ ＡＣＢＤＥ ＡＣＤＢＥ ＡＤＢＣＥ ＡＤＣＢＥ
ＢＡＣＤＥ ＢＡＤＣＥ ＢＣＡＤＥ ＢＣＤＡＥ ＢＤＡＣＥ ＢＤＣＡＥ
ＣＡＢＤＥ ＣＡＤＢＥ ＣＢＡＤＥ ＣＢＤＡＥ ＣＤＡＢＥ ＣＤＢＡＥ
ＤＡＢＣＥ ＤＡＣＢＥ ＤＢＡＣＥ ＤＢＣＡＥ ＤＣＡＢＥ ＤＣＢＡＥ
ＡＢＣＥＤ ＡＢＤＥＣ ＡＣＢＥＤ ＡＣＤＥＢ ＡＤＢＥＣ ＡＤＣＥＢ
ＢＡＣＥＤ ＢＡＤＥＣ ＢＣＡＥＤ ＢＣＤＥＡ ＢＤＡＥＣ ＢＤＣＥＡ
ＣＡＢＥＤ ＣＡＤＥＢ ＣＢＡＥＤ ＣＢＤＥＡ ＣＤＡＥＢ ＣＤＢＥＡ
ＤＡＢＥＣ ＤＡＣＥＢ ＤＢＡＥＣ ＤＢＣＥＡ ＤＣＡＥＢ ＤＣＢＥＡ
ＡＢＥＣＤ ＡＢＥＤＣ ＡＣＥＢＤ ＡＣＥＤＢ ＡＤＥＢＣ ＡＤＥＣＢ
ＢＡＥＣＤ ＢＡＥＤＣ ＢＣＥＡＤ ＢＣＥＤＡ ＢＤＥＡＣ ＢＤＥＣＡ
ＣＡＥＢＤ ＣＡＥＤＢ ＣＢＥＡＤ ＣＢＥＤＡ ＣＤＥＡＢ ＣＤＥＢＡ
ＤＡＥＢＣ ＤＡＥＣＢ ＤＢＥＡＣ ＤＢＥＣＡ ＤＣＥＡＢ ＤＣＥＢＡ
ＡＥＢＣＤ ＡＥＢＤＣ ＡＥＣＢＤ ＡＥＣＤＢ ＡＥＤＢＣ ＡＥＤＣＢ
ＢＥＡＣＤ ＢＥＡＤＣ ＢＥＣＡＤ ＢＥＣＤＡ ＢＥＤＡＣ ＢＥＤＣＡ
ＣＥＡＢＤ ＣＥＡＤＢ ＣＥＢＡＤ ＣＥＢＤＡ ＣＥＤＡＢ ＣＥＤＢＡ
ＤＥＡＢＣ ＤＥＡＣＢ ＤＥＢＡＣ ＤＥＢＣＡ ＤＥＣＡＢ ＤＥＣＢＡ
ＥＡＢＣＤ ＥＡＢＤＣ ＥＡＣＢＤ ＥＡＣＤＢ ＥＡＤＢＣ ＥＡＤＣＢ
ＥＢＡＣＤ ＥＢＡＤＣ ＥＢＣＡＤ ＥＢＣＤＡ ＥＢＤＡＣ ＥＢＤＣＡ
ＥＣＡＢＤ ＥＣＡＤＢ ＥＣＢＡＤ ＥＣＢＤＡ ＥＣＤＡＢ ＥＣＤＢＡ
ＥＤＡＢＣ ＥＤＡＣＢ ＥＤＢＡＣ ＥＤＢＣＡ ＥＤＣＡＢ ＥＤＣＢＡ
による、「１２０通リ」であって、その内、
ＡＢＣＤＥ ＡＣＢＤＥ
ＢＡＣＤＥ ＢＣＡＤＥ
ＣＡＢＤＥ ＣＢＡＤＥ
ＡＢＣＥＤ ＡＣＢＥＤ
ＢＡＣＥＤ ＢＣＡＥＤ
ＣＡＢＥＤ ＣＢＡＥＤ
は「６（縦）×２（横）＝１２通リ」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「数学の証明」とは「構成（construction）」である（直観主義論理）」。
として、「確率」とは、『面積の比』であるとするならば、
「男子３人、女子２人の、５人の生徒」が、「くじ引き」で、
「一列に並ぶ際」に、「女子２人」が「最後の２人」になる「確率Ｐ」は、
（３！×２！）÷５！＝１２÷１２０＝０.１０（１０％）である。
という「命題」は、「未来永劫（いかなる可能世界であっても）、真である。」
然るに、
（04）
①「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」とは言えない。
②「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」。
に於いて、
① を「帰無仮説」とし、
② を「対立仮説」とする。
然るに、
（01）により、
（05）
「男子３人、女子３人の、６人の生徒」が、「身長の大きい順」に、
「一列に並ぶ際」に、「女子３人」が「最後の３人」になる「確率Ｐ」は、
（３！×３！）÷６！＝３６÷７２０＝０.０５（５％）である。
従って、
（06）
「５％」という「Ｐ値」を、
「偶然には起こり得ない程、小さな値」であると「仮定」すると、
①「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」とは言えない。
とは言えない。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
「５％」という「Ｐ値」を、
「偶然には起こり得ない程、小さな値」であると「見做す」のであれば、
①「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」とは言えない。
②「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」。
に於いて、
「① 帰無仮説」が「否定（棄却）」されて、
「② 対立仮説」が「肯定（採択）」される。
然るに、
（08）
P値 P-value
P値が小さいほど、検定統計量がその値となることはあまり起こりえないことを意味する。
一般的にP値が5％または1％以下の場合に「帰無仮説」を偽として棄却し、「対立仮説」
を採択する（統計用語集）。
（09）
「有意水準が赤点のボーダーラインであり、Ｐ値がテストの点数」なのです。これを知っておくと、実は「有意／有意でない」というのは、有意水準をどこに設定するか次第であるということがわかると思います。つまり、通常は５％に有意水準を設定しますが、それをゆるくして、１０％したり、きびしく１％にすれば、「有意／有意でない」という結論が変わってくるということです（吉田寛大輝、いちばんやさしい医療統計、2019年６１頁）。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
①「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」とは言えない。
②「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」。
に於いて、
① を「真」とするか、
② を「真」とするか。
という「結論」は、
①「Ｐ値（５％）」を「小さい」とするか、
②「Ｐ値（５％）」を「小さくない」とするか。
という、「（仮説検定を行う人間の）単なる主観」に過ぎない。
従って、
（10）により、
（11）
「Ｐ値」が、「１０％」ではなく、「５％」であるとして、
「男子３人、女子２人の、５人の生徒」が、「身長の大きい順」で、
「一列に並ぶ際」に、「女子２人」が「最後の２人」になる「確率Ｐ」は、
（３！×２！）÷５！＝１２÷１２０＝０.１０（１０％）である。
ということに加えて、
「男子３人、３人の、６人の生徒」が、「身長の大きい順」で、
「一列に並ぶ際」に、「女子３人」が「最後の３人」になる「確率Ｐ」は、
（３！×３！）÷６！＝３６÷７２０＝０.０５（５％）である。
ということは、
①「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」とは言えない。
②「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」。
に於いて、「どちらが本当か」は、「（３人目の女子の）データで決まる」。
ということを、「意味」している。
然るに、
（12）
「データによって、真偽が定まる命題」を、「未来永劫、真である。」
とは、「言えない」。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
「数学的に真である命題」は、「未来永劫（いかなる可能世界であっても）真である。」
のに対して、
「医学的に真である命題」は、「確率的に（蓋然的に）正しい」ということに、過ぎない。
従って、
（13）により、
（14）
「医学的な命題」が、「統計（確率）」に基く以上、
「この患者の、この症状」は、「ワクチンＡの副作用」である。
ということに対する「証明」が、「数学でいう、文字通りの証明」であることは、
『原理的に、不可能』である。
従って、
（14）により、
（15）
「医師に過失行為が認められ、患者が亡くなっても、その両者の間に因果関係がなければ、損害賠償責任は発生しません。これは患者の死亡が医療ミスによる損害であるとはいえないからです（勤務医の方は必見、医師賠償保険責任ガイド）。」とは言うものの、
「ワクチンＡの副作用」によって、「患者が死亡したとしても」、「因果関係」に対する、「（数学的な）証明」は、『原理的に、不可能』である。
令和５年２月２１日、毛利太。
【高校数学Ａ】で習う通り、
「男子３人、女子２人の、５人の生徒」が、「くじ引き」で、
「一列に並ぶ際」に、「女子２人」が「最後の２人」になる「確率Ｐ」は、
「（３！×２！）÷５！＝１２÷１２０＝０.１（１０％）」である。
然るに、
（02）
男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
女子＝｛Ｄ，Ｅ｝
であるとして、
「５人（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ）」の並び方」の「構成（construction）」は、
ＡＢＣＤＥ ＡＢＤＣＥ ＡＣＢＤＥ ＡＣＤＢＥ ＡＤＢＣＥ ＡＤＣＢＥ
ＢＡＣＤＥ ＢＡＤＣＥ ＢＣＡＤＥ ＢＣＤＡＥ ＢＤＡＣＥ ＢＤＣＡＥ
ＣＡＢＤＥ ＣＡＤＢＥ ＣＢＡＤＥ ＣＢＤＡＥ ＣＤＡＢＥ ＣＤＢＡＥ
ＤＡＢＣＥ ＤＡＣＢＥ ＤＢＡＣＥ ＤＢＣＡＥ ＤＣＡＢＥ ＤＣＢＡＥ
ＡＢＣＥＤ ＡＢＤＥＣ ＡＣＢＥＤ ＡＣＤＥＢ ＡＤＢＥＣ ＡＤＣＥＢ
ＢＡＣＥＤ ＢＡＤＥＣ ＢＣＡＥＤ ＢＣＤＥＡ ＢＤＡＥＣ ＢＤＣＥＡ
ＣＡＢＥＤ ＣＡＤＥＢ ＣＢＡＥＤ ＣＢＤＥＡ ＣＤＡＥＢ ＣＤＢＥＡ
ＤＡＢＥＣ ＤＡＣＥＢ ＤＢＡＥＣ ＤＢＣＥＡ ＤＣＡＥＢ ＤＣＢＥＡ
ＡＢＥＣＤ ＡＢＥＤＣ ＡＣＥＢＤ ＡＣＥＤＢ ＡＤＥＢＣ ＡＤＥＣＢ
ＢＡＥＣＤ ＢＡＥＤＣ ＢＣＥＡＤ ＢＣＥＤＡ ＢＤＥＡＣ ＢＤＥＣＡ
ＣＡＥＢＤ ＣＡＥＤＢ ＣＢＥＡＤ ＣＢＥＤＡ ＣＤＥＡＢ ＣＤＥＢＡ
ＤＡＥＢＣ ＤＡＥＣＢ ＤＢＥＡＣ ＤＢＥＣＡ ＤＣＥＡＢ ＤＣＥＢＡ
ＡＥＢＣＤ ＡＥＢＤＣ ＡＥＣＢＤ ＡＥＣＤＢ ＡＥＤＢＣ ＡＥＤＣＢ
ＢＥＡＣＤ ＢＥＡＤＣ ＢＥＣＡＤ ＢＥＣＤＡ ＢＥＤＡＣ ＢＥＤＣＡ
ＣＥＡＢＤ ＣＥＡＤＢ ＣＥＢＡＤ ＣＥＢＤＡ ＣＥＤＡＢ ＣＥＤＢＡ
