「パースの法則」の「証明」の「説明」（Ⅱ）。

（01）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。
パースの法則は直観論理や中間命題論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない（ウィキペディア）。
（02）
１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　Ｐ　　　１３ＭＰＰ
１　　　（５）　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　　　２４ＣＰ
１　　　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　２含意の定義
　　７　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　Ａ
　　７　（８）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　（イ）　　Ｐ　　　　　　　　　６７９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ である所の、「パースの法則」は、 「Ａ、含意の定義、ＭＰＰ、ＣＰ、ド・モルガンの法則、＆Ｅ、∨Ｅ」によって、「証明」出来る。
然るに、
（04）
―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
（05）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅰ）。―
（ⅰ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
従って、
（04）（05）により、
（06）
「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」は、
「Ａ、∨Ｉ、＆Ｉ、ＲＡＡ、ＤＮ、ＭＰＰ、＆Ｅ、ＣＰ、∨Ｅ」によって、「証明」出来る。
従って、
（03）（06）により、
（07）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ である所の、「パースの法則」は、
「Ａ、含意の定義、ＭＰＰ、ＣＰ、ド・モルガンの法則、＆Ｅ、∨Ｅ」によって、「証明」出来、
「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」は、
「Ａ、∨Ｉ、＆Ｉ、ＲＡＡ、ＤＮ、ＭＰＰ、＆Ｅ、ＣＰ、∨Ｅ」によって、「証明」出来る。
従って、
（07）により、
（08）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ である所の、「パースの法則」は、
「Ａ、ＭＰＰ、ＤＮ、ＣＰ、＆Ｉ、＆Ｅ、∨Ｉ、∨Ｅ、ＲＡＡ」によって、「証明」出来る。
然るに、
（09）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ である所の、「パースの法則」は、
「E.J.レモンの、自然演繹の規則」である所の、「原子規則（10 primitive rules）」である、
「Ａ、ＭＰＰ、ＤＮ、ＣＰ、＆Ｉ、＆Ｅ、∨Ｉ、∨Ｅ、ＲＡＡ」によって、「証明」出来る。
然るに、
（10）
命題計算の規則は、本質的にゲンツェン（G.Gentzen）に由来するものである。
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、序ⅲ）
従って、
（09）（10）により、
（11）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ である所の、「パースの法則」は、
「E.J.レモンの、自然演繹の規則（ゲンツェンの自然演繹に由来する）」によって、「証明」出来る。
従って、
（01）（11）により、
（12）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ である所の、「パースの法則」は、「演繹定理」だけでは導くことができない（ウィキペディア）。」
とは言ふものの、「パースの法則」は、「ゲンツェンの自然演繹」だけで、導くことができる。
従って、
（01）（02）（12）により、
（13）
「パースの法則は直観論理や中間命題論理では成立しない（ウィキペディア）。」
とは言ふものの、
１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　Ｐ　　　１３ＭＰＰ
１　　　（５）　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　　　２４ＣＰ
１　　　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　２含意の定義
　　７　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　Ａ
　　７　（８）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　（イ）　　Ｐ　　　　　　　　　６７９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
といふ「証明」からすれば、「パースの法則」は、「ごく普通の、恒真式（トートロジー）の一つ」に、過ぎない。
令和０３年０４月０８日、毛利太。