「移出律と移入律」と「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」。

（01）
―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨Ｑ≡Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
（03）
―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅰ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
（03）により、
（04）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑである）といふことはない。
② 　～Ｐ∨～Ｑ ≡　Ｐでないか、または、Ｑでない。
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（04）により、
（05）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① 　　　Ｐ＆  Ｑ　≡　Ｐであって、その上、Ｑである。
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、または、Ｑでない。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１）～｛　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｒ｝　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ｝　１含意の定義
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ　　２ド・モルガンの法則
（ⅲ）
１（１）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ　　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ｝　１ド・モルガンの法則
１（３）～｛　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｒ｝　２含意の定義
（07）
（ⅱ）
１（１）～｛　（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→　Ｓ｝　
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）∨　Ｓ｝　１含意の定義
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）＆～Ｓ　　２ド・モルガンの法則
（ⅳ）
１（１）　　　（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）＆～Ｓ　　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）∨　Ｓ｝　１ド・モルガンの法則
１（３）～｛　（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→　Ｓ｝　２含意の定義
従って、
（06）（07）により、
（08）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
の「否定」は、それぞれ、
③（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）＆～Ｓ
である。
従って、
（08）により、
（09）
Ｒ＝Ｐ
Ｓ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｐ
の「否定」は、それぞれ、
③（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ
④（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）＆～Ｐ
である。
従って、
（09）により、
（10）
「交換法則・結合法則」により、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｐ
の「否定」は、それぞれ、
③（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
④（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ＆Ｒ
である。
従って、
（10）により、
（11）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｐ
の「否定」は、それぞれ、
③（矛盾）＆Ｑ
④（矛盾）＆Ｑ＆Ｒ
である。
然るに、
（12）
③（矛盾）＆Ｑ
④（矛盾）＆Ｑ＆Ｒ
は、両方とも、「偽」である。
然るに、
（13）
「否定」をした「結果」が「偽」である。
といふことは、
「否定」をしなければ、　「真」である。
といふことに、他ならない。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｐ
は、「真」でなければ、ならない。
然るに、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｐ
といふことは、「日本語」で言ふと、
①（ＰであってＱである）ならばＰである。
②（ＰであってＱであってＲである）ならばＰである。
といふことである。
然るに、
（16）
①（ＰであってＱである）ならばＰである。
②（ＰであってＱであってＲである）ならばＰである。
は、明らかに、「真」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｑ　　　　Ａ
　２３（４）（Ｐ＆Ｑ）　　　２３＆Ｉ
１２３（５）　　　　　Ｒ　　１４ＣＰ
１２　（６）　　　Ｑ→Ｒ　　３５ＣＰ
１　　（７）Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　Ｑ→Ｒ　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　Ｑ　　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　　　　　Ｒ　　４５ＭＰＰ
１　　（７）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　２６ＣＰ
（18）
（ⅲ）
１　　　（１）（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ　　　Ａ
　２　　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　　４（４）　　　　　Ｒ　　　　　　Ａ
　２３　（５）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　２３４（６）　Ｐ＆Ｑ＆Ｒ　　　　　　４５＆Ｉ
１２３４（７）　　　　　　　　Ｓ　　　１６ＣＰ
１２３　（８）　　　　　　Ｒ→Ｓ　　　４７ＣＰ
１２　　（９）　　　Ｑ→（Ｒ→Ｓ）　　３８ＣＰ
１　　　（ア）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ））　２９ＣＰ
（ⅳ）
１　　　（１）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ））　Ａ
　２　　（２）Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　　　Ａ
　２　　（３）Ｐ　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１２　　（４）　　　Ｑ→（Ｒ→Ｓ）　　１３ＭＰＰ
　２　　（５）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
１２　　（６）　　　　　　Ｒ→Ｓ　　　４５ＭＰＰ
　２　　（７）　　　　　　Ｒ　　　　　２＆Ｅ
１２　　（８）　　　　　　　　Ｓ　　　６７ＭＰＰ
１　　　（９）（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ　　　２８ＣＰ
従って、
（17）（18）により、
（19）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②  Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
④  Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ））
に於いて、
①＝② である（移出律と移入律）。
③＝④ である（移出律と移入律）。
従って、
（19）により、
（20）
Ｒ＝Ｐ
Ｓ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ひ、「番号」を付け直すと、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｐ
③  Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
④  Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｐ））
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ であって、尚且つ、因みに、
③ は、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」である。
従って、
（20）により、
（21）
①（ＰであってＱである）ならばＰである。
②（ＰであってＱであってＲである）ならばＰである。
③  Ｐならば（ＱならばＰである）。
④  Ｐならば（Ｑならば（ＲならばＰである））。
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
然るに、
（22）
（ⅲ）
１（１）Ｐ　　　　　　　Ａ
１（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１∨Ｉ
１（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義
　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰ
（ⅳ）
１（１）Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　～Ｒ∨Ｐ　　　１∨Ｉ
１（３）　～Ｑ∨（～Ｒ∨Ｐ）　　２∨Ｉ
１（４）　　Ｑ→（～Ｒ∨Ｐ）　　３含意の定義
１（５）　　　Ｑ→（Ｒ→Ｐ）　　４含意の定義
　（６）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｐ））　１５ＣＰ
（ⅴ）
１（１）Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　　　　～Ｓ∨Ｐ　　　　１∨Ｉ
１（３）　　　　～Ｒ∨（～Ｓ∨Ｐ）　　　２∨Ｉ
１（４）～Ｑ∨（～Ｒ∨（～Ｓ∨Ｐ））　　３∨Ｉ
１（５）　Ｑ→（～Ｒ∨（～Ｓ∨Ｐ））　　４含意の定義
１（６）　　Ｑ→（Ｒ→（～Ｓ∨Ｐ））　　５含意の定義
１（７）　　　Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→Ｐ））　　６含意の定義
　（８）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→Ｐ）））　１７ＣＰ
従って、
（21）（22）により、
（23）
「番号」を付け直すと、
①（ＰであってＱである）ならばＰである。
②（ＰであってＱであってＲである）ならばＰである。
③（ＰであってＱであってＲであってＳである）ならばＰである。
④  Ｐならば（ＱならばＰである）。
⑤  Ｐならば（Ｑならば（ＲならばＰである））。
⑥　Ｐならば（Ｑならば（Ｒならば（ＳならばＰである）））。
に於いて、
①＝④ であって、
②＝⑤ であって、
③＝④ である。
従って、
（24）
①（Ｐ＆　Ｑ）→Ｐ≡（ＰであってＱである）ならば、Ｐである。
とは言ふものの、
①（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ≡（ＰであってＱでない）としてもＰである。
従って、
（20）（24）により、
（25）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④  Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
①＝④ である以上、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　≡（ＰであってＱであるか、Ｑでない）ならば、Ｐである。
④  Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡（Ｐならば、ＱであらうとＱでなからうと）、Ｐである。
といふ、ことになって、
④ は、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」である。
令和０３年０４月０６日、毛利太。