ＤＥＡＢＣ ＤＥＡＣＢ ＤＥＢＡＣ ＤＥＢＣＡ ＤＥＣＡＢ ＤＥＣＢＡ
ＥＡＢＣＤ ＥＡＢＤＣ ＥＡＣＢＤ ＥＡＣＤＢ ＥＡＤＢＣ ＥＡＤＣＢ
ＥＢＡＣＤ ＥＢＡＤＣ ＥＢＣＡＤ ＥＢＣＤＡ ＥＢＤＡＣ ＥＢＤＣＡ
ＥＣＡＢＤ ＥＣＡＤＢ ＥＣＢＡＤ ＥＣＢＤＡ ＥＣＤＡＢ ＥＣＤＢＡ
ＥＤＡＢＣ ＥＤＡＣＢ ＥＤＢＡＣ ＥＤＢＣＡ ＥＤＣＡＢ ＥＤＣＢＡ
による、「１２０通リ」であって、その内、
ＡＢＣＤＥ ＡＣＢＤＥ
ＢＡＣＤＥ ＢＣＡＤＥ
ＣＡＢＤＥ ＣＢＡＤＥ
ＡＢＣＥＤ ＡＣＢＥＤ
ＢＡＣＥＤ ＢＣＡＥＤ
ＣＡＢＥＤ ＣＢＡＥＤ
は「６（縦）×２（横）＝１２通リ」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「数学の証明」とは「構成（construction）」である（直観主義論理）」。
として、「確率」とは、『面積の比』であるとするならば、
「男子３人、女子２人の、５人の生徒」が、「くじ引き」で、
「一列に並ぶ際」に、「女子２人」が「最後の２人」になる「確率Ｐ」は、
（３！×２！）÷５！＝１２÷１２０＝０.１０（１０％）である。
という「命題」は、「未来永劫（いかなる可能世界であっても）、真である。」
然るに、
（04）
①「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」とは言えない。
②「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」。
に於いて、
① を「帰無仮説」とし、
② を「対立仮説」とする。
然るに、
（01）により、
（05）
「男子３人、女子３人の、６人の生徒」が、「身長の大きい順」に、
「一列に並ぶ際」に、「女子３人」が「最後の３人」になる「確率Ｐ」は、
（３！×３！）÷６！＝３６÷７２０＝０.０５（５％）である。
従って、
（06）
「５％」という「Ｐ値」を、
「偶然には起こり得ない程、小さな値」であると「仮定」すると、
①「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」とは言えない。
とは言えない。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
「５％」という「Ｐ値」を、
「偶然には起こり得ない程、小さな値」であると「見做す」のであれば、
①「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」とは言えない。
②「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」。
に於いて、
「① 帰無仮説」が「否定（棄却）」されて、
「② 対立仮説」が「肯定（採択）」される。
然るに、
（08）
P値 P-value
P値が小さいほど、検定統計量がその値となることはあまり起こりえないことを意味する。
一般的にP値が5％または1％以下の場合に「帰無仮説」を偽として棄却し、「対立仮説」
を採択する（統計用語集）。
（09）
「有意水準が赤点のボーダーラインであり、Ｐ値がテストの点数」なのです。これを知っておくと、実は「有意／有意でない」というのは、有意水準をどこに設定するか次第であるということがわかると思います。つまり、通常は５％に有意水準を設定しますが、それをゆるくして、１０％したり、きびしく１％にすれば、「有意／有意でない」という結論が変わってくるということです（吉田寛大輝、いちばんやさしい医療統計、2019年６１頁）。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
①「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」とは言えない。
②「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」。
に於いて、
① を「真」とするか、
② を「真」とするか。
という「結論」は、
①「Ｐ値（５％）」を「小さい」とするか、
②「Ｐ値（５％）」を「小さくない」とするか。
という、「（仮説検定を行う人間の）単なる主観」に過ぎない。
従って、
（10）により、
（11）
「Ｐ値」が、「１０％」ではなく、「５％」であるとして、
「男子３人、女子２人の、５人の生徒」が、「身長の大きい順」で、
「一列に並ぶ際」に、「女子２人」が「最後の２人」になる「確率Ｐ」は、
（３！×２！）÷５！＝１２÷１２０＝０.１０（１０％）である。
ということに加えて、
「男子３人、３人の、６人の生徒」が、「身長の大きい順」で、
「一列に並ぶ際」に、「女子３人」が「最後の３人」になる「確率Ｐ」は、
（３！×３！）÷６！＝３６÷７２０＝０.０５（５％）である。
ということは、
①「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」とは言えない。
②「女生徒は、男子生徒よりも、背が低いことが多い」。
に於いて、「どちらが本当か」は、「（３人目の女子の）データで決まる」。
ということを、「意味」している。
然るに、
（12）
「データによって、真偽が定まる命題」を、「未来永劫、真である。」
とは、「言えない」。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
「数学的に真である命題」は、「未来永劫（いかなる可能世界であっても）真である。」
のに対して、
「医学的に真である命題」は、「確率的に（蓋然的に）正しい」ということに、過ぎない。
従って、
（13）により、
（14）
「医学的な命題」が、「統計（確率）」に基く以上、
「この患者の、この症状」は、「ワクチンＡの副作用」である。
ということに対する「証明」が、「数学でいう、文字通りの証明」であることは、
『原理的に、不可能』である。
従って、
（14）により、
（15）
「医師に過失行為が認められ、患者が亡くなっても、その両者の間に因果関係がなければ、損害賠償責任は発生しません。これは患者の死亡が医療ミスによる損害であるとはいえないからです（勤務医の方は必見、医師賠償保険責任ガイド）。」とは言うものの、
「ワクチンＡの副作用」によって、「患者が死亡したとしても」、「因果関係」に対する、「（数学的な）証明」は、『原理的に、不可能』である。
令和５年２月２１日、毛利太。
2023年2月17日金曜日
「３項のド・モルガンの法則」と「３項の排中律」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２７＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （エ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨ Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）により、
（03）
③ ～（ Ｐ∨ Ｑ）
④ ～～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）により、
（04）
③ ～（ Ｐ∨ Ｑ）
④ （～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（３） ～Ｐ∨ Ｐ ２ド・モルガンの法則
然るに、
（06）
～Ｐ∨Ｐ（Ｐでないか、または、Ｐである）。
は、「排中律」である。
然るに、
（07）
① ～Ｐ（Ｐでない）。
② Ｐ（Ｐである）。
に於いて、
① が「真」であれば、② は「偽」であり、
② が「真」であれば、① は「偽」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （３） （Ｐ∨ Ｑ）∨Ｒ １結合法則
４ （４） （Ｐ∨ Ｑ） Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
２ （６） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ ５ （７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
２ （ア） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２９ＲＡＡ
４ （エ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
２ （カ） ～Ｒ ２＆Ｅ
２ オ（キ） Ｒ＆～Ｒ オカ＆Ｉ
オ（ク）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２キＲＡＡ
１ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ３４エオク∨Ｅ
１２ （コ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２ （２） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ３４∨Ｉ
２３ （６） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～Ｐ ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
２ ８ （イ） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～Ｑ ８イ＆Ｉ
