「代表的選言項（typical disjunct）」について。

―「昨日（令和０３年０４月１１日）の記事」を書き直します。―
（01）
１（１）∃ｘ（Ｆｘ）　Ａ
２（２）　　　Ｆａ　　Ａ
といふ「仮定」は「妥当」であり、それ故、
　 連式 ∃ｘ（Ｆｘ）├ Ｆａ
といふ「連式」も「妥当」でなければ、ならない。
然るに、
（02）
連式 Ｆａ├ ∃ｘ（Ｆｘ）
は妥当であると受けいれるが、
連式 ∃ｘ（Ｆｘ）├ Ｆａ
を妥当であるとは考えず、ａは任意に選ばれているが、与えられたＦをもつ対象の一つではないかも知れないから、この連式を受け入れないのである。
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１４９頁）
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∃ｘ（Ｆｘ）├ Ｆａ
② ∃ｘ（Ｆｘ）├ Ｆａ
に於いて、
① は「妥当」であって、
② は「妥当」ではない。
といふ風に、「矛盾」する。
然るに、
（04）
（α）「あるｘはＦ」なので、取り合へず、「ａがＦである」と仮定して、「Ｆａ」としよう。ところが、
（β）「すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧである）。」といふことからすれば、
（〃）「ＦａならばＧａである」といふことは、「事実」であり、
（〃）「ＦｂならばＧｂである」といふことも、「事実」であり、
（〃）「ＦｃならばＧｃである」といふことも、「実事」であるため、「Ｆａ」ではなく、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「Ｆｂ」であったとしても、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「Ｆｂ」ではなく、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「Ｆｃ」であったとしても、いづれにせよ、
（γ）「あるｘは、Ｆであって、尚且つ、Ｇである。」といふことには、変はりがない。
といふのが、
（ⅰ）
１　　（１）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　２　（２）　　　Ｆａ　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　３（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　　３（４）　　　Ｆａ→Ｇａ　　１ＵＥ
１　３（５）　　　　　　Ｇａ　　２４ＭＰＰ
１２３（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　２５＆Ｉ
１２３（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　６ＥＩ
１　３（８）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　６ＥＩ
といふ「計算」の、「その心（意味）」である。
（05）
（α）「あるｘはＦ」　　なので、取り合へず、「ａがＦである」　　と仮定して、「Ｆａ」　　　としよう。
（β）「あるｘはＦ→Ｇ」なので、取り合へず、「ａがＦ→Ｇである」と仮定して、「Ｆａ→Ｇａ」としよう。ところが、
（〃）「ＦａならばＧａである」といふことは、「仮定」に過ぎないため、
（〃）「ＦｂならばＧｂである」といふことが、「本当」なのかも知れないし、
（〃）「ＦｃならばＧｃである」といふことが、「本当」なのかも知れないため、この場合は、
（γ）「あるｘは、Ｆであって、尚且つ、Ｇである。」とは、「断定」出来ない。
といふのが、
（ⅱ）
１　　　（１）∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　Ａ（代表的選言項）
　　　４（４）　　　Ｆａ　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　３４（５）　　　　　　Ｇａ　　３４ＭＰＰ
　　３４（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　４５＆Ｉ
　　３４（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　６ＥＩ
　２３　（８）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　２４７ＥＥ
１２　　（９）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　１３８ＥＥ
といふ「計算」の、「その心（意味）」である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∃ｘ（Ｆｘ），∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ），∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
に於いて、すなはち、
① あるｘは（Ｆである）。すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧである）。故に、あるｘは（Ｆであって、Ｇである）。
② あるｘは（Ｆである）。　　あるｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧである）。故に、あるｘは（Ｆであって、Ｇである）。
に於いて、
① は、「妥当」であるが、
② は、「妥当」ではない。
従って、
（01）（06）により、
（07）
連式 Ｆａ├ ∃ｘ（Ｆｘ）
は妥当であると受けいれるが、
連式 ∃ｘ（Ｆｘ）├ Ｆａ
を妥当であるとは考えないにしても、
（ⅰ）
１　　（１）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　２　（２）　　　Ｆａ　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　３（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　　３（４）　　　Ｆａ→Ｇａ　　１ＵＥ
１　３（５）　　　　　　Ｇａ　　２４ＭＰＰ
１２３（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　２５＆Ｉ
１２３（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　６ＥＩ
１　３（８）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　６ＥＩ
といふ「計算」に於ける、
１　　（１）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　２　（２）　　　Ｆａ　　　　　Ａ（代表的選言項）
といふ「仮定」に関しては、「妥当」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（08）
われわれはつぎのように証明をはじめるであろう。
　１　　（１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　１　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　１＆Ｅ
　１　　（３）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　　５（５）　　　　　　　　　　Ｇｂ　　Ａ
　　４５（６）　　　Ｆａ＆Ｇｂ　　　　　　４５＆Ｉ
　　４５（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　６ＥＩ
存在命題（２）および（３）に対して、われわれは
代表的選言項（４）（５）を仮定し、それらから、
　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
を導出した。しかし、ＥＥを適用するどのようなくわだても、こんどはうまく行かない。
（７）の行の結論は（４）と（５）に依存し、そのいずれにも「ａ」が現われているからである。
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５４頁）
従って、
（05）（08）により、
（09）
（ⅱ）
１　　　（１）∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　Ａ（代表的選言項）
　　　４（４）　　　Ｆａ　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　３４（５）　　　　　　Ｇａ　　３４ＭＰＰ
　　３４（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　４５＆Ｉ
　　３４（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　６ＥＩ
　２３　（８）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　２４７ＥＥ
１２　　（９）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　１３８ＥＥ
といふ「計算」と、
（ⅲ）
　１　　（１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　１　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　１＆Ｅ
　１　　（３）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　　５（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ（代表的選言項）
　　４５（６）　　　Ｆａ＆Ｇｂ　　　　　　４５＆Ｉ
　　４５（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　６ＥＩ
　１４　（８）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　３５７ＥＥ
　１　　（９）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　２４８ＥＥ
といふ「計算」は、両方とも、「マチガイ」である。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅱ）
１　　　（１）∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　Ａ（代表的選言項）
　　　４（４）　　　Ｆａ　　　　　Ａ（代表的選言項）
（ⅲ）
　１　　（１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　１　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　１＆Ｅ
　１　　（３）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　　５（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ（代表的選言項）
がさうであるやうに、「２つの存在命題」から、
（ⅱ）
１２　　（９）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　１３８ＥＥ
（ⅲ）
　１　　（９）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　２４８ＥＥ
のやうに、「１つの存在命題」を、「結論」することは、出来ない。
令和０３年０４月１２日、毛利太。