２ （エ） ～Ｐ＆～Ｑ ７ウ＆Ｉ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
２ オ（ク） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２キ＆Ｉ
２ （ケ） ～Ｒ オクＲＡＡ
２ （コ） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ エケ＆Ｉ
１２ （サ） ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １コ＆Ｉ
１ （シ）～～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２サＲＡＡ
１ （ス） （ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） シＤＮ
従って、
（08）により、
（09）
① Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（09）により、
（10）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
④ ～～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（10）により、
（11）
「二重否定」により、
③ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
④ （～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（12）
１（１） ～｛（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）∨ （～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）｝ Ａ
１（２） ～（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）＆～（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ） １ド・モルガンの法則
１（３） ～（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ） ２＆Ｅ
１（４） （～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ） ３ド・モルガンの法則
１（５） ～（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ） ２＆Ｅ
１（６） （～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）＆～（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ） ４５＆Ｉ
（７）～～｛（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）∨ （～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）｝ １６ＲＡＡ
（８） （Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）∨ （～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ） ７ＤＮ
然るに、
（13）
①（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
②（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① が「真」であれば、② は「偽」であり、
② が「真」であれば、① は「偽」である。
従って、
（07）（13）により、
（14）
① ～Ｐ（Ｐでない）。
② Ｐ（Ｐである）。
に於いても、
①（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
②（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
に於いても、
① が「真」であれば、② は「偽」であり、
② が「真」であれば、① は「偽」である。
従って、
（06）（14）により、
（15）
① ～Ｐ∨Ｐ（Ｐでないか、または、Ｐである）。
②（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）∨（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① が「排中律」である以上、
② も「排中律」である。
令和５年２月１７日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２７＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （エ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨ Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）により、
（03）
③ ～（ Ｐ∨ Ｑ）
④ ～～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）により、
（04）
③ ～（ Ｐ∨ Ｑ）
④ （～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（３） ～Ｐ∨ Ｐ ２ド・モルガンの法則
然るに、
（06）
～Ｐ∨Ｐ（Ｐでないか、または、Ｐである）。
は、「排中律」である。
然るに、
（07）
① ～Ｐ（Ｐでない）。
② Ｐ（Ｐである）。
に於いて、
① が「真」であれば、② は「偽」であり、
② が「真」であれば、① は「偽」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （３） （Ｐ∨ Ｑ）∨Ｒ １結合法則
４ （４） （Ｐ∨ Ｑ） Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
２ （６） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ ５ （７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
２ （ア） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２９ＲＡＡ
４ （エ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
２ （カ） ～Ｒ ２＆Ｅ
２ オ（キ） Ｒ＆～Ｒ オカ＆Ｉ
オ（ク）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２キＲＡＡ
１ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ３４エオク∨Ｅ
１２ （コ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２ （２） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ３４∨Ｉ
２３ （６） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～Ｐ ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
２ ８ （イ） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～Ｑ ８イ＆Ｉ
２ （エ） ～Ｐ＆～Ｑ ７ウ＆Ｉ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
２ オ（ク） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２キ＆Ｉ
２ （ケ） ～Ｒ オクＲＡＡ
２ （コ） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ エケ＆Ｉ
１２ （サ） ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １コ＆Ｉ
１ （シ）～～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２サＲＡＡ
１ （ス） （ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） シＤＮ
従って、
（08）により、
（09）
① Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（09）により、
（10）
③ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
④ ～～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（10）により、
（11）
「二重否定」により、
③ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
④ （～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（12）
１（１） ～｛（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）∨ （～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）｝ Ａ
１（２） ～（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）＆～（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ） １ド・モルガンの法則
１（３） ～（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ） ２＆Ｅ
１（４） （～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ） ３ド・モルガンの法則
１（５） ～（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ） ２＆Ｅ
１（６） （～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）＆～（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ） ４５＆Ｉ
（７）～～｛（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）∨ （～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）｝ １６ＲＡＡ
（８） （Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）∨ （～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ） ７ＤＮ
然るに、
（13）
①（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
②（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① が「真」であれば、② は「偽」であり、
② が「真」であれば、① は「偽」である。
従って、
（07）（13）により、
（14）
① ～Ｐ（Ｐでない）。
② Ｐ（Ｐである）。
に於いても、
①（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
②（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
に於いても、
① が「真」であれば、② は「偽」であり、
② が「真」であれば、① は「偽」である。
従って、
（06）（14）により、
（15）
① ～Ｐ∨Ｐ（Ｐでないか、または、Ｐである）。
②（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）∨（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① が「排中律」である以上、
② も「排中律」である。
令和５年２月１７日、毛利太。
2023年2月15日水曜日
「偽なる命題」は「偽なる命題」に「等しい」。
（01）
（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
１（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） ～Ｑ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ） ４７＆Ｉ
１（９） Ｐ⇔Ｑ ８Ｄｆ．⇔
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１０５頁、練習問題、私の解答）
然るに、
（02）
（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｐ Ａ
８ （８） ～Ｑ Ａ
７８ （９） Ｐ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
１ ７８ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ６９＆Ｉ
１ ７ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
１ ７ （ウ） Ｑ イＤＮ
１ （エ） Ｐ→ Ｑ ７ウＣＰ
オ （オ） Ｑ＆～Ｐ Ａ
１ （カ） ～Ｑ １＆Ｅ
オ （キ） Ｑ オ＆Ｅ
１ オ （ク） ～Ｑ＆Ｑ カキ＆Ｉ
１ （ケ）～（Ｑ＆～Ｐ） オクＲＡＡ
コ （コ） Ｑ Ａ
サ（サ） ～Ｐ Ａ
コサ（シ） Ｑ＆～Ｐ コサ＆Ｉ
１ コサ（ス）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ケシ＆Ｉ
１ コ （セ） ～～Ｐ サスＲＡＡ
１ コ （ソ） Ｐ セＤＮ
１ （タ） Ｑ→ Ｐ コソＣＰ
１ （チ） （Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ） エタ＆Ｉ
１ （ツ） Ｐ⇔Ｑ チＤｆ．⇔
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１０５頁、練習問題、私の別解答）
従って、
（01）（02）により、
（03）
いづれにせよ、
（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
「偽なる命題」は「偽なる命題」に「等しい」。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（05）
あるいは、
「偽なる命題」は「偽なる命題」に「等しい」。
といふ「言ひ方」は、幾分、「奇異（哲学的？）」に聞こえるかも知れない。
然るに、
（06）
「偽なる命題」は「偽なる命題」に「等しい」。
といふのは、
「偽なる命題（の真理値）」と「偽なる命題（の真理値）」は「等しい」。
といふことに、過ぎない。
然るに、
（07）
「偽なる命題（の真理値）」と「偽なる命題（の真理値）」は「等しい」。
といふことは、
「偽なる命題」と「偽なる命題」は、「両方とも偽である」。
といふことである。
然るに、
（08）
「偽なる命題」と「偽なる命題」は、「両方とも偽である」。
といふのであれば、当然、
「真なる命題」と「真なる命題」は、「両方とも真である」。
然るに、
（09）
（ｉ）Ｐ＆Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１（５） Ｐ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ） ４７＆Ｉ
１（９） Ｐ⇔Ｑ ８Ｄｆ．⇔
従って、
（01）～（09）により、
（10）
① Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
② ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
といふ「連式」により、
①「真なる命題」と「真なる命題」は、「真理値が等しい（両方とも真である）」。
②「偽なる命題」と「偽なる命題」は、「真理値が等しい（両方とも偽である）」。
然るに、
（11）
（ｊ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｑ） １ド・モルガンの法則
１（３） ～（Ｐ→Ｑ） ２含意の定義
１（４） ～（Ｐ→Ｑ）∨
～（Ｑ→Ｐ） ３∨Ｉ
１（５）～｛（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ）｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ～（Ｐ⇔Ｑ） ５Ｄｆ．⇔
（ｋ）～Ｐ＆Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２）～（Ｐ∨～Ｑ） １ド・モルガンの法則
１（３）～（～Ｑ∨Ｐ） ２交換法則
１（４） ～（Ｑ→Ｐ） ３含意の定義
１（５） ～（Ｐ→Ｑ）∨
～（Ｑ→Ｐ） ５∨Ｉ
１（６）～｛（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ）｝ ４ド・モルガンの法則
１（７） ～（Ｐ⇔Ｑ） ６Ｄｆ．⇔
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１０５頁、練習問題、私の解答）
従って、
（10）（11）により、
（12）
① Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
② ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
③ Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
④ ～Ｐ＆ Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「連式」により、
①「真なる命題」と「真なる命題」は、「真理値が等しい（両方とも真である）」。
②「偽なる命題」と「偽なる命題」は、「真理値が等しい（両方とも偽である）」。
③「真なる命題」と「偽なる命題」は、「真理値が等しくない」。
④「偽なる命題」と「真なる命題」も、「真理値が等しくない」。
令和５年２月１５日、毛利太。
（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
１（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） ～Ｑ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ） ４７＆Ｉ
１（９） Ｐ⇔Ｑ ８Ｄｆ．⇔
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１０５頁、練習問題、私の解答）
然るに、
（02）
（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｐ Ａ
８ （８） ～Ｑ Ａ
７８ （９） Ｐ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
１ ７８ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ６９＆Ｉ
１ ７ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
１ ７ （ウ） Ｑ イＤＮ
１ （エ） Ｐ→ Ｑ ７ウＣＰ
オ （オ） Ｑ＆～Ｐ Ａ
１ （カ） ～Ｑ １＆Ｅ
オ （キ） Ｑ オ＆Ｅ
１ オ （ク） ～Ｑ＆Ｑ カキ＆Ｉ
１ （ケ）～（Ｑ＆～Ｐ） オクＲＡＡ
コ （コ） Ｑ Ａ
サ（サ） ～Ｐ Ａ
コサ（シ） Ｑ＆～Ｐ コサ＆Ｉ
１ コサ（ス）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ケシ＆Ｉ
１ コ （セ） ～～Ｐ サスＲＡＡ
１ コ （ソ） Ｐ セＤＮ
１ （タ） Ｑ→ Ｐ コソＣＰ
１ （チ） （Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ） エタ＆Ｉ
１ （ツ） Ｐ⇔Ｑ チＤｆ．⇔
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１０５頁、練習問題、私の別解答）
従って、
（01）（02）により、
（03）
いづれにせよ、
（ｌ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
「偽なる命題」は「偽なる命題」に「等しい」。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（05）
あるいは、
「偽なる命題」は「偽なる命題」に「等しい」。
といふ「言ひ方」は、幾分、「奇異（哲学的？）」に聞こえるかも知れない。
然るに、
（06）
「偽なる命題」は「偽なる命題」に「等しい」。
といふのは、
「偽なる命題（の真理値）」と「偽なる命題（の真理値）」は「等しい」。
といふことに、過ぎない。
然るに、
（07）
「偽なる命題（の真理値）」と「偽なる命題（の真理値）」は「等しい」。
といふことは、
「偽なる命題」と「偽なる命題」は、「両方とも偽である」。
といふことである。
然るに、
（08）
「偽なる命題」と「偽なる命題」は、「両方とも偽である」。
といふのであれば、当然、
「真なる命題」と「真なる命題」は、「両方とも真である」。
然るに、
（09）
（ｉ）Ｐ＆Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１（５） Ｐ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ） ４７＆Ｉ
１（９） Ｐ⇔Ｑ ８Ｄｆ．⇔
従って、
（01）～（09）により、
（10）
① Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
② ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
といふ「連式」により、
①「真なる命題」と「真なる命題」は、「真理値が等しい（両方とも真である）」。
②「偽なる命題」と「偽なる命題」は、「真理値が等しい（両方とも偽である）」。
然るに、
（11）
（ｊ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｑ） １ド・モルガンの法則
１（３） ～（Ｐ→Ｑ） ２含意の定義
１（４） ～（Ｐ→Ｑ）∨
～（Ｑ→Ｐ） ３∨Ｉ
１（５）～｛（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ）｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ～（Ｐ⇔Ｑ） ５Ｄｆ．⇔
（ｋ）～Ｐ＆Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２）～（Ｐ∨～Ｑ） １ド・モルガンの法則
１（３）～（～Ｑ∨Ｐ） ２交換法則
１（４） ～（Ｑ→Ｐ） ３含意の定義
１（５） ～（Ｐ→Ｑ）∨
～（Ｑ→Ｐ） ５∨Ｉ
１（６）～｛（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｑ→Ｐ）｝ ４ド・モルガンの法則
１（７） ～（Ｐ⇔Ｑ） ６Ｄｆ．⇔
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１０５頁、練習問題、私の解答）
従って、
（10）（11）により、
（12）
① Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
② ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ⇔Ｑ
③ Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
④ ～Ｐ＆ Ｑ├ ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「連式」により、
①「真なる命題」と「真なる命題」は、「真理値が等しい（両方とも真である）」。
②「偽なる命題」と「偽なる命題」は、「真理値が等しい（両方とも偽である）」。
③「真なる命題」と「偽なる命題」は、「真理値が等しくない」。
④「偽なる命題」と「真なる命題」も、「真理値が等しくない」。
令和５年２月１５日、毛利太。
2023年2月13日月曜日
「象は鼻が長い」の「述語論理」と「直観主義論理」。
（01）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（02）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） １ＵＥ
２ （４） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
５ （５） 兎ａ Ａ
２５ （６） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ４５ＭＰＰ
７（７） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
７（８） ～鼻ｂａ＆長ｂ ７＆Ｅ
７（９） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ８ＥＩ
２５ （ア） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ６７９ＥＥ
２５ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ア∨Ｉ
２５ （ウ） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） イ、ド・モルガンの法則
１２５ （エ） ～象ａ ３ウＭＴＴ
１２ （オ） 兎ａ→～象ａ ５エＣＰ
カ（カ） 象ａ Ａ
カ（キ） ～～象ａ キ「二重否定の法則」
１２ カ（ク） ～兎ａ オキＭＴＴ
１２ （ケ） 象ａ→～兎ａ カクＣＰ
１２ （コ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ケＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長い）が、あるｚが（ｘの鼻ではなくて、ｚが長い）といふことはない｝。然るに、
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、ｚはｘの耳であって、ｘの鼻ではなく、ｚは長い｝。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「推論」は、『述語論理』としても「妥当」である。
然るに、
（01）（03）により、
（04）
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、ｚはｘの耳であって、ｘの鼻ではなく、ｚは長い｝。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふことは、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、『述語論理』に「翻訳」した場合は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長い）が、あるｚが（ｘの鼻ではなくて、ｚが長い）といふことはない｝。
といふ「意味」、すなはち、
① 象は鼻が長く、鼻以外は長くない。
といふ「意味」になる。
従って、
（01）（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① 象は鼻が長（く、鼻以外は長くな）い。
といふ「意味」であるからこそ、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は『妥当』である。
然るに、
（07）
直観主義論理（intuitionistic logic）：
したがって、直観主義においては、「ある命題かその命題の否定かのどちらかが必ず真である」という排中律（Ａ∨～Ａ）は認められない。
また、Ａではないことが真ではないからといって、Ａが真であるとは言えないから、二重否定の法則（～～Ａ→Ａ）も認められない。
（したがって背理法の使用も制限される。）
従って、
（02）（07）により、
（08）
「直観主義論理」の場合は、
１２ （オ） 兎ａ→～象ａ ５エＣＰ
カ（カ） 象ａ Ａ
カ（キ） ～～象ａ キ「二重否定の法則」
１２カ（ク）～兎ａ オキＭＴＴ
１２ （ケ） 象ａ→～兎ａ
に於いて、
カ（カ） 象ａ Ａ
カ（キ） ～～象ａ キ「二重否定の法則」
は、「認められない」。
従って、
（02）（03）（08）により、
（09）
「直観主義論理」の場合は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」は『妥当』ではない。
従って、
（01）（02）（06）（09）により、
（10）
「直観主義論理」からすると、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は「妥当」ではない。
といふ、ことになるが、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
① 象は鼻が長（く、鼻以外は長くな）い。然るに、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（10）により、
（11）
「日本語」といふ「視点」からすれば、
「直観主義論理」は、「メチャクチャな論理」である。
令和５年２月１３日、毛利太。
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（02）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） １ＵＥ
２ （４） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
５ （５） 兎ａ Ａ
２５ （６） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ４５ＭＰＰ
７（７） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
７（８） ～鼻ｂａ＆長ｂ ７＆Ｅ
７（９） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ８ＥＩ
２５ （ア） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ６７９ＥＥ
２５ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ア∨Ｉ
２５ （ウ） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） イ、ド・モルガンの法則
１２５ （エ） ～象ａ ３ウＭＴＴ
１２ （オ） 兎ａ→～象ａ ５エＣＰ
カ（カ） 象ａ Ａ
カ（キ） ～～象ａ キ「二重否定の法則」
１２ カ（ク） ～兎ａ オキＭＴＴ
１２ （ケ） 象ａ→～兎ａ カクＣＰ
１２ （コ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ケＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長い）が、あるｚが（ｘの鼻ではなくて、ｚが長い）といふことはない｝。然るに、
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、ｚはｘの耳であって、ｘの鼻ではなく、ｚは長い｝。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「推論」は、『述語論理』としても「妥当」である。
然るに、
（01）（03）により、
（04）
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、ｚはｘの耳であって、ｘの鼻ではなく、ｚは長い｝。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふことは、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、『述語論理』に「翻訳」した場合は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｙは長い）が、あるｚが（ｘの鼻ではなくて、ｚが長い）といふことはない｝。
といふ「意味」、すなはち、
① 象は鼻が長く、鼻以外は長くない。
といふ「意味」になる。
従って、
（01）（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① 象は鼻が長（く、鼻以外は長くな）い。
といふ「意味」であるからこそ、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は『妥当』である。
然るに、
（07）
直観主義論理（intuitionistic logic）：
したがって、直観主義においては、「ある命題かその命題の否定かのどちらかが必ず真である」という排中律（Ａ∨～Ａ）は認められない。
また、Ａではないことが真ではないからといって、Ａが真であるとは言えないから、二重否定の法則（～～Ａ→Ａ）も認められない。
（したがって背理法の使用も制限される。）
従って、
（02）（07）により、
（08）
「直観主義論理」の場合は、
１２ （オ） 兎ａ→～象ａ ５エＣＰ
カ（カ） 象ａ Ａ
カ（キ） ～～象ａ キ「二重否定の法則」
１２カ（ク）～兎ａ オキＭＴＴ
１２ （ケ） 象ａ→～兎ａ
に於いて、
カ（カ） 象ａ Ａ
カ（キ） ～～象ａ キ「二重否定の法則」
は、「認められない」。
従って、
（02）（03）（08）により、
（09）
「直観主義論理」の場合は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」は『妥当』ではない。
従って、
（01）（02）（06）（09）により、
（10）
「直観主義論理」からすると、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は「妥当」ではない。
といふ、ことになるが、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
① 象は鼻が長（く、鼻以外は長くな）い。然るに、
② 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（10）により、
（11）
「日本語」といふ「視点」からすれば、
「直観主義論理」は、「メチャクチャな論理」である。
令和５年２月１３日、毛利太。
「数学の原理（ＰＭ）」の「公理１」は「排中律」である。
（01）
① （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、
① は「数学の原理（ＰＭ）」の「公理１」であって、
② は「排中律（Law of excluded middle）」である。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１）～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆ Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～Ｑ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ→～Ｑ ２６ＣＰ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ ７含意の定義
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ １
１ （２） Ｐ→～Ｑ １含意の定義
３ （３） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （４） Ｐ ３＆Ｅ
１３ （５） ～Ｑ ２４ＭＰＰ
３ （６） Ｑ ３＆Ｅ
１３ （７） ～Ｑ＆Ｑ ５６＆Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆ Ｑ） ３７ＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）
従って、
（03）（05）により、
（06）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｐ∨ Ｑ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② であって（含意の定義）、
③＝④ であって（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（07）
（ⅴ）
１ （１） （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ∨Ｐ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ∨Ｐ） Ａ
３ （４）～Ｐ＆～Ｐ ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～Ｐ ４＆Ｅ
３ （６） ～Ｐ∨ Ｐ ５∨Ｉ
７（８） Ｐ Ａ
７（９） ～Ｐ∨ Ｐ ７∨Ｉ
１ （ア） ～Ｐ∨ Ｐ １３６７９∨Ｅ
（ⅵ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ→ Ｐ １含意の定義
２ （３） Ｐ∨Ｐ Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ ２４ＭＰＰ
６（６） Ｐ Ａ
１ ６（７） Ｐ ２６ＭＰＰ
１２ （８） Ｐ ３４５６７∨Ｅ
１ （９）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ ２８ＣＰ
従って、
（01）（07）により、
（08）
「含意の定義・ド・モルガンの法則」により、
① （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、すなはち、
①（Ｐであるか、またはＰである）ならばＰである。
② Ｐでないか、または、Ｐである。
に於いて、すなはち、
① は「数学の原理（ＰＭ）」の「公理１」であって、
② は「排中律」である。
に於いて、
①＝② である。
令和５年２月１３日、毛利太。
① （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、
① は「数学の原理（ＰＭ）」の「公理１」であって、
② は「排中律（Law of excluded middle）」である。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１）～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆ Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～Ｑ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ→～Ｑ ２６ＣＰ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ ７含意の定義
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ １
１ （２） Ｐ→～Ｑ １含意の定義
３ （３） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （４） Ｐ ３＆Ｅ
１３ （５） ～Ｑ ２４ＭＰＰ
３ （６） Ｑ ３＆Ｅ
１３ （７） ～Ｑ＆Ｑ ５６＆Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆ Ｑ） ３７ＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）
従って、
（03）（05）により、
（06）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｐ∨ Ｑ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② であって（含意の定義）、
③＝④ であって（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（07）
（ⅴ）
１ （１） （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ∨Ｐ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ∨Ｐ） Ａ
３ （４）～Ｐ＆～Ｐ ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～Ｐ ４＆Ｅ
３ （６） ～Ｐ∨ Ｐ ５∨Ｉ
７（８） Ｐ Ａ
７（９） ～Ｐ∨ Ｐ ７∨Ｉ
１ （ア） ～Ｐ∨ Ｐ １３６７９∨Ｅ
（ⅵ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ→ Ｐ １含意の定義
２ （３） Ｐ∨Ｐ Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ ２４ＭＰＰ
６（６） Ｐ Ａ
１ ６（７） Ｐ ２６ＭＰＰ
１２ （８） Ｐ ３４５６７∨Ｅ
１ （９）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ ２８ＣＰ
従って、
（01）（07）により、
（08）
「含意の定義・ド・モルガンの法則」により、
① （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、すなはち、
①（Ｐであるか、またはＰである）ならばＰである。
② Ｐでないか、または、Ｐである。
に於いて、すなはち、
① は「数学の原理（ＰＭ）」の「公理１」であって、
② は「排中律」である。
に於いて、
①＝② である。
令和５年２月１３日、毛利太。
2023年2月12日日曜日
「トートロジー（Ｐ＆Ｑ→Ｐ）」とは。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆ Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ １６８９ア∨Ｅ
１ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｐ イ含意の定義
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｑ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆ Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ １６８９ア∨Ｅ
１ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｐ イ含意の定義
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆ Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ １６８９ア∨Ｅ
１ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｐ イ含意の定義
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｑ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆ Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ １６８９ア∨Ｅ
１ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｐ イ含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ） Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅱ） Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅲ）～Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅳ） Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
従って、
（02）により、
（03）
例 Ｐ＆Ｑ→Ｐ はトートロジー的である。従って、補題により、つぎの４つの連式のすべて導出可能である。
（ⅰ） Ｐ， Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅱ） Ｐ，～Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅲ）～Ｐ， Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅳ） Ｐ，～Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１１２頁）
然るに、
（04）
（１） Ｐ∨～Ｐ 排中律
（２） Ｑ∨～Ｑ 排中律
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
５ （５） Ｑ Ａ
６（６） ～Ｑ Ａ
３ ５ （７） Ｐ＆Ｑ ３５＆Ｉ
３ ５ （８） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ７定理導入
４５ （９）～Ｐ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４５ （ア） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ９定理導入
５ （イ） Ｐ＆Ｑ→Ｐ １３８４ア∨Ｅ
３ ６（ウ） Ｐ＆～Ｑ ３６＆Ｉ
３ ６（エ） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ウ定理導入
４ ６（オ）～Ｐ＆～Ｑ ４６＆Ｉ
４ ６（カ） Ｐ＆Ｑ→Ｐ オ定理導入
６（キ） Ｐ＆Ｑ→Ｐ １３エ４カ∨Ｅ
（ク） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ２５イ６キ∨Ｅ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１１３頁改）
従って、
（01）～（04）により、
（05）
Ｐ＝Ａは日本人である。
Ｑ＝Ａは、男性である。
として、
Ｐ＆Ｑ→Ｐ＝「Ａさんが日本人の男性であるならば、Ａさんは日本人である。」
といふ「恒真命題（トートロジー）」は、
（ⅰ）Ａさんは日本人の男性である（太郎である）。
（ⅱ）Ａさんは日本人の女性である（花子である）。
（ⅲ）Ａさんは米国人の男性である（トムである）。
（ⅱ）Ａさんは米国人の女性である（エマである）。
としても、「真」である。
然るに、
（06）
「Ａさんが日本人の男性であるならば、Ａさんは日本人である。」
といふ「命題」が「真（本当）」であることは、「誰もが、納得できる」。
然るに、
（07）
トートロジー（英語：tautology, ギリシャ語：ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから）とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される。関連した概念に冗語があり、しばしば同じ意味で使われることもある。また、撞着語法はトートロジーの反対の技法である。（ウィキペディア）。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
「Ａさんが日本人の男性であるならば、Ａさんは日本人である。」
といふ「命題」が「恒真（トートロジー）」であるといふことは、
（ⅰ）Ａさんは日本人の男性である（太郎である）。
（ⅱ）Ａさんは日本人の女性である（花子である）。
（ⅲ）Ａさんは米国人の男性である（トムである）。
（ⅱ）Ａさんは米国人の女性である（エマである）。
であったとしても、
「Ａさんが日本人の男性であるならば、Ａさんは日本人である。」
といふ「命題」が「真（本当）」である。
といふ「意味」である。
といふことを「知ってゐる人」は、あるいは、「多くはゐない」。
令和５年２月１２日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆ Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ １６８９ア∨Ｅ
１ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｐ イ含意の定義
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｑ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆ Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ １６８９ア∨Ｅ
１ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｐ イ含意の定義
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆ Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ １６８９ア∨Ｅ
１ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｐ イ含意の定義
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｑ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆ Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ １６８９ア∨Ｅ
１ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｐ イ含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ） Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅱ） Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅲ）～Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅳ） Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
従って、
（02）により、
（03）
例 Ｐ＆Ｑ→Ｐ はトートロジー的である。従って、補題により、つぎの４つの連式のすべて導出可能である。
（ⅰ） Ｐ， Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅱ） Ｐ，～Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅲ）～Ｐ， Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅳ） Ｐ，～Ｑ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１１２頁）
然るに、
（04）
（１） Ｐ∨～Ｐ 排中律
（２） Ｑ∨～Ｑ 排中律
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
５ （５） Ｑ Ａ
６（６） ～Ｑ Ａ
３ ５ （７） Ｐ＆Ｑ ３５＆Ｉ
３ ５ （８） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ７定理導入
４５ （９）～Ｐ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４５ （ア） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ９定理導入
５ （イ） Ｐ＆Ｑ→Ｐ １３８４ア∨Ｅ
３ ６（ウ） Ｐ＆～Ｑ ３６＆Ｉ
３ ６（エ） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ウ定理導入
４ ６（オ）～Ｐ＆～Ｑ ４６＆Ｉ
４ ６（カ） Ｐ＆Ｑ→Ｐ オ定理導入
６（キ） Ｐ＆Ｑ→Ｐ １３エ４カ∨Ｅ
（ク） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ２５イ６キ∨Ｅ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野英楢 訳、1973年、１１３頁改）
従って、
（01）～（04）により、
（05）
Ｐ＝Ａは日本人である。
Ｑ＝Ａは、男性である。
として、
Ｐ＆Ｑ→Ｐ＝「Ａさんが日本人の男性であるならば、Ａさんは日本人である。」
といふ「恒真命題（トートロジー）」は、
（ⅰ）Ａさんは日本人の男性である（太郎である）。
（ⅱ）Ａさんは日本人の女性である（花子である）。
（ⅲ）Ａさんは米国人の男性である（トムである）。
（ⅱ）Ａさんは米国人の女性である（エマである）。
としても、「真」である。
然るに、
（06）
「Ａさんが日本人の男性であるならば、Ａさんは日本人である。」
といふ「命題」が「真（本当）」であることは、「誰もが、納得できる」。
然るに、
（07）
トートロジー（英語：tautology, ギリシャ語：ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから）とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される。関連した概念に冗語があり、しばしば同じ意味で使われることもある。また、撞着語法はトートロジーの反対の技法である。（ウィキペディア）。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
「Ａさんが日本人の男性であるならば、Ａさんは日本人である。」
といふ「命題」が「恒真（トートロジー）」であるといふことは、
（ⅰ）Ａさんは日本人の男性である（太郎である）。
（ⅱ）Ａさんは日本人の女性である（花子である）。
（ⅲ）Ａさんは米国人の男性である（トムである）。
（ⅱ）Ａさんは米国人の女性である（エマである）。
であったとしても、
「Ａさんが日本人の男性であるならば、Ａさんは日本人である。」
といふ「命題」が「真（本当）」である。
といふ「意味」である。
といふことを「知ってゐる人」は、あるいは、「多くはゐない」。
令和５年２月１２日、毛利太。
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